2015届高考数学一轮复习 课时跟踪检测12 函数模型及其应用 文 湘教版

课时跟踪检测(十二)函数模型及其应用第Ⅰ组：全员必做题
1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()
2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()
A．①B．①②C．①③D．①②③
4.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示
为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，
治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二
次服药最迟的时间应为()
A．上午10：00 B．中午12：00
C．下午4：00 D．下午6：00
5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是() A．7层B．8层C．9层D．10层
6.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满
缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．
7.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，
下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的
长、宽应分别为________．
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售
额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递
增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
9．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．
(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；
(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：
请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；
(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：
据此估计该地“节约用水家庭”的比例．
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2014·威海高三期末)对于函数f(x)，如果存在锐角θ，使得f(x)的图像绕坐标原点逆
时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f (x )具备角θ的旋转性，下列函数具备角π
4的
旋转性的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝ln x
C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x
D ．y ＝x 2
2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
2．选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 3．选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的1
2，所以0点到3点不出水，3点到
4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.
4．选C 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ， 把(4,320)代入，得k 1＝80，
∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .
把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧
4k 2＋b ＝320，
20k 2＋b ＝0.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
k 2＝－20，
b ＝400.∴y ＝400－20x .
∴y ＝f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.
由y ≥240，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧
4<x ≤20，
400－20x ≥240.
解得3≤x ≤4或4<x ≤8，
∴3≤x ≤8.
故第二次服药最迟应在当日下午4：00. 故选C.
5．选C 设所停的楼层为n 层，则2≤n ≤12，由题意得：S ＝2＋4＋…＋2(12－n )＋1＋2＋3＋…＋(n －2)＝
(12－n )(26－2n )2＋(n －2)[1＋(n －2)]2＝32n 2－53
2
n ＋157，其对称轴为n
＝53
6
∈(8,9)，又n ∈N *且n 离9的距离较近，故选C. 6．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H
2附近时，
体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H
2
时，增加越来越慢．
答案：②
7．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.
答案：30 cm,20 cm
8．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有
3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－11
5(舍去)，
故1＋x %≥6
5，解得x ≥20.
答案：20
9．解：(1)y 关于x 的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.
(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6； 当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12； 当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 1
12
(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．
(3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5，
所以“节约用水家庭”的频率为77
100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为
77%.
第Ⅱ组：重点选做题
1．选C 函数f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角π
4，相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺
时针旋转角π
4，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f (x )的图像不能有两个交点，结合图像可知y
＝⎝⎛⎭⎫12x 与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C.
2．解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .
故y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．
当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝
－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．
答案：y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.
(x ∈N *) 16。