正交检验的极差分析和方差分析讲课讲稿
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第4讲5(1) 正交试验设计(方差分析)
处理号 1 2
第1列（A） 1 1
表 L9(34)正交表
第2列 1 2
第3列 1 2
第4列 1 2
因素A第1 试验结果y水i 平3次
重复测定 y1 值 y2
3
1
3
3
3
y3
单4 因素 2
1
2
3
y4
试5 验数 2
2
3
1
y5
因素A第2
SS据A6＝资13（料y1 y22
格式 78＝13（K12
3 K322
y3）2 （y43y5
K32）-
T2 9
1 2
y6）2 （ 1 y7 3 1
y 82y 9）2 2 3
（y1yy62 ...
9
y7 y8
y水9）平2（修 3次正重项） 复测定值
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
因素 重复1 重复2 重复3
显著影响
（6）列方差分析表
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素 SS空列（误差）
（2）自由度分解：
dfT df因素 df空列（ 误列（
（3）方差：MS因素＝
SS因素 df因素
，MS误差＝
SS误差 df误差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为 该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果 无显著影响。
【正式版】统计学第八章正交试验方差分析PPT
正交试验误差均方的求得途径有两种：
1)空列； 2)重复试验；(每一号试验都重复k次，即重
复试验)
例8－2，P97 先求每列的l,l=(I-II)2/(8*k) 因第7列是空列，l7是误差平方和le1的估
计
从重复试验来计算误差平方和le2 ，有两 种方法：
1、用总的离均差平方和减去各列的离均 差平方和
(每一号试验都重复k次，即重复试验)
12、、实 各因主验 因素效结 素（应果 的或 不子 和观同） 交察状和 互指态水 作标称平 用的水： ：影平响。因素简称因素。 正实每3两实2合PT统(四L个合2T以5实三IPIII每代、)、、99表表：：对交验列各验适计、数适L验、99一1表正主交示示～～表表任表 结 自 方 结 的 学 有 )的 结 无6号正交效互各各(11示示意2的果由法果方第重方果重00试交1试应作次次某某00两特或度计或法八复法或复5， ，验表验和用重重)因因列点观＝算观：章两：为观两例例都o符交：复复素素，：察水结察根正水根察水例r88重t号互对试试h取取－－同指平果指据交平据指平1说o复说作应)验验2233g一每标数应标研试正研标正明水水ko明用每数数次n横一的－一的究验交究的交：平平a： ： 一据据，行列影致影的方试的影试1Pl时时张9l之之a即的中响响要差验要响验3的的y正和和，o重数出因因求分求因数数u交表复t字现素素，析，素，据据表8试呈数简简选选简－L之之都的验有字称称择择称1和和有下0)序1因因各各因；和一标的素素因因素2张代数。。素素。的交表对合合次互试适适数作验的的相用次水水等表数平平；。，括号内的底数为因素的水平数，指数为因素个数(即列数或最多能安排的因素
二、关于特定条件的选择
实际中，需找出最优生产条件、最佳配
方、最佳环境、最佳治疗方案等直观的
1)空列； 2)重复试验；(每一号试验都重复k次，即重
复试验)
例8－2，P97 先求每列的l,l=(I-II)2/(8*k) 因第7列是空列，l7是误差平方和le1的估
计
从重复试验来计算误差平方和le2 ，有两 种方法：
1、用总的离均差平方和减去各列的离均 差平方和
(每一号试验都重复k次，即重复试验)
