2019-2020年高考数学小题高分突破6数列

2019-2020年高考数学小题高分突破 6数列
1 .已知｛a n ｝为等比数列，数列｛b n ｝满足b l =
2 , b 2 = 5，且a n (b n + 1 — b n ) = a n + 1,则数列｛b n ｝的 前n 项和为( )
A . 3n + 1 3n 2+n C.- 答案 C 解析
b
1 = 2, b 2= 5,且 a n (b n + 1 — b n )= a n + 1 ,
二 a 1(b 2— b 1)= a 2,即卩 a 2= 3a 1, 又数列｛a n ｝为等比数列，
•数列｛ a n ｝的公比q = 3，且a n M 0, 二数列｛b n ｝是首项为2，公差为3的等差数列，
2 •数列｛ b n ｝的前 n 项和为 S n = 2n + “ ； 1 X 3= 3n
.
2 .设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 2= 3, S 4 = 15,则S 6等于( )
A . 27
B . 31
C . 63
D . 75 答案 C
解析 由题意得S 2, S 4— S 2, S 6— S 4成等比数列， 所以3,12, S 6— 15成等比数列， 所以 122= 3X (S 6— 15)，解得 S 6= 63.
3. 设S n 是公差不为0的等差数列｛a n ｝的前n 项和，S 3= a 2,且S, S 2, S 4成等比数列，则 a 10 等于()
A . 15
B . 19
C . 21
D . 30 答案 B
解析 设等差数列｛a n ｝的公差为d , 因为 S 3 = a 2,所以 3a 2 = a 2, 解得a 2 = 0或a 2= 3,
又因为S 1, S 2, S 4构成等比数列， 所以S 2 = SS ,
所以(2a 2— d)2= (a 2— d)(4a 2+ 2d), 若 a 2= 0,则 d 2=— 2d 2,
B . 3n — 1 3n 2 —
a n +1 …b
n + 1 — b n = = 3
, a n
此时d = 0,不符合题意，舍去，
当 a 2= 3 时，可得(6 - d)2= (3 - d)(12 + 2d), 解得d = 2(d = 0舍去)，
所以 a io = a 2+ 8d = 3+ 8X 2 = 19. 4. 在等差数列｛a n ｝中，若一< —1,且它的前n 项和S n 有最小值，则当
S n >0时，n 的最小值 a 8
为()
A . 14
B . 15
C . 16
D . 17 答案 C
解析•••数列｛a n ｝是等差数列，它的前 n 项和S n 有最小值， ••• d>0, a 1<o , ｛a n ｝为递增数列.
•- a 8 a 9<0 , a 8 + a 9>0,
由等差数列的性质知， 2a 8 = a 1 + a 15<0, a 8+ a 9= a 1+ a 16>0. n a 1+ a n
-S n =
2 ,
•••当s>0时，n 的最小值为16. 5.
若S n 为数列｛a n ｝的前n 项
和，且S n = 2a n -2,则S 8等于( )
A . 255
B . 256
C . 510
D . 511 答案 C
解析 当n = 1时，a 1 = S 1 = 2a 1-2,据此可得a 1= 2, 当 n 》2 时，S n = 2a n -2, 3-1 = 2a n -1- 2, 两式作差可得 a n = 2a n — 2a n -1，贝y a n = 2a n -
1 , 据此可得数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数
列，
6.
已
知数列｛a n ｝中 a 1 = 1, a 2= 2,且 a n +2- a n = 2-2 (- 1)n , n € N ，贝V S 2 017 的值为( )
解析由递推公式，可得
当n 为奇数时，a n + 2- a n = 4，数列｛a n ｝的奇数项是首项为 1,公差为4的等差数列, 当n 为偶数时，
a n + 2- a n = 0，数列｛a n ｝的偶数项是首项为 2,公差为0的等差数列, S 2 017= (a 1 + a 3+ …+ a 2 017) + (a 2 + a 4 + …+ a 2 016)
a 9
< a 8 -1, 其前8项和为S 8 =
2 X (
1 - 28) 1- 2
=29
- 2 = 512- 2= 510. A . 2 016 X 1 010- 1 B . 1 009 X 2 017 C . 2 017 X 1 010- 1 答案 C
D . 1 009 X 2 016
1
=1 009 + — X 1 009 X 1 008 X 4+ 1 008 X 2 2
=2 017X 1 010- 1.
答案 A
所以 a 1 = 0, a 2=— •. 3, a 3=”・J 3, a 4 = 0, a 5=— ■ 3, a 6=\,'3, 故此数列的周期为 3.
所以 a 56 = a 18x 3+ 2= a 2= — -』3.
