提取公因式法和公式法②
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= 7xn−1(x−1)2．
一、提取公因式法的应用
例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长 3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个 月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多 少米的拓宽任务？
分析：总共有 3300m的道路，第一个月完成了 34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完 成了3300×36%，
5.分解因式 ①-a(a-b)2+(b-a)2
②-a2(a-b)2+4(b-a)2
精选题
选择题：
1．若(2x)n−81 = (4x2+9)(2x+3)(2x−3)，那么n的
值是( B)
A．2 B． 4
C．6
D．8
值是(2．B(说2若x明))94x−：28−右11，2边x所y进+以行mn是整应两式为数乘4，和法答的后案平得为方16B式x．4，−8那1 么= m的
②某些实际问题，如果列出代数式中， 含有而且提取公因式后，另一因式 能够凑整，用提取公因式计算较简单．
课本第41页习题 第2题 第3题
= (3Cb．−a1)2；所以答案为C． D．−1
6．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N =
B 2xy，说则明M：与(−N1)的20大01+小(−关1)系200为0 =( (−1))2000[(−1)+1] = 0，
A所．以M答>N案为BB．．M≥N C．M≤N D．不能确定
( AM7说≥)．N明．对：于因任为何M整−N数=mx，2+多y2项−2式x(y4=m(+x−5)y2)−2≥90都，能所以
例5 在日常生活中如取款、上网等都 需要密码．有一种用“因式分解”法产生
的密码，方便记忆．原理是：如对于多项 式x4−y4，因式分解的结果是 (x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则 各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)wk.baidu.com18， (x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作 为一个六位数的密码．对于多项式 4x3y−xy3，取x = 10，y = 10时，用上述方 法产生的密码是：(写出一个即可)．
乘以它们的差公式分解的有( B )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
说明：能用两数和乘以它们的差公式因 式分解的有
−x2+y2 = y2-X2 =(y+x)(y−x); x2+(−y2) = X2-y2=(x+y)(x−y); (y−x)3+(x−y) =（y-x）3-（y-x） = (y−x)[(y−x)2−1] = (y−x)(y−x+1)(y−x−1)、 4x2−y2 =（2x）2−y2 =(2x+y)(2x−y)，共4个；答案为B．
b2y2 = 4y2，答案为B．
4．把(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2分解因式为( C)
A．( 3a−b)2
B．(3b+a)2
C．(3b−a)2
D．( 3a+b)2
B 说明5．：计(a算+b：)2(−−41()a2020−1b+2()−+14)(2a00−0b的)2结=果为( )
(a+Ab．)2−(−2(1a)+20b03)[2(a−b)]+[2(a−Bb)．]20= [a+b−2(a−b)]2
例4 达活泉公园有一块长为 51.2m的 正方形绿地，为了便于游人通行，决定修 两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m， 问剩余绿地的面积是多少？
解：51.22−(2×1.2×51.2−1.22) =51.22−2×1.2×51.2+1.22 =(51.2−1.2)2 =502
=2500 答：剩余绿地的面积为 2500m2
A．2y2 B．4y 2 C．±4y2
D．±16y2
3．说把明多：项因式为a49−x22−a12b22x+yb+4m因是式两分数解和的的结平果方为式( ， )
D A说所．明以a2：可(a先设2−运92xb用22−)完+1b2全4xy平+方m公= 式(aBx，．+ab(4ya−)222−，ab2则2b)22有+b4 =
分析：直接代入数值，U=IR1+ IR2 +IR3 =2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻 烦，不妨提取公因式
解：当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时 U=IR1 + IR2 + IR3 =2×12.9 + 2×18.5 + 2×18.6 =2×（12.9+18.5+18.6） =2×50=100
13.5因式分解的应用
姚栋祥 2008年11月4日
1．下列变形是因式分解的是( ) A．xy(x+y) = x2y+xy2 B．x2+2x+1 = x(x+2)+1 C．(a−b)(m−n) = (b−a)(n−m) D．ab−a−b+1 = (a−1)(b−1)
答案：D 说明：A是整式乘法，B不是乘
积的形式，C仅是符号变化，是恒等 变形；正确答案为D。
2．−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式是
