【精编word版】福建省南安一中2012-2013学年高二下学期期末数学理试卷

南安一中2012～2013学年度下学期期末考
高二（理）数学科试卷
本试卷考试内容为：坐标系与参数方程，集合，常用逻辑用语，函数、导数及其应用。

分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（英语科选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）。

4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。

第I 卷（选择题 ， 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分。

1、设全集(){}{}
,1,02,-<=<+==x x B x x x A R U 则右图中阴影部分表示的集合为（ ）
A 、{}02<<-x x
B 、{}
12-<<-x x C 、{}
0>x x D 、{}
1-<x x
2、下列函数中与y =
）
A 、x y =
B 、{
,(0)
,(0)
x x y x x >=
-< C 、||y x = D 、 log a x y a =
3、参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos θ
y ＝－2＋sin θ(θ为参数)所表示的图形是( )
A 、直线
B 、射线
C 、圆
D 、半圆
4、当10<<x 时，则下列大小关系正确的是( ) ks5u A 、x x x
33
log 3<< B 、 x x x
33
log 3<< C 、3
33log x x x
<< D 、x
x x 3log 3
3<<
5、方程)(x f y =的图象如图所示，那么函数)2(x f y -=的图象是（ ）
6、下列有关命题的说法正确的是（）
A、命题“若0
xy=，则0
x=”的否命题为：“若0
xy=，则0
x≠”
B、“若0
=
+y
x，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C、命题“R
∈
∃x，使得2
210
x-<”的否定是：“R
∈
∀x，均有2
210
x-<”
D、命题“若cos cos
x y
=，则x y
=”的逆否命题为真命题
7、函数x
x
f x3
2
)
(+
=的零点所在的一个区间是( )ks5u
A、(-2,-1)
B、(-1,0)
C、(0,1)
D、(1,2)
8、若关于x的方程0
1
22=
-
-x
ax在区间(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是（）
A、(1,+∞)
B、(-∞,-1)
C、(-1,1)
D、(0,1)
9、)
(x
f是R上周期为3的奇函数,若1
)1(<
f, 1
)2(2-
+
=a
a
f,则a的取值范围是（）
A、a<0.5且a≠1
B、-1<a<0
C、a<-1或a>0
D、-1<a<2
10、对于每一个实数x,)
(x
f是4
2+
-
=x
y和x
y3
=这两个函数中较小者,则)
(x
f的最大值是（）
A、3
B、4
C、0
D、-4
11、
,(>1)
()=
(4-)+2,(1)
2
x
a x
f x a
x x
⎧
⎪
⎨
≤
⎪⎩
是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）
A、（1，+∞）
B、[4,8]
C、[4,8)
D、（1,8）
12、已知函数)
(x
f
y=是定义在R上的减函数，函数)1
(-
=x
f
y的图象关于点)0,1(对称. 若对任意的R
y
x∈
,，不等式0
)1
2
(
)1
(2
2≤
-
+
-
+
-
+x
x
f
y
x
f恒成立，2
2y
x+的最小值是（）
A 、0
B 、
55 C 、5
52 D 、3 第II 卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4，共16分。

13、已知函数()2log ,0
,3,0x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩
则=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡)41(f f ____ ____． 14
、
1
1
)x dx -=⎰。

ks5u
15、若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+,以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 。

16、函数()f x 的定义域为A ，若1212,()()x x A f x f x ∈=且时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如：函数()21()f x x x R =+∈是单函数。

给出下列命题：
①函数2
()()f x x x R =∈是单函数； ②指数函数)(2)(R x x f x
∈=是单函数；
③若()f x 为单函数，121212,,()()x x A x x f x f x ∈≠≠且则； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。

