2021年中考数学重难点专项突破专题25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题(提升训练)(解析版)
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8 ③ AG = GE，解得： t = 0 或 t = 8 ，均不可能，舍去．
当 AE = 3 时， CE = 10 ． 【总结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求
出的值的取舍．
4
∴ AC = AH 2 + CH 2 = 5 ，∴CP = AC = 5；
（2）∵AP//CG，∴APCE 为平行四边形， 又∵CE = CP， ∴APCE 为菱形．
设 CP = x，则 AP = CP，∴ AH 2 + PH 2 = CP ．
即 9 + (4 − x)2 =x ，解得： x = 25 ，∴ EF = 7 ；
（2）联结 AP，当 AP//CG 时，求弦 EF 的长；
（3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长．
3
G
A
E
F
D
B
HP
C
【答案】（1）CP 的长为 5；（2） EF = 7 ； 4
（3）圆 C 的半径长为 10 ． 【解析】解：（1）作 AH⊥BC 于 H．
∴BH = 4，AH = 3，∴CH = 4．
8
4
（3）设 AE = t ，则 CE = 9 + (4 − t )2 ．
∵ D AEGD ∽ DEC ，∴ AG = t �5 ，= GE t 9 + (4 − t )2 ．
8−t
8−t
分情况讨论
① AE = AG，解得： t = 3 ； ② AE = GE，解得： t = 39 ，此时 E 在 F 点右边，舍去；
并写出它的定义域；
（3）如果△AMN 为等腰直角三角形，求线段 FM 的长．
A
ED
A
ED
A
ED
N
M
B
F
C
B
F
C
（图 1）
（图 2）
B
F
C
（备用图）
【答案】（1）CF 的长为 5； （2） y = 5x2 −14x −15 （ 0 ≤ x ≤ 1）； 2x − 6
（3）线段 FM 的长为 5 或 11 5 或 19 5 ．
3
3
A
ED
B GF
C
【解析】（1）作 AG⊥BC 于点 G，∴∠BGA = 90°， ∵∠BCD = 90°，AD∥BC，∴AG = DC = 6， ∵tan∠ABC = AG = 2，∴BG = 3， BG ∵BC = 11∴GC = 8，∴AD = GC = 8，∴AE = 3ED ∴AE = 6，ED = 2 ∵AD∥BC，AB∥EF，∴BF = AE = 6，∴CF = BC-BF = 5． （2）过点 M 作 PQ⊥CD，分别交 AB、CD、AG 于点 P、Q、H，作 MR⊥BC 于点 R， 易得 GH = CQ = MR．
A PH
ED NQ
BG F
CR
过点 N 作 PQ⊥CD，分别交 AB、AG 于点 P、H，
作 MR⊥BC 于交 BC 延长线于交直线 PN 于点 Q，
∵AN = MN，易得 ∆AHN ≌ ∆NQM
∴AH = NQ，HN = MQ = 8
令 PH = a，则 AH = 2a，DN = 2a，CN = 6-2a
∴ ∆AHM ∽ ∆MQN ，∴ AH = HM ，即 6 − 2x = 3 + x ，
MQ NQ
5 − x y − 2x
∴ y = 5x2 −14x −15 ，定义域： 0 ≤ x ≤ 1； 2x − 6
（3）①∠AMN = 90°
A
ED
N
P HM
Q
B G FR
C
1）当点 M 在线段 EF 上时，
1
∵MF �cos∠EFC = x，∴FR = x．∵tan∠ABC = 2，∴GH = MR = CQ = 2x．
∴BG = 3，由 BF = 6，得：GF = 3，
∴HM=3 + x，MQ = CF-FR = 5-x，AH = AG-GH = 6-2x．
∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH，且∠AMN=∠AHM=90°， ∴∠MAH=∠NMQ，
专题 25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题
1、已知：如图 1，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点 E 在 AD 边上， 且 AE=3ED，EF//AB 交 BC 于点 F，点 M、N 分别在射线 FE 和线段 CD 上．
（1）求线段 CF 的长； （2）如图 2，当点 M 在线段 FE 上，且 AM⊥MN，设 FM·cos∠EFC=x，CN=y，求 y 关于 x 的函数解析式，
题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用． 2、如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝8，cosB＝ 4 ，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的
5 圆 C 与边 AD 交于点 E、F（点 F 在点 E 的右侧），射线 CE 与射线 BA 交于点 G．
（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；
∴FR = 5 + 2a，MR = 8 +（6-2a）= 14-2a
由 MR = 2FR 得 a = 2 ， 3
∴FR= 19 ，MR= 38 ，∴FM = 19 5 ，
3
3
3
综上所述，线段 FM 的长为 5 或 11 5 或 19 5 ．
3
3
【总结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本
∵ ∆AHM ∽ ∆MQ源自文库 ，且 AM = MN，
∴AH=MQ
∴6-2x = 5-x，
∴x = 1
∴FM = 5 H A
MQ D
E
B GF
N RC
2)当点 M 在 FE 的延长线上时
同上可得 AH = MQ ∴2x-6 = 5-x ∴ x = 11
3 ∴ FM = 11 5
3
2
②∠ANM = 90° M
当 AE = 3 时， CE = 10 ． 【总结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求
出的值的取舍．
