二元函数的极值
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是一种含有两个自变量的函数。
研究二元函数的极值和最值是数学中的重要内容之一，它可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，并在实际问题中应用。
一、极值的概念极值是指函数在给定定义域内取得的最大值和最小值。
对于二元函数而言，我们需要找到函数的驻点即梯度为零的点，然后通过二阶导数判定这些驻点是极大值还是极小值。
1.1 驻点的求解假设有二元函数f(x,y)，我们需要找到f(x,y)关于x和y的偏导数分别为零的点，即求解以下方程组：∂f/∂x=0∂f/∂y=01.2 二阶导数判定对于找到的驻点，我们需要使用二阶导数来判定其是极大值还是极小值。
具体而言，我们计算二阶偏导数D，并判定其正负性：若D>0且∂^2f/∂x^2>0，则该驻点为极小值；若D>0且∂^2f/∂x^2<0，则该驻点为极大值；若D<0，则该驻点为鞍点。
二、最值的概念最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于二元函数而言，最值可以通过极值来求解，并且还可以通过定义域的边界上的取值来判断。
2.1 极值的应用我们可以求出二元函数在驻点上的极值，然后将这些极值与函数在定义域边界上的取值进行比较，从而找到函数的最大值和最小值。
通过这种方法，我们可以得出以下结论：若一个驻点为极大值，并且函数在该点的值大于定义域边界上的任意取值，则该点为函数的最大值；若一个驻点为极小值，并且函数在该点的值小于定义域边界上的任意取值，则该点为函数的最小值。
2.2 定义域边界上的取值另外，我们还需要考虑函数在定义域边界上的取值，因为这些点也有可能成为函数的最值。
我们可以通过以下步骤来判断定义域边界上的取值是否为最值：1) 找出定义域的边界方程；2) 求解边界方程与二元函数的交点；3) 将这些交点代入二元函数，计算函数的值；4) 比较这些值，找到最大值和最小值。
三、实际应用二元函数的极值和最值在实际问题中具有广泛的应用。
6.6 二元函数的极值
对于 U ( P0 )内的任意点 ( x , y ), 若恒有不等式
0
z 3x 2 4 y 2 在点 (0,0) 处取得极小值. z 2 ( x2 y 2 ) 在点 (0,0)处取得极大值. z y 2 x 2 1 在点 (0,0)既不取得极大值也不取得极小值.
在点 0,4 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 0,4 不是极值；
在点 3,2 处， f xx 8 , f xy 0 , f yy 18，
AC B 2 8 18 0 ，又 A 0 ，所以函数有
2 2 求函数 f x, y 6 x x 4 y y 的极值． 例2
解 函数的定义域为整个 xOy 面； 2 2 f x 6 2x4 y y f y 6x x 4 2 y
fx 0 由 得： 0,0 、 0,4 、 3,2 、 6,0 、 6,4 fy 0
极大值 f 3,2 36 ；
在点 6,0 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 6,0 不是极值；
在点 6,4 处， f xx 0 , f xy 24 , f yy 0 ，
AC B 2 242 0 ，所以 f 6,4 不是极值．
(3).若 B2
AC 0 ,
情况不定.
