第二章随机变量及其函数的概率分布

第二章 随机变量及其函数的概率分布

§2.1 随机变量与分布函数

§2.2 离散型随机变量及其概率分布

一、 填空题

1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,)

2.0()8.0(33=-k C k k k ；

2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 0.0902 ；

3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤-<=1 ,110 ,10

,0)(x x p x x F ；

4. 已知随机变量X 的概率分布：P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布

函数)(x F =

0 10.2 120.5 231 3x x x x <⎧⎪≤<⎪⎨

≤<⎪⎪≥⎩，

，，，

；

5. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=3

,131 ,8.011 ,4.01

, 0)x x x x x F （, 则X 的概率分布为

(1)0.4,(1)0.4,(3)0.2

P X P X P X =-=====。

二、选择题

设离散型随机变量X 的分布律为λ>=λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为（B ） (A) λ>0的任意实数; (B) ；11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 1

1

-=b λ. 三、 计算下列各题

1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。

解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5

10

41

===-k C C k X P k

所以X 的分布列为

2. 一批元件的正品率为4，次品率为4，现对这批元件进行有放回的测试，设第

X 次首次测到正品，试求X 的分布列。

解 X 的取值为1，2，3，… 且 ,3,2,1 ,434341)(k

1

==⋅

⎪

⎭

⎫

⎝⎛==-k k X P k . 此即为X 的分布列。

3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2

，2，2，3，3，从中任取一个球，令X 为取出的球的号码，试求X 的分布列及分布函数。 解 X 的分布列为

由分布函数的计算公式得X 的分布函数为 ⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3 ,132 ,3

221 ,61

1

,0)(x x x x x F

4. 设随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1 15

)(==

=k k

k X P 。 求 ).3( )3( ),31( )2( ),2

5

21( )1(>≤≤<

解 ,5

1

152151)2()1()2521( )1(=+==+==<

.

5

3

155154)5()4()3( )3(,5

2

153152151)3()2()1()31( )2(=+==+==>=++=

=+=+==≤≤X P X P X P X P X P X P x P

5. （1）设随机变量X 的分布律为0 ;,2,1 !)(>λ=λ== k k a k X P k

为常数，试

确定a 。（2）设随机变量Y 只取正整数值N ，且)(N Y P =与2N 成反比，求Y 的分布律。

解 （1）因为

∑∞===1

,1)(k k X P 及0 ,1!

1

>-=∑

∞

=λλλe k k k ，所以.1

1

-=

λe a （2）令 ;,2,1N )(2 ===N k a

N Y P 类似上题可得 2

6

π

=k 。

所以Y 的分布律为 ,2,1,6

)(2

2=π=

=N N N Y P

6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X 的概率分布

解 X =0, 1, 2, 3, i A =“汽车在第i 个路口遇到红灯.”，i =1，2，3. )()0(1A P X P ===

21, )1(=X P =41

2

1221==）（A A P )2(=X P

113

321==

）（A A A P ，)3(=X P =81

2

13321==）（A A A P

为所求概率分布

7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X 的概率分布律.

,2,1 ,3611

)36111()()( ,,2,1 ,36

11

)( ,"6" 1121=⋅-=====

=--k A A A A P k X P X i A P i A k k k i i 的概率分布为所以点次出现第设解

四、证明题

，是两个常数，且都是分布函数，又和设1 ,0 ,0)()(21=+>>b a b a x F x F 试证明： .)()()(21也是分布函数x bF x aF x F +=

1112220)1, 0) 1 0))1

;0)1,0)F x aF x a aF x bF x a b F x bF x b

≤≤≤≤⎧⇒≤+≤+=⎨≤≤≤≤⎩（（解（）因为（（（（ []111212212211121221221212)) (2) , ))

()))))(),(). 3 lim ()lim ))lim )lim )1

x x x x aF x aF x x x bF x bF x F x aF x bF x aF x bF x F x F x F x aF x bF x a F x b F x a b →+∞

→+∞

→+∞

→+∞

≤⎧∀<⎨≤⎩⇒=+≤+==+=+=+=（（有（（（（（（所以是不减函数（）（（（（[]1212 lim ()lim ))lim )lim )000

x x x x F x aF x bF x a F x b F x a b →-∞

→-∞

→-∞

→-∞

=+=+=⨯+⨯=（（（（ .

)()()()()()0()0()0()4(2121是分布函数质，所以满足分布函数的四个性由于x F x F x F x bF x aF x bF x aF x F =+=+++=+