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∴ AC = AH 2 + CH 2 = 5 ，∴CP = AC = 5；
（2）∵AP//CG，∴APCE 为平行四边形， 又∵CE = CP， ∴APCE 为菱形．
设 CP = x，则 AP = CP，∴ AH 2 + PH 2 = CP ．
即 9 + (4 − x)2 =x ，解得： x = 25 ，∴ EF = 7 ；
（2）联结 AP，当 AP//CG 时，求弦 EF 的长；
（3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长．
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G
A
E
F
D
B
HP
C
【答案】（1）CP 的长为 5；（2） EF = 7 ； 4
（3）圆 C 的半径长为 10 ． 【解析】解：（1）作 AH⊥BC 于 H．
∴BH = 4，AH = 3，∴CH = 4．
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（3）设 AE = t ，则 CE = 9 + (4 − t )2 ．
∵ D AEGD ∽ DEC ，∴ AG = t �5 ，= GE t 9 + (4 − t )2 ．
8−t
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分情况讨论
① AE = AG，解得： t = 3 ； ② AE = GE，解得： t = 39 ，此时 E 在 F 点右边，舍去；
并写出它的定义域；
（3）如果△AMN 为等腰直角三角形，求线段 FM 的长．
A
ED
A
ED
A
ED
N
M
B
F
C
B
F
C
（图 1）
（图 2）
B
F
C
（备用图）
【答案】（1）CF 的长为 5； （2） y = 5x2 −14x −15 （ 0 ≤ x ≤ 1）； 2x − 6
（3）线段 FM 的长为 5 或 11 5 或 19 5 ．
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A
ED
B GF
C
【解析】（1）作 AG⊥BC 于点 G，∴∠BGA = 90°， ∵∠BCD = 90°，AD∥BC，∴AG = DC = 6， ∵tan∠ABC = AG = 2，∴BG = 3， BG ∵BC = 11∴GC = 8，∴AD = GC = 8，∴AE = 3ED ∴AE = 6，ED = 2 ∵AD∥BC，AB∥EF，∴BF = AE = 6，∴CF = BC-BF = 5． （2）过点 M 作 PQ⊥CD，分别交 AB、CD、AG 于点 P、Q、H，作 MR⊥BC 于点 R， 易得 GH = CQ = MR．
A PH
ED NQ
BG F
CR
过点 N 作 PQ⊥CD，分别交 AB、AG 于点 P、H，
作 MR⊥BC 于交 BC 延长线于交直线 PN 于点 Q，
∵AN = MN，易得 ∆AHN ≌ ∆NQM
∴AH = NQ，HN = MQ = 8
令 PH = a，则 AH = 2a，DN = 2a，CN = 6-2a
∴ ∆AHM ∽ ∆MQN ，∴ AH = HM ，即 6 − 2x = 3 + x ，
MQ NQ
5 − x y − 2x
∴ y = 5x2 −14x −15 ，定义域： 0 ≤ x ≤ 1； 2x − 6
（3）①∠AMN = 90°
A
ED
N
P HM
Q
B G FR
C
1）当点 M 在线段 EF 上时，
1
∵MF �cos∠EFC = x，∴FR = x．∵tan∠ABC = 2，∴GH = MR = CQ = 2x．
∴BG = 3，由 BF = 6，得：GF = 3，
∴HM=3 + x，MQ = CF-FR = 5-x，AH = AG-GH = 6-2x．
∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH，且∠AMN=∠AHM=90°， ∴∠MAH=∠NMQ，
专题 25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题
1、已知：如图 1，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点 E 在 AD 边上， 且 AE=3ED，EF//AB 交 BC 于点 F，点 M、N 分别在射线 FE 和线段 CD 上．
（1）求线段 CF 的长； （2）如图 2，当点 M 在线段 FE 上，且 AM⊥MN，设 FM·cos∠EFC=x，CN=y，求 y 关于 x 的函数解析式，
题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用． 2、如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝8，cosB＝ 4 ，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的
5 圆 C 与边 AD 交于点 E、F（点 F 在点 E 的右侧），射线 CE 与射线 BA 交于点 G．
（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；
∴FR = 5 + 2a，MR = 8 +（6-2a）= 14-2a
由 MR = 2FR 得 a = 2 ， 3
∴FR= 19 ，MR= 38 ，∴FM = 19 5 ，
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综上所述，线段 FM 的长为 5 或 11 5 或 19 5 ．
3
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【总结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本
∵ ∆AHM ∽ ∆MQ源自文库 ，且 AM = MN，
∴AH=MQ
∴6-2x = 5-x，
∴x = 1
∴FM = 5 H A
MQ D
E
B GF
N RC
2)当点 M 在 FE 的延长线上时
同上可得 AH = MQ ∴2x-6 = 5-x ∴ x = 11
3 ∴ FM = 11 5
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2
②∠ANM = 90° M