二元函数的极值
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§10–7 二元函数的极值
基础知识导学
1. 二元函数的极值与驻点
⑴ 极值与驻点
①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.
⑵ 极值存在的必要条件
设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .
注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件
设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则
①当02
<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02
>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；
③当02
=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.
2．条件极值与拉格朗日乘数法
⑴ 条件极值
求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.
⑵ 拉格朗日乘数法
求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法的具体步骤如下：
①构造拉格朗日函数 ),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x F λϕλ+=,
其中λ为待定常数，称其为拉格朗日乘数.
②求四元函数),,,(λz y x F 的驻点，即列方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ==λϕ+==λϕ+==λϕ+=λ
,0),,(,0),,(),,(,0),,(),,(,0),,(),,(z y x F z y x z y x f F z y x z y x f F z y x z y x f F z z z
y y y x x x 求出上述方程组的解λ,,,z y x ，那么驻点),,(z y x 有可能是极值点；
③判别求出的点),,(z y x 是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定.
对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果.
解题方法指导
1．求函数的极值与最值的方法
例1 求函数)2(e
),(22y x y x f y x -=-的极值.
解 （1）求驻点
由 ⎪⎩⎪⎨⎧=---==+-=----,0e 4)2(e ),(,0e 2)2(e ),(2222y x y x y y x y x x y y x y x f x y x y x f 得两个驻点 )0,0(，)2,4(--，
（2）求),(y x f 的二阶偏导数
)242(e ),(22++-=-x y x y x f y x xx ，)422(e ),(22y x x y y x f y x xy ---=-， )482(e ),(22-+-=-y y x y x f y x yy ，
（3）讨论驻点是否为极值点
在)0,0(处，有2=A ，0=B ，4-=C ，082>=-AC B ，由极值的充分条件知 )0,0(不是极值点，0)0,0(=f 不是函数的极值；
在)2,4(--处，有2e 6--=A ，2e 8-=B ，2e 12--=C ，0e