年乌鲁木齐市高三理科一模数学试卷及答案
新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第一次质量监测理科数学试题 Word版含解析
乌鲁木齐地区2020年高三年级第一次质量监测理科数学（问卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|280A x x x =--<，{}2|90B x x =-≤，则集合A B =U （ ）A. (]2,3-B. (]4,3-C. [)3,2-D. [)3,4- 【答案】D【解析】【分析】求解一元二次不等式，解得集合,A B ，再求并集即可.【详解】对集合A ：2280x x --<，解得()2,4x ∈-；对集合B ：290x -≤，解得[]3,3x ∈-，故可得[)3,4A B ⋃=-.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.2.已知复数z 满足(12)|34|z i i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i -- 【答案】A【解析】【分析】 先求34i +的模长，再利用复数除法运算求得复数z ，写出其共轭复数即可.【详解】因为345i +==， 故()()()512512121212i z i i i i -===-++-， 故其共轭复数z =12i +.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的求解，复数的除法运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为线的实轴长为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果. 【详解】因两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为2c =结合222a b c +=，解得3,3,a b c ===，故实轴长26a =.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】B【解析】【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ，因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂；同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线，因为l γ⊥，故m γ⊥.故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误.故选：B .【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则4S =（ ）A. 8B. 12C. 16D. 24 【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的定义，结合数列的公差为2，列方程即可求得数列的首项，进而利用公式求得4S .【详解】因为1a ，4a ，13a 成等比数列，故可得21134a a a ⋅=，即可得()()2111246a a a +=+，解得13a =.故4S 14324242a ⨯⨯=+=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和与通项公式基本量的计算，涉及等比中项，属综合基础题. 6.若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为r nMODm =，例如212 5MOD =.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：7,1n i ==开始，2,9i n ==，不满足13nMOD =，故4,13i n ==，满足13nMOD =，但不满足25nMOD =，故8,21i n ==，不满足13nMOD =，故16,37i n ==，满足13nMOD =，满足25nMOD =，输出16i =.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题. 7.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照[)0,0.5，…，[]4,4.5分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准a .使85 %的居民用水量不超过a ，按平价收水费，超出a 的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准a 的是（ ）A. 2.5吨B. 3吨C. 3.5吨D. 4吨【答案】B【解析】【分析】 根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为0.85和0.15的数值，即为标准a .【详解】根据频率分布直方图，结合题意可得：()0.080.50.160.50.300.50.440.50.500.5 2.50.50.85a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=解得 2.72a =.故要满足85 %的居民用水量不超过a ，则a 比较合适的取值为3吨.故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率的计算，属基础题.8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++)A. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得： ()211 1.25 2.5lgE lgE -=- 可得12110E lg E =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26.故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.9.已知函数2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于6x π=对称 B. ()f x 为奇函数C. ()f x 的值域为[]3,1-D. ()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】A【解析】【分析】 利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.【详解】2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22133x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 236x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为2sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭是该函数的最大值，故6x π=是函数的对称轴，故A 正确； 因为()()2sin 26f x x f x π⎛⎫-=--≠- ⎪⎝⎭，故该函数不是奇函数，故B 错误； 因为[]2sin 22,26x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,2-，故C 错误； 由x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，在此区间内，正弦函数不单调，故D 错误； 综上所述，正确的是A .故选：A.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基础题.10.已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()cos sin b αα=，()sin cos c αα=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. b a c <<B. b c a <<C. a b c <<D. c b a << 【答案】A【解析】【分析】 因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得cos sin αα>，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得10cos sin αα>>>， 根据指数函数()(),0,1x y sin sin αα=∈是单调减函数，可得sin αcos sin sin ααα<，即可得b a <；根据幂函数(),0,1sin y x sin αα=∈是单调增函数，可得sin sin cos sin αααα>，即可得c a >综上所述：c a b >>.故选：A.【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题.11.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则||MD =（ ）A. 4B.C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M 的坐标，即可得N 点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D 的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD 的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点()1,0F ，故直线FM 的方程为)31y x =-，联立抛物线方程24y x =可得231030x x -+=，解得13x =或3x = 因为点M 在第一象限，故可得(3,23M . 又因为准线方程为1x =-，故可得(23N -. 则直线FN 的方程为)31y x =--，令0x =，解得3y =(3D . 故9323MD =+=故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.12.已知函数ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若αβ<且()()f f αβ=，则βα-的取值范围是（ ）A. []83ln3,6-B. )283ln3,1e ⎡--⎣C. []94ln3,6-D.)294ln 3,1e ⎡--⎣ 【答案】B【解析】【分析】根据()f x的函数图像，结合()()f fαβ=，求得β的取值范围以及,αβ之间的等量关系，将βα-表示为β的函数，求该函数在区间上的值域即可.【详解】因为ln1,1()1(2),13x xf xx x-≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，故其函数图像如下所示：令11lnx-=，解得2x e=；令11lnx-=-，解得1x=.数形结合可知，若要满足()()f fαβ=，且αβ<，则()21,eβ∈，且()1213lnαβ+=-，解得35lnαβ=-.故βα-35lnββ=-+，()21,eβ∈.令()()235,1,g x x lnx x e=-+∈，则()31g xx'=-，令()0g x'=，解得3x=，故()g x在区间()1,3单调递减，在区间()23,e单调递增，则()()()2216,3833,1g g ln g e e==-=-，故())2833,1g x ln e⎡∈--⎣.即可得βα-)2833,1ln e⎡∈--⎣.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及构造函数的能力，数形结合的能力，属综合性中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知单位向量a r ，b r 满足()22a a b ⋅+=r r r ，则向量a r与向量b r 的夹角的大小为__________．【答案】3π【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为a r ，b r均是单位向量，故可得1,1a b ==r r ， 故可得()222,?2a a b a a b cos a b ⋅+=+=r r rr r r r r ， 即2?,?1cos a b =r r ，解得1,?2cos a b =r r ， 又因为向量夹角的范围为[]0,π，故,a b rr 的夹角为3π.故答案为：3π. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.14.已知点N 在圆224470x y x y +-++=上，点M 在直线3460x y -+=上，则MN 的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求. 【详解】因圆方程为224470x y x y +-++=，故圆心坐标为()2,2,1r -=，则圆心到直线的距离41d ==>，则直线与圆相离.故MN 的最小值为413d r -=-=. 故答案为：3.【点睛】本题考查圆心到直线上一点距离的最值问题，属基础题.15.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系为:x y =；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为2624cm ，则这9张纸的面积之和等于______2cm . 【答案】19929 【解析】 【分析】根据题意，求出4A 纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前n 项和的计算公式，即可求得.【详解】由题可设，0A 纸的面积为S ， 根据题意，纸张面积是首项为S ，公比为12的等比数列， 则容易知4A 纸张的面积为416242S ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故可得9984S =， 故纸张面积是一个首项为9984，公比为12的等比数列， 故9张纸的面积之和为911219929112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-. 故答案为：19929.【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题. 16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，有下列四个命题： ①1BC 与平面11BCD A 所成角为30°；②三棱锥1A A BD -与三棱锥11C A BD -的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，1AA 在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且仅有一个；④过1BD 作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为6. 上述四个命题中，正确命題的序号为______.【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得.【详解】对①：连接1C D 交1D C 与H ，连接BH ，作图如下：因为1111ABCD A B C D -是正方体，故可得BC ⊥平面11CC D D ， 又因为CH ⊂平面11CC D D ，故可得CH BC ⊥，又1CH D C ⊥， 故可得CH ⊥平面1//MN A C ，则1C BH ∠即为所求线面角. 在1Rt C BH n 中，1112,222CH C D C B ===故可得111 2CHsin C BHC B∠==，又线面角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故130C BH∠=︒，则1BC与平面11BCD A所成角为30°，故①正确；对②：因为正方体棱长为1，故可得11111111113326A A BD A ABD ABDV V S A A--==⨯=⨯⨯⨯⨯=n；而棱锥11C A BD-的体积可以理解为正方体的体积减去4个体积都和1A A BDV-相等的三棱锥的体积，故1111463A A BDV-=-⨯=.故棱锥1A A BD-与三棱锥11C A BD-的体积比为1:2，故②正确；对③：若棱1,,AD AA AB在平面α的同侧，则α为过点A且与平面1A BD平行的平面；若棱1,,AD AA AB中有一条棱与另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面有3个；故满足题意的平面α有4个.故③错误；对④：根据题意，取11,AA C C中点为,M N,则过1BD作正方体的截面如下：则过1BD的所有截面中，当截面1D MBN为菱形时，面积最小，其面积为11162322S MN D B =⨯=⨯⨯=. 故④正确.总上所述，正确的有①②④.【点睛】本题考查线面角的求解，正方体截面面积的求解，涉及棱锥体积的计算，属中档题.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是CD 中点，点F 在BC 上，且3BF FC =.（1）证明EF ⊥平面PAE ； （2）若54PA AB =，求平面PAB 与平面PEF 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2)5 【解析】 【分析】（1）根据PA ⊥平面ABCD ，可得EF PN ⊥，再证EF AE ⊥，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故可得EF PA ⊥； 设底面正方形的边长为4，故可得2216425AE AD DE =++=22145EF FC CE =+=+=221695AF AB BF =++=，故在AFEn中，满足222AE EF AF+=，故可得AE EF⊥；又,PA AE⊂平面PAE，且PA AE A=I，则EF⊥平面PAE，即证.（2）因为PA⊥平面ABCD,,AB AD⊂平面ABCD，故可得,PA AB PA AD⊥⊥，又底面ABCD为正方形，故可得AB AD⊥，故以A为坐标原点，以,,AB AD AP所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系如下图所示：设4AB=，故可得()()()()()0,0,0,0,0,5,4,0,0,2,4,0,4,3,0A PB E F设平面PEF的法向量为(),,m x y zr=，则m EFm PE⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vru u u vr，则202450x yx y z-=⎧⎨+-=⎩取2y=，则()1,2,2m=r.不妨取平面PAB的法向量()0,1,0n=r.则2,?391m ncos m nm n⋅===⨯r rr rr r.设平面PAB与平面PEF所成二面角的平面为θ，则251cos,sin m nθ=-=r r.即平面PAB与平面PEF所成二面角的正弦值为53.【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.18.已知ABC ∆的面积为3，BC 边上的高是2，tan 3A =. （1）求ABC ∆外接圆的半径； （2）求AB 和AC 的长. 【答案】(1) 2；(2) AB AC ==AB AC ==【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，再利用同角三角函数关系，求得sinA ，最后利用正弦定理，即可求得外接圆半径；（2）利用面积公式以及余弦定理，求得AB 和AC 的方程组，解方程组即可. 【详解】设三角形的边长,,BC a AC b AB c ===. （1）由面积公式1232S a =⨯=，解得3a =. 因为3tanA =，()0,A π∈，故由同角三角函数关系，容易得,1010cosA sinA ==.由正弦定理可得22aR sinA===. 故ABC n外接圆的半径为2. （2）由面积公式可得132S bcsinA ==，结合（1）中所求，可得bc =由余弦定理可得2292b c cosA bc +-==，解得2213b c +=， 即()213213b c bc +=+=+=解得b c +=bc =可得b c ==b c ==故AB AC ==AB AC ==.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形外接圆半径的求解，属综合基础题.19.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子. （1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)5%；(2)分布列见详解，数学期望为21400. 【解析】 【分析】（1）先计算出摸两个球，出现同色和异色的概率，据此计算出回答第一个问题和第二个问题的人数，再根据学籍号最后一位是奇数的概率为12，计算出回答第一个问题选择“是”的同学个数，从而算出回答早恋选择“是”的同学个数，据此估算百分比即可；（2）根据题意可知，X 服从二项分布，结合（1）中所求，写出分布列，计算出数学期望即可.【详解】（1）从10个球中随机摸取两个球，摸到两球同色的的概率2246210715C C P C +==. 故回答第一个问题的人数为730014015⨯=人，则回答第二个问题的人数为160人； 又学籍号最后一位是奇数还是偶数，是等可能的，故回答第一个问题，选择“是”是的同学个数为1140702⨯=人， 则回答第二个问题，选择“是”的同学个数为8人， 则中学生早恋人数的百分比为85%160=. （2）根据（1）中所求，可知1~2,?20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，且X 可取值为0,1,2， 故可得()020211902020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111211912020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22211922020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故X 的分布列如下所示：故()36119121012400400400400E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的特点，以及二项分布分布列的求解和数学期望的计算，属综合性中档题.20.已知函数2()ln f x ax x x x =--（a R ∈）. （1）当1a e=时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程； （2）若()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)y x =-；(2) ,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 分析】（1）对函数求导，解得函数在点()(),e f e 处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；（2）构造函数()22lnx g x x+=，利用导数求解其值域，再根据()f x '与()g x 之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围.【详解】（1）当1a e =时，()2x f x xlnx x e=--，故()22f x x lnx e '=--；故可得()()1,f e f e e -'==-，故切线方程为：()y e x e +=--，整理得y x =-. 故曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为y x =-.（2）因为()2ln f x ax x x x =--，故可得()22f x ax lnx '=--.若()f x 在定义域内为单调函数，则()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 构造函数()22lnx g x x +=，故可得()()‘212lnx g x x-+=， 令()’0g x =，解得1x e=， 故()g x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()12max eg x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭，且当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞. 故(),2e g x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 若要保证()0f x '≥在定义域内恒成立，即220ax lnx --≥恒成立， 即22lnx a x +≥在定义域内恒成立，则只需()2max ea g x ≥=； 若要保证()0f x '≤在定义域内恒成立，则220ax lnx --≤恒成立， 则22lnx a x+≤在定义域内恒成立，但()g x 没有最小值，故舍去. 综上所述，要保证()f x 在定义域内为单调函数，则,2e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及根据函数单调性，利用导数求参数的范围，属综合中档题.21.点(,)P x y 与定点(1,0)F -的距离和它到直线:3l x =-P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO OM λ=u u u r u u u u r（0λ>），求四边形ACBD 面积的取值范围.【答案】(1)22132x y +=；(2) 4,⎡⎣. 【解析】 【分析】（1）设出点P 的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程； （2）设出直线AB 的方程，利用弦长公式求得AB ，再利用OC OM λ=u u u r u u u u r，建立直线CD 与AB 之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可.【详解】（1）设动点(),P x y ，则P 到直线:3l x =-的距离3d x =+，由题可知：PFd ==，两边平方整理可得：22132x y +=故曲线E 的方程为：22132x y +=.（2）因(0)OC OM λλ=>u u u r u u u u r，故,O M 两点不可能重合，则直线AB 的斜率不可能为0， 故可设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程22132x y +=，可得()2223440m y my +--=，设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则可得12122244,2323m y y y y m m -+==++， 则()121226223x x m y y m +=+-=-+ 故可得2232,2323m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为(0)OC OM λλ=>u u u ru u u u r，故可得,,0,C M D 四点共线，故可得2222233323CDmm m k m +==--+. 不妨设直线CD 方程为y kx =，23m k =-， 联立直线y kx =与椭圆方程22132x y +=可得()22236kx+=，设()()3344,,,C x y D x y ，则33x y ==-C ⎛- ⎝则44x y ==D 则点,C D 到直线AB 的距离为：1d =2d =将23mk =-代入上式即可得：1d ==，2d =故212223m d d ++=又根据弦长公式可得：22123m AB m +==+ 故四边形面积()221222231112223m m S AB d d m ++=+=⨯+== 因为23322m +≥，则21120,?332m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，21221,1332m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭+3⎫⎪⎪⎣⎭故4,⎡⎣.故四边形ACBD 面积的取值范围为4,⎡⎣.【点睛】本题考查椭圆轨迹方程的求解，以及椭圆中四边形面积的范围问题，计算量相对较大，属综合性困难题.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为2ρ=，四边形ABCD 的四个顶点都在曲线E 上. （1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）若AC ，BD 相交于点()1,1P ，求||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅的值.【答案】(1)224x y +=；(2)4 【解析】（1）将2ρ=两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线,AC BD 的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得. 【详解】（1）将2ρ=两边平方，即可得24ρ=， 即可得224x y +=.（2）因为直线,AC BD 都经过点()1,1P ，故直线AC 的参数方程为：1(1x tcos y tsin ααα=+⎧⎨=+⎩为参数)； 直线BD 的参数方程为：1(1x tcos y tsin θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)； 联立直线AC 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t αα++-=，设,A C 两点对应的参数为12,t t ，故可得122t t =-； 同理联立直线BD 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t θθ++-=，设,B D 两点对应的参数为34,t t ，故可得342t t =-； 根据直线参数方程中t 的几何意义可知：||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅12344t t t t ==.即为所求.【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及利用直线参数方程中参数几何意义，求解线段长度的乘积，属基础题. 23.已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-.【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得. 【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤， 解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立， 解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤， 解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立. 则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤， 解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。
新疆乌鲁木齐地区2023年高三第一次质量监测数学(理)试题(解析版)
【详解】解：由 得 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，
由于函数 在 上单调递减，函数 在定义域上单调递增，
所以，根据复合函数的单调性得 在 上单调递减，
因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以， ，
所以，由函数单调递减的性质得 .
