二 重 积 分

二、 二重积分的性质
证因为f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在闭区域D上一 定存在最大值M和最小值m，有积分估值性可得
二、 二重积分的性质
二重积分的中值定理的几何意义： 在区域D上，以曲面f(x,y)为顶的曲顶柱 体的体积等于以区域D上某一点(ξ,η)的 函数值f(ξ,η)为高的平顶柱体的体积.
二、 二重积分的性质
性质1
常数因子可提到积分号外面
二、 二重积分的性质
性质2
函数和(差)的积分等于各积分 的和(差)，即
二、 二重积分的性质
性质3
(积分区域的可加性)如果积分区域D被一曲线 分成D1,D2两个区域，如图9-4所示，则
图 9-4
二、 二重积分的性质
性质4
(比较性质)如果在区域D 则
一、二重积分的概念
定义1
z=f(x,y)
D上的有界函数，
将D任意分成n个小区域
Δσ1,Δσ2,Δσ3,…,Δσn. 在每个小区域Δσi内任取一点(ξi,ηi)(i=1,2,…,n)，作 和式
(9-1)
一、二重积分的概念
当n无限增大，各小区域中的最大直径λ→0 时，不论区域D如何分割，也不论(ξi,ηi)如何选取， 如果和式(9-1)的极限存在，则称此极限为二元函 数z=f(x,y)在区域D上的二重积分，记作
f(x,y)≤g(x,y)，
二、 二重积分的性质
性质5
如果在区域D上有f(x,y)≡1，A是D 的面积，则
二、 二重积分的性质
性质6
(估值性质)设M与m分别是z=f(x,y) 在区域D上的最大值与最小值，A是D的 面积，则
二、 二重积分的性质
性质1
(二重积分的中值定理)如果函数f(x,y)在 闭区域D上连续，A是D的面积，则在D内至 少存在一点(ξ,η)使得
一、二重积分的概念
一、二重积分的概念
注
①和式(9-1)的极限存在时，称f(x,y)在区域D上是可 积的.可以证明，如果函数f(x,y)在区域D上连续，则f(x,y) 在区域D上一定是可积的.
②如果f(x,y)在区域D上是可积的，则和式(9-1)的极 限存在，且与D的分法和点(ξi,ηi)的选取及积分变量用什么 字母表示无关，其值只取决于被积函数和积分区域.
一、二重积分的概念
分析
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式
质量=
来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求.这时仍
可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列几个步骤：
(1)分割.将D分成n
Δσ1,Δσ2,…,Δσn(小区域的面积也用
这些符号表示)，第i个小块的质量记为ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的
一、二重积分的概念
(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直径(一 个闭区域的直径是指区域上任意两点距离 的最大值)，当λi很小时，由于f(x,y)连续， f(x,y)在同一小闭区域内变化很小，因此 可将小曲顶柱体近似看作小平顶柱体，于 是可用平顶柱体的体积公式来计算.在每个 Δσi中任取一点(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)为高而底 为Δσi的小曲顶柱体(见图9-2)的体积为
ΔVi≈f(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).
图 9-2
一、二重积分的概念
(3)求和.这个曲顶柱体体积
(4)取极限.设λ= maxλ1,λ2,…,λn，当λ→0时 取上述和的极限，所得的极限便为曲顶柱体的体积 V，即
一、二重积分的概念
引列2
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区 域D,它的面密度为D上的连续函数ρ(x,y), 这里ρ(x,y)>0.计算该薄片的质量M.
一、二重积分的概念
因此，在直角坐标系下，常用平行于x轴和y轴的两 组直线分割D，于是小区域的面积为
Δσi=ΔxjΔyk(i,j,k=1,2,…,n) . 在直角坐标系中，面积微元记为dσ=dxdy.所以， 在直角坐标系中，二重积分可记为
一、二重积分的概念
当被积函数z=f(x,y)≤0时，曲顶柱体在 xOy面下方，因f(xi,yi)≤0，而
一、二重积分的概念
(3)求和.平面薄片的质量
(4)取极限.设λ=maxλ1,λ2,…,λn，当λ→0时取上述和的极限， 所得的极限便为平面薄片的质量M，即
上面两个实例的实际意义虽然不同，但解决问题的方法具 有共性，最后都归结为同一形式的和的极限，把这种和式的极 限抽象为二元函数在平面闭区域D上二重积分的定义.
二、 二重积分的性质
【例1】
二、 二重积分的性质
二、 二重积分的性质
【例2】
二、 二重积分的性质
【例3】
二、 二重积分的性质
谢谢聆听
当被积函数z=f(x,y)≥0时，二重积分表 示曲顶柱体的体积，即
一、二重积分的概念
取极限后依然小于或等于0，即 故此时二重积分表示曲顶柱体体积的相 反数，即
一、二重积分的概念
二、 二重积分的性质
二重积分与定积分具有相似 的性质.下面假定f(x,y)在区域D上 可积.这些性质均可通过定义得到 证明，请读者自己练习.
质量
一、二重积分的概念
(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直 径，当λi很小时，由于ρ(x,y)连续， ρ(x,y)在同一小闭区域内变化很小， 因此这些小块就可以近似地看作均匀 分布的.在每个Δσi中任取一点 (ξi,ηi)(见图9-3),则
ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).
图 9ຫໍສະໝຸດ Baidu3
二重积分
一、二重积分的概念
引例1设f(x,y)为定义在 闭区域D上的非负连续函数. 以曲面z=f(x,y)为顶，D为底 的柱体称为曲顶柱体(见图91).下面讨论如何计算曲顶柱 体的体积.
图 9-1
一、二重积分的概念
分析
若函数z=f(x,y)=常数，则上述曲顶柱体变为平顶柱体，它的体 积可用公式
体积= 来计算.现在曲顶柱体的高是变化的，故不能用上述公式来求体积. 回忆一下，求曲边梯形面积的方法，这里可采用类似的方法来求曲顶 柱体的体积，分为下列几个步骤： (1)分割.将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn(小区域的面积也用 这些符号表示)，相应地把曲顶柱体分割成n个以Δσi为底的小曲顶柱 体，每个小曲顶柱体的体积记为ΔVi(i=1,2,…,n)，则曲顶柱体的体积