8•《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南 山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸
①
，头圈一尺三②.逐节多三分
③
，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈•爬到竹子顶，行程是多远？”
（注释：①第一节
的高度为0.5尺；②第一圈的周长为 1.3尺；③每节比其下面的一节多 0.03尺；④每圈周长 比其下面的一圈少 0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是 （ ）
A . 72.705 尺
B . 61.395 尺
C . 61.905 尺
D . 73.995 尺
答案 B
解析 因为每竹节间的长相差 0.03尺， 设从地面往上，每节竹长为
a 1, a 2, a 3,…,a 3o ,
所以｛a n ｝是以a 1= 0.5为首项，以d 1 = 0.03为公差的等差数列, 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少
0.013尺，
设从地面往上，每节圈长为
b 1, b 2, b 3,…，b 30,
由｛b n ｝是以b 1 = 1.3为首项，d = — 0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是
9.已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， S n 是其前n 项和，若S 2+ a 2= S 3— 3,贝U a 4 + 3a 2的最小值为（
）
A . 12
B . 9
C . 6
D . 18 答案 D
解析因为S 3 — S 2= a 3,
7.已知数列｛a n ｝满足a 1 = 0, a n + 1 =
（n € N *），贝U a 56 等于（
A . — ■] 3
B . 0 C. 3
D. "2-
解析 因为
a n 一 寸3
an +
门
(n
C N
S 30= 30 X 0.5 + 30 X 29 2 X 0.03 + 30 X 1.3 + 30 X
29
2 X — 0.01
3 =61.395. 窮 3a n + 1
所以由S2+ a2= S3—3，得a3—a2= 3,
3
设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a i = —-,
q q—1
由于｛a n｝的各项为正数，所以q>1.
a4+ 3a2= a i q3+ 3a i q
3
=aiq(q2+ 3)=^——7 q(q2+3)
当且仅当q—1= 2,
即q = 3时，a4+ 3a2取得最小值18.
10 •已知数列｛a n｝的通项公式为a n= 2n(n € N*)，数列｛b n｝的通项公式为b n= 3n—1,记它们的公共项由小到大排成的数列为｛cn｝，令xn=抚;，则的取值范围为()
B • (1, e)
3
D. 2，e
答案C
解析由题意知，｛a n｝, ｛b n｝的共同项为2,8,32,128，…，故c n= 22n—1
C n
Xn= 1 + C n，
1 1
得x n=1+c n，
则当n》2时，-=丄>1
F n—1 X n '
故数列｛F n｝是递增数列,
•— > 3
X1 …X n—1X n 2
■/ 当x>0 时，ln(1 + x)<x，
•'•In 1 + 1<-L，
C n C n
则ln 1 + 1 1+ 1…
1
1 + 一
C1C2C n
=ln
11
+ …+ In
1 1+ + In 1 +一 1 + 一C1C2C n
A • [1,2)
3
c. ,e
2
X1 …X n—1X n
1
1+ 一
C1
1
1+ •-
C2
1
1+ .
C n
令F n =
1
X1 …X n —
X
1 1 1 <_ + +••• + _ C 1 C
2 C n
1
1— 2 n
2 i 22 1 __ 1 —
1
1 n
2
=1 —
1
1+2
3
••当n = 1
时，
S 取最大值；
2 当n = 2时，S n 取最小值-. 4
要使S + 2< M 对任意的n € N *恒成立.
S n
1 2 < 1 1 - 1 2 3,
1 二 1 + - C 1 1
1 + •-
C 2
1 1 + 一
2
<e 3 4
, 故3 <
2 X 1 …X n —
1X n
2
1 < e 3，故选C. 11 .记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，满足 3 * 2
a 1 = 2, 2a n +1 + 3S n = 3(n € N )，若 S n + S 仝 M 对任意 的n € N *恒成立, 则实数M 的最小值为
答案 C 17 B.?
C.11 D . 4 解析由
— *
2a n +1+ 3S n = 3(n € N ),
得 2a n + 3Si T = 3, n 》2.
两式相减，可得2a n + 1 — 2a n + 3a n = 0 , 即叱
a n 1 1 = q.
•a 1= 2, 2a
2 + 3S 1 = 3, 即 2a 2+ 3a 1= 3,
3 •-a2= —
4， 冬_ 1 a 1 2’
••• an = 3
n — 1
3
则 S n = 2
2 41 S n +取得最大值彷，
S n 12 41 二 M >—,
12，
12 .对于任意实数 x ,符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3]= 3, [ — 1.2] = - 2, [1.2]= 1.已知数列｛a n ｝满足a n =[log 2n]，其前n 项和为S n ,若n o 是满足S n >2 018的最小整数，则 n o 的值为
（ ）
A . 305
B . 306
C . 315
D . 316 答案 D
解析由题意，a n = [log 2 n ], 当n = 1时，可得a 1= 0, （1项） 当 21< n<22 时，可得 a 2= a 3= 1, （2 项） 当 22w n<23 时，可得 a 4 = a 5=…=a 7 = 2, （4 项） 当 23< n<24 时，可得 a 8= a 9=…=a 15 = 3, （8 项）
当 24< n<25 时，可得 a 16= a 17=…=a 31= 4, （16 项） 当 2k w n<2k +
1 时，
可得 a 2k = a 2k +1=…=a 2k +1—1= k , （2k 项） 当 2k < n<2k +
1 时，
前 n 项和 S n = 1 x 21 + 2X 22+ - + k x 2k , 23= 1 x 22+ 2X 23+ …+ k x 2k +
1, 所以一S n = 2+ 22+
23+ …+ 2k — k x 2k +
1, 所以 S n = （k — 1） x 2k +
1 + 2.
