2019-2020年高考数学小题高分突破6数列

2019-2020年高考数学小题高分突破 6数列

1 .已知｛a n ｝为等比数列，数列｛b n ｝满足b l =

2 , b 2 = 5，且a n (b n + 1 — b n ) = a n + 1,则数列｛b n ｝的 前n 项和为( )

A . 3n + 1 3n 2+n C.- 答案 C 解析

b

1 = 2, b 2= 5,且 a n (b n + 1 — b n )= a n + 1 ,

二 a 1(b 2— b 1)= a 2,即卩 a 2= 3a 1, 又数列｛a n ｝为等比数列，

•数列｛ a n ｝的公比q = 3，且a n M 0, 二数列｛b n ｝是首项为2，公差为3的等差数列，

2 •数列｛ b n ｝的前 n 项和为 S n = 2n + “ ； 1 X 3= 3n

.

2 .设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 2= 3, S 4 = 15,则S 6等于( )

A . 27

B . 31

C . 63

D . 75 答案 C

解析 由题意得S 2, S 4— S 2, S 6— S 4成等比数列， 所以3,12, S 6— 15成等比数列， 所以 122= 3X (S 6— 15)，解得 S 6= 63.

3. 设S n 是公差不为0的等差数列｛a n ｝的前n 项和，S 3= a 2,且S, S 2, S 4成等比数列，则 a 10 等于()

A . 15

B . 19

C . 21

D . 30 答案 B

解析 设等差数列｛a n ｝的公差为d , 因为 S 3 = a 2,所以 3a 2 = a 2, 解得a 2 = 0或a 2= 3,

又因为S 1, S 2, S 4构成等比数列， 所以S 2 = SS ,

所以(2a 2— d)2= (a 2— d)(4a 2+ 2d), 若 a 2= 0,则 d 2=— 2d 2,

B . 3n — 1 3n 2 —

a n +1 …b

n + 1 — b n = = 3

, a n

此时d = 0,不符合题意，舍去，

当 a 2= 3 时，可得(6 - d)2= (3 - d)(12 + 2d), 解得d = 2(d = 0舍去)，

所以 a io = a 2+ 8d = 3+ 8X 2 = 19. 4. 在等差数列｛a n ｝中，若一< —1,且它的前n 项和S n 有最小值，则当

S n >0时，n 的最小值 a 8

为()

A . 14

B . 15

C . 16

D . 17 答案 C

解析•••数列｛a n ｝是等差数列，它的前 n 项和S n 有最小值， ••• d>0, a 1

•- a 8 a 9<0 , a 8 + a 9>0,

由等差数列的性质知， 2a 8 = a 1 + a 15<0, a 8+ a 9= a 1+ a 16>0. n a 1+ a n

-S n =

2 ,

•••当s>0时，n 的最小值为16. 5.

若S n 为数列｛a n ｝的前n 项

和，且S n = 2a n -2,则S 8等于( )

A . 255

B . 256

C . 510

D . 511 答案 C

解析 当n = 1时，a 1 = S 1 = 2a 1-2,据此可得a 1= 2, 当 n 》2 时，S n = 2a n -2, 3-1 = 2a n -1- 2, 两式作差可得 a n = 2a n — 2a n -1，贝y a n = 2a n -

1 , 据此可得数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数

列，

6.

已

知数列｛a n ｝中 a 1 = 1, a 2= 2,且 a n +2- a n = 2-2 (- 1)n , n € N ，贝V S 2 017 的值为( )

解析由递推公式，可得

当n 为奇数时，a n + 2- a n = 4，数列｛a n ｝的奇数项是首项为 1,公差为4的等差数列, 当n 为偶数时，

a n + 2- a n = 0，数列｛a n ｝的偶数项是首项为 2,公差为0的等差数列, S 2 017= (a 1 + a 3+ …+ a 2 017) + (a 2 + a 4 + …+ a 2 016)

a 9

< a 8 -1, 其前8项和为S 8 =

2 X (

1 - 28) 1- 2

=29

- 2 = 512- 2= 510. A . 2 016 X 1 010- 1 B . 1 009 X 2 017 C . 2 017 X 1 010- 1 答案 C

D . 1 009 X 2 016

1

=1 009 + — X 1 009 X 1 008 X 4+ 1 008 X 2 2

=2 017X 1 010- 1.

答案 A

所以 a 1 = 0, a 2=— •. 3, a 3=”・J 3, a 4 = 0, a 5=— ■ 3, a 6=\,'3, 故此数列的周期为 3.

所以 a 56 = a 18x 3+ 2= a 2= — -』3.

8•《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南 山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸

①

，头圈一尺三②.逐节多三分

③

，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈•爬到竹子顶，行程是多远？”

（注释：①第一节

的高度为0.5尺；②第一圈的周长为 1.3尺；③每节比其下面的一节多 0.03尺；④每圈周长 比其下面的一圈少 0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是 （ ）

A . 72.705 尺

B . 61.395 尺

C . 61.905 尺

D . 73.995 尺

答案 B

解析 因为每竹节间的长相差 0.03尺， 设从地面往上，每节竹长为

a 1, a 2, a 3,…,a 3o ,

所以｛a n ｝是以a 1= 0.5为首项，以d 1 = 0.03为公差的等差数列, 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少

0.013尺，

设从地面往上，每节圈长为

b 1, b 2, b 3,…，b 30,

由｛b n ｝是以b 1 = 1.3为首项，d = — 0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是

9.已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， S n 是其前n 项和，若S 2+ a 2= S 3— 3,贝U a 4 + 3a 2的最小值为（

）

A . 12

B . 9

C . 6

D . 18 答案 D

解析因为S 3 — S 2= a 3,

7.已知数列｛a n ｝满足a 1 = 0, a n + 1 =

（n € N *），贝U a 56 等于（

A . — ■] 3

B . 0 C. 3

D. "2-

解析 因为

a n 一 寸3

an +

门

(n

C N

S 30= 30 X 0.5 + 30 X 29 2 X 0.03 + 30 X 1.3 + 30 X

29

2 X — 0.01

3 =61.395. 窮 3a n + 1