3.2.2直线方程两点式与截距式
3.2.2直线的两点式方程
x y + =1 a b
l
y B(0, b)
在X轴上 的截距
这个方程由直线在x轴和y 轴的截距确定,所以叫直线 的截距式方程;
O
A a,0） （a,0）
x
注意：截距式方程适用于横、纵截距都存在 适用于横、
且都不为0的直线（分母不为0 且都不为0的直线（分母不为0）.
练习P97： ： 练习
1.求经过下列两点的直线的两点式方程， 1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化 求经过下列两点的直线的两点式方程 斜截式方程. 斜截式方程. y −1 x − 2
由截距式得： 由截距式得：
x y + =1 −5 6
整理得： 整理得：
6x−5y+30=0
熟悉公式，以及式子的变形
三角形的顶点是A( 5,0),B(3,A(P96例4、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2) 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线 BC边所在直线的方程， 边所在直线的方程 的方程. 的方程.
第四种： 第四种：截距式
x y + = 1( a ≠ 0 ， b≠ 0 ) a b
(1)P(2，1)，Q(0，-3) −3 −1 0 − 2 (2)A(0，5)，B(5，0) y − 5 = x − 0 0−5 5−0 (3)C(-4，-5)，D(0，0) y −0 x−0 = −5−0 −4−0
=
y =2x−3
5 y= x 4
y =−x+5
2.根据下列条件求直线方程 P97 2.根据下列条件求直线方程
y
.
C
. A
变式1：求BC边的垂直平分线 的方程 变式2：求BC边的高线的方程
3.2.2 直线的两点式方程
新知探究
题型探究
感悟提升
解
(1)∵ BC 边过两点 B(5，－ 4)， C(0，－ 2)，
y－（－ 4） x－ 5 ∴由两点式得 ＝ ， （－ 2）－（－ 4） 0－ 5 即 2x＋ 5y＋ 10＝ 0. 故 BC 边的方程为 2x＋ 5y＋ 10＝ 0(0≤ x≤ 5)． (2)设 BC 的中点为 M(x0， y0)， 5＋ 0 5 （－ 4）＋（－ 2） 则 x0＝ ＝ ， y0＝ ＝－ 3. 2 2 2 5 ∴ M ，－ 3， 2 又 BC 边上的中线经过点 A(－ 3， 2)． y－ 2 x－（－ 3） ∴由两点式得 ＝ ， 5 － 3－ 2 －（－ 3） 2 即 10x＋ 11y＋ 8＝ 0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋ 11y＋8＝ 0.
新知探究
题型探究
感悟提升
法二 直线 l1： y＝ x－2 关于直线 l 对称的直线为 l2，则 l2 上 任一点 P1(x， y)关于 l 的对称点 P1′ (x′， y′)一定在直线 l1 1 y－y′ × － ＝－ 1， x－x′ 2 上，反之也成立．由 y＋ y′ 1 x＋ x′ 2 ＝－2· 2 ＋ 1， 3x－ 4y＋ 4 ， x′＝ 5 得 把 (x′， y′ )代入方程 y＝ x－2 并整理， y＝－4x－ 3y＋ 8. 5 得： 7x－y－ 14＝0，即直线 l2 的方程为 7x－y－ 14＝ 0.
新知探究 题型探究 感悟提升
【活学活用1】 (2013· 绍兴高一检测)已知△ABC三个顶点坐标
A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直 线方程．
解 ∵ A(2，－ 1)， B(2， 2)， A、 B 两点横坐标相同， ∴直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝ 2. ∵ A(2，－ 1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得 AC 的方程 y－ 1 x－ 4 为 ＝ ， － 1－ 1 2－ 4 即 x－ y－ 3＝ 0. y－ 2 x－ 2 同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 ＝ ， 1－ 2 4－ 2 即 x＋ 2y－ 6＝ 0.
3.2.2直线方程2(两点式,截距式)
x y x y 1或 1 9 3 4 16
小结：
y y1 x x1 （1）两点式： y2 y1 x2 x1
(无法表示平行坐标轴的 直线)
（2）截距式：
x y 1 a b
(无法表示平行坐标轴和 过原点直线 )
练习2：下列四个命题中的真命 题是( A.经过定点P y 0 )的直线都可以用 0(x0 , 方程y y 0 k(x x0 )表示; B.经过任意两个不同 P1(x1,y1), P2(x2 ,y 2 ) 的点的直线都可以用方 程
B
)
(y y1)(x2 x1) (x x1)(y2 y1)表示; x y C.不过原点的直线都 可用方程 1表示; a b D.经过定点的直线都 可以用y kx b表示.