12、、实 各因主验 因素效结 素（应果 的或 不子 和观同） 交察状和 互指态水 作标称平 用的水： ：影平响。因素简称因素。 正实每3两实2合PT统(四L个合2T以5实三IPIII每代、)、、99表表：：对交验列各验适计、数适L验、99一1表正主交示示～～表表任表 结 自 方 结 的 学 有 )的 结 无6号正交效互各各(11示示意2的果由法果方第重方果重00试交1试应作次次某某00两特或度计或法八复法或复5， ，验表验和用重重)因因列点观＝算观：章两：为观两例例都o符交：复复素素，：察水结察根正水根察水例r88重t号互对试试h取取－－同指平果指据交平据指平1说o复说作应)验验2233g一每标数应标研试正研标正明水水ko明用每数数次n横一的－一的究验交究的交：平平a： ： 一据据，行列影致影的方试的影试1Pl时时张9l之之a即的中响响要差验要响验3的的y正和和，o重数出因因求分求因数数u交表复t字现素素，析，素，据据表8试呈数简简选选简－L之之都的验有字称称择择称1和和有下0)序1因因各各因；和一标的素素因因素2张代数。。素素。的交表对合合次互试适适数作验的的相用次水水等表数平平；。，括号内的底数为因素的水平数，指数为因素个数(即列数或最多能安排的因素
二、关于特定条件的选择
实际中，需找出最优生产条件、最佳配
方、最佳环境、最佳治疗方案等直观的
交检验的极差分析和方差分析
2 保持设备和工具清洁
定期对检验设备和工具进行清洁和维护，确保其准确性 和可靠性。
3 准确记录检验结果
对检验结果进行详细记录，包括样本编号、检验项目、 检验结果等，以便后续分析和追溯。
4 及时处理异常情况
在检验过程中发现任何异常情况，应立即停止检验并报 告相关人员进行处理。
05
极差和方差在交检验中应用案例
假设检验
方差分析可用于假设检验，比较不同组数据的方差是否有显著差 异，以判断因素对结果是否有显著影响。
优缺点分析
01
优点
02
方差分析能够量化数据的离散程度，提供客观的评价标准。
03
通过方差分析，可以发现过程中的异常波动，及时采取措施 进行改进。
优缺点分析
• 方差分析适用于各种类型的数据，具有广 泛的应用范围。
3
过程能力分析
极差可用于计算过程能力指数$C_{pk}$， 该指数反映了过程满足产品质量要求的能 力。较小的极差意味着过程波动较小，过 程能力较强。
优缺点分析
01
优点
02
计算简便：极差的计算非常简单，只需找出数据中的最大 值和最小值。
03
对异常值敏感：极差能够反映数据中的异常波动，有助于 及时发现潜在问题。
优缺点分析
01
缺点
02
方差分析对数据的要求较高，需要满足一定的前提条件，如正态分布、 方差齐性等。
03
在实际应用中，方差的计算可能受到异常值的影响，导致结果不准确。
04
方差分析只能提供数据离散程度的描述，不能提供具体的改进方向或 措施。
04
交检验流程与操作规范
交检验前准备工作
确定检验目的和对象
极差在质量控制中应用
正交检验的极差分析和方差分析
为满足此要求,一般考虑用最小偏差平方和原则, 也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小.
4.2.2 参数点估计
由(4-4)可知,上述偏差平方和 令下列各偏导数为零
(i=1,2,…,k)
4.2.2 参数点估计
由
解得 由
解得
(4-7) (4-8)
4.2.2 参数点估计
并由此得 的估计量
至此,求得参数 的估计量
容易看出，自由度之间也有类似于分解定理的关系
(4-13)
4.2.4 显著性检验
参数 假设 检验 的假 设条 件
观测值(i=1,2,…,k;j=1,2,…,m) 相互独立
在水平Ai条件下, Yij(j=1,2,…m) 服从正态分布N
4.2.4 显著性检验
要判断在因素A的k个水平条件下真值之间是否 有显著性差异,
(4-9)
4.2.2 参数点估计
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
称为最小二乘估计量.
我们还可以证明 。
分别是参数
的无偏估计量
将 和 分别用它们的估计量代替,可以得到试验 误差 的估计量 ,
(4-10)
4.2.3 分解定理 自由度
为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应,我们 研究三种偏差: , 和 .