故选：A
11.已知函数 （ ， ）的图象过点 ，且在区间 内不存在最值，则 的取值范围是（）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过 求出 ，然后求出使 取最值时的 ，再根据 在区间 内不存在最值列不等式求解 的取值范围.
【详解】 函数 的图象过点 ，,
，即 ，
故选：C
6.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）
A.乙分到37文，丁分到31文B.乙分到40文，丁分到34文
连接AG延长交BC于M，连接BG延长交AC于N，则M、N分别为BC和AC的中点，
因为 平面BCD， 平面BCD，射影 ，
又H为△ 的垂心，则 ，由 平面DAH，
所以 平面DAH，由 平面DAH，得 AD.
因为 平面ABC， 平面ABC，所以 ，
又 平面DAG，则 平面DAG，
由 平面DAG，得 AG，所以 AM，
乌鲁木齐地区2023年高三年级第一次质量监测
2022年新疆乌鲁木齐市高考理科数学第一次质检试卷及答案解析
2022年新疆乌鲁木齐市高考理科数学第一次质检试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{x ∈Z |﹣3＜x ＜1}，B ＝{x |x 2﹣4＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．（﹣3，2）D ．（﹣2，1） 2．（5分）已知复数z ＝1+i ，z 为z 的共轭复数，则1−z z=（ ） A ．12+12i B ．12−12i C ．−12+12i D ．−12−12i 3．（5分）已知等差数列{a n }满足a 2+a 4＝4，a 4+a 10＝8，则S 4＝（ ）A ．6B ．132C ．7D ．104．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，n ⊂α，则m ⊥αB ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ⊥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n5．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{y −1≤0，x −y −1≤0，2x +y ≥0，则z ＝x +y 的最大值为（ ）A ．−13B ．12C ．3D ．46．（5分）下列函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）A ．f （x ）＝x |x |B ．f(x)=x 23C ．f(x)=x −1xD ．f （x ）＝﹣x 4+x 2+27．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （cos75°﹣sin75°，cos75°+sin75°），则角α可以是（ ）A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°8．（5分）与圆x 2+y 2＝1及圆x 2+y 2﹣6x +5＝0都外切的圆的圆心在（ ）A ．一个圆上B ．一个椭圆上C ．一条抛物线上D ．双曲线的一支上 9．（5分）已知数列{a n n }为等比数列，且a 3＝1，a 7＝21，则a 9＝（ ）A ．63B ．±63C ．81D ．±8110．（5分）国际数学教育大会（InternationalCongressonMathematicalEducation，简称ICME）每四年召开一次，是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，2015年6月6日，国际数学教育委员会正式宣布，在中国上海、美国檀香山和澳大利亚悉尼三个竞标城市中，中国上海赢得2020年第14届国际数学教育大会的主办权．后因疫情原因大会延于2021年7月在上海华东师范大学举办，这是大会首次在中国举办．大会会标设计的基本思想来自我国古代的“河图”．河图、洛书一般认为是中华文明之始．《易经系辞》曰：“河出图，洛出书，圣人则之”，后世的太极、八卦、风水等皆可追源至此．河图与洛书包含了数的奇偶分类、“等差”“等和”的排列、幻方等数学内容，本质上是古人对数与数学的朴素的认识．这个会标，你看懂了么？请从以下陈述中选出你认为正确的表述．①会标中位于中心的弦图是三国时期的数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明，现在是中国数学会的徽标，也代表会议主办方中国数学会．②弦图外的圆圈表示河图中的带十个点的圈．但会标只突出画了南方（上方）的阴数2和阳数7的点列．寓意着本届大会的届数．③主画面右下方标明“ICME﹣14”，它下方的“卦”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数字3745，换算成10进制就是2020，表示预计开会的年份．④八进制数字3745，换算成10进制就是2021，表示开会的年份．⑤从四个“卦”中也可以读出二进制码：（0）11111100101．换算成10进制就是2020，表示预计开会的年份．⑥主画面呈“S”型，表示会议举办地在上海（Shanghai），并呈向前的动感，表示中国张开双臂，欢迎来自世界各地的与会者，也代表中国向世界开放的姿态．以上陈述中你认为正确的表述的个数是（）A．2B．3C．4D．511．（5分）计算5lg6×6lg2＝（）A．3B．4C．5D．612．（5分）已知F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的M ，N 两点，且MF →=2FN →，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．2√2C ．±13D ．±2√2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）某校课后服务开展社团活动，甲、乙、丙三个同学独立地从乒乓球、篮球、足球、排球4个社团中任选一个社团参加，则甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同的概率为 ．14．（5分）已知向量a →，b →，其中|a →|=1，|b →|=2，且(a →−2b →)⊥(3a →+b →)，则向量a →与b →的夹角等于 ．15．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 和平面A 1DC 1所成角的正弦值是 ．16．（5分）我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB 是窗户的高度，BC 是遮阳篷的安装高度，CD 是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为α，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为β，窗户高度AB ＝h ．为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC ＝ ．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）许多人认为大学新生在入学后体重会增加，某大学在2020年入学的新生中用随机抽样的方法抽取了30名大学生跟踪他（她）们的体重（kg），得到的数据如下：男生入学时体重（kg）705484777580656085657472588269 1年后体重（kg）726083807578686280677774618270女生入学时体重（kg）546066495358516155586056575350 1年后体重（kg）576368515460545957606258585650（Ⅰ）根据上述资料，估计入学新生平均增加了多少体重；（Ⅱ）如果体重的增加不少于2公斤，就说“变胖了”，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“变胖了”与性别有关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P（K2≥k0）0.500.400.100.010 k00.4550.708 2.706 6.635 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+b sin C＝b sin B+c sin C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2√3，∠B与∠C的角平分线交于点D，求△BCD周长的取值范围．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB ⊥BC，AB＝3DC＝3，BC＝6，点P在面ADD1A1上，过点P和棱BB1的平面把直棱柱分成体积相等的两部分．（Ⅰ）求截面与直棱柱的侧面BCC1B1所成角的正切值；（Ⅱ）求棱DD1到截面的距离．20．（12分）已知动点P 与定点F （1，0）的距离和它到定直线l ：x ＝4的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点M （4，0）的直线与曲线C 交于A ，B 两点，R ，Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线AR ，BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上．21．（12分）已知函数f(x)=(x −1)e x −a 2x 2+e 2(a ∈R)．（Ⅰ）讨论函数y ＝f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数y ＝f （x ）有三个不同的零点，求实数a 的取值范围．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθ−4，y =sinθ（θ为参数），将C 1通过伸缩变换{x′=12x ，y′=32y 后，得到曲线C 2． （Ⅰ）求C 2的普通方程；（Ⅱ）过点O （0，0）作直线l 交曲线C 2于M ，N 两点，|MN |＝1，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|，g （x ）＝a |x ﹣1|+2|x +1|．（Ⅰ）解不等式f （x ）≤4；（Ⅱ）当x ∈[﹣1，1]，时，f （x ）≤g （x ），求a 的最小值．2022年新疆乌鲁木齐市高考理科数学第一次质检试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{x ∈Z |﹣3＜x ＜1}，B ＝{x |x 2﹣4＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．（﹣3，2）D ．（﹣2，1）【解答】解：集合A ＝{x ∈Z |﹣3＜x ＜1}＝{﹣2，﹣1，0}，B ＝{x |x 2﹣4＜0}＝{x |﹣2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{﹣1，0}．故选：A ．2．（5分）已知复数z ＝1+i ，z 为z 的共轭复数，则1−z z =（ ）A ．12+12iB ．12−12iC ．−12+12iD ．−12−12i【解答】解：∵复数z ＝1+i ，z 为z 的共轭复数，∴z =1−i ，∴1−z z =1−(1−i)1+i =i 1+i =i(1−i)(1−i)(1+i)=12+12i ．故选：A ．3．（5分）已知等差数列{a n }满足a 2+a 4＝4，a 4+a 10＝8，则S 4＝（ ）A ．6B ．132C ．7D ．10【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{2a1+4d =42a 1+12d =8，解得{a 1=1d =12， 所以S 4=4a 1+4×32d =4+3＝7．故选：C ．4．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A ．若m ⊥n ，n ⊂α，则m ⊥αB ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ⊥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n【解答】解：m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，对于A ，若m ⊥n ，n ⊂α，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若m ⊥α，m ⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n ⊥α，则由线面垂直的性质得m ∥n ，故C 错误；对于D ，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m 与n 平行或异面，故D 错误．故选：B ．5．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{y −1≤0，x −y −1≤0，2x +y ≥0，则z ＝x +y 的最大值为（ ）A ．−13B ．12C ．3D ．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =1x −y −1=0，解得A （2，1）， 由z ＝x +y ，得y ＝﹣x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为3．故选：C ．6．（5分）下列函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）A ．f （x ）＝x |x |B ．f(x)=x 23C ．f(x)=x −1xD ．f （x ）＝﹣x 4+x 2+2 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝x |x |={x 2，x ≥0−x 2，x ＜0，是奇函数不是偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）=x 23=√x 23，是幂函数，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数，符合题意，对于C ，f （x ）＝x −1x ，其定义域为{x |x ≠0}，f （﹣x ）＝﹣f （x ），是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D ，f （x ）＝﹣x 4+x 2+2，f （1）＝2，f （2）＝﹣10，在区间（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；故选：B ．7．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （cos75°﹣sin75°，cos75°+sin75°），则角α可以是（ ）A ．60°B ．75°C ．105°D ．120° 【解答】解：tan α=cos75°+sin75°cos75°−sin75°=1+tan75°1−tan75°=tan45°+tan75°1−tan45°tan75°=tan120°， 角α可以是120°．故选：D ．8．（5分）与圆x 2+y 2＝1及圆x 2+y 2﹣6x +5＝0都外切的圆的圆心在（ ）A ．一个圆上B ．一个椭圆上C ．一条抛物线上D ．双曲线的一支上【解答】解：设动圆的圆心为P ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为O （0，0），半径为1，圆x 2+y 2﹣6x +5＝0的圆心为F （3，0），半径为2，由题意可得，|PF |＝3+r ，|PO |＝1+r ，则|PF |﹣|PO |＝（3+r ）﹣（1+r ）＝2＜|FO |，所以点P 的轨迹是双曲线的一支上．故选：D ．9．（5分）已知数列{a n n }为等比数列，且a 3＝1，a 7＝21，则a 9＝（ ）A ．63B ．±63C ．81D ．±81 【解答】解：∵数列{a n n }为等比数列，设公比为q ，且a 3＝1，a 7＝21，∴q 4=a 77a 33=9，即q 2＝3， ∴a 99=a 77⋅q 2=217×3=9，∴a 9＝9×9＝81．故选：C ．10．（5分）国际数学教育大会（InternationalCongressonMathematicalEducation ，简称ICME ）每四年召开一次，是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，2015年6月6日，国际数学教育委员会正式宣布，在中国上海、美国檀香山和澳大利亚悉尼三个竞标城市中，中国上海赢得2020年第14届国际数学教育大会的主办权．后因疫情原因大会延于2021年7月在上海华东师范大学举办，这是大会首次在中国举办．大会会标设计的基本思想来自我国古代的“河图”．河图、洛书一般认为是中华文明之始．《易经系辞》曰：“河出图，洛出书，圣人则之”，后世的太极、八卦、风水等皆可追源至此．河图与洛书包含了数的奇偶分类、“等差”“等和”的排列、幻方等数学内容，本质上是古人对数与数学的朴素的认识．这个会标，你看懂了么？请从以下陈述中选出你认为正确的表述．①会标中位于中心的弦图是三国时期的数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明，现在是中国数学会的徽标，也代表会议主办方中国数学会．②弦图外的圆圈表示河图中的带十个点的圈．但会标只突出画了南方（上方）的阴数2和阳数7的点列．寓意着本届大会的届数．③主画面右下方标明“ICME﹣14”，它下方的“卦”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数字3745，换算成10进制就是2020，表示预计开会的年份．④八进制数字3745，换算成10进制就是2021，表示开会的年份．⑤从四个“卦”中也可以读出二进制码：（0）11111100101．换算成10进制就是2020，表示预计开会的年份．⑥主画面呈“S”型，表示会议举办地在上海（Shanghai），并呈向前的动感，表示中国张开双臂，欢迎来自世界各地的与会者，也代表中国向世界开放的姿态．以上陈述中你认为正确的表述的个数是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：①三国时期的数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明，此说法正确；②2×7﹣14，即表示第14届，此说法正确：③八进制数字3745，需要将其转化为十进制，八进制数字3745＝3×83+7×82+4×81+5×80＝3×512+7×64+4×8+5×1＝1536+448+32+5＝2021，则③正确，④错误；⑤二进制数字11111100101需要将其转化为十进制，11111100101＝1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝1024+512+256+128+64+32+0+0+4+0+1＝2021，则⑤错误；⑥易知⑥正确；综上所述①②③⑥正确．故选：C ．11．（5分）计算5lg 6×6lg 2＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设5lg 6×6lg 2＝t ，两边取以10为底的对数可得lg （5lg 6×6lg 2）＝lgt ，即lg 5lg 6+lg 6lg 2＝lgt ，可得lg 5•lg 6+lg 2•lg 6＝lg 6•（lg 2+lg 5）＝lg 6＝lgt ，即t ＝6，所以5lg 6×6lg 2＝6，故选：D ．12．（5分）已知F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的M ，N 两点，且MF →=2FN →，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．2√2C ．±13D ．±2√2【解答】解：如图所示，设O 2为AF 的中点，O 1为BF 的中点，A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），F （p2，0），所以O 2（p2+x 12，y 12），O 1（x 2+p22，y 22），作O 1P ⊥x 轴于P ，O 2Q ⊥x 轴于Q ， 则P （x 2+p 22，0），Q （p2+x 12，0），因为O 1N ＝O 1F ，所以P 为NF 的中点，则FN →=2FP →， 同理，MF →=2QF →， 因为MF →=2FN →，所以2QF →=2•2FP →，即QF →=2FP →， 即（p 2−p2+x 12，0）＝2（x 2+p 22−p2，0），所以p2−p2+x 12=x 2+p 2−p ，整理得x 1+2x 2=3p2，（*） 设直线l 的方程为y ＝k （x −p2），联立{y =k(x −p2)y 2=2px，消y 整理得k 2x 2﹣（pk 2+2p ）x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=pk 2+2p k2，x 1x 2=p 24， 结合（*）式可得x 2=p2−2p k2，x 1=p2+4pk2，代入x 1x 2=p 24中， 即（p2−2pk 2）（p2+4pk2）=p 24，因为p ≠0， 所以（12−2k2）（12+4k2）=14， 即k 2＝8， 所以k ＝±2√2， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）某校课后服务开展社团活动，甲、乙、丙三个同学独立地从乒乓球、篮球、足球、排球4个社团中任选一个社团参加，则甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同的概率为38．【解答】解：甲、乙、丙三个同学独立地从乒乓球、篮球、足球、排球4个社团中任选一个社团参加，基本事件总数n ＝43＝64，其中甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同包含的基本事件个数m =A 43=24， 则甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同的概率P =mn =2464=38． 故答案为：38．14．（5分）已知向量a →，b →，其中|a →|=1，|b →|=2，且(a →−2b →)⊥(3a →+b →)，则向量a →与b →的夹角等于2π3．【解答】解：向量a →，b →，其中|a →|=1，|b →|=2，且(a →−2b →)⊥(3a →+b →)， ∴(a →−2b →)⋅(3a →+b →)=3a →2−5a →⋅b →−2b →2=3﹣5a →⋅b →−8＝0， ∴a →⋅b →=−1， ∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−11×2=−12，∵＜a →，b →＞∈[0，π]，∴向量a →与b →的夹角为2π3．故答案为：2π3．15．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 和平面A 1DC 1所成角的正弦值是√63．【解答】解：设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，建立如图所示空间直角坐标系，则A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），B （1，1，0）， A 1B →=（0，1，﹣1），设平面A 1DC 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DA 1→=x +z =0n →⋅DC 1→=y +z =0，取z ＝1，得n →=（﹣1，﹣1，1）， 设直线A 1B 和平面A 1DC 1所成角为θ， 则直线A 1B 和平面A 1DC 1所成角的正弦值为： sin θ=|n →⋅A 1B →||n →|⋅|A 1B →|=√2×√3=√63．