§ 3.2.2 直线的两点式方程
一、复习引入
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程．
思路： 点 斜 式 另解：（斜截式）设直 线方程为：y=kx+b.
答案: 直线方程为:y=x+2
引例.求过下列两点的直线方 程:
( 3) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 x2 ).
y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
y y1 x x1 两点式方程: y y x x ( x1 x2 , y1 y2 ) 2 1 2 1
二、新课讲解
y y1 x x1 思考两点式方程 的局限性: y2 y1 x2 x 1
(无法表示平行坐标轴的 直线)
练1.求过下列两点的直线方 程:
(1) A(0,5), B(5,0);
( 2) A( a,0), B(0, b)( ab 0).
3.2.2直线的两点式方程
x y (2)设所求直线方程为 ＋ ＝1. a b 因为直线过点 P(－5，－4)， －5 －4 所以 ＋ ＝1， a b 于是得 4a＋5b＝－ab，① 1 又由已知，得 |a|·|b|＝5， 2 即|ab|＝10.②
1.已知直线 l 经过两点 A(1，0)，B(m，1)，求直 线 l 的方程．
y－0 x－1 解：当 m≠1 时，直线 l 的方程是 ＝ ， 1－0 m－1 即 x－(m－1)y－1＝0； 当 m＝1 时，直线 l 的方程为 x＝1.
探究点二
直线的截距式方程及其应用
x y (1)直线 l1：y＝kx＋b(kb≠0)；直线 l2： ＋ ＝1 在同一 k b 坐标系中的图象可能是( )
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程．( (2)与 x 轴平行的直线没有两点式方程．( (3)过原点的直线没有截距式方程．( ) ) )
y－y1 (4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是 ＝ x－x1 y2－y1 .( x2－x1 )
[解]
y＋1 x＋1 (1)选 C.由直线的两点式方程可得 l 的方程为 ＝ ， 5＋ 1 2＋ 1
即 y＝2x＋1， 又因为点 C(1 008， b)是直线 l 上一点， 所以 b＝2×1 008＋1＝2 017. (2)①因为 BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， y－（－4） x －5 所以由两点式得 ＝ ， －2－（－4） 0－5 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边所在直线的方程为 2x＋5y＋10＝0.
3.2.2 直线的两点式方程
即x+y-1=0.又点P(3,m)在直线AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.
4 1 方法二:由题意知,P,A,B三点共线,所以kPA=kAB,即 1 m ， 23 3 2
解得m=-2. 答案:-2
3.(1)由直线方程的两点式得 y 0 x 3 , 所以AC所在直线的方
3.典例3(2)中,求BC边的垂直平分线方程要计算哪两个量? 提示:求BC边的垂直平分线方程,一方面要求线段BC的中点,另一方面 要求BC的斜率,推出BC垂直平分线的斜率.
【解析】1.由于点A与点B的横坐标相等,所以直线l没有两点式方程, 所求的直线方程为x=2. 答案:x=2 2.方法一:由两点式方程得,过A,B两点的直线方程为 y (1) x 2 ，
【变式训练】已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M 是BC边上的中点. (1)求AB边所在的直线方程. (2)求中线AM所在的直线方程.
【解析】(1)由两点式写方程,得 y 5 x 1 ，即6x-y+11=0.