8.2.1 数学模型和数据结构
为了便于比较和分析因素A的水平Ai对指标影响 的大小,通常把 再分解为
(i=1,2,…,k)
(4-5)
其中,
称为一般平均(Grand Mean),它是比
较作用大小的一个基点；
4.2.1 数学模型和数据结构
并且称 为第i个水平Ai的效应.它表示水平的真值比一般
水平差多少。满足约束条件
正交检验的极差分析和方差分析教材
正交检验的极差分析和方差分析教材正交检验的极差分析和方差分析引言：正交检验的极差分析和方差分析是统计学中常用的两种分析方法。
它们被广泛应用于实验设计和数据分析中，可以帮助我们判断变量之间的差异是否显著，并且确定是哪些因素对变量影响最为显著。
本文将重点介绍正交检验的极差分析和方差分析的基本原理和应用方法。
一、正交检验的极差分析1.1 基本原理正交检验的极差分析是通过观察不同水平的自变量对因变量的影响，推断不同水平之间的差异是否显著的一种方法。
它基于方差分析的原理，通过计算不同水平之间的平均差和标准差，判断不同水平之间的差异是否超过了预期的随机误差范围，从而得出结论。
1.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定自变量的水平。
然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个水平下的极差。
接下来，计算整体样本数据的均值和方差，以及不同水平之间的平均差和标准差。
最后，使用统计方法，比较差异是否显著，并进一步推断不同水平之间的差异。
1.3 实例分析以某品牌洗衣机的不同水平温度对洗涤效果（洗涤时间）为例，通过极差分析探究不同水平温度下洗涤效果是否存在显著差异。
首先，选择3个不同水平的温度：40℃、60℃和80℃。
然后，使用这3个水平的温度进行多次洗涤实验，每次实验记录洗涤时间。
接下来，计算每个水平下的极差，并计算整体样本数据的均值和方差。
最后，使用正交检验的极差分析方法，比较不同水平之间的差异是否显著。
二、方差分析2.1 基本原理方差分析是通过比较不同组之间的方差大小，来判断不同组之间的差异是否显著的一种方法。
它基于总体方差和组内方差之间的关系，通过计算F统计量来比较差异是否显著。
2.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定不同组别。
然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个组别的均值和方差。
接下来，计算总体样本数据的均值和方差，以及组内方差和组间方差。
最后，使用统计方法，计算F统计量，并比较差异是否显著。
正交检验的极差分析和方差分析(教学课堂)
(Yij i )2
(Yij i )2
i1 j1
令下列各偏导数为零
S 0,
S 0
i
(i=1,2,…,k)
特选课堂
2
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
表 4－1 对6种型号生产线维修时数的调查结果
序号 型号
A型 B型 C型 D型 E型 F型
1
9.5 4.3 6.5 6.1 10.0 9.3
2
8.8 7.8 8.3 7.3 4.8 8.7
特选课堂
3
11.4 3.2 8.6 4.2 5.4 7.2
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
其中：
i 纯属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为
在Ai条件下Yi的理论平均). i是实验误差(也称为随机误差)。
i ~ N (0, 2 ) （4-2）
Yi ~ N (i , 2 )
其中, 和 都是未知参数(i=1,2,…,k).
i 2
i 1
Mean),它是比
较作用大小的一个基点；
特选课堂
14
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
并且称
i i
为第i个水平Ai的效应.它表示水平的真值比一般
水平差多少。满足约束条件
1 2 k 0
(4-6)
可得
Yij i ij ;
i 0
i=1,2,…,k ;j=1,2,…,m
…
Ykj
…
Ykm
特选课堂
合计
T1 T2
…
Ti
…
Tk
平均
Y1 Y2
…
Yi
正交试验中的极差分析与方差分析
表2 回火试验方案表
因素 4 回火温 $ 保温时 %工体质 试验指标
试验
度 (！) 间(min) 量( kg) (弹性）
1
440
3
7.5
2
440
4
9.0
3
440
5
10.5
4
460
3
9.0
5
460
4
10.5
6
460
5
7.5
7
500
3
10.5
8
500
4
7.5
9
500
5
9.0
步骤3 :试验并列出试验结果分析计算表. 列 出 方 案 表 之 后 ，就可以根 据 方 案 表 进 行 试 验 .试 验 过 程 中 ，我们应特别注意:试验的次序尽可能随机化 以减少因素间相互影响造成较大的误差;除了我们需要 考 查 的 因 素 ，其 他 的 试 验 条 件 在 整 个 实 验 过 程 中 尽 量 保 持 相 同 ，增大结论的可靠性;准确记录好每一次试验的 数据. 试 验结束后，对试验数据进行简单的分析计算，列 出实验结果分析表，详见表3.
表 1 因素水平表
水平 " 回40
2
460
3
500
#保温时间 (min) 3 4 5
$工件质量 (kg) 7.5 9.0 10!5
高中 版 十 . ？龙 * 7 31
数坛 在线
教育纵横
2017年 5 月
步骤2 :设计试验方案. 根 据 已 经 制 作 完 成 的 因 素 水 平 表 ，考 虑 试 验 条 件 和 实际的可操作性，选择一张适合的三水平正交表(" 9(34)， 因这张表最多可以考查4个 因素对试验结果的影响，而 此 次 试 验 我 们 只 考 查 3个 因 素 对 试 验 的 影 响 ，所以我们 可任意选择表中的3列进行表头设计并制作试验方案表 安 排 试 验 ，见 表 2.