故答案为：√63． 16．（5分）我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB 是窗户的高度，BC 是遮阳篷的安装高度，CD 是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为α，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为β，窗户高度AB ＝h ．为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC ＝ℎtanαtanβ−tanα．【解答】解：由题意可得，∠ADC ＝β，∠BDC ＝α，AB ＝h ， 在Rt △ADC 中，AC CD =tanβ， 在Rt △BDC 中，BC CD=tanα，又AC ﹣BC ＝h ， 所以BC+ℎtanβ=BC tanα，解得BC =ℎtanαtanβ−tanα．故答案为：ℎtanαtanβ−tanα．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）许多人认为大学新生在入学后体重会增加，某大学在2020年入学的新生中用随机抽样的方法抽取了30名大学生跟踪他（她）们的体重（kg ），得到的数据如下： 男生 入学时体重（kg ）70 54 84 77 75 80 65 60 85 65 74 72 58 82 691年后体重（kg ） 72 60 83 80 75 78 68 62 80 67 77 74 61 82 70 女生入学时体重（kg ）54 60 66 49 53 58 51 61 55 58 60 56 57 53 501年后体重（kg ） 57 63 68 51 54 60 54 59 57 60 62 58 58 56 50 （Ⅰ）根据上述资料，估计入学新生平均增加了多少体重；（Ⅱ）如果体重的增加不少于2公斤，就说“变胖了”，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“变胖了”与性别有关．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k 0）0.50 0.40 0.10 0.010 k 00.4550.7082.7066.635【解答】解：（I ）设入学新生平均增加体重为xx =2+6+(−1)+3+0+(−2)+3+2+(−5)+2+3+2+3+0+1+3+3+2+2+1+2+3+(−2)+2+2+2+2+1+3+030=1.5，所以入学新生平均增加了1.5kg ．（Ⅱ）男生中“变胖了”的人数为9人，没有“变胖“的人数为6人， 女生中“变胖了”的人数为11人，没有“变胖“的人数为4人， 根据题意可以得到如下列联表：变胖了 没有变胖总计 男生 9 6 15 女生 11 4 15 总计201030根据列联表，计算得K 2的观测值为K 2=30×(9×4−11×6)220×10×15×15=0.6＜2.706，因此不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“变胖了”与性别有关．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A +b sin C ＝b sin B +c sin C ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2√3，∠B 与∠C 的角平分线交于点D ，求△BCD 周长的取值范围． 【解答】解：（I ）由正弦定理可得：a 2+bc ＝b 2+c 2， 整理得：12=b 2+c 2−a 22bc，由余弦定理可得：cosA =12，∴A=π3．（II）由题意可得：∠BDC=23π，则△BCD的外接圆直径2R=2√3sin23π=4，设∠DBC＝α，则∠DCB=π3−α，则△BCD的周长l=4sinα+4sin(π3−α)+2√3=4sin(α+π3)+2√3，∵α∈(0，π3 )，∴l∈(4√3，4+2√3]．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB ⊥BC，AB＝3DC＝3，BC＝6，点P在面ADD1A1上，过点P和棱BB1的平面把直棱柱分成体积相等的两部分．（Ⅰ）求截面与直棱柱的侧面BCC1B1所成角的正切值；（Ⅱ）求棱DD1到截面的距离．【解答】解：（I）如图所示，过P作PQ∥DD1，交AD于Q，截面为BB1PQ，∵ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥PB1，BB1⊥B1C1，∴∠PB1C1为截面与直棱柱的侧面BCC1B1所成角的平面角，过P作PH⊥A1B1，垂足为H，∵A1B1⊥B1C1，∴PH∥B1C1，∴∠PB1C1＝∠B1PH，由题意可得S A1B1C1D1=2S△A1B1P=12S A1B1C1D1=2S△A1B1P=12，∴PH＝4，A1H=43，HB1=53，∴tan∠PB1C1＝tan∠B1PH=B1HHP=512．（Ⅱ）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴平面BB1PQ⊥平面A1B1C1D1，交线为B1P，过D1作D1T⊥B1P，垂足为T，∴D1T⊥平面BB1PQ，则D 1T 的长度为棱DD 1到截面所在平面的距离，连结B 1D 1， S △PB 1D 1=S PB 1C 1D 1−S △B 1C 1D 1=3，∵B 1P =133，∴D 1T =1813， 所以棱DD 1到截面所在平面的距离为1813．20．（12分）已知动点P 与定点F （1，0）的距离和它到定直线l ：x ＝4的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点M （4，0）的直线与曲线C 交于A ，B 两点，R ，Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线AR ，BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上． 【解答】解：（Ⅰ）设P （x ，y ），设P 到l 的距离为d ， 则12=|PF|d=√(x−1)2+y 2|x−4|，整理得曲线C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），N （x N ，y N ）， 直线方程l AB ：x ＝my +4，联立可得：{x =my +4x 24+y 23=1，整理得：（3m 2+4）y 2+24my +36＝0，由韦达定理得：y 1y 2=363m 2+4，y 1+y 2=−24m3m 2+4， 化简得：my 1y 2=−32(y 1+y 2)，联立直线l AR ，l BQ ：{y =y1x 1+2(x +2)y =y 2x 2−2(x −2)， 所以x−2x+2=y 1(x 2−2)y 2(x 1+2)=y 1(my 2+2)y 2(my 1+6)，所以x N +2x N −2=my 1y 2+6y 2my 1y 2+2y 1=−3，化简可得：x N ＝1，所以N 点在一条定直线上．21．（12分）已知函数f(x)=(x−1)e x−a2x2+e2(a∈R)．（Ⅰ）讨论函数y＝f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（x）有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）f′（x）＝xe x﹣ax＝x（e x﹣a），①当a≤0时，由f′（x）＝0，可得x＝0，f′（x），f（x）随x的变化情况如下：（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增②当0＜a＜1时，由f′（x）＝0，可得x＝0或x＝lna＜0，f′（x），f（x）随x的变化情况如下：（﹣∞，lna）lna（lna，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0﹣f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增③当a＝1时，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，④当a＞1时，由f′（x）＝0，可得x＝0或x＝lna＞0，f′（x），f（x）随x的变化情况如下：（﹣∞，0）0（0，lna）lna（lna，+∞）f′（x）+0﹣0﹣f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上可得：当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，当0＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，（lna，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，当a＝1时，f（x）在R上为增函数，当a＞1时，f（x）在（﹣∞，0）单调递增，（0，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，…（5分）（Ⅱ）由（I）可知：①③两种情况显然不符合题意，当0＜a＜1时，f（0）＝e2﹣1＞0，不符合题意，当a ＞1时，i ）f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递增，∵√2e√a )=√2e√a 1)e−√2e √a0，f(0)=e 2−1＞0，∴∃x 1∈√2e√a 0)，使得f （x 1）＝0，ii ）f （x ）在区间[0，lna ]上单调递减，f(lna)=(lna −1)a −a2ln 2a +e 2，令lna ＝t ∈（0，+∞），不妨设g(t)=(−t 22+t −1)e t +e 2，∵g′(t)=−t 22e t ＜0，∴g （t ）在区间（0，+∞）上单调递减，∵g （2）＝0，∴t ＞2，即a ＞e 2，此时，∵f （lna ）＜0，f （0）＝e 2﹣1＞0，∴∃x 2∈（0，lna ），使得f （x 2）＝0， iii ）f （x ）在区间[lna ，+∞）上单调递增，当a ＞e 2时，x ≥lna ＞2， 令h （x ）＝e x ﹣x 2，h ′（x ）＝e x ﹣2x ，h ′′（x ）＝e x ﹣2＞0，∴h ′（x ）＞h ′（2）＞0，∴h （x ）在区间（2，+∞）上单调递增，∴h （x ）＞h （2）＞0恒成立，即e x ＞x 2， ∴f(x)＞(x −1)x 2−a 2x 2+e 2，∵a ＞e 2时，1+a ＞lna ，∴f(1+a)＞a 2(1+a)2+e 2＞0，此时，∵f （lna ）＜0，f （1+a ）＞0，∴∃x 3∈（lna ，1+a ）使得f （x 3）＝0． 综上，实数a 的取值范围为（e 2，+∞）．…（12分）选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθ−4，y =sinθ（θ为参数），将C 1通过伸缩变换{x′=12x ，y′=32y后，得到曲线C 2．（Ⅰ）求C 2的普通方程；（Ⅱ）过点O （0，0）作直线l 交曲线C 2于M ，N 两点，|MN |＝1，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 的极坐标方程．【解答】解：（I ）经过伸缩变换后，曲线C 2的方程为{x′=32cosθ−2y′=32sinθ，则C 2的普通方程为：(x +2)2+y 2=94．（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ），M （ρ1，θ1），N （ρ2，θ2）， 曲线C 2的极坐标方程为：ρ2+4ρcosα+74=0， 将两方程联立得：ρ2+4ρcosα+74=0，则|MN|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2α−7=1， 解得cosα=±√22，所以直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)或θ=3π4(ρ∈R)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|，g （x ）＝a |x ﹣1|+2|x +1|． （Ⅰ）解不等式f （x ）≤4；（Ⅱ）当x ∈[﹣1，1]，时，f （x ）≤g （x ），求a 的最小值． 【解答】解：（I ）f(x)={−2xx ≤−12−1＜x ≤12x x ＞1， ∵f （x ）≤4，∴{−2x ≤4x ≤−1或﹣1＜x ≤1或1＜x ≤2，即﹣2≤x ≤﹣1或﹣1＜x ≤1或1＜x ≤2， ∴f （x ）≤4的解集为[﹣2，2]．（Ⅱ）当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝2，g （x ）＝（2﹣a ）x +a +2， 若f （x ）≤g （x ），则（2﹣a ）x +a ≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立， 令h （x ）＝（2﹣a ）x +a ，由题意可得：h （1）≥0且h （﹣1）≥0， 解得a ≥1，所以a 的最小值为1．。
新疆乌鲁木齐市2021届高三一模数学试题及答案(理科)
2021年新疆乌鲁木齐市高考数学第一次质检试卷（理科）（问卷）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|1≤x≤3}，则（）A．A⊇B B．A＝B C．A⊆B D．A∩B＝∅2．i为虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2﹣i3．在空间中，下列命题正确的是（）A．垂直于同一平面的两个平面平行B．垂直于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两个平面平行D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行4．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（）A．B．C．D．5．已知α为第一象限角，sinα﹣cosα＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为，若S m﹣1＝0，S m＝2，S m+1＝5，则m＝（）A．2 B．3 C．4 D．57．函数与的图象关于直线l对称，则l可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝D．x＝8．在等比数列{a n}中，a1+a4＝9，a2•a3＝8，若a1•a2……•a n有最大值，则最大值为（）A．16 B．32 C．64 D．1289．定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）＝0，若f（e x）≥0，则x的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，e] C．[1，+∞）D．（﹣1，0]10．设a＝log2e，b＝log3e，c＝ln3，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c11．设点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝120°，且|AF1|＝2|AF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．四面体ABCD的所有棱长都相等，其顶点都在球O的球面上，过点A，B，O作平面α，平面α截此四面体所得截面面积为，则球O的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．6π二、填空题（共4小题）.13．设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为．14．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：t）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的α分位数为满足P（X≥zα）＝1﹣α的zα，则估计本例中z0.85＝．15．如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形．若∠BAE＝30°，设＝x+y，则xy的值为．16．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围是．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若的面积为，求它的周长．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是等边三角形，，M，N分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥MN；（Ⅱ）求二面角N﹣AM﹣C的正弦值．19．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销在每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，一等奖是20元，二等奖是10元，开始销售的前三天，举行促销活动：顾客可以从每件新开的箱子中任选2瓶购买．（Ⅰ）求每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖的概率；（Ⅱ）某商场在促销的前三天的活动中，共售出了730瓶，问抽中奖的箱数X的数学期望；（Ⅲ）请你为商场做决策：在促销活动的前3天中，每瓶的售价至少定为多少元，可以使这三天的促销活动不亏损（每瓶的成本是2元）．20．已知椭圆的左、右集点分别为F1，F2，离心率，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点A为椭圆在第一象限上一点，过点F2作AF1的垂线交该椭圆于M，N两点，求四边形AMF1N面积的取值范围．21．设函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣kx2+1（其中k∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处取得极小值，求实数k的值；（Ⅱ）当k≤1时，若函数f（x）在（﹣∞，k]上有两个不相等的零点，求实数k的取值范围．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣2ρsinθ+16＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若过曲线C2上任意一点M作曲线C1的切线，切点为N，求|MN|的最大值．23．已知a，b，c都是正数，且a2+b2+c2＝1，用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，M＝max．（Ⅰ）证明≥9；（Ⅱ）求M的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|1≤x≤3}，则（）A．A⊇B B．A＝B C．A⊆B D．A∩B＝∅解：设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|1≤x≤3}，则A集合包含B集合的所有元素，B集合是A集合的子集且是真子集，故A⊇B，故选：A．2．i为虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2﹣i解：复数z＝＝＝﹣2﹣i，∴复数z的共轭复数是＝﹣2+i．故选：C．3．在空间中，下列命题正确的是（）A．垂直于同一平面的两个平面平行B．垂直于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两个平面平行D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行解：A．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，因此不正确；B．垂直于同一平面的两条直线平行，正确；C．平行于同一直线的两个平面平行，不正确，两个平面可能相交；D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行，不正确，直线可能在平面内．故选：B．4．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（）A．B．C．D．解：如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为x2＝﹣2py（p＞0），因为点C（4，﹣4），所以16＝﹣2p×（﹣4），解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝﹣4y，点A（﹣3，y0）在抛物线上，所以9＝﹣4y0，解得y0＝﹣，所以|OA|＝|y0|＝，所以管柱OA的高度为m．故选：C．5．已知α为第一象限角，sinα﹣cosα＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．解：因为α为第一象限角，sinα﹣cosα＝，两边平方，可得1﹣sin2α＝，即sin2α＝，所以sinα+cosα＝＝＝＝，则cos2α＝（cosα﹣sinα）（cosα﹣sinα）＝×（﹣）＝﹣．故选：D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为，若S m﹣1＝0，S m＝2，S m+1＝5，则m＝（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵S m﹣1＝0，S m＝2，S m+1＝5，∴a m＝2，a m+1＝3，∴d＝3﹣2＝1，∴ma1+＝2，a1+m＝3，解得m＝4，故选：C．7．函数与的图象关于直线l对称，则l可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝D．x＝解：由题意：令，解得x＝π+2kπ，k∈Z，再令，解得x＝，又因为两个函数图象关于直线l对称，所以x＝，当k＝0时，对称轴l为：x＝，故选：D．8．在等比数列{a n}中，a1+a4＝9，a2•a3＝8，若a1•a2……•a n有最大值，则最大值为（）A．16 B．32 C．64 D．128解：∵a2•a3＝8，∴a1•a4＝a2•a3＝8，由，解得，或，即或，即a n＝2n﹣1，或a n＝24﹣n，当a n＝2n﹣1时，a n≥1，S n＝a1•a2……•a n为递增数列，无最大值，当a n＝24﹣n时，当n＜4时，a n＞1，S n递增，当n＞4时，a n＜1，S n递减，∴当n＝4时，a1•a2……•a n有最大值，最大值为S4＝64．故选：C．9．定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）＝0，若f（e x）≥0，则x的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，e] C．[1，+∞）D．（﹣1，0]解：∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）＝0，f（e x）≥0，∴f（e x）≥f（1），∴e x≥1，解得x≥0，∴x的取值范围是：[0，+∞）．故选：A．10．