1 5 2 1
(2)设M的坐标为(x0,y0),则由中点坐标公式得
3
即4x-3y=0.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将点A的坐标改为“A(-3,-4)”,其他条件不变,又如 何求解? 【解析】(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时,可设直线
3 4 x y 1, 解得a=1. 1. 又l过点A(-3,-4),所以 a a a a x y 所以直线l的方程为 1, 即x-y-1=0. 1 1
3.2.2
直线的两点式方程
【知识提炼】
1.直线方程的两点式和截距式
高考数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程【课时目标】 1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．2．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ y ＝ ．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点M (x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．直线xa2－y b 2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b4．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )A ．x －3＋y 4＝1B ．x 3＋y－4＝1 C ．x －3－y 4＝1D ．x 4＋y－3＝1 5．直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1在同一坐标系中的图象可能是( )6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0二、填空题7．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为______________．8．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．9．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式是______________．三、解答题10．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．11．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．能力提升12．已知点A (2,5)与点B (4，－7)，点P 在y 轴上，若|PA |＋|PB |的值最小，则点P 的坐标是________．13．已知直线l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l 的方程．1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P (x 0，y 0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x 轴和垂直于x 轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．3．强调两个问题： (1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y ＝1没有横截距，x ＝2没有纵截距．(2)方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)以及(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．3．2．2 直线的两点式方程答案知识梳理1．x a ＋y b＝1 2．x 1＋x 22 y 1＋y 22作业设计 1．A 2．B3．B [令x ＝0得，y ＝－b 2．] 4．A5．B [两直线的方程分别化为斜截式：y ＝nmx －n ，y ＝mnx －m ，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B 选项的两直线的斜率符号相同．]6．D [当y 轴上截距b ＝0时，方程设为y ＝kx ，将(5,2)代入得，y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当b≠0时，方程设为x 2b ＋y b ＝1，求得b ＝92，∴选D ．]7．y －32＝2(x －2)解析 k AB ＝－12，由k·k AB ＝－1得k ＝2，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 点斜式方程为y －32＝2(x －2)．8．x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 解析 设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y 1＝1，即x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1．9．x 2＋y 6＝1 解析 设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)．则l 的方程为x 2＋y6＝1．10．解 方法一 设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b ． ∵k＝6，∴方程为y ＝6x ＋b ．令x ＝0，∴y＝b ，与y 轴的交点为(0，b)；令y ＝0，∴x＝－b 6，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 6，0． 根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 62＋b 2＝37，∴b＝±6．因此直线l 的方程为y ＝6x±6．方法二 设所求直线为x a ＋yb＝1，则与x 轴、y 轴的交点分别为(a,0)、(0，b)．由勾股定理知a 2＋b 2＝37．又k ＝－ba ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝37，－ba＝6.解此方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.因此所求直线l 的方程为x ＋y －6＝1或－x ＋y6＝1． 11．解 (1)由截距式得x －8＋y4＝1，∴AC 所在直线方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x－2，∴AB 所在直线方程为x ＋y －4＝0．(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)．∴BD 所在直线方程为2x －y ＋10＝0．(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2，又D(－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)， ∴AC 边上的中垂线所在直线方程为2x ＋y ＋6＝0． 12．(0,1)解析 要使|PA|＋|PB|的值最小，先求点A 关于y 轴的对称点A′(－2,5)，连接A′B，直线A′B 与y 轴的交点P 即为所求点．13．解 当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0．当直线l 不过原点时，设其方程x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0．故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0．。
3.2.2直线的两点式方程
两点式方程
y y1 y 2 y1
x x1 x 2 x1
( x1 x 2 , y 1 y 2 )
说明：(1)这个方程由直线上两点确定;
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2） 中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点 的直线方程是什么？ 当x1 ＝x2 时
. A
O
. .
C
y0
M
.
B
0 2
1
x5 3 2 5
整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。
例2:已知三角形的三个顶点是A(－5，0)， B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程。
y C
. A
O
. .
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2
M
பைடு நூலகம்
.
B
x
3 2
x0 30
整理得：5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程。
能很快求出AC的直线方程吗？
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x,y).
则
x 2 y1 y2 y 2
x1 x2
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
3 0 3 2 即 3 , 1 , 2 2 2 2 过A(-5,0),M 的直线方程 y
两点式截距式方程
（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标
(Ⅲ)两点式方程
思考：已知两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), (其中x1≠x2,y1≠y2),
如何求出通过这两个点的直线方程呢？
l
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y2)
O
x
注意：既不垂直x轴 ，也不垂直y轴!
中点
第三步：点斜式求方程
y 3 2(x 3)
y 2x 3
▪ 例6 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截 距的两倍，求直线l的方程.
▪ 解法1：设直线l的方程为y+1=k(x+4), ▪ 令x=0,得y=4k-1;令y=0,得x=(1/k)-4. ▪ 由(1/k)-4=2(4k-1),得8k2+2k-1=0. ▪ 可解得k=-1/2,k=1/4. ▪ 所求直线方程为：x+2y+6=0或x-4y=0.