( C) A．3y
B．3xz
C．−3xy
D．−3x
3．在多项式x2+y2，−x2+y2−x2−y2，
x2+(−y2)，8x2−y2，(y−x)3+(x−y)，
4x2−y2中，能在有理数范围内用两数和
解：依题意得 13.22−4×3.42=13.22−(2×3.4)2=13.22−6.82 =(13.2+6.8)(13.2−6.8)=20×6.4=128
因为130>128 所以购买130m2的草坪，够铺绿地．
例4 达活泉公园有一块长为 51.2m的 正方形绿地，为了便于游人通行，决定修 两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m， 问剩余绿地的面积是多少？
((==23（[))(7(aaxa2bn−b++x1+2b−)a2)1+−+442(xaabnx++）(b7xx)（−]na[−(a)1a2b(bn-+a为）b不)-小(a于+b1)的] 整数)
=(7axbn−+1 2•xb2+−7ax)na−(1b•2−x1+)7xn−1 = 7xn−1(x2−2x+1)
得k = −6；
4．已知x的多项式2x3+x2−12x+k 因式分解后有一个因式(2x+1)；
(1)求k的值； (2)将此多项式因式分解．
(2)当K = - 6时，则 2x3 + x2 - 12x - K =2X3 + X2 - 12X - 6 = (2X3+X2) -(12X+6) =X2 (2X+1)- 6(2X+1) =(2X+1)(X2-6)
例3 学校在一块边长为 13.2m的正方形场 地，准备在四个角落各建一个边长为 3.4m的 正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买
130m2的草坪，够不够铺绿地？
分析：原有的面积为13.22，四个正方形水池的 面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42， 如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差 公式分解因式，较简单
C(a9．2x−2(b−a21−)22b，x)4y再+m运=用a两2x数2+和2a的bx平Dy方+．b公(2ay式+2，b，)即2两(aa−数2b=分)29别，是
a22、ab−=b2−，12则，有b(2ay22−=b2m)2；=得(a到+ba)2=(a3−，b)b2，=在−2这；里，
注或意a因= 式−3分，解b 要= 分2；解此到时不b能2 =分4解，为因止此；，答m案=为D．
C．−3xn(x2+2)
D．3(−x2n−2xn)
9．下说列明变：形本中题，的是关正键确是的符因号式的分变解化的：是z−(x−Dy )
A．=0−.0(9xm+y2−−z4)9，n而2 =x−(y0+.0z≠3ym++z−7x)(，0同.03时m−7)
B．x−2−y1+0z≠=−x(y2−+9z−x1)=，(所x+以3)公(x因−3式)−为1
C．x+4−yx−2z．= (x2+x)(x2−x)
D．(x+a)2−(x−a)2 = 4ax
10．多项式(x+y−z)(x−y+z)−(y+z−x)(z−x−y)的公
因式是( )A
A．x+y−z
B．x−y+z
C．y+z−x
D．不存在
11．已知x为任意有理数，则多项式x−1−4x2的值
( B ABCD二分(1)．．．．)、 解=====(a一 不 一 可[((((解 因b(axxx+定 可 定 能答 式a−−−+b+x为 能 为 为aaa)题 ：x)2)))说)2−非负 为 正 正222(：([((a(明(xaaa−即正数正数数a−2−+x++：ab多数数或)xx2)2))xa)2−22项，负=]x−=4−2+1a4−−式正数(xx−ax4(2(1x4−xa确或−x]−xax−4−)2(答零2a1a4xxx−=)−案2))4a2−x≤)应(2021的，−该4值是x+为B4．x2)
两个月共完成了3300×34%+3300×36%，如果 直接运算的话，显然麻烦些，如果将 3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．
解：3300×34%+3300×36% =3300（34%×36%）=3300×70%=2310
答: 所以这两个月共完成 2310m拓宽任务．
例2 在电学公式：U=IR1+ IR2 +IR3，当 R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时，求 U的值
解：4x3y−xy3= x(4x2−y2)
= x(2x+y)(2x−y) 当x = 10，y = 10， 各因式的值是：x = 10，(2x+y) = 30， (2x−y) = 10
又因为这六个数字不考虑顺序， 所以产生的密码为103010；101030； 301010
①由实际问题列出的代数式满足 完全平方公式的结构特点，且写成两 个数和或两个数的差的平方又容易计 算，通常应用完全平方公式．
4．已知x的多项式2x3+x2−12x+k 因式分解后有一个因式(2x+1)；
(1)求k的值； (2)将此多项式因式分解．
解答：(1)由题意x的多项式
2x3+x2−12x+k因式分解后有一个因式
(2x+1)，所以当2x+1 = 0即x =−
1 2
时，
有2x3+x2−12x+k = 0，即
2×(− 12)3+(− 12)2−12×(− )+12k = 0，解
A．被8整除
B．被m整除
C．被(m−1)整除
D．被(2n−1)整除
说明：( 4m+5)2−9 = ( 4m+5+3)( 4m+5−3) =
( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．
