N第二章 离散时间傅立叶变换(DTFT)

DFS.
解： ~
7~
j 2 kn
3
j kn
X (k) x(n)e 8 e 4
n0
n0
j k4
1e 4
j k
1e 4
幅度谱见书P42
1 e jk
j k
j k j k
e 2 (e 2 j k j k
j k
e 2 )
j k
j 3 k
e 8
sin k
2
1 e 4 e 8 (e 8 e 8 )
第二章 时域离散信号与系统的频域分析
学习内容：
• 离散时间傅立叶变换的定义 • DTFT的主要性质 • 周期序列的离散傅立叶变换 • 时域离散信号的FT和模拟信号的FT之间的关系 • 离散系统的频域特性
学习重点、难点：
•序列的傅立叶变换及其基本性质的应用 •离散系统的频域特性
知识回顾
2.1 连续时间信号和系统的频域分析
2. x(n) X (k ) 均以N为周期，周期延拓
3. 实际频率分量只有N项，直流，
2π/N,2π/N*2,2π/N*k,…2π/N*(N-1)
与连续f (t)不同，f (t) Fne jn1t , n
频率分量有无穷多项，只是当n 时，Fn 0
四、离散傅氏级数的习惯表示法
通常用符号 WN
x=x+exp(-j*w*n); end
xx=abs(x); subplot(312); plot(w,xx); xlabel('w'); ylabel('幅度') yy=angle(x); subplot(313); plot(w,yy) xlabel('w'); ylabel('相位')
例：令因果性指数序列为x(n)=anu(n)，写出其傅立 叶变换，并讨论其收敛性。
n
2
内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。
X (e j ) 2 称为能量谱密度
8、 DTFT的对称性
概念：
（1）共轭对称序列： 若满足下式： xe(n)=x*e(-n)
则称xe(n)为共轭对称序列。
将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n)
例2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。
解:
N 1
X (e j )
RN (n)e jn e jn
n
n0
1 e jN 1 e j
Hale Waihona Puke Baidu
e jN / 2 (e jN / 2 e ) jN / 2 e j / 2 (e j / 2 e jN / 2 )
e j(N 1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
k次谐波：2 • k
N
k次谐波系数：ak
二、傅立叶系数ak
由：
~
N 1
j 2 kn
x(n) ake N
k 0
将上式两边乘以
e
j
2 N
mn
，
并对n在一个周期N中求和
N1 ~
j 2 mn N 1 N 1
j 2 mn j 2 kn
N 1 N 1 j 2 (k m)n
x(n)e N [ ake N e N ] ak e N
k m
h(k )e jk
x(m)e jm
k
m
H (e j ) X (e j )
6、频域卷积定理
频域卷积， 时域乘法
设
y(n)=x(n)•h(n),
则
Y (e j ) 1 X (e j ) * H (e j )
2
7、帕斯瓦尔定理（Parseval）
2
x(n)
1
x(e j ) 2 d
1、连续时间周期信号 x(t) CTFS Fn
连续时间周期信号的傅里叶级数对
Fn 1 T0 / 2 x(t)e jn0t dt
T0 T0 / 2
x(t) Fn e jn0 t n
特点：时域连续，频域离散
2、连续时间非周期信号 x(t) CTFT X ( j)
连续时间非周期信号的傅里叶变换对
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
任意序列x(n)
x(n) xe (n) xo (n)
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)的X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e j td
2
特点：时域连续，频域连续
2.2 离散时间傅立叶变换的定义及性质
2.2.1 离散时间傅立叶变换定义 （DTFT)
1、正变换： X (e j ) DTFT[x(n)] x(n)e jn n
n
反变换： x(n) IDTFT[X (e j )] 1 X (e j )e jnd n
n
n
因此：X(ejω)以2π为周期
其中， 0，2π，4π… 对应直流分量 π，3π，5π … 对于信号的最高频分量
对信号频谱只需分析－π ～π之间或0～2 π之间
2、线性性质
设X1(e j ) FT[x1(n)], X 2 (e j ) FT[x2 (n)],则： FT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(e j )＋bX 2 (e j )其中a,b为常数
x(n) ake N
k 0
ak：傅立叶系数
物理意义：将周期序列用周期为N的复指数序列表示。
对应于信号的分解，将信号分解为多个信号的求和。
直流分量：a0
基频序列：e j
2 N
•n
2次谐波序列：e
j
2 N
•2•n
k次谐波序列：e
j
2 N
•k
•n
基频：2
N
基频序数：a1
二次谐波：2 • 2
N
二次谐波系数：a2
共将轭上对式称两序边列n的用性-n质代：替实，部并是取偶共函轭数，，得到 x*e(-n)=xer(虚-n部)-是jx奇ei函(-数n)。
对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
解：此序列的傅立叶变换为：
X (e j ) anu(n)e jn ane jn
n
n0
(ae j )n
n0
1
1 ae
j
|ae j | 1
|a|<1
|a|<1时，anu(n)的傅立叶变换存在。
2.2.2 序列傅立叶变换的性质 1、FT的周期性
X (e j ) x(n)e jn x(n)e j(2M )n
2.3.1 周期序列的离散傅立叶级数（DFS)
设 ~x (n) 是一个周期为N的周期序列， 即