设a＝log2e，b＝log3e，c＝ln3，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c解：∵log2e＞log22＝1，∴a＞1，∵0＝log31＜log3e＜log33＝1，∴0＜b＜1，∵ln3＞lne＝1，∴c＞1，∴b＜a，b＜c，又∵a＝log2e＝＝，∴＝ln2ln3＜＝＜＝1，∴c＜a，∴b＜c＜a．故选：B．11．设点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝120°，且|AF1|＝2|AF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．解：由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，∵|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1AF2＝＝＝cos120°，化简得，c＝a，∴离心率e＝＝．故选：D．12．四面体ABCD的所有棱长都相等，其顶点都在球O的球面上，过点A，B，O作平面α，平面α截此四面体所得截面面积为，则球O的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．6π解：将四面体ABCD放置在正方体中，如图，设正方体的棱长为a，则AB＝，取CD中点M，连接AM，BM，则△ABM为平面α截此四面体所得截面，由题意，，得a＝．∴正方体的对角线长为，则球O的半径为，可得球O的表面积为4π×．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为 6 ．解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；目标函数z＝2x﹣y可化为y＝2x﹣z，平移目标函数知，y＝2x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值；由，求得B（2，﹣2），所以z的最大值为z max＝2×2﹣（﹣2）＝6．故答案为：6．14．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：t）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的α分位数为满足P（X≥zα）＝1﹣α的zα，则估计本例中z0.85＝ 2.8 ．解：由题意可得z0.85就是满足P（X≥z0.85）＝0.15的横坐标的值．又4﹣4.5t的频率为0.5×0.04＝0.12；3.5﹣4t的频率为0.5×0.06＝0.03；3﹣3.5t的频率为0.5×0.10＝0.05；2.5﹣3t的频率为0.5×0.25＝0.125；所以z0.85落在2.5﹣3t之间，设z0.85距离3的距离为x，则0.5（0.04+0.06+0.1）+0.25x＝0.15，解得x＝0.2，所以z0.85＝3﹣x＝3﹣0.2＝2.8，故答案为：2.8．15．如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形．若∠BAE＝30°，设＝x+y，则xy的值为2+．解：设|EB|＝m，∠BAE＝30°，在三角形△ABE中，|AE|＝m，∴|EH|＝（﹣1）m＝|EF|，如图：＝（1+），＝＝，∴x＝2+，y＝1，∴xy＝2+．故答案为：2+．16．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．解：∵函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d在R上是增函数，∴f′（x）＝3ax2+2bx+c≥0恒成立，∴a＞0且△＝4b2﹣12ac≤0，即b2≤3ac，∵存在垂直于y轴的切线，∴f′（x）＝3ax2+2bx+c＝0有解，∴△＝4b2﹣12ac≥0，即b2≥3ac，∴b2＝3ac，且a＞0，∴＝＝，当b＝0时，此时＝0，当b≠0时，＝＝•，设＝t，则+＝t2+t＝（t+）2﹣≥﹣且≠0，∴∈（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞），即∈（﹣∞，﹣]∪（0，+∞），综上所述∈（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若的面积为，求它的周长．解：（Ⅰ）因为，由余弦定理可得＝＝＝，所以c＝2．（Ⅱ）因为c＝2，的面积为＝ab sin C＝ab，可得ab＝4，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣12，可得a+b＝4，可得△ABC的周长a+b+c＝4+2＝6．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是等边三角形，，M，N分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥MN；（Ⅱ）求二面角N﹣AM﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接OP、OB，因为AB＝BC，所以AC⊥OA，因为△PAC是等边三角形，所以AC⊥OP，所以AC⊥平面PBO，又PB⊂平面PBO，所以AC⊥PB，又因为M，N分别是BC，PC的中点，所以MN∥PB，所以AC⊥MN．（Ⅱ）解：因为平面PAC⊥平面ABC，PO⊥AC，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OB，由（Ⅰ）知OA、OB、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC＝4，则各点坐标如下：O（0，0，0），A（0，﹣2，0），M（1，1，0），N（0，1，），＝（1，3，0），＝（0，3，），设平面AMN的法向量为＝（x，y，z），，令y＝﹣1，＝（3，﹣1，），平面AMC的法向量为＝（0，0，1），设二面角N﹣AM﹣C的大小为θ，则cosθ＝＝，于是sinθ＝＝．故二面角N﹣AM﹣C的正弦值为．19．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销在每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，一等奖是20元，二等奖是10元，开始销售的前三天，举行促销活动：顾客可以从每件新开的箱子中任选2瓶购买．（Ⅰ）求每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖的概率；（Ⅱ）某商场在促销的前三天的活动中，共售出了730瓶，问抽中奖的箱数X的数学期望；（Ⅲ）请你为商场做决策：在促销活动的前3天中，每瓶的售价至少定为多少元，可以使这三天的促销活动不亏损（每瓶的成本是2元）．解：（Ⅰ）记“每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖”为事件A，则P（A）＝＝＝．（Ⅱ）前三天促销活动中共开＝365箱饮料，依题意，X～B（365，），故抽中奖的箱数X的数学期望为365×＝219（箱）．（Ⅲ）设每瓶的售价定为a元，则前3天全部销售额为730a元，总成本为730×2＝1460元，设每个人获奖金额为Y，则Y的取值可能为0，10，20，30，P（Y＝0）＝＝，P（Y＝10）＝＝，P（Y＝20）＝＝，P（Y＝30）＝＝，故E（Y）＝0×+10×+20×+30×＝10，故前3天用于中奖消费金额为365×10＝3650元，若想前3天不亏损，则730a≥1460+3560，解得a≥7，故每瓶售价至少7元．20．已知椭圆的左、右集点分别为F1，F2，离心率，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点A为椭圆在第一象限上一点，过点F2作AF1的垂线交该椭圆于M，N两点，求四边形AMF1N面积的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可得，解得a＝2，b＝，c＝1，即椭圆的标准方程为+＝1；（Ⅱ）当MN垂直于x轴时，四边形AMF1N的面积取得最大，由x＝1代入椭圆方程，可得M（1，），N（1，﹣），故|MN|＝3，|AF1|＝3，则四边形AMF1N的面积为×3×3＝；当MN与x轴平行时，四边形AMF1N的面积最小，则A（1，），四边形AMF1N的面积为三角形MNA的面积，S＝××4＝3，故四边形AMF1N的面积的取值范围是[3，]．21．设函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣kx2+1（其中k∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处取得极小值，求实数k的值；（Ⅱ）当k≤1时，若函数f（x）在（﹣∞，k]上有两个不相等的零点，求实数k的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝xe x﹣2kx，依题意，f′（1）＝e﹣2k＝0，则，经验证，当时，符合题意；（Ⅱ）显然f（0）＝0，令f′（x）＝0，则x1＝0，x2＝ln（2k）（k＞0），①若k≤0，而x∈（﹣∞，k]，故x≤0，此时f′（x）＝x（e x﹣2k）＜0，∴f（x）在（﹣∞，k]上单调递减，不可能有两个零点，不合题意；②当k∈（0，1]时，（i）若，此时f（x）在（﹣∞，ln（2k））上单调递增，在（ln（2k），0）上单调递减，在（0，k]上单调递增，而x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，f（x）＝0有两个解且f（0）＝0符合条件；（ii）若，f′（x）＝x（e x﹣1），此时f（x）在（﹣∞，k]上单调递增，不合题意；（iii）若，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，ln（2k））上单调递减，在（ln（2k），k）上单调递增，而f（0）＝0，故需f（k）≥0，即，设，则φ′（x）＝xe x﹣3x2＝x（e x﹣3x），令，则F′（x）＝e x﹣3在上小于0恒成立，∴F（x）在上单调递减，又F（x）≥F（1）＝e﹣3＜0，，故存在，使得F（x）＝0，则φ（x）在上单调递增，在（x0，1]上单调递减，又，∴φ（x）＞0在上恒成立，即符合条件．综上，实数k的取值范围为．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣2ρsinθ+16＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若过曲线C2上任意一点M作曲线C1的切线，切点为N，求|MN|的最大值．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），设t＝tanθ，所以，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣2ρsinθ+16＝0，根据，转换为直角坐标方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝1．（Ⅱ）MN为曲线C1的切线，由勾股定理得：，其中C1（0，1），设M（4+cosθ，1+sinθ），所以，当cosθ＝1时，最大，且最大值为25．所以，故．23．已知a，b，c都是正数，且a2+b2+c2＝1，用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，M＝max．（Ⅰ）证明≥9；（Ⅱ）求M的最小值．【解答】（Ⅰ）证明：∵a2+b2+c2＝1，∴＝＝≥＝9，当且仅当a＝b＝c时等号成立，故≥9；（Ⅱ）解：由题意，M，M，M，∴＝（a2+b2+c2）+（）+2（）≥1+9+2×＝16，当且仅当a＝b＝c时上式等号成立．∴M，即M的最小值为．。
新疆乌鲁木齐市2024届高三第一次质量监测数学试题(教师版)
乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若复数12i2i z -=+，则z =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算，结合共轭的定义即可求解.【详解】()()()()12i 2i 12i 2i 4i 2i 2i 2i 2i 5z ------====-++-，故i z =，故选：A2.命题“1x ∃>，2x >”的否定是（）A.1x ∃≤，2x >B.1x ∃≤，2x ≤C.1x ∀>，2x ≤D.1x ∀>，2x >【答案】C 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断.【详解】命题“1,2x x ∃>>”的否定是“1x ∀>，2x ≤”.故选：C.3.已知向量(12)a = ，，(13)b =- ，，则（）A.//()a a b +B.//()a a b -C.()a a b ⊥-D.()a ab ⊥+【答案】D 【解析】【分析】结合向量的加减运算及数量积运算进行判断.【详解】解：因为(12)a =，，(13)b =- ，，所以(21),(0,5)，+=--=a b a b ，则()()12210,102510⋅+=⨯-⨯=⋅-=⨯+⨯=a ab a a b ，得()a ab ⊥+ .故选：D4.已知数列{}n a 满足11a =，2212n n a a +-=，则5a =（）A.3B.2或2-C.3或3- D.2【答案】C 【解析】【分析】根据递推公式计算即可.【详解】因为11a =，2212n n a a +-=，所以2212n n a a +=+，所以212223a a +==，32222325a a ==+=+，43222527a a ==+=+，54222729a a ==+=+，所以53a =或53a =-，故选：C.5.()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（）A.30-B.20- C.20D.30【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可.【详解】()()5522x x yx x y ⎡⎤-+=-+⎣⎦，其展开式的通项公式为()5215C rrr r T x xy -+=-，令2r =，则()322235C T x xy =-，而()32x x -的展开式的通项公式为：()()()3'26133C 1C kkkk k kk T x x x --+=⋅-=-，令1k =，则()52x x y-+的展开式中52x y的系数为:()12153C 1C 30⨯-⨯=-,故选：A .6.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与准线l 切于点22p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则C 的方程为（）A.22y x =B.24y x= C.26y x= D.28y x=【答案】B 【解析】【分析】求出直线l 的方程，利用抛物线的性质，求出AB 中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解p 即可得到抛物线方程．【详解】由于以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB 为直径的圆过点22p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，可知AB 的中点的纵坐标为：2，直线l 的方程为：2py x =-，则222y pxpy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，可得2220y py p --=，则AB 中的纵坐标为：222p =，解得2p =，该抛物线的方程为：24y x =．故选：B ．7.在ABC 中，2133AD AB AC =+，BAD θ∠=，2CAD θ∠=，则下列各式一定成立的是（）A.sin cos sin B C θ=B.sin cos sin C B θ=C.sin sin sin B C θ=D.sin sin sin C Bθ=【答案】B 【解析】【分析】根据题意确定D 点在线段BC 上靠近B 点的三等分处，然后根据三角函数比例关系以及二倍角公式化简得到3sin sin AD B BC θ=，3sin cos sin C BCθθ=，最后化简可得.【详解】因为2133AD AB AC =+ ,所以111333BD AD AB AB AC BC =-=-+=，所以D 点在线段BC 上靠近B 点的三等分处，如图所示，过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DFAC ⊥交AC 于点F，则sin ,sin ,sin ,sin 2DE DE DF DFB C BD AD DC ADθθ====，所以sin DE AD θ=，sin 2DF AD θ=，所以sin 3sin sin 13DE AD AD B BD BC BC θθ===，sin 23sin 23sin cos sin 223DF AD C DC BC BC BC θθθθ====，所以sin cos sin C B θ=.故选：B .8.在满足2i i x y ≤<，i i y xi i x y =的实数对()11(123)x y i n = ，，，，，中，使得12115n n y y y y -+++≤ 成立的正整数n 的最大值为（）A.15 B.16C.22D.23【答案】D 【解析】【分析】由iiy x iix y =得ln ln j i i j y x x y =，构造函数()()ln 2xf x x x=≥，利用导数求得()f x 的单调性，求得i y 的取值范围，结合不等式的知识求得n 的最大值.【详解】因为2i i x y ≤<，ii y x i i x y =，所以ln ln i ii ix y x y =，设()()ln 2x f x x x =≥，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '>，则2e x <<，令()0f x '<，则e x >，所以()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，因为()()ln 2242f f ==，2i i x y ≤<，()()i i f x f y =，所以2e 4i i x y ≤<<≤，()121e 1n y y y n -∴+++>- ，又4n y ≤，1560n y ≤，要使得12115n n y y y y -+++≤ 成立，只需()e 160n -<，即60123.2en <+≈，所以正整数n 的最大值为23.故选：D.【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法.解题的关键是由iiy x iix y =变换得ln ln i i i i x y x y =，构造函数()()ln 2xf x x x=≥，由()f x 的单调性得2e 4i i x y ≤<<≤，结合不等式的知识求得n 的最大值.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知函数ππ()sin()022f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，的部分图像如图所示，则（）A.()f x 在π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增B.()f x 在(06)，上有4个零点C.π3AB =D.将sin y x =的图象向右平移π6个单位，可得()y f x =的图象【答案】ABC 【解析】【分析】结合图象，得到函数π()sin(2)6f x x =-，根据正弦函数图象和性质，以及图象变化判断四个选项即可.【详解】由图知，()10sin 2f ϕ==-，所以π2πZ 6,k k ϕ=-+∈或5π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=-，所以π()sin()6f x x ω=-，又因为图象过5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭，且为下降零点，所以5πππ2π126k ω--=+，0ω>，故1272,Z,056k k k ω⎛⎫=-+∈≤ ⎪⎝⎭,结合图象5π212T >，即1205ω<<，所以2ω=，所以π()sin(2)6f x x =-，对于A 选项，当π03x <<，ππ0262x <-<，结合正弦函数图像可知，()f x 在π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故A 正确；、对于B 选项，当06x <<时，πππ212666x -<-<-，其中π3π124π6<-<，结合正弦函数图像可知，()f x 在(06)，上有4个零点，故B 正确；对于C 选项，当()12f x =时，即π1sin(262x -=，即ππ22π,Z 66x k k -=+∈或π5π22π,Z 66x k k -=+∈，结合图象可知，ππ,62A B x x ==，所以πππ263AB =-=，故C 正确；对于D 选项，将sin y x =的图象向右平移π6个单位，得πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而π()sin(2)6f x x =-，故D 错误，故选：ABC.10.若函数()f x 的定义域为R ，且()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(2)1f =-，则（）A.(0)0f = B.()f x 为偶函数C.()f x 的图象关于点(1)0，对称 D.301()1i f i ==-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，令2,0x y ==,可得(0)1f =；对于B ，令0,x y x ==，可得()()f x f x =-，即可判断；对于C ，令1x y ==得()10f =，再令1,x y x ==即可判断；对于D ，根据条件可得()()2f x f x =--,继而()()2f x f x =-+，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A ，令2,0x y ==，则()()()22220f f f =⋅，因为(2)1f =-，所以()220f -=-，则(0)1f =，故A 错误；对于B ，令0,x y x ==，则()()()2(0)()2f x f x f f x f x +-==，则()()f x f x =-，故B 正确；对于C ，令1x y ==得，()()()220210f f f +==，所以()10f =，令1,x y x ==得，(1)(1)2(1)()0f x f x f f x ++-==，则()f x 的图象关于点(1)0，对称，故C 正确；对于D ，由(1)(1)0f x f x ++-=得()()2f x f x =--，又()()f x f x =-，所以()()2f x f x -=--，则()()2f x f x =-+，()()24f x f x +=-+，所以()()4f x f x =+，则函数()f x 的周期为4，又()10f =，(2)1f =-，则()()()3310f f f =-==，()()401f f ==，则()()()()12340f f f f +++=，所以()()301()12701i f i f f ==++⨯=-∑，故D 正确，故选：BCD .11.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm 的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（）A.该几何体的顶点数为12B.该几何体的棱数为24C.该几何体的表面积为2(4800+D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，由正方体有12条棱即可判断；对于B ，由该几何体有6个面为正方形即可判断；对于C =的面积公式求解即可判断；对于D ，原正方体内切球的半径为20cm ，原正方体外接球的半径为4040402==，根据球的表面积公式及等差中项的定义即可判断.