例3 如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的 交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程. y B(0，b)
l
A(a，0)
O
x
注意：既不垂直x轴
纵截距
横截距
，也不垂直y轴,且 不过原点!
a叫做直线在x轴上的截距；
b叫做直线在y轴上的截距.
截距式
P96例4
y
C(0,2)
A(-5,0)
▪ 作业
▪ B：P100 A1 (4)(6)， A3， A4, A9.
▪ 例6 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截距的 两倍，求直线l的方程.
我们发现少了一条直 线！怎样发生的？
是由截距式方程形式限制 了直线不能过原点！
高中数学人教A版必修二 3.2.2 直线的两点式方程 课件(42张)
(2)求过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线方程．
【解析】 ①当 m＝2 时，过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线斜 率不存在，其方程为 x＝2.
②当 m≠2 时， 方法一：直线的斜率为 k＝m0－－12＝－m－1 2， 又∵直线过点 N(2，1)， ∴直线方程的点斜式为 y－1＝－m－1 2(x－2)． 即 x＋(m－2)y－m＝0.
D．4
3.直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( )
A.34x－y2＝1
B.x1－y1＝4 32
C.34x－－y2＝1 答案 D
D.x4＋－y2＝1 3
4．已知△ABC 的顶点 A(0，5)，B(1，－2)，C(－6，4)，则 BC 边上的中线所在直线方程为________．
答案 8x－5y＋25＝0 解析 设 BC 的中点为 D(x，y)，则x＝－52，
则可设 l 的方程为xa＋ya＝1， 由已知 l 过点 A(4，1)，∴4a＋1a＝1，得 a＝5. l 的方程为x5＋y5＝1，即 x＋y－5＝0.
(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0(或者说直线 l 过原点)， 则可设 l 的方程为 y＝kx.
代入点 A 的坐标，得 k＝14. l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. ∴所求直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 x－4y＝0.
y＝1. ∴D(－52，1)，∴kAD＝45＝85，∴y＝85x＋5.
2 即 8x－5y＋25＝0.
请做：课时作业（二十）
思考题 1 (1)求满足下列条件的直线方程：
①经过点 A(－3，－3)，斜率是 4； ②斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； ③斜率是－3＝4(x＋3)，得 4x－y＋9＝0. ②由斜截式，得 y＝3x－3，即 3x－y－3＝0. ③在 x 轴上的截距是 3，即过点(3，0)，由点斜式，得 y－0 ＝－3(x－3)，即 3x＋y－9＝0.
3.2.2直线的两点式方程
结论2: 的二元一次方程,它都表示 结论 关于 x , y 的二元一次方程 它都表示 一条直线. 一条直线
定义
可知： 由1，2可知： ， 可知 直线方程 二元一次方程
定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程 定义 我们把关于 Ax+By+C=0(其中 其中A,B不同时为 不同时为0) 其中 不同时为 叫做直线的一般式方程，简称一般式 叫做直线的一般式方程，简称一般式.