~x(n) ~x(n rN )
r为任意整数
周期序列不绝对可和,因此周期序列的DTFT不存在，与 连续信号一样，用傅立叶级数表示，即：DFS
~
一、x(n) 的离散傅立叶级数（DFS）
~
N 1
j 2 kn
且： X (k)为周期序列，周期为N x(n)为周期序列，周期为N
三、离散傅立叶级数变换对
x(n) X (k)
DFS的正变换：
N 1 ~
j 2 kn
X (k) x(n)e N
n0
DFS的反变换：
~
x(n)
1 N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
周期序列DFS特点：
1. 时域离散，频域离散
n0
n0 k0
k0 n0
N , k m , N 1 j 2 (km)n
e N
n0
0, k m
N 1 ~
j 2 kn N 1
x(n)e N ak • N
n0
k 0
ak
1 N
N 1 n0
~
j 2 kn
x(n)e N
0≤k≤N-1
又：
ak lN
1 N
N 1 n0
1 N 1 N n0
X(ejω)=Xe(ejω)=X*(e-jω)
因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为：
XR(ejω)=XR(e-jω)
XI(ejω)=-XI(e-jω)
|X(ejw)|－－－－幅度是w的偶函数
arg[X(ejw)]－－－－相角是w的奇函数
2.3 周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
证明略
其中 Xe (e j ) FT[xr (n)] xr (n)e jn n
Xo (e j ) FT[ jxi (n)] j xr (n)e jn n
即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解
（2）若序列x(n)分成共轭对称分量xe(n)与共轭反对
称分量x0(n）之和
x(n)=xe(n)+xo(n) 则
2
2、序列傅立叶变换存在的条件
• 序列绝对可和，一致收敛，FT存在
| x(n) |
n
• 特殊序列（周期序列，u(n）)等，引入δ冲 激函数，FT也存在。
3、序列的幅度谱与相位谱
• 频谱用实部和虚部表示
X (e j ) X R (ej ) jX I (e j )
• 频谱用幅度和相位表示 X (ej ) | X (ej ) | ejarg[X (ej )] X ()ej()
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)
其中
X R (e j ) FT[xe (n)] xe (n)e jn n
jX I (e j ) FT[xo (n)] xo (n)e jn n
即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解
（3）实因果序列的对称性
若x(n)是实序列， 则其FT只有共轭对称部Xe(ejω)， 共轭反对称部分为零。
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积， 频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]
[
x(m)h(n m)]e jn
n m
Y (e j )
h(k )e jk x(m)e jm
3、时移与频移性质
设X (e j ) FT[x(n)],则： FT[x(n n0 )] e jn0 X (e j ) FT[e j0n x(n)] X (e j(0 ) )
时域移位， 频域有相移
时域调制 频域移位
4、指数加权，线性加权
DTFT[an x(n)] X ( e j ) a
DTFT[nx(n)] j d [ X (e j )]
~
j 2 (k lN )n
x(n)e N
~
x(n)e
j
2 N
kn
e
j
2
ln
0 k N 1
ak
所以：ak为周期序列，周期为N。
由：
ak
1 N
N 1 n0
~
j 2 kn
x(n)e N
0≤k≤N-1
令： N • ak X (k )
则：
N 1 ~
j 2 kn
X (k) x(n)e N
n0
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j )
1 [ X (e j ) 2
X
(e
j
)]
X o (e
j
)
1 2
[X
(e
j
)
X
(e
j
)]
对称性：
（1）若序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)
x(n)=xr(n)+jxi(n)
则
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
– 幅度特性
X () | X (ej ) |
X
2 R
(e j
)
X
2 I
(e j
)
– 相位特性
()
arg[X
(e j
)]=arg
X I (ej ) X R (ej )
X (e j(2 M ) ) X (e j )
• 频谱是ω的连续周期函数，周期为2π。
• DTFT频谱特点：时域离散，频域连续， 以2π为周期。
j 2
e N
代入，则：
正变换： 反变换：
X (k) DFS x(n)
N 1
j 2 kn
x(n)e N
N 1
x(n)WNkn
n0
n0
x(n) IDFS X (k)
1 N
N 1
j 2 kn
X (k)e N
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
例行周2期.3延.1拓，设得x(到n)周=R期4(n为)，8的将周x(期n)序以列N=x~8(为n)周，期求，x~ (进n) 的
共轭反对称序列的性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列
5－j －5＋j
4－j 0 －4＋j 0
4＋j 4＋j
5＋j 5＋j
（3）对任意序列x(n)
任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， x(n)=xe(n)+xo(n)
由 x*(-n)=xe(n)-xo(n)
有： xe (n)