教学大纲_优化方法

《优化方法》教学大纲课程编号：课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课☑专业选修课□学科基础课总学时：48讲课学时：32实验（上机）学时：16学分：3适用对象：数学与应用数学(金融数学)（专业名称）先修课程：数学分析、高等代数、概率论、数理统计一、教学目标本课程为统计学院金融数学本科专业的专业必修课。

设置本课程的目的是使学生掌握优化的基本思想与理论、数学模型及其相应方法，掌握优化方法所要解决的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案，能用若干定量分析的优化方法来帮助决策者选择最优决策。

因此，开设优化方法课程的目的是使学生能够运用最优化理论与方法把实际问题构建成数学模型，选择适当的优化方法，求出最优解全过程的训练，提高学生分析和解决实际问题的能力，也为进一步学习后续课程打下坚实的基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容讲授要求本课程主要内容包括：（1）线性规划：线性规划初步、线性规划的对偶理论与灵敏度分析；（2）整数线性规划：整数线性规划问题、割平面法与分枝定界法；（3）非线性规划：非线性规划基本理论、最优化方法；（4）动态规划：最优化原理、多阶段决策；（5）图与网格分析：图与网络的基本知识、最大流与最小费用流问题以及二分图；（6）决策分析：决策分析基本理论、决策过程。

其中（1）、（2）、（4）、（5）四部分内容为本课程的重点，需要细讲精讲，这四部分内容涉及到较多概念与具体优化方法，讲授过程中需通过大量的例题讲解练习，使学生充分理解并掌握各种概念与方法的相关性和差异性，能够熟练地运用这些概念与方法解决实际问题。

（3）、（6）两部分内容为非线性规划理论及其方法以及在决策分析中的应用等，目的在于训练学生对所学知识的综合应用能力，其中非线性规划当中的若干优化方法等内容可根据教学进度和学生掌握情况进行选讲。

对偶理论与灵敏度分析、分枝定界法、最小生成树与最小费用最大流问题为本课程的难点，主要也是通过例题讲解方式进行讲授，在讲解过程中，需要结合图示法与计算机实际操作演算更好地帮助学生理解相应方法。

（二）教学方法和教学手段本课程教学目标为通过本课程的学习，使学生能够运用最优化理论与方法把实际问题构建成数学模型，选择适当的优化方法，能用若干定量分析的优化方法来帮助决策者选择最优决策。

根据该目标的特征，主要采用演绎法进行知识讲解，用归纳法系统化知识点。

首先根据实际问题背景引出需掌握的基本概念，通过例题讲解与计算机实际操作演示具体方法，然后要求学生自行分析类似的问题，通过计算机实际操作进一步强化对具体方法的理解，最后通过做习题与上机实际操作训练掌握所学理论与相应方法。

所用到的教学手段主要为课堂多媒体教学与计算机实际操作演示相结合。

（三）实践教学环节要求要求学生掌握应用数学模型分析和解决问题的基本理论和主要优化方法，培养和提高学生的建立数学模型和分析计算的综合能力，要求学生上机多操作实践，培养应用数学软件解决实际问题的实践能力，加强理解优化方法在解决具体实际问题中所起到的重要作用。

要求学生独立思考，独立作业，合作讨论案例。

（四）课后作业及学生自学要求教师可根据所授知识点的多少及相关性自行安排课后作业的布置，既可以从教材中选择相应的习题作为作业，并对具体方法要求学生上机实际操作实践，也可以另外给出习题作为作业。

对于课堂中未讲授的部分知识，分两种情况，一种是知识点比较简单，学生通过自学可以掌握的，教师为节约课时要求学生自学，学生需通过自学达到教学大纲对该知识点的要求。

另一种是超过本课程教学大纲知识点要求范围的，学生可根据兴趣自行学习，对掌握程度不作要求。

（五）该课程促进了毕业要求的实现该课程是一门应用非常广泛的课程，它阐述了把科学的方法、技术和工具应用到包括金融实务在内的各种问题上，以便为决策者提供最佳的解决问题的方法。

通过该课程教学，培养学生具备综合运用各种数据分析工具解决包括金融实务在内的各种实际问题的能力；培养具备定量分析的能力，从而进一步提升学生在金融风险评估与管理中的能力以及在金融机构从事金融实务工作的能力。

该课程在经济、金融、工业、农业、政府部门和其他方面都有重要的应用，从而促进了毕业要求的实现。

（六）教学过程中应注意的其他问题无三、各教学环节学时分配以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：教学课时分配四、教学内容第一章线性规划第一节线性规划初步1.线性规划模型2.线性规划问题的图解法3.线性规划的基本概念和基本定理4.单纯形法第二节线性规划的对偶理论与灵敏度分析1.对偶线性规划2.对偶理论3.对偶单纯形法4.灵敏度分析教学重点、难点：本章的重点是线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶性及对偶单纯形法；难点是基本可行解及线性规划基本定理，两阶段法，对偶性，灵敏度分析及应用。