时方程为： 当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１ 时方程为： 当 y1= y2时方程为： y = y１
四、直线的截距式 方程
轴的交点为A(a,0),与y轴的 例2:已知直线 l 与x轴的交点为 已知直线 轴的交点为 与 轴的 交点为B(0,b),其中 其中a≠0,b≠0,求直线 的方程． 求直线l 交点为 其中 求直线 的方程． 将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式 得: 的坐标代入两点式, 解:将两点 将两点 的坐标代入两点式
二、直线的 两点式方程 为直线上不同于P 的动点, 设P(x,y)为直线上不同于 1 , P2的动点 为直线上不同于 在同一直线上,根据斜率相 与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上 根据斜率相 在同一直线上 等可得： 等可得：
kpp1 = kp1 p2
y − 3 4− 3 = 即： x −1 2 −1
解：三条
x y a + b =1 a=b
设
解得： 解得：a=b=3或a=-b=-1 或 直线方程为： 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 、 或 截距可是正数, 截距可是正数,负数和零
举例
已知角形的三个顶点是A(－ ， ， 例4:已知角形的三个顶点是 －5，0)， 已知角形的三个顶点是 B(3，－ ，C(0，2)，求BC边所在的直线 ，－3)， ，－ ， ， 边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程. 方程，以及该边上中线的直线方程 两点式方程为： 解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为： 两点式方程为
学案3：3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程学习目标1．掌握直线的两点式方程和截距式方程，以及各自的适用条件．2．会选择适当的方程形式求直线方程．3．能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式．基础知识1．直线的两点式方程(1)定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝______叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．(2)说明：与坐标轴______的直线没有两点式方程．归纳总结直线的两点式方程应用的前提条件是：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.做一做1 过点A (5,6)和点B (－1,2)的直线方程的两点式是( )A.y －5x －6＝y ＋1x －2B.y －62－6＝x －5－1－5C.2－6y －6＝－1－5x －5D.x －62－6＝y －5－1－52．直线的截距式方程(1)定义：如图所示，直线l 与两个坐标轴的交点分别是P 1(a ,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程__________叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．(2)说明：一条直线与x 轴的交点(a ,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．做一做2 在x ，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )A.x －3＋y 4＝1 B.x 3＋y －4＝1 C. x －3－y 4＝1 D.x 4＋y －3＝1 3．中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．重点难点1．理解直线的两点式方程剖析：(1)对于直线方程的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，两点的坐标哪一个为(x 1，y 1)，哪一个为(x 2，y 2)，并不影响最终的结果，但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横纵坐标．(2)要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．理解直线的截距式方程剖析：(1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两个坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为x a ＋y b＝1(ab ≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．(2)直线方程的截距式在结构上的特点：直线方程的截距式为x a ＋y b＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两个坐标轴上的截距．如x 3－y 4＝1，x 3＋y 4＝－1等就不是直线的截距式方程． 3．求直线方程时方程形式的选择技巧剖析：一般地，已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y 轴上的截距；已知直线在两个坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；已知直线上两点时，通常选用两点式方程．不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线．典型例题题型一：利用两点式求直线方程例1 已知三角形的三个顶点A (－4,0)，B (0，－3)，C (－2,1)，求：(1)BC 边所在的直线方程；(2)BC 边上中线所在的直线方程．反思：已知两点求直线的方程，可利用两点式直接写出其方程；求中线所在的直线方程，联想到中点坐标公式即可求出中点．在没有特殊要求的条件下，以后求出的直线方程化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，且尽量满足：①A >0；②A ，B ，C 均是整数时，最大公约数为1. 题型二：利用截距式求直线方程例2 已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．反思：在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时，常把直线方程设为截距式，由已知条件建立关于两截距的方程，解得截距的值，从而确定方程．题型三：易错辨析易错点 忽视截距为0的情形例3 已知直线l 过点P (2，－1)，且在两个坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．错解：由题意，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(2，－1)，∴2a ＋－1a＝1， ∴a ＝1，则直线l 的方程为x ＋y －1＝0.错因分析：错解忽略了过原点时的情况．反思：截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两个坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．随堂练习1．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN 所在直线方程为()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 2．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是__________．3．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则线l的方程为__________．4．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且经过点A(2,2)．求直线l的方程．参考答案基础知识1．(1)x－x1x2－x1(2)垂直做一做1 【答案】B2．(1)xa＋yb＝1做一做2 【答案】A3. x1＋x22y1＋y22例1 解：(1)直线BC 过点B (0，－3)，C (－2,1)，由两点式方程得y ＋31＋3＝x －0－2－0，化简得2x ＋y ＋3＝0.(2)由中点坐标公式，得BC 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0－22，－3＋12，即D (－1，－1)．又直线AD过点A (－4,0)，由两点式方程得y ＋10＋1＝x ＋1－4＋1，化简得x ＋3y ＋4＝0. 例2 解：由题意，可设A (a,0)，B (0，b )，由中点坐标公式，可得⎩⎨⎧ a ＋02＝4，0＋b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2，故A (8,0)，B (0,2)． 由直线方程的截距式得直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0. 例3 正解：设直线l 在两个坐标轴上的截距都为a .若a ＝0，则直线l 过原点，其方程为x ＋2y ＝0；若a ≠0，则直线l 的方程可设为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(2，－1)，∴2a ＋－1a＝1， ∴a ＝1，则直线l 的方程为x ＋y －1＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y －1＝0.随堂练习1．【答案】A2. 【答案】3x ＋2y －6＝03. 【答案】2x －y ＋4＝04．解：(1)若直线l 在两个坐标轴上的截距都为0，则l 经过O (0,0)和A (2,2)两点，其方程为x －y ＝0.(2)若截距不为0，可设截距为a ，则直线l 的方程为x y a a+＝1. ∵l 过点A (2,2)，∴22a a+＝1，解得a ＝4. ∴直线l 的方程为44x y +＝1，即x ＋y －4＝0.由(1)(2)知，直线l的方程为x－y＝0或x＋y－4＝0.。
3.2.2直线的两点式方程课件人教新课标
x y 1． ab
【探究提升】直线截距式方程的关注点
(1)前提：截距式方程 x y应用1 的前提是a≠0且b≠0.
