线性离散系统的状态空间描述

对上述差分方程模型两端取z变换并加以整理可得脉冲传递函 数(z域传递函数) G(z)uy((zz))bz0n zna1 bz1zn n11.... .a.bnn
上述描述的离散系统输入输出差分方程、传递函数分别与连 续系统的输入输出微分方程、传递函数在形式上相同。
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线性离散系统的空间描述(3/5)
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i
E
A/D
i
A/D
控
制
D/A 驱动器
器
o
E
o
工程控制系统的计算机实现
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• 计算机控制伺服系统由计算机
– 通过模拟量输入通道(A/D)采集被控对象的状态,与给定值 的数字量比较,获得误差,
– 然后经控制器的算法程序进行信息加工,作出相应的控制 和处理决策,形成控制信息,
– 通过模拟量输出通道(D/A),转变成被控对象可以接受的模 拟信号,通过驱动器带动系统跟踪输入变化。
2020/3/村20 人口的分布的状态变量方程为
离散时间系统的机理建模(4/8)
x 1 ( k 1 ) 1 . 0 ( 1 1 0 . 0 ) x 1 ( k ) 2 1 . 0 0 . 0 1 x 2 ( k ) 4 1 . 0 5 1 1 4 u ( k ) 0 x 2 ( k 1 ) 1 . 0 0 . 0 1 x 1 ( k ) 2 1 . 0 ( 1 1 0 . 0 ) x 2 ( k 4 ) 1 . 0 5 1 1 4 u ( k ) 0
• 对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和位 置,如速度伺服系统、位置伺服系统。
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工程控制系统的计算机实现 (2/9)
• 下面就以伺服系统为例来介绍其在计算机系 统中的一般实现。
• 利用计算机代替常规的模拟控制器,而使它成 为控制系统的一个组成部分,我们把这种有计 算机参加控制的系统简称为计算机控制系统 。
其中k=0,1,2,.... – 建立输出变量方程。反映全国人口变化态势的
输出变量方程为
y(k)=x1(k)+x2(k)
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离散时间系统的机理建模(5/8)
– 导出向量方程形式的状态空间描述。
• 将方程表为向量方程形式的描述,就得到人口分布问 题的状态方程和输出方程: x x 1 2 ( (k k 1 1 ) ) 0 0 ..0 9 2 8 0 9 2 80 0 ..9 0 6 4 9 0 6 4 x x 1 2 ( (k k ) ) 5 5 .0 .0 5 5 1 1 0 0 4 4 u (k )
Ch.2 控制系统的状态空间 模型
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目录(1/1)
目录
• 概述 • 2.1 状态和状态空间模型 • 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 • 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间
模型 • 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 • 2.5 传递函数阵 • 2.6 2020/3/20 线性离散系统的状态空间描述
• 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动 态变化。
–输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻 时,系统输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间 的关系。
• 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
–线性离散系统状态空间模型中的各矩阵的意义与 连续系统一致。
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线性离散系统的状态空间描述
因此,计算机控制伺服系统由计算机、模拟量输入通道、模拟 量输出通道以及被控对象组成。
i
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E
A/D
i
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控
制
D/A 驱动器
器
E
o
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工程控制系统的计算机实现
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• 计算机控制伺服系统的被控对象一般为运动部件。
– 为系统安全起见,常要求系统启动工作时,计算机与被控对 象间“握一次手”——互相访问一下,都准备就绪了才开 始工作。
模型和相应的结构图,以及传递函数模型可以
看出,线性连续系统和线性离散系统在模型结
构上极为相似,这种线性相连似续系性统可以总线结性离如散下系统表所
示: 状态方程
微分方程
前向差分方程
结构图中算子
积分
单位延迟(反向差分)
动态模型中算子 拉氏变换s算子
z变换z算子
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还有其他对 应关系?
离散时间系统的机理建模(1/8)
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线性离散系统的状态空间描述 (6/5)
• 与线性定常离散系统类似,对于线性时变离散 系统,其状态空间模型可记为
x(k1)G(k)x(k)H(k)u(k) y(k)C(k)x(k)D(k)u(k)
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线性离散系统的状态空间描述
(7/5)
• 从线性连续系统和线性离散系统的状态空间
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图2-18位置伺服系统
工程控制系统的计算机实现
(4/9)
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A/D
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A/D
控
制
D/A
驱动器
器
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图2-19计算机控制伺服系统
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工程控制系统的计算机实现
(5/9)
– 由于计算机输入输出只能是数字信号,所以要加入A/D (Analog to Digital Converter,模拟量-数字量转换)和D/A (Digital to Analog Converter, 数字量-模拟量转换)环节。
• 设x1(k)和x2(k)为第年的城市人口和乡村人口; • u(k)为第年所采取的激励性政策控制手段; • y(k)为第年的全国人口数。
– 选取变量。考虑到问题中城市人口x1和乡村人口 x2的极大线性无关性,可取城市人口x1和乡村人口 x2为状态变量。
– 建立状态变量方程。基于问题给出的参量,即第 k+1年相比于第k年的人口迁移、自然增长和政策 控制等关系,可以定出反映第k+1年城市人口和乡
量和m维的输出向量; ➢ G(T)、H(T)、C(T)和D(T)分别为nn维的系统矩阵、nr 维的输入矩阵、mn维的输出矩阵和mr维的直联矩阵。