注意：
结论(1)中的 A 换为 C 结论不变。
例1. 求函数 解:
f ( x, y) x3 y 3 3x2 3 y 2 9 x
二元函数取极值的充分条件
二元函数取极值的充分条件二元函数取极值的充分条件分为以下几种情况：1. 二次型矩阵的正负性：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$\Delta H=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2>0$。
则当 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极小值；当$f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极大值。
2. 一阶偏导数的消失：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的一个驻点。
仅凭一阶偏导数消失的条件不能判断极值，需进一步判断。
3. 二阶导数的正负性：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。
(1) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是$f(x,y)$ 的极小值点。
(2) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是$f(x,y)$ 的极大值点。
(3) 若 $\Delta H<0$，则 $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。
(4) 若 $\Delta H=0$，则无法判断 $(x_0,y_0)$ 是否是 $f(x,y)$ 的极值点，需作进一步研究。
4. 鞍点与拐点：当 $\Delta H<0$ 时， $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。
第八节二元函数的极值与最值
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
二元函数的最值与极值
二元函数的最值与极值二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。
在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。
最值是函数在给定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念及其求解方法。
一、二元函数最值的定义和求解方法1. 最大值与最小值的定义在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*,y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。
类似地，最小值为f(x*, y*)≤f(x, y)。
2. 常用求解方法求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。
通过确定函数的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。
边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上的值，包括端点和可能的不可导点。
最值往往出现在函数在 D 的边界上。
极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数为零的临界点，即潜在的极值点。
通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。
二、二元函数极值的定义和求解方法1. 极值的定义在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。
2. 常用求解方法求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。
通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。
一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其等于零，求解得到潜在的临界点。
通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。
二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。
对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值点的位置。
三、实例分析考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数的最值和极值。
二元函数的极值与最值
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数的极值与最值
先求出一阶偏导，再令其为零并求出相再求函数的驻点.令—=O,■X :z C=O,-y得方程组r 23x -2y=O,2y —2x = O.二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1. 二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。
对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2) 二元函数取得极值的必要条件：设f(x,y)在点(x o, y。
)处可微分且在点(X o,y o)处有极值，则f'x(X o,y°)=O , f 'y (X o, yo) = 0，即(x。
，y。
)是驻点。
(3)二兀函数取得极值的充分条件：设z = f (x, y)在(X o，y。
)的某个领域内有连续上二阶偏导数，且 f 'x(X o ,y°) = f 'y (X o, y°) = o，令f'xx (x o, y°) = A ，f'xy (X o,y°) =B，f'yy (x°,y°) =C ，贝U当B2- AC ::: O 且A<O 时，f(X o, y o)为极大值;当B2- AC ::: O 且A>O，f(x o, y o)为极小值；B2 - AC O时，(X o, y o)不是极值点。
注意：当B2—AC = O时，函数z = f (x, y)在点(x o,y o)可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1求函数z = x3 + y2—2xy的极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值, 【解】先求函数的一、二阶偏导数：2；z 2 ；z :z3x -2 y， 2 y -2x . 歹=6x ,:x -y ：x2 2求得驻点(O, o)、(—,—). ;2Z ;y3 3利用定理2对驻点进行讨论:【解因为x 2 -6xy■ 10 y 2 - -2 yz _ zc cc 和:z2 x —6 y —2 y — -2z — =0 ,ex :：x&；z-6x 20 y - 2z-2y —-2z —:y0, :x .:z 0fy =3y,-3x 亠 10y - z = 0,将上式代入 x 2 —6xy-10y 2_2yz —z 2 T8=0，可得二_9,=3,--3, 二_3由2 -22zy 2 :Xz 2 -2() -2z :x 2:z 0 ・ 2:X匸启2cz c z -6-22 y — :x ;\;y'z 'z20—2 — — 2—— 2 y 2 ;:y ;:y ;:y⑴对驻点(0, 0),由于A = 0, B = — 2, C = 2, B 2 — AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y)的极值点.(2)对驻点(2,2),由于 A =4, B = — 2, C = 2,B 2 — AC = — 4*0,且 A . 0,则3 32 24f '一 —为函数的一个极小值. 3 3 27例 2： ( 2004 数学一)设 Z=Z (X,y)是由 x 2 _6xy • 10 y 2 _ 2yz _ Z 2 • 18 = 0 确定的函 数，求z = z(x, y)的极值点和极值・【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数的极值和最值