因素 4 回火温 $ 保温时 %工体质 试验指标
试验
度 (！) 间(min) 量( kg) (弹性）
1
440
3
7.5
2
440
4
9.0
3
440
5
10.5
4
460
3
9.0
5
460
4
10.5
6
460
5
7.5
7
500
3
10.5
8
500
4
7.5
9
500
5
9.0
步骤3 :试验并列出试验结果分析计算表. 列 出 方 案 表 之 后 ，就可以根 据 方 案 表 进 行 试 验 .试 验 过 程 中 ，我们应特别注意:试验的次序尽可能随机化 以减少因素间相互影响造成较大的误差;除了我们需要 考 查 的 因 素 ，其 他 的 试 验 条 件 在 整 个 实 验 过 程 中 尽 量 保 持 相 同 ，增大结论的可靠性;准确记录好每一次试验的 数据. 试 验结束后，对试验数据进行简单的分析计算，列 出实验结果分析表，详见表3.
表 1 因素水平表
水平 " 回40
2
460
3
500
#保温时间 (min) 3 4 5
$工件质量 (kg) 7.5 9.0 10!5
高中 版 十 . ？龙 * 7 31
数坛 在线
教育纵横
2017年 5 月
步骤2 :设计试验方案. 根 据 已 经 制 作 完 成 的 因 素 水 平 表 ，考 虑 试 验 条 件 和 实际的可操作性，选择一张适合的三水平正交表(" 9(34)， 因这张表最多可以考查4个 因素对试验结果的影响，而 此 次 试 验 我 们 只 考 查 3个 因 素 对 试 验 的 影 响 ，所以我们 可任意选择表中的3列进行表头设计并制作试验方案表 安 排 试 验 ，见 表 2.
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ˆ Y , ˆi Y(i4-9Y), ˆi2 参数点估计
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
,
i称,为最i 小二乘估计量.
我们还可以证明 , i分, 别i 是参数
量。
的,无i ,偏i估计
将和 分i 别用它们的估计量代替,可以得到试验 误差 的 ij估计量 , e ij
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
由
解得 由
解得
S 2 (Y i j) i0
ˆ 1 km
Yij (4Y-7)
S
i
m
2 (Yij
j1
i)0
ˆi
1m mj1Yij
Y(4i-8Y)
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
并由此得 的i 估计量
ˆi ˆˆi Yi
至此,求得参数 ,的i ,估i计量
F型
9.3
8.7
7.2
10.1
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
研究的指标:维修时间记作Y, Y~N(,2)
控制因素是生产线的型号,分为6个水平即A,
B,C,D,E,F，每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,…,
6)。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
现在的试验就是进行调查,每种型号调查4台,相当于
第四章 方差分析
4.2 单因素试验的方差分析
➢ 数学模型和数据结构 ➢ 参数点估计 ➢ 分解定理 自由度 ➢ 显著性检验 ➢ 多重分布与区间估计
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A1, A2,…,Ak对Y的影响(如k种型号对维修时间的影响), 设想在固定的条件Ai下作试验.所有可能的试验结果 组成一个总体Yi,它是一个随机变量.可以把它分解为
较作用大小的一个基点；
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
并且称
i i
为第i个水平Ai的效应.它表示水平的真值比一般
水平差多少。满足约束条件
12( 4 -6k)0
可得
Yiji ij;
i 0
i=1,2,…,k ;j=1,2,…,m
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
找出参数 ,1,2,....k,
每个总体中抽取一个容量为4的样本,得到的数据记作yij(i
=1,2,…,6;j=1,2,3,4),即为下表数据。
计算各样本平均数 y 如i 下:
型号 yi
表 8－2
A BCDE F 9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对:
Ti
Yi
………………………
Ak
Yk1
Yk2
…
Ykj
…
Ykm
Tk
Yk
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
表中：
Yi m1(i=jm11,2Y,i…j ,k)
(4-3)
Yij表示在Ai条件下第j次试验的结果,用式子表示就是
Yij (ii=1,2i,j…,k j=1,2,…,m) (4-4)
要
和的2 估计量
解
决 的
分析观测值的偏差
问
题
检验各水平效应 1,2,...,k
有无显著差异
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
用最小二乘法求参数 ,1,2,的..估..k,计量,然后寻求
的无偏 2估计量.
