离散数学测验题——谓词逻辑答案

离散数学测验题(谓词逻辑部分)

一、符号化下列命题。（20分，每题10分） 1. 任何两个不同的人都性格不相同。

解：设F(x):x 是人, H(x,y), x 与y 相同, L(x,y): x 与y 性格相同 则原命题对应的谓词公式为： ∀x(F(x)→∀y(F(y)∧⌝H(x,y)→⌝L(x,y))) 或∀x ∀y(F(x)∧F(y)∧⌝H(x,y)→⌝L(x,y))

2. 尽管有些人爱吃西瓜，但并不是所有人都爱吃西瓜。

解：设M(x): x 是人，C(x): x 爱吃西瓜，则原命题可以表示为前后两个原子命题之间的合取,“有些人爱吃西瓜”可以表示为：()()()x M x C x ∃∧；“不是所有人都爱吃西瓜”可以表示为()()()x M x C x ⌝∀→，或者()()()x M x C x ∃∧⌝

则原命题对应的谓词公式为：()()()x M x C x ∃∧∧()()()x M x C x ⌝∀→，或者

()()()x M x C x ∃∧∧ ()()()x M x C x ∃∧⌝

二、说明下列推理的有效性。（45分，每题15分）

1. 乌鸦是黑色的，天鹅不是黑色的；所以，天鹅不是乌鸦。 解：设B(x): x 是乌鸦，M(x): x 是天鹅，F(x): x 黑色的。 则此推理可以表示为：

()()()()(),()()()().x B x F x x M x F x x M x B x ∀→∀→⌝⇒∀→⌝ 证明：(1) ∀x ( M ( x ) →¬ F ( x ))

P 规则

(2)M ( y ) →¬ F ( y )

US(1) (3) ∀x ( B ( x ) → F ( x )) P 规则 (4)B ( y ) → F ( y )

US(3) (5)¬ F ( y ) →¬ B ( y ) (4)假言易位 (6)M ( y ) →¬ B ( y )

(2)(5)假言三段论 (7) ∀x( M ( x ) →¬ B ( x ))

UG(6)，证毕。

利用反证法证明：

()()()()(1)(2)(1)(3)()(2)(4)(),(3)(5)(),

(3)(6)(7)()(6)(8()(),()(),(),()()(),(),

()(),()(4)(7)(9)(10)()(9),x M x B x x M x B x B c x M c M c M x F B c P M c P B c x F c F c x B x F x F c ⌝∀→⌝∃∧∧∀→⌝→⌝⌝∀→→附加前提等价置换

存在量词消去规则合取化简规则合取化简规则规则

全称量词消去规则

假言推理规则规则

，)(11)(),(5)(10)(8)F c 全称量词消去规则假言推理规则

与矛盾，所以假设错误。故原推理有效。

2. 音乐家都教育自己的孩子成为音乐家，如果教育孩子成为科学家，则不会教育孩子成为音乐家。有一个人教育他的孩子去做科学家，所以这个人一定不是音乐家。

解:设 M ( x )： x 是音乐家， F ( x )： x 教育自己的孩子成为音乐家， G ( x )： x 教育他的孩子去做科学家。

前提：∀x ( M ( x ) → F ( x ))， ∀x ( G ( x ) →¬ F ( x ))， ∃xG ( x ) 结论： ∃x ¬ M ( x ) (1) ∃x G ( x ) P 规则 (2)G ( c )

ES (3) ∀x ( G ( x ) →¬ F ( x )) P 规则 (4)G ( c ) →¬ F ( c ) US(3) (5) ¬ F ( c )

(2)(4)假言推理 (6) ∀x ( M ( x ) → F ( x )) P 规则 (7) M ( c ) → F ( c ) US(6) (8) ¬ M ( c )

(5)(7)拒取式 (9) ∃x¬ M ( x )

UG(8)，证毕。

3. 学术委员会的每个成员都是博士并且是教授。有些成员是青年人。因而有的成员是青年博士。

解：令A(x):x是学术委员会成员，B(x):x是博士，J(x):x是教授，H(x):x是青年人。前提: ∀x(A(x)→B(x)∧J(x)) , ∃x(A(x)∧H(x))

结论: ∃x(A(x)∧H(x)∧B(x))

证明：

(1) ∃x (A(x)∧H(x)) P

(2) A(c)∧H(c) (1)ES

(3) ∀x (A(x)→B(x) ∧J(x)) P

(4) A(c)→B(c)∧J(c) (3)US

(5) A(c) (2) 化简

(6) H(c) (2) 化简

(7) B(c)∧J(c) (4)(5) 假言推理

(8) B(c) (7) 化简

(9) A(c)∧H(c)∧B(c) (5)(6)(8) 合取

(10) ∃x(A(x)∧H(x)∧B(x)) (9)EG

三、（35分）令：R(x): x是兔子；T(x)：x是乌龟；D(x, y)：x比y跑得快。

试用谓词公式符号化以下命题：

1.兔子比乌龟跑得快

∀x∀y(R(x)∧T(y)→D(x,y))

2.有的兔子比所有的乌龟跑得快

∃x (R(x)∧∀y (T(y) →D(x,y)))

3.并不是所有的兔子都比乌龟跑得快

对第3题，要求符号化的谓词公式

（1）只出现全称量词

⌝∀x∀y(R(x)∧T(y) →D(x,y))

（2）只出现存在量词

∃x∃y(R(x)∧T(y) ∧⌝D(x,y))

（3）量词全部放在最左边同(2)