【详解】对于A ，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有12条棱，所以该几何体的顶点数为12，故A 正确；对于B ，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为2446=⨯，故B正确；对于C=，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，所以该几何体的表面积为(((2223684800cm 4⨯+⨯⨯=+，故C 错误；对于D ，原正方体内切球的半径为20cm ，内切球表面积为2214π201600πcm S =⨯=.原正方体外接球的半径为4040402=，外接球表面积为(2224π4800πcm S =⨯=.=，所以该几何体外接球的表面积为(224π3200πcm S =⨯=.因为1226400π1600π4800S S S ==+=+，所以该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项，故D 正确.故选:ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知集合(){},1A x y x y =-=，()()(){}22,239B x y x y =-++=，则A B ⋂的子集个数为_________.【答案】4【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系求出集合A B ⋂的元素个数，再求解子集个数即可.【详解】集合A 表示直线1x y -=上点的集合，集合B 表示圆()()22239x y -++=上点的集合.圆()()22239x y -++=的圆心坐标为()2,3-，半径为3，点()2,3-到直线1x y -=3=<,所以直线1x y -=与圆()()22239x y -++=相交，所以A B ⋂共有2个元素，所以A B ⋂的子集个数为224=.故答案为：4.13.在工业生产中轴承的直径服从()3.0,0.0025N ，购买者要求直径为3.0ε±，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为_________；（若()2~,X N μσ，则()20.9545P X μσ-<=）【答案】0.1##110【解析】【分析】依题意得20.00253.0，μσ==，则0.05σ=，由()3.00.10.9545P X -<=，得()3.00.110.95450.0455P X -≥=-=，即可求解.【详解】若()2~,X N μσ，则()20.9545P X μσ-<=）因为工业生产中轴承的直径服从(3.00.0025)N ，，所以20.00253.0，μσ==，则0.05σ=，由()3.00.10.9545P X -<=，得()3.00.110.95450.0455P X -≥=-=，则要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为0.1.故答案为：0.1##11014.设双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是右支上一点，满足12AF AF ⊥，直线2AF 交双曲线于另一点B ，且112BF AF a -=，则双曲线的离心率为_________．【答案】2【解析】【分析】设2AF x =,由双曲线的定义得12AF a x =+，结合题中条件可得212BF AF a x ==+，14BF a x =+，由勾股定理可得x a =，再利用勾股定理即可求得离心率.【详解】2AF x =，则12AF a x =+，又112BF AF a -=，所以212BF AF a x ==+，则2222AB AF BF a x =+=+，1124BF a AF a x =+=+，又12AF AF ⊥，所以三角形1AF B 为直角三角形，则22211AF AB BF +=,即()()()2222224a x a x a x +++=+，化为2220x ax a +-=，解得x a =或者2x a =-（舍），此时13AF a =，在直角三角形12AF F 中，2221212AF AF F F +=,即22294a a c +=，所以22252c e a ==，所以102e =.故答案为：102.四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2430a a +=，445S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】15.132n n a -=⨯16.211274n n T ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意列式求1,a q ，进而可得通项公式；（2）根据题意分析可知数列{}n b 是以首项为118，公比为14的等比数列，结合等比数列求和分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得2443045a a S +=⎧⎨=⎩，则24133015a a a a +=⎧⎨+=⎩，即3112113015a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，解得123q a =⎧⎨=⎩，所以132n n a -=⨯.【小问2详解】因为110n n n b a a +=≠，则11222111114n n n n n n n n b a a a b a q a a +++++====，且1121118b a a ==，即数列{}n b 是以首项为118，公比为14的等比数列，所以111184211127414n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．16.我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力 5.0≥为正常视力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：（1）能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；（不需说明理由）（2）估计该地区近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1）（3）已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩85≥分为优秀），从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）【答案】（1）不能据此判断（2）95.8（3）0.72【解析】【分析】（1）由题干无法得出各成绩层次近视率的情况即可判断结果；（2）先估算出第85百分位数所在的组别，再运用所占比率即可算得结果；（3）明确此题为条件概率，需要求积事件AB 的概率，而这可以用乘法公式()(|)()P AB P B A P A =进行转化，即可求得.【小问1详解】因从题干频率分布直方图不可以看到，不同成绩层次的同学近视率的情况，故不能据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为7%13%20%24%64%+++=，因此第85百分位数一定位于[]90,100内，由85643590109095.8100646-+⨯=+≈-，可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8；【小问3详解】设A =“该地区近视学生”，B =“该地区优秀学生”，由频率分布直方图可得0.024(|)(0.036)100.482P B A =+⨯=,()0.54P A =,()0.36P B =，所以()(|)()0.480.54(|)0.72()()0.36P AB P B A P A P AB P B P B ⨯====.即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为0.72.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E ，F 分别是棱PB ，BC的中点．（1）求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值；（2）在截面AEF 内是否存在点G ，使DG ⊥平面AEF ，并说明理由．【答案】（1）105（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可建立相应空间直角坐标系，结合空间向量计算即可得；（2）假设存在，可设AF AE AF λμ=+ ，0λ≥，0μ≥，1λμ+≤，结合空间向量解出λ、μ，可得其与假设矛盾，故不存在.【小问1详解】由PA ⊥平面ABCD ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，故PA AB ⊥、PA AD ⊥，又底面ABCD 为正方形，故AB AD ⊥，即PA 、AD 、AB 两两垂直，故可以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ，(2,1,0)F ，(2,1,0)AF = ，(2,0,2)BP =- ，(0,2,0)BC = ，设平面PBC 的法向量(,,)n x y z = ，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020x z y -+=⎧⎨=⎩，可取(1,0,1)n =，因为10cos ,5||||n AF n AF n AF ⋅〈〉==⋅ ，所以AF 与平面PBC 所成角的正弦值为105；【小问2详解】假设截面AEF 内存在点G 满足条件，设AG AE AF λμ=+ ，0λ≥，0μ≥，1λμ+≤，有()1,0,1AE = ，()2,1,0AF = ，()0,2,0DA =- ，所以(2,2,)DG DA AG λμμλ=+=+-，因为DG ⊥平面AEF ，所以00DG AE DG AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以2202520λμλμ+=⎧⎨+-=⎩，解得2323λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，这与假设矛盾，所以不存在点G ，使DG ⊥平面AEF ．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为63，点()0,2P 在椭圆C 上，过点P 的两条直线PA ，PB 分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，且直线PA ，PB ，AB 的斜率满足()40PA PB AB AB k k k k +=≠．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明直线AB 过定点；（3）椭圆C 的焦点分别为1F ，2F ，求凸四边形12F AF B 面积的取值范围．【答案】18.221124x y +=19.证明见解析20.24611⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可；（2）设直线:(2)AB l y kx m m =+≠，联立直线和椭圆方程，消元后，利用()40PA PB AB AB k k k k +=≠，建立方程，解出后验证即可；（3）设直线:1AB l y kx =-，联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用12121212F AF B S F F y y =-进行计算，换元法求值域即可.【小问1详解】由题设得222263b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得212a =，所以C 的方程为221124x y +=；【小问2详解】由题意可设:(2)AB l y kx m m =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221363120k x kmx m +++-=，()()()222222Δ36413312121240k m k m k m =-+-=-+>．由韦达定理得212231213m x x k-=+，122613mk x x k -+=+，由4PA PB AB k k k +=得1212224y y k x x --+=，即1212224kx m kx m k x x +-+-+=，整理得()22(2)24mk m m k -=-，因为0k ≠，得220m m --=，解得2m =或1m =-，2m =时，直线AB 过定点(0,2)P ，不合题意，舍去；1m =-时，满足()2Δ36410k =+>，所以直线AB 过定点(0,1)-．【小问3详解】）由（2）得直线:1AB l y kx =-，所以1(1)x y k=+，由221(1)1124x y k x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得22221213120y y k k k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，21Δ3640k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由题意得121212122112F AF B S F F y y y k =-=-=+，因为2AF k =，所以218k >，所以2108k <<，令t =，(2,t ∈，所以121F AF B S t ==-，在(2,t ∈上单调递减，所以12F AF B S的范围是11⎛ ⎝．19.已知函数2()ln 1f x x ax x a =+-++．（1）证明曲线()y f x =在1x =处的切线过原点；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()e x f x ≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）2e a ≤【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可；（2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论a 的取值，求函数的单调区间;（3）把问题转化为()2()1ln e 1x g a x a x x =++--+，利用一次函数单调性得e ()2g a g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，只需证e 02g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用导数研究单调性即可.【小问1详解】由题设得1()21(0)x ax xf x '=+->，所以(1)1212f a a '=+-=，又因为(1)112f a a a =-++=，所以切点为(1,2)a ，斜率2k a =，所以切线方程为22(1)y a a x -=-，即2y ax =恒过原点．【小问2详解】由（1）得221()(0)ax x f x x x-+'=>，①0a =时，1()x f x x-+='，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；令()221ax x t x =-+，则18a ∆=-②0a >且180a ∆=-≤时，即18a ≥时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增，108a <<时，180a ∆=->，()2210t a x x x =-+>，则11804x a <<，或1184x a+>，得()0f x '>所以()f x在,104a ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎪上单调递增，在118,4a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；()2210t a x x x =-+<，则11811844x a a-+<<，则()0f x '<，所以()f x 在11811844a a +⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，③a<0时，180a ∆=->，则()2210t a x x x =-+<，则14x a >，所以()f x在1,4a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；()2210t a x x x =-+>，则104x a <<，所以()f x在,104a ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎪上单调递增，综上：0a =时，()f x 在(0,1)上单调递增；()f x 在(1,)+∞上单调递减；18a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；108a <<时，()f x 在8,1014a ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭-⎪上单调递增，在1,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x在11,44a a +⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，a<0时，()f x 在118,4a ⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；()f x 在8,1014a ⎛ ⎝⎭⎪上单调递增，【小问3详解】当1x =时，(1)e f ≤，即2e a ≤，下面证明当2e a ≤时，()e xf x ≤，,()0x ∈+∞，即证2ln 1e x x ax x a +-++≤，令()2()1ln e 1xg a x a x x =++--+，因为210x +>，所以e ()2g a g ⎛⎫≤⎪⎝⎭，只需证e 02g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即证2e e ln e 1022x x x x +--++≤，令2e e ()ln e 122x h x x x x =+--++，(1)0h =，1()e e 1x h x x x '=-+-，令1()e e 1x m x x x =-+-，21()e e x m x x'=--，令21()e e x p x x =--，32()e x p x x '=-+，e x y =-与32y x=在(0,)+∞上单调递减，所以32()e x p x x '=-+在(0,)+∞上单调递减，11602p ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，(1)2e 0p '=-<，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00p x '=，即0302e x x =，所以()00,x x ∈，()00p x '>，()0,x x ∈+∞，()00p x '<，所以()p x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以,()0x ∈+∞，()0()p x p x ≤，()0300023230000e 2121e e e x x x p x x x x x --=--=--=，令3()e 2x x x ϕ=--，21()3e 1,,12x x x ϕ⎛⎫'=-∈ ⎪⎝⎭时()0x ϕ'>，所以()ϕx 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)e 30x ϕϕ<=-<，所以,()0x ∈+∞，()0p x <，所以()m x 在(0,)+∞上单调递减，(1)0m =，(0,1)x ∈，()0m x >，(1,)x ∈+∞，()0m x <，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，综上所述2e a ≤．【点睛】关键点点睛第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当1x =时的函数值比较，从而得到结论.21。
2020届新疆乌鲁木齐一模数学(理科)试卷及答案