ab
(2)特征：直线的截距式方程 x y，x1,y项的分母对应的是
ab
直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为1.
(3)适用范围：不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过
图形
两点式
截距式
方程
__yy_2__yy_11___xx_2__xx_11__
__xa___by___1_
适用 不表示平行于坐标轴的直线 不表示平行于坐标轴的
范围
直线及过原点的直线
2.线段的中点坐标公式
(1)条件：点 P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),
P2(x2，y2).
x1 x2
(3)若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1=x2或y1=y2时,直 线l的方程是什么? 提示：当x1=x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为x-x1=0 或x=x1;当y1=y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为yy1=0或y=y1.
【拓展延伸】方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)和原两点式方 程的关系 (1)两点式方程只能表示x1≠x2且y1≠y2的直线,它不能表示倾 斜角为0°或90°的直线的方程,但方程情势相对于变化后的方 程式更对称、情势更美观、更整齐,便于记忆. (2)如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可 以用它来表示平面上过任意两已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直 线方程.
②
ab
由①②解得
a
3
5 3,
课件5：3.2.2 直线的两点式方程~3.2.3 直线的一般式方程
(2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52， y0＝(－4)＋2 (－2)＝－3.
∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－((－－33))，即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
探究点 直线一般式方程的应用 探究1 已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程
的五种形式？ 【答案】 能．直线
l
的斜率
k＝03－－20＝－32，
点斜式方程 y－0＝－32(x－2)；斜截式方程 y＝－32x＋3；
两点式方程3y－－00＝0x－－22；截距式方程2x＋3y＝1，
一般式方程 3x＋2y－6＝0.
预习自测
3.直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( )
A.34x－2y＝1
B.1x－1y＝4 32
C.34x－－y2＝1
D.4x＋－y2＝1 3
【解析】 【答案】
将 3x－2y＝4 化为4x＋－y2＝1 即得． 3
D
类型1 直线的两点式方程 例1 在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)， (1)求BC所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解：(1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得 －y－(－－4()－4)＝0x－－55，即 2x＋5y＋10＝0.
类型2 直线的截距式方程 例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的 直线l的方程. 解：法一 设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b. ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为ax＋by＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a＋－b3＝1，
3.2.2直线的两点式方程
1 1
——直线方程的两点式
yy 直线方程的两点式： y y
2
1 1
x x ( y1 y2 且 x1 x2 ) x x
1 2 1
若点P1(x1, y1), P2(x2, y2)中有 x1 ＝ x2 ,或 y1 ＝ y2 ,
此时这两点的直线 的方程是什么？ l: x = x1 l: y = y1
例4.直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等， 求直线 l 的方程． 解法一：由于直线 l 在两轴上有截距， 因此直线 l 不与 x、y 轴垂直，斜率存在，且 k ≠0． 可设直线方程为 y 2 k ( x 3) l 在 y 轴上有截距为 b 3k 2 . 令 x 0 ，则 y 3k 2 ， 令 y 0 ，则 x 3 2 ，l 在 x 轴上有截距为 a 3 2 . k k
法二： ∵ AB 边中线过 AB 边中点M 和△ABC 的重心 ，
AB中点 M ( 1 , 1 ) , ABC的重心G(1,1)， 2 2
由直线方程的两点式得 AB边中线所在的直线方程
y1 x ( 1 ) 2 2 , 1 1 1 ( 1 ) 2 2
所以AB边中线所在的直线方程 为 x y 0.