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线性离散系统的空间描述(4/5)
• 离散系统状态空间模型的意义:
–状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T 采样时刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状 态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。
• 对被控参数的瞬时值进行检测、转换并输入到计算机 中;
– 实时决策
• 对采集到的表征被控参数的状态变量进行分析,并按已 给的控制规律进行计算,决定进一步的控制策略;
– 实时控制
• 根据决策的结果,适时地对控制机构发出控制信号。
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工程控制系统的计算机实现 (9/9)
• 计算机控制伺服系统就是不断重复上面三个 步骤,控制整个系统按一定的品质指标进行工 作,并对系统的异常状态进行监视和处理。
– 控制过程的三个步骤对计算机来说实际上只是执 行算术、逻辑运算和输入、输出操作的过程。
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线性离散系统的空间描述(1/5)
2.6.2 线性离散系统的状态空间描述
• 在经典控制理论中,离散系统通常用差分方程 或脉冲传递函数来描述。
– SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为
y(k+n)+a1y(k+n1)+…+any(k)=b0u(k+n)+…+bnu(k)
• 事实上,大量的连续系统通常被通过采样化为时间离 散化系统,再来进行分析和控制。
–离散系统成为控制理论与控制工程中重要的一类 系统模型。 2020/3/20
线性离散系统的状态空间描述 (2/3)
• 状态空间分析方法是能全面描述和分析动态 系统的一种动力学分析与综合的主要方法,其 也适应于离散系统的动力学分析与综合。
– 人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为 1%。
– 激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措 施可激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负 控制措施会导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制 2020/3/20
离散时间系统的机理建模(3/8)
•解
– 符号和约定。记k为离散时间变量,取k=0代表 2019年。
线性离散系统的状态空间描述
(1/3)
2.6 线性离散系统的状态空间描述
• 随着数字计算机在系统控制中的广泛应用,离 散时间系统(简称为离散系统)日益显示出其 重要性。
–和连续系统不同,离散系统中各部分的信号不再都 是时间变量t的连续函数。
• 在系统的一处或多处,其信号呈现断续式的脉冲串或 数码的形式。
2.6.3 离散时间系统的机理建模
• 与连续时间系统的通过系统机理来建立状态 空间模型方法一样,对已掌握系统机理的离散 时间系统也可以通过机理分析建立状态空间 模型。
– 人口分布问题是一个典型的社会系统。通过对人 口分布问题建立状态空间描述模型,可以分析和预 测人口分布的发展态势。
– 下面讨论一个经过适当简化的城乡人口分布问题, 并以此人口模型的状态空间描述为例,讨论如何通
–与连续系统类似,为更好地分析、控制离散时间 被控对象,引入状态空间分析方法。
–本节主要研究线性离散系统的状态空间描述及如 何建立状态空间模型。
–下面先讨论工程控制系统的计算机实现,然后讨 论离散系统的状态空间描述等问题。
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线性离散系统的状态空间描述 (3/3)
• 本节主要讨论的问题:
(5/5)
• 为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的
T省去,于是有
x(k1)Gx(k)Hu(k) y(k)Cx(k)Du(k)
与连续系统相类似,线性定常离散系统状态空间模型的结构图
如下图所示。
D
+
u(k)
+ x(k+1) 单位 x(k)
y(k)
H
延迟
C +
+
还记得线性连续
G
系统的图结2-构21图线?性定常离散系统状态空间模型的结构图
– 调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入 信号不作频繁调节;
– 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续 、精确地跟随输入信号的变化。
• “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即使系 统像奴隶一样忠实地按照命令动作。
• 而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为随 动系统。
– 换句话说,计算机控制系统是由强调计算机作为控 制系统的一个组成部分而得名的。
– 计算机控制系统有时也称为数字控制系统,这是强 调在控制系统中包含有数字信号。
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工程控制系统的计算机实现
(3/9)
• 引入计算机控制的伺服系统叫做计算机控制 伺服系统,也可以称为数字伺服系统。
– 在图2-18伺服系统中引入计算机代替误差的求取 和控制器的功能,构成计算机控制伺服系统,如图 2-19所示。
–工程控制系统的计算机实现 –线性离散系统的状态空间描述 –离散系统的机理建模 –由离散系统的输入输出关系建立状态空间模型 –由离散系统的状态空间模型求传递函数阵
重点喔
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工程控制系统的计算机实现
(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
• 自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统 两类。
式中,k表示第k次采样的kT时刻;
T为采样周期;y(k)、u(k)分别为kT时刻的输出量和输入 量;
ai和bi为表征系统特性的常系数。
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线性离散系统的空间描述(2/5)
• 考虑初始条件为零时的变换关系
Z y ( k ) Y ( z ) ,Z y ( k i ) z i Y ( z )
2020/3/过20 系统机理建立离散系统的状态空间描述。
离散时间系统的机理建模(2/8)
• 例2-13 假设某个国家普查统计结果如下。
– 2019年城乡人口的分布是,城市人口为1千万,乡 村人口为9千万。
– 人口的自然流动情况是,每年有2%上一年城市人 口迁移去乡村,wk.baidu.com时有4%上一年乡村人口迁移去 城市。
• 为进行离散系统的状态空间分析,需引入离散 系统的状态空间模型。
– 在状态空间法中,采用以下的离散状态方程和离 散输出方程所组成的线性定常离散系统状态空 间模型对x 离((k散1 系)T 统) 进G (行T)描x(k 述T),即H (T)u (kT)
y(kT)C (T)x(kT)D (T)u (kT) 其中x(kT)、u(kT)和y(kT)分别为n维的状态向量、r维的输入向
– 因此计算机控制伺服 系统中还应该有开关
模拟量输入
量的输入、输出通道
计
。
模拟量输出
被 控
算
– 这样计算机控制伺服
系统的组成如图2-20
机
开关量输入
对 象
所示。
开关量输出
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图2-20 计算机控制伺服系统的组成
工程控制系统的计算机实现 (8/9)
• 计算机伺服控制系统的工作过程是:
– 实时数据采集