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．43．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．68．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．459．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．6310．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x=B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为．14．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=．15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n nn a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是（填写所有正确的序号）三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2)，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C 的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【解答】解： 集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|14}B x x =<<，{|13}(1,3)A B x x ∴=<<= ．故选：D ．2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．4【解答】解：21(1)233321(1)(1)2i i iz i i i i i i i ++=-=-=-=---+，则|||2|2z =-=．故选：A ．3．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确．故选：D ．4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解答】解：0.621a => ，0.3log 0.6(0,1)b =∈，3log 0.60c =<，则有c b a <<．故选：A ．5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解： ||2,||3,,3a b a b π==<>=，∴221(2)(2)223242932312a b a b a b a b +-=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-．故选：B ．6．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，可得c b =，22233c a c -=，2ce a===．故选：D ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：模拟程序的运行，可得0S =，1n =2S =，2n =满足条件30S <，执行循环体，246S =+=，3n =满足条件30S <，执行循环体，6814S =+=，4n =满足条件30S <，执行循环体，141630S =+=，5n =此时，不满足条件30S <，退出循环，输出n 的值为5．故选：C ．8．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，从五个数中随机抽取2个不同的数有25C 种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到25442105P C ===，故选：B ．9．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．63【解答】解：14a ，22a ，3a 依次等差数列，可得21344a a a =+，显然公比q 不为1，则211144a q a a q =+，即为2440q q -+=，解得2q =，则551(1)12531112a q S q --===--．故选：B ．10．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ【解答】解： 奇函数())cos(2)2sin[(2)]6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-，06πϕ∴-=，6πϕ∴=，()2sin 2f x x =．把()f x 的图象向右平移6πϕ=个单位长度后得到函数()2sin(23y g x x π==-的图象，令3222232k x k πππππ+-+ ，求得5111212k x k ππππ++，故函数()g x 的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈，故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=【解答】解：如图所示，过M 点作CM ⊥直线22p px ==，垂足为C ，交准线于D ，∴5sin 7MCMFA MF∠==，由抛物线定义可得：MF MD =，∴005272px MC p MF x -==+00575722x p x p +=-03x p∴=点00()2pM x x >是抛物线上一点，∴202px =23666p ⨯=6p ∴=212y x∴=故选：C．12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞【解答】解：22,0()(),0x x f x f x x x ⎧--==-⎨<⎩ ，∴函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩，为R 上的奇函数，又0x 时，2()f x x =为增函数，()f x ∴为定义域R 上的增函数．又3f =，()3())f x m f x f ∴+= ， 对任意[,3]22m mx ∈+，()3())f x m f x f += ，()f x 为定义域R上的增函数，1)]1)(3)2max mm x ∴-=+ ，即13(11)22m ---=，解得：m ．即实数m的取值范围是，)+∞，故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=，故答案为：614．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=310+．【解答】解：因为4cos()35πα+=-，α为锐角，所以13sin()35απ+=，故11111sin sin()))33233ααππαπαπ=+-=+-+=故答案为：310+15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n n n a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =34．【解答】解：由1112,2,n n n nn a a a a a a a +⎧=⎨+<⎩ ，①若31a a ，则3232a a ==，232a =，又21a a <与212a a =+相矛盾，21a a ∴ ，21322a a ==，得134a =；②若31a a <，则322a a =+，21a ∴=，由2112a a ==，112a =，与31a a <不符．∴134a =．故答案为：34．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是①②③④（填写所有正确的序号）【解答】解：①由题意可得1//D F BE，1111111111111111111[](543543)2032232B BED F B BED B BFD D BEB D BFB V V V V V BB BC AB BBD A AB -----=+=+=+=⨯⨯+⨯⨯= ，所以①正确；②将长方体展开，如图所示，恰好过B 点时，截面的周长为12BD ，而在1BDD ∆中，1BD ==，所以最小值为1BED F 为平行四边形，且E 为展开图中唯一的点所以②正确；③E 嗲不与C ，1C 重合，则F 不会为A ，即CG 不在面1EBD 内，可作出CG 的平面与1EBD 平行，所以在棱AD 上均有相应的G ，使得//CG 面1EBD ，故③正确；④因为1BB BD =，可得对角面11BB D D 为正方形，可得11B D BD ⊥，若1BE B C ⊥时，由三垂线定理可得1B D BE ⊥，即有1B D ⊥面1EBD ，在矩形11BB C C 中，1BE B C ⊥，所以1CE BC BC CC =，所以1165BC BC CE CC ==，故④正确综上可得：正确为①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．【解答】解：()I 由题意结合正弦定理可得，22()3a b ab c +=+，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，(0,)C π∈ ，故13C π=，()II 由余弦定理可得，222a b ab =+-，所以，2222a b ab ab +=+ ，故2ab ，则1sin 22ABC S ab C ∆=，当且仅当a b ==时，面积取得最大值2．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取AD 中点N ，连结MN ，CN ，M 为PD 的中点，//MN AP ∴，2AD BC = ，AN BC ∴=，//BC AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，//AB CN ∴，CN NM N = ，BA AP A = ，∴平面//CMN 平面PAB ，CM ⊂ 平面MNC ，//CM ∴平面PAB ．（Ⅱ）解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，PBD ∆ 为等边三角形，AB AD AP ∴==，设2AB =，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0D ，2，0)，∴(2BD =- ，2，0)，(2BP =-，0，2)，设平面BDP 的法向理(n x =，y ，)z ，则220220n BD x y n BP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(1n = ，1，1)，AD ⊥ 平面PAB ，∴平面PAB 的法向量(0n =，1，0)，||3cos ||||3n m n m θ∴== ．∴二面角A PB M --的余弦值为3．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-【解答】解：（Ⅰ）设2012年的快递业务量为a ，则9261%aa-=，解得57.1a ≈；即2012年的快递业务量为57.1亿件；（Ⅱ）由题意列表得，t12345y6152485128计算1(12345)35t =⨯++++=，1(6152485128)485y =⨯++++=，512222222515(161252348451528)5348ˆ 6.712345535ii i i it ytybtt==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-++++-⨯-∑∑，ˆˆ48(6.7)368.1ay bt =-=--⨯=，所以y 关于t 的线性回归方程是ˆ 6.768.1yt =-+；（Ⅲ）令6t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7668.127.9(%)y=-⨯+=；所以2018年快递业务增长量为399.9(127.9%)511.5⨯+≈（亿件）；令7t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7768.121.2(%)y=-⨯+=；所以2019年快递业务增长量为511.5(121.2%)619.9⨯+≈（亿件）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -，可得2c =，2a =a =，2b =，可得椭圆的方程为22184x y +=；（Ⅱ）D 点的横坐标为定值3-．理由如下：直线l 的斜率不为0，设:2AB x my =-，联立椭圆方程2228x y +=，可得22(2)440m y my +--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1y ，20y ≠，12242m y y m +=+，12242y y m=-+，两式相除可得1212y y m y y +=-，由1(4,)N y -，可设BN 的方程为2112(4)4y y y y x x --=++，令0y =，可得121122122021212144(2)44y x y y x y y my y x y y y y y y -------=-==---12121212122121212424333my y y y y y y y y y y y y y y y -+-++--===----．则D 点的横坐标为定值3-．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．【解答】解：2221()()x ax I f x x -+'=，0x >，对于221y x ax =-+，△28a =-，对称轴为4a x =，当△0时，即[a ∈-时，()0f x ' ，()f x 在(0,)+∞递增；当△0>时，即(a ∈-∞，-⋃，)+∞，方程有两个不同的根84a a m =，n =m n <，由于(0)1y =，当a <-，m ，0n <，函数在(0,)+∞递增；当a >，m ，0n >，函数()f x 在(0,)m ，(,)n +∞递增，(,)m n 递减；综上，a - 时，()f x 在(0,)+∞递增；a >时，()f x 在8(0,4a a --，8(4a a +-，)+∞上递增；在递减；()II 令1()()2g x f x x alnx x=-=--，0x >，方程()2f x x =有两个不相等的实数根，相当于函数()g x 由两个零点，222111()a ax axg x x x x x--'=-=-=，当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞递增，则()g x 至多只有一个零点，不成立；当0a >时，1(0,)x a ∈时，()g x 递增；1(x a ∈，)+∞递减，所以1()()min g x g a alna a==-+，由0a alna -+>，又0a >，所以a e >，因为1a是()g x 的极大值点，由11a>，g （1）10=-<，由a e >，a e a >，1a e a -<，21()a a a a g e alne e a e---=--=-+，对于2x y e x =-，易知y 在(,)e +∞递增，因为指数函数比幂函数增长的快，所以20a e a ->，()0a g e -<，所以函数()g x 在1(,)a e a -与1(a，1)各有一个零点，所以a e >，要证明2()2a f a e <+，即证明a e >时，211(22a alna e a---<成立，设h （a ）211(2()a alna a e e a =--->，h'（a ）22111lna a e =+--，由于h '（a ）在(,)e +∞递减，所以h '（a ）h '<（e ）0=，所以h （a ）在(,)e +∞递减；所以h （a ）h <（e ）22e e=-<，故原命题成立．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．【解答】解：（Ⅰ）曲线221:40C x y x +-=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=．直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为tan y x α=，(0,6πα∈．（Ⅱ）由已知可得：θα=，则||4cos AB αα=-，1||tan 4sin AM ραα==，由于|||AM AB =，所以4sin )ααα=-，解得tan k α==所以直线的斜率为23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．【解答】解：（Ⅰ）31,1()|22||3|5,3131,3x x f x x x x x x x +>⎧⎪=-++=-+-⎨⎪--<-⎩．()25f x x + ，∴31251x x x ++⎧⎨>⎩ 或52531x x x -++⎧⎨-⎩ 或31253x x x --+⎧⎨<-⎩，4x ∴ 或30x - 或3x <-，0x ∴ 或4x ，∴不等式的解集为{|0x x 或4}x ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4min f x k ==．()4a b c k ∴+==，4ab ac ∴+=，22222222()()228a b c a b a c ab ac ∴++=++++= ，当且仅当a b c ===22228a b c ∴++ ．。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1.设集合A ＝{x|x 2−3x <0}，B ＝{x|1<x <4}，则A ∩B ＝（ ） A.(0, 4) B.(1, 4) C.(3, 4) D.(1, 3)2.若复数z 满足z =1+i1−i −3i （其中i 为虚数单位），则|z|＝（ ） A.2 B.3 C.√10 D.43.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α // βC.若m // α，n // α，且m ⊂β，n ⊂β，则α // βD.若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n4.设a ＝20.6，b ＝log 0.30.6，c ＝log 30.6，则有（ ） A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b5.已知向量a →,b →满足|a →|=2,|b →|=3，且a →与b →的夹角为π3，则(a →+2b →)(2a →−b →)＝（ ） A.−3 B.−1 C.1 D.36.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为虚轴的一个端点，且∠F 1BF 2＝120∘，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.√3C.32D.√627.执行如图所示的程序框图，则输出的n＝（）A.3B.4C.5D.68.从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A.15B.25C.35D.459.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3依次等差数列，若a1=1，则S5=()A.16B.31C.32D.6310.将奇函数f(x)=√3sin(2x+φ)−cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)的一个单调递减区间是（）A.(−π12,5π12) B.(−5π12,π12)C.(π12,7π12)D.(5π12,11π12)11.已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点F ，点M(x 0,6√6)(x 0>p2)是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线x =p2交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若sin∠MFA =57，则抛物线C 的方程为（ ） A.y 2＝4x B.y 2＝8x C.y 2＝12x D.y 2＝16x12.已知函数f(x)={x 2−x 2 ,x ≥0#/DEL/#,x <0#/DEL/#，若对任意x ∈[m 2,m 2+3]，都有f(x +m)≥3f(x)，则实数m 的取值范围是（ ） A.[4, +∞) B.[2√3,+∞) C.[3, +∞) D.[2√2,+∞)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分若x ，y 满足约束条件{x −2y −2≤0，x −y +1≥0，y ≤0，则z =3x +2y 的最大值为________．已知cos(α+π3)=−45，α为锐角，则sinα＝________．已知数列{a n }满足：a n+1={2a n ,a n ≥a 1a n +2,a n <a 1(n ＝1, 2,…)，若a 3＝3，则a 1＝________34．如图，已知在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝5，点E 为CC 1上的一个动点，平面BED 1与棱AA 1交于点F ，给出下列命题： ①四棱锥B 1−BED 1F 的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形BED 1F 的周长取得最小值2√74；③当E点不与C，C1重合时，在棱AD上均存在点G，使得CG // 平面BED1；．④存在唯一的点E，使得B1D⊥平面BED1，且CE=165其中正确的命题是________（填写所有正确的序号）三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinA+sinB=csinC+3bsinA．a+b (Ⅰ)求∠C的值；(Ⅱ)若c=√2，求△ABC面积的最大值．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD // BC，∠BAD＝90∘，AD＝2BC，M为PD的中点．(Ⅰ)证明：CM // 平面PAB；(Ⅱ)若△PBD是等边三角形，求二面角A−PB−M的余弦值．“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是2013−2017年全国快递业务量(x亿件：精确到0.1)及其增长速度(y%)的数据．(Ⅰ)试计算2012年的快递业务量；(Ⅱ)分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t:1，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程y =b x +a ； (Ⅲ)根据(Ⅱ)问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量． 附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(2,√2)，左焦点F(−2, 0)． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线x ＝−4上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．已知函数f(x)=2x 2−1x−alnx(a ∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若方程f(x)＝2x 有两个不相等的实数根，求证：f(a)<ae 2+2．选考题：共10分，二选一在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:x 2+y 2−4x ＝0，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），其中α∈(0, π6)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设M(4, 0)，C 2的极坐标方程ρ=4√3sinθ，A ，B 分别为直线l 与曲线C 1，C 2异于原点的公共点，当∠AMB ＝30∘时，求直线l 的斜率．函数f(x)＝|2x −2|+|x +3|． (Ⅰ)求不等式f(x)≥2x +5的解集；(Ⅱ)若f(x)的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足a(b +c)＝k ，求证：2a 2+b 2+c 2≥8．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1.设集合A＝{x|x2−3x<0}，B＝{x|1<x<4}，则A∩B＝（）A.(0, 4)B.(1, 4)C.(3, 4)D.(1, 3)【解答】∵集合A＝{x|x2−3x<0}＝{x|0<x<3}，B＝{x|1<x<4}，∴A∩B＝{x|1<x<3}＝(1, 3)．2.若复数z满足z=1+i1−i−3i（其中i为虚数单位），则|z|＝（）A.2B.3C.√10D.4【解答】z=1+i1−i −3i=(1+i)2(1−i)(1+i)−3i=2i2−3i＝−2i，则|z|＝|−2|＝2．3.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α // βC.若m // α，n // α，且m⊂β，n⊂β，则α // βD.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m // α，n // α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m // α，n // α，且m⊂β，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D .4.设a ＝20.6，b ＝log 0.30.6，c ＝log 30.6，则有（ ） A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b【解答】∵a ＝20.6>1，b ＝log 0.30.6∈(0, 1)，c ＝log 30.6<0， 则有c <b <a ．5.已知向量a →,b →满足|a →|=2,|b →|=3，且a →与b →的夹角为π3，则(a →+2b →)(2a →−b →)＝（ ） A.−3 B.−1 C.1 D.3【解答】∵|a →|=2,|b →|=3,<a →,b →>=π3，∴(a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2−2b →2+3a →⋅b →=2×4−2×9+3×2×3×12=−1．6.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为虚轴的一个端点，且∠F 1BF 2＝120∘，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.√3C.32D.√62【解答】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为虚轴的一个端点，且∠F 1BF 2＝120∘，可得cb =√3，3c 2−3a 2＝c 2，e =ca =√32=√62． 