二元函数的极值和最值二元函数是指含有两个未知变量的函数，通常用z=f(x,y)来表示。
当x、y取不同的值时，z的取值也会发生变化，因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。
一、定义首先，我们需要了解极值和最值的定义。
极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值，而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
在二元函数中，极值也分为极大值和极小值。
当函数在某个点处取得极大值时，这个点被称为极大值点；同理，当函数在某个点处取得极小值时，这个点被称为极小值点。
考虑以下例子：z=x^2+y^2，我们需要找到z的极小值和最小值。
二、求解方法我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。
对于二元函数z=f(x,y)，我们先求出x和y的一阶偏导数：∂z/∂x=2x∂z/∂y=2y求出它们的偏导数后，我们需要将偏导数相等的方程组联立起来，解出x和y的值，进而求得z的值。
举个例子，对于函数z=x^2+y^2，我们可以得到：2x=02y=0由此可得，当x=0，y=0时，z取得最小值0。
除了求一阶偏导数的方法，我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。
若f(x0,y0)满足：① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0，则f(x0,y0)为极小值点；② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0，则f(x0,y0)为极大值点；③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反，则f(x0,y0)为鞍点。
同样以z=x^2+y^2为例，我们可以得到：∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0，因此z取得最小值。
3. 拓展方法除了上述两种方法外，我们还可以利用拉格朗日乘数法，求出约束条件下的极值和最值。
二元函数极值的定义
§1. 极值与最小二乘法
设f x, y 在点 x0 , y0 取到极值，则
则 f f x0 x , y0 y f x0 , y0
1 ( f x 2 x0 x , y0 y x 2 2 f xy x0 x , y0 y xy 2 f yy x0 x , y0 y y 2 )
§1. 极值与最小二乘法
f yy x0 x, y0 y C
且当x 0, y 0时， 0， 0， 0
1 1 2 2 f ( Ax 2 Bxy C y ) (x 2 2xy y 2 ) 2 2
故当 y y0 ， x x0 时， 有
Yunnan University
f x, y0 f x0 , y0 .
§1. 极值与最小二乘法
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x0 处有极大值,
必有
类似地可证
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
在 (0,0) 处有极大值．
(2)
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
Yunnan University
(3)
§1. 极值与最小二乘法
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
A f x 2 x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f y 2 x0 , y0 ,
二元函数的极值
一、二元函数的极值 二、最值应用问题
第八章
机动
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一、 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
因此 为极小值.
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二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 只有一个极值点P 时, 特别 当区域内部最值存在, 且只有一个 只有一个
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC −B2 =12×(−6) < 0,
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
一个驻点, 故此点即为所求.
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内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
8.8二元函数的极值
D 的内点。若存在 p0 的某个领域U ( p0 ) ⊂ D ，使得对 的内点。
于该领域内异于 p0 的任何点 ( x , y )都有
f ( x , y ) < f ( x 0 , y0 )
则 称 函 数 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 有 极 大 值 f ( x 0 , y0 ) 点
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1 ） AC − B > 0 时具有极值， 时具有极值，
2
时有极大值， 时有极小值； 当 A < 0 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时没有极值； （2 ） AC − B 2 < 0 时没有极值； 时可能有极值,也可能没有极值， （3） AC − B = 0 时可能有极值,也可能没有极值，
例 2 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长 方体水箱。问当长、 高各取怎样的尺寸时， 方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时， 才能使用料最省。 才能使用料最省。
解 设水箱的长为 xm ，宽为 ym ，则其高应
2 为 m 。 此水箱所用材料的面积 xy 2 2 2 2 A = 2( xy + y ⋅ + x ⋅ ) = 2( xy + + )( x > 0, y > 0) xy xy x y 2 2 Ay = 2( x − 2 ) = 0 x = 3 2 ,y = 3 2 Ax = 2( y − 2 ) = 0 y x 即 当 水 箱 长 为 3 2m 、 宽 为 3 2m 、 高 为
8.8 二元函数的极值 一、二元函数的极值 二、条件极值与拉格朗日乘数法
6.4 二元函数的极值汇总
4
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求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 2 的符号，再判定是否是极值.
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当
2) 当 3) 当 这个定理不加证明.
2018年11月1日星期四
时, 具有极值 时, 没有极值.
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
时, 不能确定 , 需另行讨论.
x y 6 所围成的三角形区域 D 上的最大值和最小值.