由 S n >2 018，得 k >8. 当 k = 7 时，S n = 1 538<2 018;
当 k = 8 时，S n = 3 586>2 018, 所以取 k = 7,且 2 018— 1 538= 480, 所以 n =1
x 1 — 2
+ 4|° + 1
= 316.
1 —
2 8
13. ______________________ 已知等比数列｛a n ｝的前n 项和S n = 3n + r ，则a 3— r = 项是第k 项，则k = .
答案 19
4
解析等比数列前n 项和公式具有的特征为
•••实数M 的最小值为
41
12.
2
，数列n n + 4 3 n 的最大
S n = aq n — a ,据此可知，r =— 1,
则 S n = 3n — 1, a 3= S 3— S 2=(
33 — 1)— (32— 1)= 18, a 3— r = 19.
2
令 b n = n (n + 4)
3 n ,
且 b n >0,
2
n 2+ 6n + 5 2 3 • n 2+ 4n >1 可得 n <10
， ,b n +1 2 n 2+ 6n + 5 2 由斎=3 • n 2+ 4n <1 可得 n >10， 据此可得，数列中的项满足
b 1<b 2<b 3<b 4,
且 b 4>b 5>b 6>b 7>b 8> …，则 k = 4. 14.
已知等比数列｛a n ｝的首项是1,公比为3,等差数列｛b n ｝的首项是
一5,公差为1，把｛b n ｝ 中的各项按如下规则依次插入到 ｛a n ｝的每相邻两项之间，
构成新数列
｛c n ｝ : a 1, b 1, a 2, b 2,
b 3, a 3,b 4, b 5 ,b 6, a 4,…，即在a n 和a n +1两项之间依次插入 ｛b n ｝中n 个项，贝U 02 018= ____ .（用 数字作答） 答案 1 949
解析 由题意可得，a n = 3n —
1,
b n =— 5+ (n — 1) x 1 = n — 6,
由题意可得，数列｛ 0n ｝中的项为3°,— 5,31,— 4,— 3,32,— 2，— 1,0,33,…，3“时,
当n = 62时，63；64= 2 016,即此时共有2 016项，且第2 016项为362, …C 2 018= b 1 955 = 1 955 一 6= 1 949.
15. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,若 a 1 = 1, a 2 = 2, a 3n = 2n — 2a n , a 3n +1= a n + 1, a 3n +2 = a n — n ,贝y S 60 = ______ .(用数字作答) 答案 264
解析 因为 a 3n = 2n — 2a n , a 3n +1 = a n + 1 , a 3n + 2= a n — n , 所以 a 3n + a 3n +1+ a 3n +2= n +1 ,
因此 @3+ a 4 + a 5)+ (a 6 + a 7 + a 8)+ …+ (a 57+ a 58 + a 59)= 2 + 3+ …+ 20= 209, 因为 a 3n = 2n — 2a n , a 3n + 2= a n — n ,
所以 a 60 = a 3x
20= 2x 20 — 2a 2o , a 2o = a 3x
6+ 2= a 6— 6,
a 6= a 3x
2 = 2 x 2 — 2a 2= 0,
b n + 1 b n 2 n 2+ 6n + 5 3 n 2+ 4n
b n + 1 b n 数列｛0n ｝的项数为
1 + 2+ ••• + n + (n + 1)= n + 1 n + 2
2
所以a20 = —6, a60= 52 ,
综上，S 60 = 1 + 2+ 209+ 52= 264.
4 11 1
16 .数列｛ a n ｝满足a 1 = 4 a *+1 = a 2 — a n + 1(n € N *),则 —I ---- … ------- 的整数部分是 _________
3 a 1 a 2 a 2 017 答案 2
4
解析 因为 a 1 = 3, a n +1 = a n — a n + 1(n € N ), 所以 a n +
1一 a n = (a n 一 1)2>0,
所以a n +1>a n ，数列｛a n ｝单调递增, 所以 a n +
1— 1 = a n (a n — 1)>0 ,
1 1 1
所以_ =—— --
a n a n — 1 a n +1— 1
1 1
1
所以S *
=丄+丄+…+丄
a 1 a 2 a n
1 1 . 1 — +
a 1 — 1 a 2— 1 a 2— 1
1 一 1 a n — 1 a n +1 —
1
因为 a 1 = 3，所以 a 2= 3 2-3 + 1 =号，
所以 a 2 018>a 2017>a 2016>・・・>a 4>2,
1
所以 a 2 018 — 1>1，所以 0< <1,
a 2 018 — 1
1
所以 2<3— —<3,
a 2 018— 1 因此m 的整数部分是2.
3
根据对勾函数的性质，当 S n = 3时，
4
1 一 1
a 1 — 1 a n +1— 1
所以 m = S 2 017 = 3 —
1
a 2 018 —
1
所以
1 a n + 1— 1 1 a n a n — 1 1
a n — 1 丄
a n
1 a 3— 1
a 3=
13 2一 迫+ 1 =迪
9 9 +
81
a 4= 133 2
81
晋 +
1>2,。