其中的真命题是 。

（写出所有的真命题的序号）
三．本大题共6小题，共74分。

17、(12分)在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
)0(cos sin :2>=a a C θθρ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t x 2
2422
2， 直线l 与曲线C 分别交于M,N 两点．ks5u
（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2=a ,求线段|MN |的长度．
18、（12分）已知0>a ，设命题p ：函数x
a y =在R 上单调递增；
命题q ：不等式0222
>+-ax ax 对任意x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．
19、（ 12分）已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>-=.0 ,21,0 ,2,0 ,4)(2x x x x x x f
(Ⅰ）求)]2([-f f 的值；
(Ⅱ）求)1(2+a f （a R ∈）的值；
(Ⅲ）当34<≤-x 时，求函数)(x f 的值域．
20、（12分）某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量
可以 增加，且售价降低)110(≤≤x x 元时，每天多卖出的件数与2x x +成正比．已知商品售价降低3
元时，一天可多卖出36件．
(Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x 的函数；(Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？
21、（12分）已知函数()42
x x
n g x -=是奇函数，()()4log 41x
f x mx =++是偶函数. (Ⅰ）求m n +的值； (Ⅱ）设()()1
,2
h x f x x =
+若()()4log 21g x h a >+⎡⎤⎣⎦对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取
值范围.
22、（14分）已知函数()ln 1a
f x x x
=
+-（a 是常数）. （Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点
()1,(1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）当1a =时,方程()f x m =在∈x 21,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两解，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）求证: 1
ln 1n n n
>-1(>n ，且)*N n ∈．
南安一中2012～2013学年度下学期期末考—参考答案
高二（理）数学科试卷
一．选择题：（60分）
二．填空题：（16分） 13、
91 14、2
π 15、0242
2=--+y x y x 16、②③④ 三．本大题共6小题，共74分。

17、解：（Ⅰ） ax y =2
，2-=x y ……………..6分
（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t
x 2
2422
2（t 为参数）, 代入x y 22
=, 得到0402102
=+-t t ， ………………8分 则有21021=+t t ，4021=t t . ………………10分 因为|MN|=|21t t -|，所以404)()(212212212
=-+=-=t t t t t t MN
.
解得|MN|=102 . ………………12分 ks5u 18、解：由命题p ，得a >1，对于命题q ，
因x ∈R ，0222
>+-ax ax 恒成立，ks5u
又因a >0，所以Δ＝2a 2
－8a <0，
即0<a <4.由题意知p 与q 一真一假， 6分
当p 真q 假时 ，⎩
⎪⎨⎪⎧
a >1，
a ≤0或a ≥4.所以a ≥4 8分
当p 假q 真时，⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≤1，
0<a <4，
即0<a ≤1 10分
综上可知，a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞) 12分
19、解：（Ⅰ） []2(2)5=45=21f
f f -=
--（） （3分）
(Ⅱ）2
2
2
4
2
(1)4(1)23f a a a a +=-+=--+ （6分） (Ⅲ）①当40x -≤
<时，
∵()12f x x =- ∴1()9f x <≤ ks5u
②当0x =时，(0)2f =
③当03x <
<时，∵2()4f x x =-
∴ 5()4f x -<<
故当43x -≤
<时，函数()f x 的值域是(]5,9-
20、解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为2
()k x x +，∴2
36(33)k =+，∴3k =
又每件商品的利润为)920(x --元，每天卖出的商品件数为)(3692
x x ++ ∴
该
商
品
一
天
的
销
售
利
润
为
)110(75936303)](369)[11()(232≤≤+-+-=++-=x x x x x x x x f
（2）由)6)(23(336609)(2
'
---=-+-=x x x x x f 令'()0f x =可得2
3
x =或6=x
当x 变化时，'()f x 、()f x 的变化情况如下表：
∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元
21、
()()min
3
12
g x g ==……………9分
ks5u 由题意得到
3
224
132210
a a a ⎧+<⎪⎪
⇔-<<⎨
⎪+>⎪⎩
，……………11分
……………12分
22、（14分）已知函数()ln 1a
f x x x
=
+-（a 是常数）. （Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时,方程()f x m =在∈x 21,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两解，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）求证: 1
ln 1n n n
>-1(>n ，且)*N n ∈． 解：（Ⅰ） 2
()x a
f x x
-'=．0)2('=f ，得2=a ，1)1(=f ，1)1('-=f
切线方程为02=-+y x ． ………….4分
（Ⅱ）当1=a 时，21
1()lg 1,()x f x x f x x
x -'=
+-=
，其中21,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 当⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,1e x 时，0)(<'x f ；(2
1,x e ⎤∈⎦时，0)(>'x f ，
∴1=x 是)(x f 在21,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上唯一的极小值点，∴ []0)1()(min ==f x f
2222111()2,()lg 11,f e f e e e e e =-=+-=+2211()210f f e e e e ⎛⎫
-=---< ⎪⎝⎭
综上，所求实数m 的取值范围为{|02}m m e <≤-. …………8分 （Ⅲ）若1=a 时，由（2）知x x
x
x f ln 1)(+-=在[)+∞,1上为增函数， 当1>n 时，令1-=
n n
x ，则1>x ，故0)1()(=>f x f ， 即01ln 11ln 1
111>-+-=-+---
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-n n n n n n n n n n n f ，∴1ln 1n n n >-．…….14分
ks5u。