7.执行如图所示的程序框图，则输出的n ＝（ ）A.3B.4C.5D.6【解答】模拟程序的运行，可得S＝0，n＝1S＝2，n＝2满足条件S<30，执行循环体，S＝2+4＝6，n＝3满足条件S<30，执行循环体，S＝6+8＝14，n＝4满足条件S<30，执行循环体，S＝14+16＝30，n＝5此时，不满足条件S<30，退出循环，输出n的值为（5）8.从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A.15B.25C.35D.45【解答】由题意知本题是一个古典概型，∵从五个数中随机抽取2个不同的数有C52种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到P=4C52=410=25，9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3依次等差数列，若a1=1，则S5=()A.16B.31C.32D.63【解答】解：4a1，2a2，a3依次等差数列，可得4a2=4a1+a3，显然公比q不为1，则4a1q=4a1+a1q2，即为q2−4q+4=0，解得q=2，则S5=a1(1−q5)1−q =1−251−2=31．故选B．10.将奇函数f(x)=√3sin(2x+φ)−cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)的一个单调递减区间是（）A.(−π12,5π12) B.(−5π12,π12) C.(π12,7π12) D.(5π12,11π12)【解答】∵奇函数f(x)=√3sin(2x+φ)−cos(2x+φ)＝2sin[(2x+φ)−π6]，∴φ−π6=0，∴φ=π6，f(x)＝2sin2x．把f(x)的图象向右平移φ=π6个单位长度后得到函数y＝g(x)＝2sin(2x−π3)的图象，令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，求得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，故函数g(x)的单调递减区间为[kπ+5π12, kπ+11π12]，k∈Z，11.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F，点M(x0,6√6)(x0>p2)是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x=p2交于A、B两点（A在B的上方），若sin∠MFA=57，则抛物线C的方程为（）A.y2＝4xB.y2＝8xC.y2＝12xD.y2＝16x【解答】如图所示，过M点作CM⊥直线x=p2=p2，垂足为C，交准线于D，∴sin∠MFA =57=MCMF ， 由抛物线定义可得：MF ＝MD ， ∴MCMF =x 0−p 2x 0+p 2=575x 0+52p =7x 0−72p∴x 0＝3p∵点M(x 0,6√6)(x 0>p2)是抛物线上一点， ∴(6√6)2=2px 0 36×6＝6p 2 ∴p ＝6 ∴y 2＝12x12.已知函数f(x)={x 2−x 2 ,x ≥0#/DEL/#,x <0#/DEL/#，若对任意x ∈[m 2,m2+3]，都有f(x +m)≥3f(x)，则实数m 的取值范围是（ ） A.[4, +∞) B.[2√3,+∞) C.[3, +∞) D.[2√2,+∞)【解答】∵f(−x)={−x 2x 2 ,x ≥0#/DEL/#,x <0#/DEL/#=−f(x)， ∴函数f(x)={x 2−x2 ,x ≥0#/DEL/#,x <0#/DEL/#，为R 上的奇函数，又x ≥0时，f(x)＝x 2为增函数， ∴f(x)为定义域R 上的增函数． 又f(√3)＝3，∴f(x +m)≥3f(x)＝f(√3x)，∵对任意x ∈[m 2,m2+3]，f(x +m)≥3f(x)＝f(√3x)，f(x)为定义域R 上的增函数，∴m ≥[(√3−1)x]max ＝(√3−1)(m2+3)， 即(1−√3−12)m =3−√32m ≥3(√3−1)，解得：m ≥2√3．即实数m 的取值范围是[2√3, +∞)，二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分若x ，y 满足约束条件{x −2y −2≤0，x −y +1≥0，y ≤0，则z =3x +2y 的最大值为________．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =3x +2y 得y =−32x +12z ， 平移直线y =−32x +12z ，由图象知当直线y =−32x +12z 经过点A(2, 0)时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为z =3×2=6， 故答案为：6已知cos(α+π3)=−45，α为锐角，则sinα＝________． 【解答】因为cos(α+π3)=−45，α为锐角， 所以sin(α+13π)=35，故sinα＝sin(α+13π−13π)=12sin(α+13π)−√32cos(α+13π)=3+4√310． 已知数列{a n }满足：a n+1={2a n ,a n ≥a 1a n +2,a n <a 1(n ＝1, 2,…)，若a 3＝3，则a 1＝________34． 【解答】 由a n+1={2a n ,a n ≥a 1a n +2,a n <a 1，①若a3≥a1，则a3＝3＝2a2，a2=32，又a2<a1与a2＝a1+2相矛盾，∴a2≥a1，a2=32=2a1，得a1=34；②若a3<a1，则a3＝a2+2，∴a2＝1，由a2＝1＝2a1，a1=12，与a3<a1不符．∴a1=34．如图，已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，点E 为CC1上的一个动点，平面BED1与棱AA1交于点F，给出下列命题：①四棱锥B1−BED1F的体积为20；②存在唯一的点E，使截面四边形BED1F的周长取得最小值2√74；③当E点不与C，C1重合时，在棱AD上均存在点G，使得CG // 平面BED1；④存在唯一的点E，使得B1D⊥平面BED1，且CE=165．其中正确的命题是________（填写所有正确的序号）【解答】①由题意可得D1F // BE，V B1−BED1F =V B1−BED1+V B1−BFD1=V D1−BEB1+V D1−BFB1=13[12⋅BB1⋅BC⋅AB+12⋅BB1⋅D1A1⋅AB]=13⋅12(5×4×3+5×4×3)=20，所以①正确；②将长方体展开，如图所示，恰好过B点时，截面的周长为2BD1，而在△BDD1中，BD1=√52+(3+4)2=√74，所以最小值为2√74，由面面平行的性质可得四边形BED1F为平行四边形，且E为展开图中唯一的点所以②正确；③E嗲不与C，C1重合，则F不会为A，即CG不在面EBD1内，可作出CG的平面与EBD1平行，所以在棱AD上均有相应的G，使得CG // 面EBD1，故③正确；④因为BB1＝BD，可得对角面BB1D1D为正方形，可得B1D⊥BD1，若BE⊥B1C时，由三垂线定理可得B1D⊥BE，即有B1D⊥面EBD1，在矩形BB1C1C中，BE⊥B1C，所以CEBC =BCCC1，所以CE=BC⋅BCCC1=165，故④正确综上可得：正确为①②③④．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinA+sinB=csinC+3bsinAa+b．(Ⅰ)求∠C的值；(Ⅱ)若c=√2，求△ABC面积的最大值．【解答】（I）由题意结合正弦定理可得，(a+b)2＝3ab+c2，即a2+b2−c2＝ab，所以cosC=a 2+b2−c22ab=12，∵C∈(0, π)，故C=13π，(II)由余弦定理可得，2＝a2+b2−ab，所以，a2+b2＝2+ab≥2ab，故ab≤2，则S△ABC=12absinC≤√32，当且仅当a＝b=√2时，面积取得最大值√32．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD // BC，∠BAD＝90∘，AD ＝2BC，M为PD的中点．(Ⅰ)证明：CM // 平面PAB；(Ⅱ)若△PBD是等边三角形，求二面角A−PB−M的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取AD 中点N ，连结MN ，CN ， ∵M 为PD 的中点，∴MN // AP ， ∵AD ＝2BC ，∴AN ＝BC ，∵BC // AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，∴AB // CN ， ∵CN ∩NM ＝N ，BA ∩AP ＝A ，∴平面CMN // 平面PAB ， ∵CM ⊂平面MNC ，∴CM // 平面PAB ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵△PBD 为等边三角形，∴AB ＝AD ＝AP ， 设AB ＝2，则A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，D(0, 2, 0)， ∴BD →=(−2, 2, 0)，BP →=(−2, 0, 2)， 设平面BDP 的法向理n →=(x, y, z)，则{n →⋅BD →=−2x +2y =0n →⋅BP →=−2x +2z =0 ，令z ＝1，得n →=(1, 1, 1)， ∵AD ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量n →=(0, 1, 0)， ∴cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=√3×1=√33． ∴二面角A −PB −M 的余弦值为√33．“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是2013−2017年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(y%)的数据．(Ⅰ)试计算2012年的快递业务量；(Ⅱ)分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t:1，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程y =b x +a ； (Ⅲ)根据(Ⅱ)问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量． 附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯【解答】（1）设2012年的快递业务量为a ， 则92−a a=61%，解得a ≈57.1；即2012年的快递业务量为57.1亿件； （2）由题意列表得，计算t ¯=15×(1+2+3+4+5)＝3，y ¯=15×(61+52+48+51+28)＝48， b =∑ 5i=1t i y i −5t ¯y¯∑ 5i=1t i 2−5t¯2=(1×61+2×52+3×48+4×51+5×28)−5×3×4812+22+32+42+52−5×32=−6.7，a =y ¯−b t ¯=48−(−6.7)×3＝68.1，所以y 关于t 的线性回归方程是y =−6.7t +68.1；(Ⅲ)令t＝6，计算2018年比上半年增长率是y=−6.7×6+68.1＝27.9(%)；所以2018年快递业务增长量为399.9×(1+27.9%)≈511.5（亿件）；令t＝7，计算2018年比上半年增长率是y=−6.7×7+68.1＝21.2(%)；所以2019年快递业务增长量为511.5×(1+21.2%)≈619.9（亿件）．已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,√2)，左焦点F(−2, 0)．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过点F作于x轴不重合的直线l，l与椭圆交于A，B两点，点A在直线x＝−4上的投影N与点B的连线交x轴于D点，D点的横坐标x0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（1）椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,√2)，左焦点F(−2, 0)，可得c＝2，2a=√42+(√2)2+√0+(√2)2=4√2，即a＝2√2，b=√a2−c2=2，可得椭圆的方程为x 28+y24=1；（2）D点的横坐标为定值−(3)理由如下：直线l的斜率不为0，设AB:x＝my−2，联立椭圆方程x2+2y2＝8，可得(2+m2)y2−4my−4＝0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，y1，y2≠0，y1+y2=4m2+m2，y1y2=−42+m2，两式相除可得y1+y2y1y2=−m，由N(−4, y1)，可设BN的方程为y−y1=y2−y1x2+4(x+4)，令y＝0，可得x0=−y1x2−4y1y2−y1−4=−y1x2−4y2y2−y1=−y1(my2−2)−4y2y2−y1=−my1y2+2y1−4y2y2−y1=y1+y2+2y1−4y2y2−y1=3y1−3y2y2−y1=−(3)则D点的横坐标为定值−(3)已知函数f(x)=2x 2−1x−alnx(a∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若方程f(x)＝2x有两个不相等的实数根，求证：f(a)<ae+2．【解答】 (I)f ′(x)=2x 2−ax+1x 2，x >0，对于y ＝2x 2−ax +1，△＝a 2−8，对称轴为x =a4，当△≤0时，即a ∈[−2√2,2√2]时，f ′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)递增； 当△>0时，即a ∈(−∞, −2√2)∪(2√2, +∞)，方程有两个不同的根m =a−√a 2−84，n =a+√a 2−84，m <n ，由于y(0)＝1，当a <−2√2，m ，n <0，函数在(0, +∞)递增；当a >2√2，m ，n >0，函数f(x)在(0, m)，(n, +∞)递增，(m, n)递减； 综上，a ≤−2√2时，f(x)在(0, +∞)递增；a >2√2时，f(x)在(0, a−√a 2−84)，(a+√a 2−84, +∞)上递增；在(a−√a 2−84,a+√a 2−84)递减；(II)令g(x)＝f(x)−2x =−1x −alnx ，x >0，方程f(x)＝2x 有两个不相等的实数根，相当于函数g(x)由两个零点， g ′(x)=1x 2−ax =−ax−1x 2=1−ax x 2，当a ≤0时，g ′(x)>0，g(x)在(0, +∞)递增，则g(x)至多只有一个零点，不成立；当a >0时，x ∈(0, 1a )时，g(x)递增；x ∈(1a , +∞)递减， 所以g(x)min =g(1a )=−a +alna ，由−a +alna >0，又a >0，所以a >e ，因为1a 是g(x)的极大值点， 由1>1a ，g(1)＝−1<0，由a >e ，e a >a ，e −a <1a ，g(e −a )=−1e −a −alne −a =−e a +a 2， 对于y ＝e x −x 2，易知y 在(e, +∞)递增，因为指数函数比幂函数增长的快， 所以e a −a 2>0，g(e −a )<0，所以函数g(x)在(e −a ,1a )与(1a , 1)各有一个零点，所以a >e ，要证明f(a)<ae 2+2，即证明a >e 时，a(2−1e 2)−1a −alna <2成立， 设ℎ(a)＝a(2−1e 2)−1a −alna(a >e)，ℎ′(a)＝1+1a 2−lna −1e 2，由于ℎ′(a)在(e, +∞)递减，所以ℎ′(a)<ℎ′(e)＝0， 所以ℎ(a)在(e, +∞)递减； 所以ℎ(a)<ℎ(e)＝e −2e <2， 故原命题成立．选考题：共10分，二选一在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:x 2+y 2−4x ＝0，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），其中α∈(0, π6)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设M(4, 0)，C 2的极坐标方程ρ=4√3sinθ，A ，B 分别为直线l 与曲线C 1，C 2异于原点的公共点，当∠AMB ＝30∘时，求直线l 的斜率． 【解答】（1）曲线C 1:x 2+y 2−4x ＝0，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ． 直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），转换为直角坐标方程为y ＝tanαx ，α∈(0, π6)． （2）由已知可得：θ＝α，则|AB|＝4cosα−4√3sinα，|AM|＝ρ1tanα＝4sinα， 由于|AM|=√3|AB|，所以4sinα=√3(4cosα−4√3sinα)， 解得k =tanα=√34． 所以直线的斜率为√34． 函数f(x)＝|2x −2|+|x +3|． (Ⅰ)求不等式f(x)≥2x +5的解集；(Ⅱ)若f(x)的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足a(b +c)＝k ，求证：2a 2+b 2+c 2≥8． 【解答】（1）f(x)＝|2x −2|+|x +3|={3x +1,x >1−x +5,−3≤x ≤1−3x −1,x <−3．∵f(x)≥2x +5，∴{3x +1≥2x +5x >1或{−x +5≥2x +5−3≤x ≤1 或{−3x −1≥2x +5x <−3 ，∴x ≥4或−3≤x ≤0或x <−3， ∴x ≤0或x ≥4，∴不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥4}． （2）由(Ⅰ)知f(x)min ＝k ＝4． ∴a(b +c)＝k ＝4，∴ab +ac ＝4，∴2a 2+b 2+c 2＝(a 2+b 2)+(a 2+c 2)≥2ab +2ac ＝8， 当且仅当a =b =c =±√2时取等号， ∴2a 2+b 2+c 2≥8．。
新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2024年高考仿真卷数学试题含解析
2024年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．3C D ．24．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,15．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 7．已知非零向量,a b 满足0a b ⋅=，||3a =，且a 与a b +的夹角为4π，则||b =（ ） A ．6B ．32C ．22D ．38．已知命题p :直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q :直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m .下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）9．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22311．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5 B ．10C ．20D ．3012．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(理科)(问卷)(含解析)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若集合A＝{x|x2−2x−8<0}，B＝{x|x2−9≤0}，则集合A∪B＝（）A.(−2, 3]B.(−4, 3]C.[−3, 2)D.[−3, 4)2.已知复数z满足z(1+2i)＝|3+4i|（i是虚数单位），则z的共轭复数（）A.1+2iB.1−2iC.−1+2iD.−1−2i3.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6√2，则该双曲线的实轴长为（）A.3B.6C.9D.124.已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥βC.若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // βD.若m⊥α，n // β，α⊥β，则m⊥n5.数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4＝（）A.8B.12C.16D.246.若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为r＝nbmodm，例如2＝12bmod5，如图程序框图的算法源于我国古代著名的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的i等于（）A.2B.4C.8D.167.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将该数据按照[0, 0.5),[0.5, 1),…[4.4.5]分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准a，使85%的居民用水量不超过a，按平价收水费，超出a的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准a的是（）A.2.5吨B.3吨C.3.5吨D.4吨8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparcℎus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M．R．Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1−m2＝2.5(lgE2−lgE1)，其中星等为m k的星的亮度为E k(k＝1, 2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A.1.24B.1.25C.1.26D.1.279.已知函数f(x)＝2sin2(x+π6)+√3sin(2x+π3)−1，则下列判断正确的是（）A.f(x)的图象关于x=π6对称 B.f(x)为奇函数C.f(x)的值域为[−3, 1]D.f(x)在[0,π3]上是增函数10.已知α∈(0,π4)，a＝(sinα)sinα，b＝(sinα)cosα，c＝(cosα)sinα，则a，b，c的大小关系（）A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a11.已知抛物线y2＝4x的焦点F，准线为l，过点F且斜率为√3的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l于点N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝（）A.4B.2√3C.2D.√312.已知函数f(x)={lnx−1,x≥113(x+2),x<1，若α<β且f(α)＝f(β)，则β−α的取值范围是（）A.[8−3ln3, 6]B.[8−3ln3, e2−1]C.[9−4ln3, 6]D.