电子科技大学微积分上册1.1

11/2/2013 8:38:35 PM
19
函数的两个要素： ●对应规律 f ; ●定义域 D f ; 两个函数只要 f 和 D f 相同，则这两个函数
必相等.
例如
f x 1, x , 与
h x sin 2 x cos 2 x , x ,
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a , b]. 有限区间 [a , ) { x a x } ( , b ) { x x b} 无限区间
o
a x
o
11/2/2013 8:38:35 PM
b
x
15
五、邻域: 设x0与 是两个实数 , 且 0.
数集{ x x x0 }称为点x0的 邻域 ,
16
§1.3
函数
定义：若D是一个非空实数集合，设有一个
对应规则 f ，使每一个x D，都有一个确定
的实数 y与之对应，则称 f 为定义在D上的一 个函数，或称变量 y是变量x的函数 .
记作 y f x ，x D.
11/2/2013 8:38:35 PM
Baidu Nhomakorabea17
x称为自变量，y称为因变量.
例如：y 2 x 2．
定义: 点集C {( x , y ) y f ( x ), x D} 称为
函数y f ( x )的图形.
11/2/2013 8:38:35 PM
27
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 2 x 1, x 0 D , 例如, f ( x ) 2 x 1, x 0
x 1 x 1 5 1 4 x 6 解： 5 5 x 5 x 5 x 2 25
4 x 5
即D 4, 5
11/2/2013 8:38:35 PM
22
例2 求函数 y
lg 3 x x 1
表现形式不同, 却是两个相同的函数.
11/2/2013 8:38:35 PM
20
x2 y x与 y 不是相同的函数，因为定义域不同. x
定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.
11/2/2013 8:38:35 PM
21
x 1 1 例1 求函数 y arcsin 的定义域. 2 5 25 x
例如：n N， x R . 三、绝对值
x x R， x x x0 x0
11/2/2013 8:38:35 PM
12
性质： 1 x 0, x x .
2
x x x.
3 x2 x . 4 若a 0，则 x
x a x a x a ,
的定义域.
3 x 0 解 x 1 0
x 3 x 1或x 1
x 1或 1 x 3
即D , 1 1, 3
11/2/2013 8:38:35 PM
23
5 x x2 2 3 x 例3 求函数 y lg e 的定义域. 4
并用花括号括起来.
11/2/2013 8:38:35 PM 4
例如：A a , b, c , d ，B 1,2 . 2. 描述法：设P a 为某个与a有关的条件或 法则，A为满足P a 的一切a构成的集合，
则记为A a P a .
例如 A x x 2n 1, n N ,
3
例2 全体实数. 常记为R.
例3 全体正实数. 常记为R . 例4 全体自然数. 常记为N .
若某个元素x属于集合A, 则记作x A;
无限集合
若某个元素x不属于集合A, 则记作x A.
例如： 2 R ， 4 N .
二、集合的表示法
1. 列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，

四、子集
如果集合A的任一元素都是集合B的元素 ， 则称A是B的子集. 记作A B , 或B A.
11/2/2013 8:38:35 PM 6
空集为任意集合A的子集，即 A.
若A与B互为子集，即A B，且B A，则称集合 A与B相等, 记作A B或B A.
五、集合的运算
微 积 分
（高等数学）
电子科技大学数学科学学院
高中喜
11/2/2013 8:38:35 PM
1
三点希望：
１．课后一定要认真独立完成作业.( 作业、平时上课表现作为平 时成绩啊，占期末总成绩的占20%．) ２.上课不准迟到,早退; 不准交头接耳;不准玩耍手机. ３. 上课必带一支笔、一个练习本、微积分教材. 预祝同学们大学生活过的精彩!
A
B
A
11/2/2013 8:38:35 PM
9
六、集合的笛卡尔乘积
设A与B是两个非空集合, x A, y B, 所有
二元有序元素组 x , y 构成的集合，称为A与
B的笛卡尔乘积, 记作A B , 即
A B x , y x A, y B .
例9 设A 1, 2, 3 , B 2, 3 .
点x0叫做邻域的中心 , 叫做邻域的半径 .
U x0 , { x x0 x x0 }.