课程的考核要求：了解：线性规划模型与基本性质理解：基、基解，基可行解的概念，单纯形法的理论基础以及单纯形表的构造。

掌握：线性规划问题的标准化方法，求解对偶问题的方法，灵敏度分析方法。

应用：用单纯形法求解线性规划问题，并用其分析一些实际问题。

复习思考题：1. 某线性规划问题的约束条件是123124224360,1,2,3,4j x x x x x x x j ⎧-++=⎪++=⎨⎪≥=⎩问变量24,x x 所对应的列向量24,A A 是否构成可行基？若是，写出,B N , 并求出B 所对应的基本可行解.2. 用单纯形法求解线性规划问题：1231231243min 22..4360,1,2,3,4j z x x x x x x s t x x x x j =++⎧⎪-++=⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩3. 把线性规划问题13121232123min 2..53,,0x x x x s t x x x x x +⎧⎪+≤⎪⎨+=⎪⎪≥⎩记为P,(1) 用单纯形方法解P; (2) 写出P 的对偶D.第二章 整数线性规划 第一节 整数线性规划问题1. 问题举例2. 解整数线性规划问题的困难性 第二节 割平面法与分枝定界法1. 基本思想2. 计算步骤教学重点、难点：本章的重点是整数规划的模型，分枝定界法的基本原理；难点是分枝定界法、割平面法。

课程的考核要求：了解：整数线性规划模型背景 理解：整数规划的割平面法掌握：建立整数规划模型的方法，分枝定界法 应用：应用0-1变量建立数学模型 复习思考题：1. 给定ILP 问题如下121212125min 28..4,0z x x x x s t x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩且12,x x 为整数，(1) 用图解法求出该ILP 问题的所有可行解及最优解与最优值. (2) 用割平面算法求解. 2． 用分枝定界法解ILP 问题：1212121232max 2314..29,0z x x x x s t x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且12,x x 为整数.第三章 非线性规划 第一节 非线性规划基本理论1. 基本概念2. 凸函数和凸规划3. 一维搜索方法第二节 最优化方法1. 无约束最优化方法2. 约束最优化方法教学重点、难点：本章的重点是非线性规划的基本概念和基本原理，无约束与约束最优化方法-最速下降法、共轭方向法、简约梯度法、惩罚函数法的建立；难点是最速下降法、共轭方向法、简约梯度法、惩罚函数法的理解与建立。

课程的考核要求：了解：非线性规划的基本概念 理解：非线性规划的基本理论掌握：无约束与约束最优化方法-最速下降法、共轭方向法、简约梯度法、惩罚函数法。

应用：上述理论知识与具体算法应用到实际背景问题中，培养和提高学生建立数学模型的综合能力和解决一些简单实际问题的实践能力。

复习思考题：1. 用最速下降法求解，要求迭代进行三轮：22121122min 46222,x x x x x x +--- 取初始点0(1,1)T x =.2. 用F-R 法求解222121min(1)2()x x x -+-取初始点06(0,0),10.T x ε-== 3. 用Wolfe 法求解以下问题22121212121212(,)22246min 2..550,1,2j f x x x x x x x x x x s tx x x j =+---⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥=⎩取初始可行点06(0,0),10.T x ε-==第四章 动态规划 第一节 最优化原理1. 多阶段决策问题2. 最优化原理 第二节 多阶段决策1. 多阶段决策过程的基本方法与原理2. 基本思想和基本方程3. 顺序解法和逆序解法教学重点、难点：本章的重点是动态规划的基本概念和基本原理；难点是多阶段决策问题，动态规划模型的建立与求解方法。

课程的考核要求： 了解：动态规划的基本概念 理解：动态规划的基本理论掌握：动态规划模型的建立与求解方法，顺序解法和逆序解法。

应用：应用动态规划模型到最短路线、资源分配、生产计划、货物存储、设备更新与系统可靠性问题等当中。

复习思考题：1. 某单位有资源100单位，拟分4个周期使用，在每个周期有生产任务A,B ，把资源用于A 生产任务，每单位能获利10元，资源回收率为23.把资源用于B 生产任务，每单位能获利7元，资源回收率为910.问每个周期应如何分配资源，使总收益最大？ 2. 用动态规划方法解下列非线性规划问题2123123max 492..24310,0,1,2,3i z x x x s t x x x x i =++⎧⎪++≤⎨⎪≥=⎩第五章 图与网格分析 第一节 图与网络的基本知识1. 图与子图2. 图的连通与割集3. 树与支撑树4. 最小树5. 最短有向图第二节 最大流与最小费用流问题以及二分图1．最大流 2．最小费用流 3．最大对集教学重点、难点：本章的重点是几个网络模型的特征，一些求解网络问题的算法，最小生成树问题，最短路问题，最小费用最大流问题；难点是建立数学模型的基本方法，一些求解网络问题的算法。

课程的考核要求： 了解：图与网络的基本知识理解：图、子图的基本概念，树、二叉树概念，最大流－最小割定理。

掌握：图的矩阵表示，求最小树的Kruskal 算法与求最短路的Dijkstra 算法。

应用：上述理论知识应用到实际背景问题中，培养和提高学生建立数学模型的综合能力和解决一些简单实际问题的实践能力。

复习思考题：1. 证明：若图G 的点次的最小值2≥，则G 有一条回路.2. 设G 连通，且e 为G 的一条边，证明：(a)当且仅当e 是G 的割边时，e 才在G 的每个支撑树中. (b)当且仅当e 是G 的圈时，e 才位于G 的非支撑树部分. 3. 证明二分图(,)G N E =有完美对集当且仅当对每一个S N ⊆,都有()S S Γ≥第六章决策分析第一节决策分析基本理论1．基本概念2．决策模型构成要素3．决策的数学模型第二节决策过程1.确定性决策分析2.风险型决策分析3.不确定型决策分析4.效用函数和信息的价值教学重点、难点：本章的重点是风险决策方法，不确定型决策方法，效用理论，决策分析的基本概念，多目标决策分析法；难点是多目标决策分析法，决策树法。