数学建模培训-初等模型

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表3 车辆数量模拟（二）
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 5000 3600 3180 3054 3016.2 3004.86 3001.458 3000.437
乙地 2000 3400 3820 3946 3983.8 3995.14 3998.542 3999.563
表4 车辆数量模拟（三）
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Bri 27.0 23.7 20.7 17.9 15.3 12.9 10.6 8.5 6.5 4.5 2.7 Fra 33.0 30.3 27.9 25.9 24.1 22.5 21.3 20.2 19.3 18.7 18.2
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2
B n 1 Fn 1
Bn Fn
0.1Fn 0.1Bn
B1 27, F1 33
但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣 势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了 它在海上的霸权。
当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处（17艘）、 C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报 以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军 A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B 队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。
数学建模培训
——初等模型
曹可
二○○九年四月
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1
一、数列建模
数列是最基本的概念之一。
模型1：谁将是胜利者
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
现保守估计，每一场遭遇战，法军损失兵力大约是英军的 5％，列表如下计算：
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3
战役A情况

1
2
3
4
Bri
13.0
12.7
12.5
12.4
Fra
3.0
2.4
1.7
1.1
战役B情况（法军在战役A中逃脱的1艘战舰加入战斗）
n 1 2 3 4 … 13 14 15 16
Bri
26. 0
25. 1
24. 3
进一步分析：如果甲地、乙地的车辆不是3000和4000时， 甲地和乙地的车辆数量则每天都在变动，是否会出现不平衡， 是否需要进行调配？
表2 车辆数量模拟（一）
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 7000 4200 3360 3108 3032.4 3009.72 3002.916 3000.875
乙地 0 2800 3640 3892 3967.6 3990.28 3997.084 3999.125
点评：上述问题，如果没有进一步分析就略显平庸！数学 建模是一个迭代的过程，是一个螺旋上升的过程，通过不断的 迭代、不断的修正，最终得到更好、更接近现实情况的结果！
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 2000 2700 2910 2973 2991.9 2997.57 2999.271 2999.781
乙地 5000 4300 4090 4027 4008.1 4002.43 4000.729 4000.219
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9
表5 车辆数量模拟（四）
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 0 2100 2730 2919 2975.7 2992.71 2997.813 2999.344
23. 5
…
19. 1
18. 8
18. 18. 65
Fra
18. 0
16. 7
15. 4
14. 2
…
4.7
3.8
2.8
1.9
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4
战役C情况（法军剩余兵力全部参加战斗）
n
1
2
3
4 … 14 15 16 17
Bri 19.0 18.3 17.6 17.0 … 13.2 13.0 12.8 12.7
试对上述问题提出决策分析！
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6
40%
甲地
乙地
30%
60%
70%
分析：设Jn为第n天在甲地的出租车数量，Yn为第n天在乙 地的出租车数量，由历史统计规律可知
YJnn11
0.6 J n 0.4 J n
0.3Yn 0.7Yn
J n Yn 7000
如果存在平衡状态，即Jn= Jn＋1及 Yn= Yn＋1，解得
乙地 7000 4900 4270 4081 4024.3 4007.29 4002.187 4000.656
经过模拟（表2－表5），可以知道无论车辆如何分配，经 过有限天数后，最终都将达到平衡状态。｛Jn｝的极限是3000， ｛Yn｝的极限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）为该 动态系统的平衡点，而且是稳定的平衡点（不动电）！
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模型2：动态系统中的平衡点
模型2.1：出租车的调配问题
一家出租车公司有出租车7000辆，在甲地和乙地各有一家 分支机构，专门负责为旅游公司提供出租车。由于甲地和乙地 距离不远，出租车每天可以往返两地。根据公司统计的历史数 据，每一天甲地的车辆有60%前往乙地后返回甲地，余下40% 前往乙地并留在乙地分支机构；而每一天乙地的车辆有70%前 往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支机构。 现在公司担心出现甲、乙两地车辆分布越来越不平衡的情况， 如果出现，公司就必须考虑是否对甲乙两地车辆进行调配，这 就需要支付一定的调度费用。
Jn3 0 0 0, Y n4 0 0 0 这就说明，甲地分配3000辆车，乙地分配4000辆车，则此 后两地车辆数目不变，即达到平衡状态。（如表1）
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表1
n 1 2 3 4 ... n ... 甲地 3000 3000 3000 3000 ... 3000 ... 乙地 4000 4000 4000 4000 ... 4000 ...
Fra 14.0 13.1 12.1 11.3 … 3.8 3.1 2.4 1.8
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。