变式： 三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、 C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程； (2)AB边上高线所在直线的方程； (3)AC边上中垂线所在直线的方程. 解： (2) ∵AC边上中垂线过AC边的中点
N
5 N ( , 1), 且垂直于AC, 2 5 1 垂线的斜率为 k ， 2 k AC
变式： 三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、 C(0，2)，求(1)AB边上高线所在直线的方程； (2)AC边上中垂线所在直线的方程. 解： (1)由AB边上高线过C(0，2)，
3.2.2直线的两点式方程
直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
特别地
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
x y 2.截距式方程 1 a b
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 3.中点坐标公式 （
x1 x2 y1 y2 , ) 2 2
祝大家学习愉快！
y
. A
.
C
O
.
x B
设BC的中点为M ,则M 的坐标为（
3 0 3 2 3 1 ， ），即（ ， ） . 2 2 2 2 3 1 y 0 x5 过A( 5, 0), M （ ， ）的直线方程为 , 1 3 2 2 0 5 2 2 整理得x 13 y 5 0.
当x1 x2时，k y2 y1 x2 x1
取P 1 ( x1 , y1 ), 代入点斜式方程得， y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
y1 y2时，化成比例式：
y y1 x x1 . y2 y1 x2 x1
3.2.2
直线的两点式方程
线l的方程. 解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
5 5 kl 2 2 3
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ).
思考2 设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中
x1≠x2，y1≠y2），你能写出直线l的点斜式方程吗？
3.2.2 -直线的两点式与截距式方程
例7、 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截距 的两倍，求直线l的方程.
小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b
点斜式
斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式
y y0 k ( x x0 )
3.2.2直线的两点式 及截距式方程
一、复习引入
复 习
1). 直线的点斜式方程： y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点 当知道斜率和一点坐标时用点斜式
巩 固
2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b k为斜率，b为截距
当知道斜率k和截距b时用斜截式
3)特殊情况
1 已知直线l : y x 1， 2 求点P(3, 4)关于直线l的对称点
y
思考题2：
P(3, 4)
O
x
解：设对称点为Q(x,y)
PQ与L垂直
1 过PQ的直线的斜率为：k 2 1
过PQ的直线方程为：y-4=- ( x 3) 2
即x+2y-11=0
x3 y4 而PQ的中点在L上且中点坐标为( , ) 2 2 y4 x3 2( ) 1 (2) 2 2
B(-2,-4) 直线AB和L的交点，即三点共线时， |QA|-|QB|最大
解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
五、直线方程的应用 例5、已知三角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程。
21-22版：3.2.2 直线的两点式方程(步步高)
3.2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一 直线的两点式方程 名称已知条件示意图方程使用范围两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二 直线的截距式方程 名称已知条件 示意图 方程 使用范围截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.1.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示.( × )2.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ )3.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( √ )4.直线y ＝x 在x 轴和y 轴上的截距均为0.( √ )题型一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边所在的直线方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边所在的直线方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程. 解 k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 边的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.反思感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标.跟踪训练1 (1)过点A (－2,1)，B (3，－3)的直线方程为( )A.4x －5y ＋13＝0B.4x ＋5y ＋3＝0C.5x ＋4y ＋5＝0D.5x －4y ＋8＝0考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 B解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以y －1－3－1＝x －(－2)3－(－2)，所以y －1－4＝x ＋25，化简得4x ＋5y ＋3＝0.(2)如图，已知A (1,2)，B (－1,4)，C (5,2).①求线段AB 中点D 的坐标；②求△ABC 的边AB 上的中线所在的直线方程. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 解 ①因为A (1,2)，B (－1,4)， 所以线段AB 中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋(－1)2，2＋42，即D (0,3).②△ABC 的边AB 上的中线即线段CD ， 因为C (5,2)，D (0,3).所以线段CD 所在的直线方程为y －32－3＝x －05－0，化简可得x ＋5y －15＝0. 题型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3，∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.