8．将−3x2n−6xn分解因式，结果是( A)
A．−3xn(xn+2)
B．−3(x2n+2xn)
一、提取公因式法的应用
例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长 3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个 月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多 少米的拓宽任务？
分析：总共有 3300m的道路，第一个月完成了 34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完 成了3300×36%，
5.分解因式 ①-a(a-b)2+(b-a)2
②-a2(a-b)2+4(b-a)2
精选题
选择题：
1．若(2x)n−81 = (4x2+9)(2x+3)(2x−3)，那么n的
值是( B)
A．2 B． 4
C．6
D．8
值是(2．B(说2若x明))94x−：28−右11，2边x所y进+以行mn是整应两式为数乘4，和法答的后案平得为方16B式x．4，−8那1 么= m的
②某些实际问题，如果列出代数式中， 含有而且提取公因式后，另一因式 能够凑整，用提取公因式计算较简单．
课本第41页习题 第2题 第3题
= (3Cb．−a1)2；所以答案为C． D．−1
6．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N =
B 2xy，说则明M：与(−N1)的20大01+小(−关1)系200为0 =( (−1))2000[(−1)+1] = 0，
A所．以M答>N案为BB．．M≥N C．M≤N D．不能确定
( AM7说≥)．N明．对：于因任为何M整−N数=mx，2+多y2项−2式x(y4=m(+x−5)y2)−2≥90都，能所以
例5 在日常生活中如取款、上网等都 需要密码．有一种用“因式分解”法产生
的密码，方便记忆．原理是：如对于多项 式x4−y4，因式分解的结果是 (x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则 各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)wk.baidu.com18， (x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作 为一个六位数的密码．对于多项式 4x3y−xy3，取x = 10，y = 10时，用上述方 法产生的密码是：(写出一个即可)．
乘以它们的差公式分解的有( B )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
说明：能用两数和乘以它们的差公式因 式分解的有
−x2+y2 = y2-X2 =(y+x)(y−x); x2+(−y2) = X2-y2=(x+y)(x−y); (y−x)3+(x−y) =（y-x）3-（y-x） = (y−x)[(y−x)2−1] = (y−x)(y−x+1)(y−x−1)、 4x2−y2 =（2x）2−y2 =(2x+y)(2x−y)，共4个；答案为B．
b2y2 = 4y2，答案为B．
4．把(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2分解因式为( C)
A．( 3a−b)2
B．(3b+a)2
C．(3b−a)2
D．( 3a+b)2
B 说明5．：计(a算+b：)2(−−41()a2020−1b+2()−+14)(2a00−0b的)2结=果为( )
(a+Ab．)2−(−2(1a)+20b03)[2(a−b)]+[2(a−Bb)．]20= [a+b−2(a−b)]2
例4 达活泉公园有一块长为 51.2m的 正方形绿地，为了便于游人通行，决定修 两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m， 问剩余绿地的面积是多少？
解：51.22−(2×1.2×51.2−1.22) =51.22−2×1.2×51.2+1.22 =(51.2−1.2)2 =502
=2500 答：剩余绿地的面积为 2500m2
A．2y2 B．4y 2 C．±4y2
D．±16y2
3．说把明多：项因式为a49−x22−a12b22x+yb+4m因是式两分数解和的的结平果方为式( ， )
D A说所．明以a2：可(a先设2−运92xb用22−)完+1b2全4xy平+方m公= 式(aBx，．+ab(4ya−)222−，ab2则2b)22有+b4 =
分析：直接代入数值，U=IR1+ IR2 +IR3 =2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻 烦，不妨提取公因式
解：当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时 U=IR1 + IR2 + IR3 =2×12.9 + 2×18.5 + 2×18.6 =2×（12.9+18.5+18.6） =2×50=100
13.5因式分解的应用
姚栋祥 2008年11月4日
1．下列变形是因式分解的是( ) A．xy(x+y) = x2y+xy2 B．x2+2x+1 = x(x+2)+1 C．(a−b)(m−n) = (b−a)(n−m) D．ab−a−b+1 = (a−1)(b−1)
答案：D 说明：A是整式乘法，B不是乘
积的形式，C仅是符号变化，是恒等 变形；正确答案为D。
2．−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式是
( C) A．3y
B．3xz
C．−3xy