x0
x0
x0
x
点x0的去心的 邻域, 记作U x0 , ˆ
ˆ U x0 , { x 0 x x0 }.
11/2/2013 8:38:35 PM
集合D称为函数的定义域，也可以记作D f .
当x0 D f 时, 与x0对应的数值 y0称为函数 y f x 在x x0处的函数值, 记作 y0 f x0
或 y0 y
x x0
.
全体函数值的集合Z f y y f x , x D f
解 5 x x2 1 4
即D 1, 4
5 x x2 4
x2 5 x 4 0
1 x 4
11/2/2013 8:38:35 PM
24
例4 设 f x x x 1，求 f 1 ，f a ，f x 1 ，
2
1 f ，f f x . y
例6 设A x 1 x 2，B x x 0 . 则A B x x 1， A B x 0 x 2 . 例7 设A x x 1，B x 2 x 5 . 则A B x x 1, 或2 x 5 ,
所有点的集合, R R常记作R 2 .
§1.2 数集
一、概念
元素全部是数的集合称为数集.
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
11/2/2013 8:38:35 PM
11
二、逻辑量词：
: 表示 " 对每一个" 或 " 对任意的"
或 "对所有的"
: 表示 "存在"
则A B 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3 B B 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3
11/2/2013 8:38:35 PM 10
R R x , y x R, y R 表示xoy平面上
解 f 1 12 1 1 1
f a a2 a 1
f x 1 x 1 x 1 1
2
x2 3 x 1
11/2/2013 8:38:35 PM
25
1 1 1 f 1 y y y
这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作(a , b).
o
a
b
x
{ x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b].
11/2/2013 8:38:35 PM
14
a
b
{ x a x b} 称为半开区间, 记作[a , b).
有关微积分发展史的简单介绍
11/2/2013 8:38:35 PM
2
第一章
一、概念
函数
§1.1
极限与连续
集合
具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的 总体，称为集合. 集合里的每一个事物称为集合的元素.
例1 方程x 2 3 x 2 0的根.
有限集合
11/2/2013 8:38:35 PM
x
5
x a x x a x x a .
x y x y.
x y x y,
x x 6 xy x y , , y 0 . y y
11/2/2013 8:38:35 PM 13
四 、区间 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.

,
称为函数的值域.
11/2/2013 8:38:35 PM
18
当D R, Z R时, f x 为一元函数;
当D R 2 , Z R时, f 为二元函数,
记为 y f x1 , x2 ;
当D R n , Z R时, f 为n元函数,
记为 y f x1 , x2 , , xn .
11/2/2013 8:38:35 PM
28
x 2 0 x 2 例5 设 f ( x ) 2 ， 2 x4 x 求D及 f 1 , f 2 , f 3 , f x 1 .
解 D 0, 2 2,4 0,4 f 1 1 2 3, f 2 2 2 4, f 3 32 9
交集:A B x x A且x B;
A
B
11/2/2013 8:38:35 PM
7
并集:A B x x A或x B;
例5 设A 1,2,4,6，B 2,4,7 .
A
B
则A B 1,2,4,6,7 ,
A B 2,4 .
11/2/2013 8:38:35 PM
A B .
8
补集：A x x U 且x A .
A
显然A A U，A A .
差集:A B x x A且x B .
例8 设A 1,2,4,6，B 2,4,7 . 则A B 1,6 , B A 7 .
1 1 2 1 y y
2
f f x f x f x 1
2
x x 1 x2 x 1 1
2


2

x4 2 x3 1
11/2/2013 8:38:35 PM
26
如果自变量在定义域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有一个，叫做单值函数， 否则叫做多值函数．
x 1 2 0 x 1 2 f x 1 2 2 x 1 4 x 1
x1 2 x 1
B x x 2 3 x 2 0 1,2 .


表示集合与集合之间关系的图形称为文氏图.
11/2/2013 8:38:35 PM
5
三、全集与空集
由所研究的所有对象构成的集合称为全集，
记为U .
不含任何元素的集合称为空集, 记作 .
例如:

x x 2 1 0, x R .