提示: 首先考察函数z在三角形区域D内的极值 其次，考察函数在三角形区域 的边界上的最大值和 最小值.
2018年11月1日星期四
11
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说明: 从上例可以看出，计算函数f(x, y)在有界闭区域
D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.
bc 2 0 La 6 a L 1 ac 2 0 b 6 b2 L 1 ab 3 0 a 6 c2 1 2 3 1 0 a b c
22
2018年11月1日星期四
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得 a 3,b 6 , c 9 . 这是唯一可能的极值点,由于实际问题的最 小值一定存在,所以最小值就在这个可能的极值 x y z 点取得 . 故平面 1 与坐标平面在第一 3 6 9 卦限所围立体的体积最小,最小体积为 1 V 3 6 9 27 . 6
一类二元函数极值的判别
一类二元函数极值的判别
1 什么是二元函数极值
二元函数极值，或简称为极值，是指在满足某些约束条件下，使
函数值取得最大（最小）值的变量值所组成的集合。
也就是说，极值
是某函数中满足某特定条件的单个值集合，即求函数最值问题。
极值
问题有多个解，其中极大值是函数值最大的变量值，极小值是函数值
最小的变量值；本质上，极值就是对函数求解最值的问题。
2 极值的判别
求一元函数的极值，一般常用的方法有：求导法、步骤法和图像法。
而二元函数极值的判别，又有几种方法。
（1）拉格朗日乘数法：也叫拉格朗日最优化法，它是一种求二元
函数极值的常用方法，它的基本公式为L（x，y）=f（x，y）-λP（x，y），只要给定一定约束条件，用最优化技术求新函数L（x，y）的极值，就可以得到原函数f（x，y）的极值。
（2）全微分的方法：也叫求导极值法，它的主要思想是求解两个
变量的偏导数相等时，函数值取得最大（最小）值的变量值所组成的
集合，即求得极大值（极小值）。
（3）凸集理论：它是一种极大极小值判定的有效方法，解决优化
问题的关键是，要成功完成一个二元函数的极值判别，就必须先确定
函数在定义域中给定约束条件下是否具有极大极小值，而凸集理论就
是从这个角度进行分析，对于此类问题，凸集理论的可靠性也得到了
充分的证明。
3 结尾
二元函数极值的判别，可以采用拉格朗日乘数法、全微分的方法、凸集理论等多种方法，各有优劣，可以根据需要进行选择，每种方法
可以根据实际情况选取合适的方案，不断优化完善以达到最佳效果。
高等数学：第十一讲 二元函数的极值
2.求方程组
f f
x( y(
x, x,
y) y)
0 0
的所有实数解，得函数的所有驻点；
3.求出 fxx (x, y), fxy (x, y), f yy (x, y), 对于每个驻点 (x0, y0 ) ,求出二
阶偏导数的值 A，B，C；
4.对于每个驻点 (x0, y0 )，判断 B2 AC 的符号，由极值存在的充分
第二步：判别. 求二阶偏导数 f xx (x, y) 6x 6 A
fxy (x, y) 0 B f yy (x, y) 6 y 6 C
例题：
fxx (x, y) 6x 6 A, fxy (x, y) 0 B, f yy (x, y) 6 y 6 C
在点 (1 , 0) 处，A 12, B 0, C 6, B2 - AC 12 6 0, A 0, f (1,0) 5 为极小值. 在点 (1 , 2) 处，A 12, B 0, C -6, B2 - AC 12 6 0, f (1,2) 不是极值. 在点 (-3 , 0) 处，A -12, B 0, C 6, B2 - AC 12 6 0, f (-3,0) 不是极值. 在点(-3 , 2) 处，A -12, B 0, C -6, B2 - AC 12 6 0, A 0, f (-3,2) 31 为极大值.