反思感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 跟踪训练2 (1)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( ) A.y ＝32xB.x ＋y ＝5C.y ＝32x 和x ＋y ＝5D.y ＝－32x 和x ＋y ＝5考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 C解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a ，b . 当a ＝b ≠0时，直线方程为x a ＋ya ＝1，∴2a ＋3a ＝1，∴a ＝5，∴x ＋y ＝5， 当a ＝b ＝0时，k ＝32，∴y ＝32x ，综上所述，y ＝32x 和x ＋y ＝5.(2)直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． 解 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 所以a 2＋b 2＝12－a －b .两边平方整理得ab －12(a ＋b )＋72＝0.① 又因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2.所以43a ＋2b＝1，整理得3ab ＝6a ＋4b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＝4，或⎩⎨⎧b ＝92，a ＝125，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.直线方程的灵活应用典例 已知△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x .(1)求直线BC 的方程； (2)求直线AB 的方程. 解 如图.(1)因为∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ， 所以AB 与BC 关于x ＝0对称，AC 与BC 关于y ＝x 对称. A (3，－1)关于x ＝0的对称点A ′(－3，－1)在直线BC 上， A 关于y ＝x 的对称点A ″(－1,3)也在直线BC 上. 由两点式求得直线BC 的方程为y ＝2x ＋5. (2)因为直线AB 与直线BC 关于x ＝0对称， 所以直线AB 与BC 的斜率互为相反数， 由(1)知直线BC 的斜率为2， 所以直线AB 的斜率为－2， 又因为点A 的坐标为(3，－1)，所以直线AB 的方程为y －(－1)＝－2(x －3)， 即2x ＋y －5＝0.[素养评析] (1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称.(2)画出图形，借助图形分析A 关于直线x ＝0的对称点A ′在BC 上，A 关于y ＝x 的对称点A ″也在BC 上，体现了直观想象的数学核心素养.(3)分别求出A ′，A ″两点的坐标，再根据两点式求出BC 边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养.1.在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y4＝1 B.x 3＋y－4＝1C.x －3－y4＝1 D.x 4＋y－3＝1 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 A2.经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A.x ＝2 B.y ＝2 C.x ＝3 D.x ＝6 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3.过坐标平面内两点P 1(2,0)，P 2(0,3)的直线方程是( ) A.x 3＋y2＝1 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y 3＝1 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 C4.过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －ya＝1，将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1， 得直线方程为x －y ＋1＝0.∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.5.已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.1.当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式.2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.。
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直线的两点式方程
一、复习： 1.直线的点斜式方程：
2.直线的斜截式方程：
3．几点说明：
（1）若直线与x轴交于一点（a,0），则可称为直 线在x轴上的截距；同样，若直线与y轴交于一点 （0,b）则称b为直线在y轴上的截距.
注意：截距可以是正，也可以是负，也可以为0， 不表示“距离”；
3.中点坐标公式: 线段AB的两点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB的中点坐标为M(x,y)
x1 x 2 x 2 y y1 y1 2
问题一.已知直线上两点A x1 ,y1 ,B x2 ,y2 ,
x1 x2 , y1 y2 ,求直线方程.
y 2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
化简得:
l
B
O
A
注意：当截距为零和不存在时，不能直接使 用截距式表示直线，此时应单独考虑，分类 讨论，防止遗漏
例2:已知直线经过A(2，0)，B(0，3)两点, 求直线AB截距式方程 ;
练习：求过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之差 为2的直线方程。
例3：一直线经过点（-3，4）且在两坐标 轴上的截距之和为12，求直线的方程；
练习：1.求过点P(2,3),并且在两轴上的
截距相等的直线方程。
y
x+y-5=0
3 ·P（2
3x-2y=0
,3）
x
o
2
2.过点P(2,3)，在坐标轴上截距的绝对 值相等的直线条数
3.直线过点P 5， 2 ，且在x轴上的截距是在y轴பைடு நூலகம்截距 的2倍，求此直线的方程
4.若直线与两坐标轴相交，且被两坐标轴截得 线段中点 2, 4 ，求此直线方程。
y y1 x x1 y 2 y1 x2 x1
——————两点式
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y 2 ) y 2 y1 x2 x1
探究1：倾斜角是00或900的直线能否用两点
式表示？
探究2：如何才能得到所有直线的方程？
(y y1 )(x 2 x 1 ) (x x 1 )(y 2 y1 )
例1、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直 线的方程.
y
.
C
. A
O
.M
. B
x
探究：已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方 y 程.
x y 1 a b
----称为直线的截距式方程
例4：自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴 上，被x轴反射，其反射光线过点(2，2), 求光线L和反射光线所在的直线方程.
作业： 一、书P100 A 组 7、9、11 B组：1