须使参数 ,1,2,的..估..k,计值能使在水平Ai下求得的
观测值Yij与真值 之间的i 偏差尽可能小。
y 1与 y,2
C
2 6
与y 1
,…y 3
与
y, 1
与y 6 ,…y ,2
与y 3 ,共有y(5
1y 56 )对。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
上
工作量大
将这15对平均数一一进
述
行比较检验
方
法
存
在
即使每对都进行了比较,并
的 问
置信度低
且都以0.95的置信度得出 每对均值都相等的结论,但 是由此要得出这6个型号的
为满足此要求,一般考虑用最小偏差平方和原则, 也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小.
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
由(4-4)可知,上述偏差平方和
k m
S i2j (Y iji)2 (Y iji)2
i 1j 1
令下列各偏导数为零
S 0,
S 0
i
(i=1,2,…,k)
第四章 方差分析
正交检验的极差分析和方差分析
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
表 4－1 对6种型号生产线维修时数的调查结果
序号
1
2
3
4
型号
A型
9.5
8.8
11.4
7.8
B型
4.3
7.8
3.2
6.5
C型
6.5
8.3
8.6
8.2
D型
6.1
7.3
4.2
4.1
E型
10.0
4.8
5.4
9.6
题
维修时间的均值都相等。
这一结论的置信度仅是
(0.95)150.4632
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
方差分析的基本原理 ：
• (1)将数据总的偏差平方和按照产生的原因分解成：
(总的偏差平方和)= (由因素水平引起的偏差平方和)+(试验误差平方和)
• (2)上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不 同水平是否使得各型号的平均维修时间产生显著性差 异,为此需要进行适当的统计假设检验.
eij Yij Yi
(4-10)
第四章 方差分析
4.2.3 分解定理 自由度
为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应,我们 研究三种偏差: Y ij ,Y 和Yi Y . Yij Y i 根据前面参数估计的讨论,它们分别表示
注意:
每次试验结果只能得到Yij,而(4-4)式中的 和i 都 ij 不能
直接观测到。
第四章 方差分析
8.2.1 数学模型和数据结构
为了便于比较和分析因素A的水平Ai对指标影响
的大小,通常把 再i 分解为
i (i=1,2,i…,k)
(4-5)
其中,
1 k
k
称为i 一般平均(Grand
i 1
Mean),它是比
i 2
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
假定在水平Ai下重复做m次试验,得到观测值
Yi1,Yi2,...Y,im
表 4－3
1
2…
j
… M 合计 平均
A1
Y11
Y12
…
Y1j
… Y1m T1
Y1
A2
Y21
Y22
…
Y2j
… Y2m T2
Y2
………………………
Ai
Yi1
Yi2
…
Yij
…
Yim
两部分
Yi i i
（4-1）
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
其中：
纯i 属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为
在Ai条件下Yi的理论平均). 是i 实验误差(也称为随机误差)。
i ~N(0,2) （4-2）
Yi ~N(i,2)
其中, 和 都是未知参数(i=1,2,…,k).
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
,
i称,为最i 小二乘估计量.