D．−3x
3．在多项式x2+y2，−x2+y2−x2−y2，
x2+(−y2)，8x2−y2，(y−x)3+(x−y)，
4x2−y2中，能在有理数范围内用两数和
解：依题意得 13.22−4×3.42=13.22−(2×3.4)2=13.22−6.82 =(13.2+6.8)(13.2−6.8)=20×6.4=128
因为130>128 所以购买130m2的草坪，够铺绿地．
例4 达活泉公园有一块长为 51.2m的 正方形绿地，为了便于游人通行，决定修 两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m， 问剩余绿地的面积是多少？
((==23（[))(7(aaxa2bn−b++x1+2b−)a2)1+−+442(xaabnx++）(b7xx)（−]na[−(a)1a2b(bn-+a为）b不)-小(a于+b1)的] 整数)
=(7axbn−+1 2•xb2+−7ax)na−(1b•2−x1+)7xn−1 = 7xn−1(x2−2x+1)
得k = −6；
4．已知x的多项式2x3+x2−12x+k 因式分解后有一个因式(2x+1)；
(1)求k的值； (2)将此多项式因式分解．
(2)当K = - 6时，则 2x3 + x2 - 12x - K =2X3 + X2 - 12X - 6 = (2X3+X2) -(12X+6) =X2 (2X+1)- 6(2X+1) =(2X+1)(X2-6)
例3 学校在一块边长为 13.2m的正方形场 地，准备在四个角落各建一个边长为 3.4m的 正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买
130m2的草坪，够不够铺绿地？
分析：原有的面积为13.22，四个正方形水池的 面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42， 如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差 公式分解因式，较简单
C(a9．2x−2(b−a21−)22b，x)4y再+m运=用a两2x数2+和2a的bx平Dy方+．b公(2ay式+2，b，)即2两(aa−数2b=分)29别，是
a22、ab−=b2−，12则，有b(2ay22−=b2m)2；=得(a到+ba)2=(a3−，b)b2，=在−2这；里，
注或意a因= 式−3分，解b 要= 分2；解此到时不b能2 =分4解，为因止此；，答m案=为D．
C．−3xn(x2+2)
D．3(−x2n−2xn)
9．下说列明变：形本中题，的是关正键确是的符因号式的分变解化的：是z−(x−Dy )
A．=0−.0(9xm+y2−−z4)9，n而2 =x−(y0+.0z≠3ym++z−7x)(，0同.03时m−7)
B．x−2−y1+0z≠=−x(y2−+9z−x1)=，(所x+以3)公(x因−3式)−为1
C．x+4−yx−2z．= (x2+x)(x2−x)
D．(x+a)2−(x−a)2 = 4ax
10．多项式(x+y−z)(x−y+z)−(y+z−x)(z−x−y)的公
因式是( )A
A．x+y−z
B．x−y+z
C．y+z−x
D．不存在
11．已知x为任意有理数，则多项式x−1−4x2的值
( B ABCD二分(1)．．．．)、 解=====(a一 不 一 可[((((解 因b(axxx+定 可 定 能答 式a−−−+b+x为 能 为 为aaa)题 ：x)2)))说)2−非负 为 正 正222(：([((a(明(xaaa−即正数正数数a−2−+x++：ab多数数或)xx2)2))xa)2−22项，负=]x−=4−2+1a4−−式正数(xx−ax4(2(1x4−xa确或−x]−xax−4−)2(答零2a1a4xxx−=)−案2))4a2−x≤)应(2021的，−该4值是x+为B4．x2)
两个月共完成了3300×34%+3300×36%，如果 直接运算的话，显然麻烦些，如果将 3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．
解：3300×34%+3300×36% =3300（34%×36%）=3300×70%=2310
答: 所以这两个月共完成 2310m拓宽任务．
例2 在电学公式：U=IR1+ IR2 +IR3，当 R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时，求 U的值
解：4x3y−xy3= x(4x2−y2)
= x(2x+y)(2x−y) 当x = 10，y = 10， 各因式的值是：x = 10，(2x+y) = 30， (2x−y) = 10
又因为这六个数字不考虑顺序， 所以产生的密码为103010；101030； 301010
①由实际问题列出的代数式满足 完全平方公式的结构特点，且写成两 个数和或两个数的差的平方又容易计 算，通常应用完全平方公式．
4．已知x的多项式2x3+x2−12x+k 因式分解后有一个因式(2x+1)；
(1)求k的值； (2)将此多项式因式分解．
解答：(1)由题意x的多项式
2x3+x2−12x+k因式分解后有一个因式
(2x+1)，所以当2x+1 = 0即x =−
1 2
时，
有2x3+x2−12x+k = 0，即
2×(− 12)3+(− 12)2−12×(− )+12k = 0，解
A．被8整除
B．被m整除
C．被(m−1)整除
D．被(2n−1)整除
说明：( 4m+5)2−9 = ( 4m+5+3)( 4m+5−3) =
( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．
8．将−3x2n−6xn分解因式，结果是( A)
A．−3xn(xn+2)
B．−3(x2n+2xn)