定义 设函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某个邻域内有定义，如果
在该邻域内任何异于 P0 (x0, y0 )的点 P(x, y)，总有 (1) f (x, y) f (x0, y0 ), 则称 f (x0, y0 ) 为函数 f (x, y) 的一个极大值， 点 P0 (x0, y0 )称为函数 f (x, y) 的一个极大值点；
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是一个带有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)，其中x和y分别是独立变量。
当我们定义一个函数时，我们通常希望找到函数的最大和最小值等重要信息。
在这篇文章中，我们将探讨二元函数的极值点和最值点，以及如何找到它们。
极值和最值的概念首先，我们需要了解的是“极值”和“最值”的概念。
在微积分中，极值是指在一个函数曲线上的局部最大值或最小值。
具体地说，一个函数在一个点上的导数为零，这个点就是函数的驻点。
如果该点是一个局部最大值或最小值，则它是该函数的一个极值点。
最值是在函数的定义域内找到的最大值或最小值。
二元函数的极值点要找到二元函数的极值点，我们需要找到函数曲面上的局部最大值或最小值。
这意味着我们需要找到函数曲面上的所有可能的驻点。
与一元函数类似，我们可以使用偏导数来找到驻点。
因此，对于二元函数f(x, y)，我们可以用以下公式来计算它的偏导数：∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0这些方程可以帮助我们找到一个或多个可能的驻点。
然而，这些驻点可能是最大值或者最小值，或者它们根本不是。
我们还需要使用二阶偏导数来确定驻点的角色。
如果二阶偏导数是：1. 正的，那么这个点是局部最小值点。
2. 负的，那么这个点是局部最大值点。
3. 0，那么这个点不是极点。
最终，我们将找到所有可能的极值点，以及它们的角色和函数值。
二元函数的最值点要找到二元函数的最大值和最小值，我们要按照以下步骤进行：1. 找到函数曲面上的所有极值点2. 在函数的定义域内找到函数曲面上的所有最大值和最小值。
3. 在找到的所有值中找到全局最大值和最小值。
在这个过程中，我们需要使用一些数学方法来找到最大值和最小值。
最常见的方法是使用拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于最值问题的数学方法。
这个方法的基本思想是，如果一个函数f(x, y)在限制条件g(x, y)下取得最大值或最小值，那么这个点的梯度向量（∇f）和限制条件的梯度向量（∇g）之间应该是平行的。
第五节 二元函数极值-精选文档
2
注意：
(1)中的A换为C结论不变。
4
例1. 求函数 解:
的极值. f ( x , y ) x y 3 x 3 y 9 x
3 3 2 2
2 2 , 0 f x 3 y 6y 0 f 3 x 6 x 9 y 1 , 0 ), ( 1 , 2 ), ( 3 , 0 ), ( 3 , 2 ) 得驻点: ( , f 0 fyy 6 y 6 f xx 6 x 6 xy
(x (x, y)0 fx ,y) 0 , fy
称为函数 zf(x ,y)的驻点.
同时成立的点,
2
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
3）函数的极值点也可能是偏导数不存在的点。 例
f( x, y) x
第五节 二元函数的极值
一. 二元函数的极值 定义4.7 设函数 zf( x ,y )在点 P(x0, y0)某邻域内有定义,
对于该邻域内任一点 ( x , y ) , 若恒有不等式
1 ). f ( x , y ) f ( x , y )则称该函数在点 P 处有极大值 f (x0, y0) 0 0
A 12 , B 0 , C 6
5
B2 AC 3 ,2 )31 72 0 A0 , 有极大值 f(
步骤：
求函数
zf(x ,y )极值的方法和步骤.
fy ( 1 ) 求 f x，
（2）求出驻点( x0 , y0 ) （3）求出在驻点( x0 , y0 )处对应的二阶偏导数值A,B,C
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§10–7 二元函数的极值
基础知识导学
1. 二元函数的极值与驻点
⑴ 极值与驻点
①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.
⑵ 极值存在的必要条件
设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .
注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件
设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则
①当02
<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0<A 时，点),(000y x P 是极大值点；当0>A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02
>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；
③当02
=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.