我们还可以证明 , i分, 别i 是参数
量。
的,无i ,偏i估计
将和 分i 别用它们的估计量代替,可以得到试验 误差 的 ij估计量 , e ij
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
由
解得 由
解得
S 2 (Y i j) i0
ˆ 1 km
Yij (4Y-7)
S
i
m
2 (Yij
j1
i)0
ˆi
1m mj1Yij
Y(4i-8Y)
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
并由此得 的i 估计量
ˆi ˆˆi Yi
至此,求得参数 ,的i ,估i计量
F型
9.3
8.7
7.2
10.1
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
研究的指标:维修时间记作Y, Y~N(,2)
控制因素是生产线的型号,分为6个水平即A,
B,C,D,E,F，每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,…,
6)。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
现在的试验就是进行调查,每种型号调查4台,相当于
第四章 方差分析
4.2 单因素试验的方差分析
➢ 数学模型和数据结构 ➢ 参数点估计 ➢ 分解定理 自由度 ➢ 显著性检验 ➢ 多重分布与区间估计
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A1, A2,…,Ak对Y的影响(如k种型号对维修时间的影响), 设想在固定的条件Ai下作试验.所有可能的试验结果 组成一个总体Yi,它是一个随机变量.可以把它分解为
较作用大小的一个基点；
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
并且称
i i
为第i个水平Ai的效应.它表示水平的真值比一般
水平差多少。满足约束条件
12( 4 -6k)0
可得
Yiji ij;
i 0
i=1,2,…,k ;j=1,2,…,m
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
找出参数 ,1,2,....k,
每个总体中抽取一个容量为4的样本,得到的数据记作yij(i
=1,2,…,6;j=1,2,3,4),即为下表数据。
计算各样本平均数 y 如i 下:
型号 yi
表 8－2
A BCDE F 9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对:
Ti
Yi
………………………
Ak
Yk1
Yk2
…
Ykj
…
Ykm
Tk
Yk
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
表中：
Yi m1(i=jm11,2Y,i…j ,k)
(4-3)
Yij表示在Ai条件下第j次试验的结果,用式子表示就是
Yij (ii=1,2i,j…,k j=1,2,…,m) (4-4)
要
和的2 估计量
解
决 的
分析观测值的偏差
问
题
检验各水平效应 1,2,...,k
有无显著差异
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
用最小二乘法求参数 ,1,2,的..估..k,计量,然后寻求
的无偏 2估计量.
须使参数 ,1,2,的..估..k,计值能使在水平Ai下求得的
观测值Yij与真值 之间的i 偏差尽可能小。
y 1与 y,2
C
2 6
与y 1
,…y 3
与
y, 1
与y 6 ,…y ,2
与y 3 ,共有y(5
1y 56 )对。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
上
工作量大
将这15对平均数一一进
述
行比较检验
方
法
存
在
即使每对都进行了比较,并
的 问
置信度低
且都以0.95的置信度得出 每对均值都相等的结论,但 是由此要得出这6个型号的
为满足此要求,一般考虑用最小偏差平方和原则, 也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小.
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
由(4-4)可知,上述偏差平方和
k m
S i2j (Y iji)2 (Y iji)2
i 1j 1
令下列各偏导数为零
S 0,
S 0
i
(i=1,2,…,k)
第四章 方差分析
正交检验的极差分析和方差分析
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
表 4－1 对6种型号生产线维修时数的调查结果
序号
1
2
3
4
型号
A型
9.5
8.8
11.4
7.8
B型
4.3
7.8
3.2
6.5
C型
6.5
8.3
8.6
8.2
D型
6.1
7.3
4.2
4.1
E型
10.0
4.8
5.4
9.6
题
维修时间的均值都相等。
这一结论的置信度仅是
(0.95)150.4632
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
方差分析的基本原理 ：
• (1)将数据总的偏差平方和按照产生的原因分解成：
(总的偏差平方和)= (由因素水平引起的偏差平方和)+(试验误差平方和)
• (2)上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不 同水平是否使得各型号的平均维修时间产生显著性差 异,为此需要进行适当的统计假设检验.
eij Yij Yi
(4-10)
第四章 方差分析
4.2.3 分解定理 自由度
为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应,我们 研究三种偏差: Y ij ,Y 和Yi Y . Yij Y i 根据前面参数估计的讨论,它们分别表示
注意:
每次试验结果只能得到Yij,而(4-4)式中的 和i 都 ij 不能
直接观测到。
第四章 方差分析
8.2.1 数学模型和数据结构
为了便于比较和分析因素A的水平Ai对指标影响
的大小,通常把 再i 分解为
i (i=1,2,i…,k)
(4-5)
其中,
1 k
k
称为i 一般平均(Grand
i 1
Mean),它是比
i 2
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
假定在水平Ai下重复做m次试验,得到观测值
Yi1,Yi2,...Y,im
表 4－3
1
2…
j
… M 合计 平均
A1
Y11
Y12
…
Y1j
… Y1m T1
Y1
A2
Y21
Y22
…
Y2j
… Y2m T2
Y2
………………………
Ai
Yi1
Yi2
…
Yij
…
Yim
两部分
Yi i i
（4-1）
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
其中：
纯i 属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为
在Ai条件下Yi的理论平均). 是i 实验误差(也称为随机误差)。
i ~N(0,2) （4-2）
Yi ~N(i,2)
其中, 和 都是未知参数(i=1,2,…,k).