2．条件极值与拉格朗日乘数法
⑴ 条件极值
求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.
⑵ 拉格朗日乘数法
求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法的具体步骤如下：
①构造拉格朗日函数 ),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x F λϕλ+=,
其中λ为待定常数，称其为拉格朗日乘数.
②求四元函数),,,(λz y x F 的驻点，即列方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ==λϕ+==λϕ+==λϕ+=λ
,0),,(,0),,(),,(,0),,(),,(,0),,(),,(z y x F z y x z y x f F z y x z y x f F z y x z y x f F z z z
y y y x x x 求出上述方程组的解λ,,,z y x ，那么驻点),,(z y x 有可能是极值点；
③判别求出的点),,(z y x 是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定.
对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果.
解题方法指导
1．求函数的极值与最值的方法
例1 求函数)2(e
),(22y x y x f y x -=-的极值.
解 （1）求驻点
由 ⎪⎩⎪⎨⎧=---==+-=----,0e 4)2(e ),(,0e 2)2(e ),(2222y x y x y y x y x x y y x y x f x y x y x f 得两个驻点 )0,0(，)2,4(--，
（2）求),(y x f 的二阶偏导数
)242(e ),(22++-=-x y x y x f y x xx ，)422(e ),(22y x x y y x f y x xy ---=-， )482(e ),(22-+-=-y y x y x f y x yy ，
（3）讨论驻点是否为极值点
在)0,0(处，有2=A ，0=B ，4-=C ，082>=-AC B ，由极值的充分条件知 )0,0(不是极值点，0)0,0(=f 不是函数的极值；
在)2,4(--处，有2e 6--=A ，2e 8-=B ，2e 12--=C ，0e
842<-=--AC B ，而0<A ，由极值的充分条件知 )2,4(--为极大值点，2e 8)2,4(-=--f 是函数的极大值.
例2 某公司要用不锈钢板做成一个体积为83m 的有盖长方体水箱。
问水箱的长、宽、高如何设计，才能使用料最省？
解一 用条件极值求问题的解.
设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z .依题意，有
8=xyz ， )(2zx yz xy S ++=
令 ),,,(λz y x f =)(2zx yz xy +++)8(-xyz λ，
由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=,
08,0)(2,0)(2,0)(2xyz f xy x y f xz z x f yz z y f z
y x λλλλ 解得驻点（2,2,2）. 根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，当水箱的长、宽、高分别为2cm 时，才能使用料最省.
解二 将条件极值转化为无条件极值.
设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z .依题意，有
8=xyz ， )(2zx yz xy s ++=
消去z ，得面积函数 )88(2y
x xy S ++=， 0>x ，0>y ，8≤xy . 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=0)8(20)8(222y
x S x y S y x
得驻点 （2,2）， 根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，（2,2）为),(y x S 的最小值点，即当水箱的长、宽、高分别为2cm 时，才能使用料最省.
小结 求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断.
学习方法建议
1． 本章重点为二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数
的求导公式与计算，隐函数的求导公式，曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.
2．多元函数的微分学与一元函数的有关内容是相对应的.在学习这一章时，应与一元函数进行对比，弄清它们之间的区别与联系，对理解和掌握本章的相应内容是会有帮助的.
3. 多元函数的微分法一个是难点，要求读者一定要分清自变量与中间变量，以及它们之间的关系.搞清楚函数的各变量间的复合关系，由于多元函数的复合关系可以说是无穷无尽的，不可能列出所有的公式.因此，要记住最基本的公式，这就是链式规则——通过一切有关的中间变量到自变量.自变量有几个，链式规则中就会含有几个公式；中间变量有几个，链式规则中的每个公式里就有几项.同时，读者还应做较多的练习，才能熟练、灵活地掌握链式规则，确保求导的正确性.
4．求解最大、最小值问题是多元函数微分学的重要应用，求解这类问题的关键在于建立函数关系和约束条件，读者应通过一些习题锻炼自己建立函数关系的能力.。