[9−4ln3, e2−1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分已知单位向量a →,b →满足a →⋅(a →+2b →)=2，则向量a →,b →夹角的大小为________．已知点N 在圆x 2+y 2−4x +4y +7＝0上，点M 在直线3x −4y +6＝0上，则|MN|的最小值为________．造纸术是我国古代四大发明之一．纸张的规格是纸张制成之后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规格为：①A0规格的纸张幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系为x:y =1:√2，②将A0纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格，现有A0，A1，A2，A3，…，A8纸各一张，若A4纸的面积为624cm 2，这九张纸的面积之和等于________(cm 2)如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，有下列四个命题：①BC 1与平面BCD 1A 1所成的角为30∘；②三棱锥A −A 1BD 与三棱锥C 1−A 1BD 的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，AA 1在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且只有一个；④过BD 1作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为√62；上述四个命题中，正确命题的序号为________三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．(Ⅰ)证明：EF⊥平面PAE；AB，求平面PAB与平面PEF所成的二面角的正弦值．(Ⅱ)若PA=54已知△ABC的面积为3，BC边上的高是2，tanA＝3．(Ⅰ)求△ABC外接圆的半径；(Ⅱ)求AB和AC的长．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题．例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题．①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子．(Ⅰ)你能否估算出中学生早恋人数的百分比？(Ⅱ)若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望已知函数f(x)＝ax 2−xlnx −x(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1e 时，求曲线y ＝f(x)在点（e, f(e)）处的切线方程；(Ⅱ)若f(x)在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围．点P(x, y)与定点F(−1, 0)的距离和它到直线l:x ＝−3的距离的比是常数√33，设点P 的轨迹为曲线E ．(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C 、D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO →=λOM →(λ>0)，求四边形ACBD 面积的取值范围．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝2，四边形ABCD 的四个顶点都在曲线E 上．(Ⅰ)求曲线E的直角坐标方程；(Ⅱ)若AC，BD相交于点P(1, 1)求|PA|⋅|PB|⋅|PC|⋅|PD|的值．已知函数f(x)＝|x−1|+|x+2|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2−ax+1的解集包含[−1, 1]，求实数a的取值范围．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）（问卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若集合A ＝{x|x 2−2x −8<0}，B ＝{x|x 2−9≤0}，则集合A ∪B ＝（ ）A.(−2, 3]B.(−4, 3]C.[−3, 2)D.[−3, 4) 【解答】∵集合A ＝{x|x 2−2x −8<0}＝{x|−2<x <4}，B ＝{x|x 2−9≤0}＝{x|−3≤x ≤3}，∴集合A ∪B ＝{x|−3≤x <4}＝[−3, 4)．2.已知复数z 满足z(1+2i)＝|3+4i|（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z ¯=()A.1+2iB.1−2iC.−1+2iD.−1−2i 【解答】由z(1+2i)＝|3+4i|＝5，得z =51+2i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i ，∴z ¯=1+2i ．3.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6√2，则该双曲线的实轴长为（ ）A.3B.6C.9D.12【解答】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)则双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x∵两条渐近线互相垂直，∴b a ×(−b a )＝−1，∴a 2＝b 2，∵焦距为6√2，∴2c ＝6√2，∴c ＝3√2，∴a 2＝18−a 2，∴a 2＝9，∴a ＝3，∴双曲线的实轴长为：（6）4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥βC.若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // βD.若m⊥α，n // β，α⊥β，则m⊥n【解答】A．若m // α，n // α，则m // n，相交，或为异面直线，因此不正确；B．若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥β，因此正确；C．若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α与β不一定平行，因此不正确；D．若m⊥α，n // β，α⊥β，则m与n不一定垂直，因此不正确．5.数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4＝（）A.8B.12C.16D.24【解答】数列{a n}是公差d为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，可得a42＝a1a13，即(a1+6)2＝a1(a1+24)，解得a1＝3，则S4＝4a1+6d＝4×3+6×2＝（24）6.若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为r＝nbmodm，例如2＝12bmod5，如图程序框图的算法源于我国古代著名的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的i等于（）A.2B.4C.8D.16【解答】模拟程序的运行，可得i＝1，n＝7，第一次执行循环体，得i＝2，n＝9，此时9mod3＝0，不满足第一条件；第二次执行循环体，得i＝4，n＝13，此时13mod3＝1，但13mod5＝3，不满足第二条件；第三次执行循环体，得i＝8，n＝21，此时21mod3＝0，不满足第一条件；第四次执行循环体，得i＝16，n＝37，此时37mod3＝1，且37mod5＝2，满足第二条件，此时退出循环．所以输出i的值为（16）7.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将该数据按照[0, 0.5),[0.5, 1),…[4.4.5]分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准a，使85%的居民用水量不超过a，按平价收水费，超出a的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准a的是（）A.2.5吨B.3吨C.3.5吨D.4吨【解答】[0, 0.5)的频数为0.08×0.5×100＝4，[0.5, 1)的频数为0.16×0.5×100＝8，[1, 1.5)的频数为0.3×0.5×100＝15，[1.5, 2)的频数为0.44×0.5×100＝22，[2, 2.5)的频数为0.5×0.5×100＝25，[2.5, 3)的频数为0.28×0.5×100＝14，[3, 3.5)的频数为0.12×0.5×100＝6，[3.5, 4)的频数为0.08×0.5×100＝4，[4.4.5]的频数为0.04×0.5×100＝（2）4+8+15+22+25+14＝86故前六组占86%，a为3吨．8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparcℎus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M．R．Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1−m2＝2.5(lgE2−lgE1)，其中星等为m k的星的亮度为E k(k＝1, 2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27【解答】设“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，则m1＝1.00，m2＝1.25，E1＝rE2，∵两颗星的星等与亮度满足m1−m2＝2.5(lgE2−lgE1)，∴1−1.25＝2.5(lgE2−lgrE2)，即：lgr＝0.1，∴r＝100.1≈1+2.3×0.1+2.7×(0.1)2＝1+0.23+0.027＝1.257，∴与r最接近的是1.26，9.已知函数f(x)＝2sin2(x+π6)+√3sin(2x+π3)−1，则下列判断正确的是（）A.f(x)的图象关于x=π6对称 B.f(x)为奇函数C.f(x)的值域为[−3, 1]D.f(x)在[0,π3]上是增函数【解答】∵f(x)＝2sin2(x+π6)+√3sin(2x+π3)−1=√3sin(2x+13π)−cos(2x+13π)＝2sin(2x+π6)，由于x=π6时，函数值为2为函数的最大值，满足对称的性质，故A正确，10.已知α∈(0,π4)，a＝(sinα)sinα，b＝(sinα)cosα，c＝(cosα)sinα，则a，b，c的大小关系（）A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a【解答】因为α∈(0,π4)，∴0<sinα<cosα<1；∴y＝(sinα)x单调递减；y＝x sinα单调递增；∴(sinα)sinα>(sinα)cosα；(sinα)sinα<(cosα)sinα；∴a>b，a<c．即c>a>b．（也可以取30∘直接带入比较）11.已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线为l ，过点F 且斜率为√3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN ⊥l 于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则|MD|＝（ ） A.4 B.2√3C.2D.√3【解答】由题意，可知：F(1, 0)． 直线l FM :y =√3(x −1)． 联立{y =√3(x −1)y 2=4x， 整理，得3x 2−10x +3＝（0） 解得x =13，或x ＝（3） 当x =13时，y =−2√33；当x ＝3时，y ＝2√3． ∴点M 坐标为(3, 2√3)．∵准线l:x ＝−(1)∴点N 坐标为(−1, 2√3)． ∴直线FN 斜率k NF =2√3−1−1=−√3． ∴l FN :y =−√3(x −1)， ∴点D 坐标为(0, √3)．∴|MD|=√(3−0)2+(2√3−√3)2=2√3． 故选：B ．12.已知函数f(x)={lnx −1,x ≥113(x +2),x <1 ，若α<β且f(α)＝f(β)，则β−α的取值范围是（ ）A.[8−3ln3, 6]B.[8−3ln3, e 2−1]C.[9−4ln3, 6]D.[9−4ln3, e 2−1] 【解答】作出函数f(x)的图象，如图所示，由α<β且f(α)＝f(β)，可得lnβ−1=13(α+2)， 由题意可得，lnβ−1<1即1≤β<e 2， 故α＝3lnβ−5， 则β−α＝β−3lnβ+5，令ℎ(x)＝x −3lnx +5，1≤x <e 2， 则ℎ′(x)＝1−3x =x−3x，易得ℎ(x)在[1, 3)上单调递减，[3, e 2)上单调递增， 故当x ＝3时函数取得极小值，也是最小值ℎ(3)＝8−3ln3， 而ℎ(e 2)＝e 2−1>ℎ(1)＝6， 故8−3ln3≤ℎ(x)≤(6) 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分已知单位向量a →,b →满足a →⋅(a →+2b →)=2，则向量a →,b →夹角的大小为________． 【解答】 ∵|a →|=|b →|=1，∴a →⋅(a →+2b →)=a →2+2a →⋅b →=1+2a →⋅b →=2， ∴a →⋅b →=12， ∴cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →||b →|=12，且0≤<a →,b →>≤π，∴<a →,b →>=π3．已知点N 在圆x 2+y 2−4x +4y +7＝0上，点M 在直线3x −4y +6＝0上，则|MN|的最小值为________．【解答】化圆x2+y2−4x+4y+7＝0为(x−2)2+(y+2)2＝1，则圆心坐标为(2, −2)，半径为（1）圆心到直线3x−4y+6＝0的距离d=√32+(−4)2=4>1，∴直线与圆相离，如图：由图可知，|MN|的最小值为4−1＝（3）故答案为：（3）造纸术是我国古代四大发明之一．纸张的规格是纸张制成之后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系为x:y=1:√2，②将A0纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格，现有A0，A1，A2，A3，…，A8纸各一张，若A4纸的面积为624cm2，这九张纸的面积之和等于________(cm2)【解答】可设Ai纸张的面积分别为S i，i＝0，1，…，8，则{S i}为等比数列，公比q= 12，∵S4＝624＝S0×(12)4，解得S0＝99(84)可得这9张纸的面积之和=9984[1−(12)9]1−12=19929cm2．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，有下列四个命题：①BC1与平面BCD1A1所成的角为30∘；②三棱锥A−A1BD与三棱锥C1−A1BD的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，AA 1在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且只有一个；④过BD 1作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为√62； 上述四个命题中，正确命题的序号为________【解答】如图所示，①BC 1与平面BCD 1A 1所成的角θ为锐角，满足：sinθ=OC1BC 1=√222=12，θ＝30∘，正确；②三棱锥A −A 1BD 的体积=13×12×12=16，三棱锥C 1−A 1BD 的体积＝13−4×16=13，因此体积比＝1:2，正确；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，AA 1在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且只有一个，是经过点A 且与直线AC 1垂直的平面，正确． ④过BD 1作正方体的截面，设截面面积为S ，截面为BFD 1E ，其中E ，F 为分别为棱AA 1，CC 1的中点，此时面积S =√12+(12)2×1=√52<√62，因此不正确．上述四个命题中，正确命题的序号为①②③．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且BF ＝3FC ． (Ⅰ)证明：EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)若PA =54AB ，求平面PAB 与平面PEF 所成的二面角的正弦值．【解答】（1）证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AP ＝b ，则E(a2, a, 0)，F(a, 34a, 0)，A(0, 0, 0)，P(0, 0, b)， EF →=(a2, −a4, 0)，AE →=(a2,a, 0)，AP →=(0, 0, b)，则EF →⋅AE →=0，EF →⋅AP →=0，∴EF ⊥AE ，EF ⊥AP ， ∵AE ∩AP ＝A ，∴EF ⊥平面PAE ． （2）∵PA =54AB ，设AB ＝4，则AP ＝5， 则P(0, 0, 5)，E(2, 4, 0)，F(4, 3, 0)， PE →=(2, 4, −5)，PF →=(4, 3, −5)， 设平面PEF 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅PE →=2x +4y −5z =0m →⋅PF →=4x +3y −5z =0 ，取x ＝1，得m →=(1, 2, 2)， 平面PAB 的法向量n →=(0, 1, 0)，设平面PAB 与平面PEF 所成的二面角的平面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=23，∴平面PAB 与平面PEF 所成的二面角的正弦值为： sinθ=√1−(23)2=√53．已知△ABC 的面积为3，BC 边上的高是2，tanA ＝3． (Ⅰ)求△ABC 外接圆的半径； (Ⅱ)求AB 和AC 的长． 【解答】（1）由题意，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，tanA ＝3>(0) ∴cosA =√11+tan 2A =√11+9=√1010，sinA =√1−cos 2A =3√1010， ∵△ABC 的面积S 为3，BC 边上的高ℎ是2， ∴3=12aℎ=12×a ×2，解得a ＝3，∴设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2R =asinA =3√1010，解得△ABC 外接圆的半径R =√102． （2）∵由(Ⅰ)可得sinA =3√1010，△ABC 的面积S 为3=12bcsinA ＝bc3√1020， ∴解得bc ＝2√10，①∵由(Ⅰ)可得a ＝3，cosA =√1010，利用余弦定理可得9＝b 2+c 2−2bc ×√1010=b 2+c 2−4√10×√1010，可得b 2+c 2＝13，②∴由①②联立解得{b =2√2c =√5，或{b =√5c =2√2 ．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题．例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题．①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子． (Ⅰ)你能否估算出中学生早恋人数的百分比？(Ⅱ)若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望 【解答】（1）摸到同色球的概率为p 1=C 42+C 62C 102=715，摸到异色球的概率为p 2=C 41C61C 102=815，由此可估计300人中有300×715=140人摸到同色球，160人摸到异色球， ∴有140人回答了问题①，160人回答了问题②，∵学生学籍号的后四位是顺序号，∴最后一位是奇数的概率为12， 因此回答问题①的140人有70人回答了“量”， 据此估计有8人在问题②中回答了“是”， ∴估计中学生的早恋人数的百分比为8160=5%． （2）依题意X ∼B(40, 0.05)，分布列为P(X ＝k)=C 40k (120)k (1920)20−k ，k ＝0，1，2，…，（40）∴E(X)＝40×0.05＝（2）已知函数f(x)＝ax 2−xlnx −x(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1e 时，求曲线y ＝f(x)在点（e, f(e)）处的切线方程； (Ⅱ)若f(x)在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围． 【解答】（I ）当a =1e 时，f(x)=x 2e−xlnx −x ，f ′(x)=2x e−lnx −2，∴f(e)＝e −e −e ＝−e ，f ′(e)＝−1，所以切线方程为y +e ＝−(x −e)，即x +y ＝0；(II)由f ′(x)＝2ax −lnx −2，x >0，设g(x)＝2ax −lnx −2，x >0，则g ′(x)＝2a −1x ，当a <0时，g ′(x)<0，g(x)在(0, +∞)单调递减，由g(e 2a−2)＝2ae 2a−2−2a ＝2a(e 2a−2−1)>0，g(1)＝2a −2<0， ∴g(x)在(0, +∞)不恒正或恒负，∴f(x)在(0, +∞)不为单调函数，不符合条件； 当a ＝0时，g(x)＝−lnx −2，x >0，显然不满足条件； 当a >0时，由g ′(x)＝0，得x =12a ，当x ∈(0, 12a )时，g(x)递减，当x ∈(12a , +∞)时，g(x)递增； ∴g(x)min =g(12a )=ln2a −1，根据题意要使g(x)≥0恒成立，则ln2a ≥1，即a ≥e2， 综上，a ≥e2．点P(x, y)与定点F(−1, 0)的距离和它到直线l:x ＝−3的距离的比是常数√33，设点P 的轨迹为曲线E ． (Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C 、D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO →=λOM →(λ>0)，求四边形ACBD 面积的取值范围． 【解答】 （1）由条件得√(x+1)2+y 2|x+3|=√33，整理得2x 2+3y 2＝6，即曲线E 的方程为x 23+y 22=1；（2）①当直线l 的斜率为0时，点M 与O 重合，不满足CO →=λOM →(λ>0)，故斜率不为0；②当直线斜率不为0时，设AB:x ＝my −1，代入E 得2(my −1)2+3y 2−6＝0，整理得(2m 2+3)y 2−4my −4＝0，设A(x 1, y 1)B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=4m2m 2+3，y 1y 2=−42m 2+3， 所以AB =2|y 1−y 2|=√1+m 2√16m 2(2m 2+3)2+162m 2+3=4√3(1+m 2)2m 2+3，x 1+x 2＝m(y 1+y 2)−2=4m 22m 2+3−2=−62m 2+3， 所以M(−32m +3, 2m2m +3)，因为CO →=λOM →(λ>0)，所以C(3λ2m 2+3, −2λm2m 2+3)， 又因为C 在曲线E 上，代入得9λ2(2m 2+3)23+4λ2m 2(2m 2+3)22=1，整理得λ2＝2m 2+3， 因为点O 到直线AB 的距离d =√2，设四边形ACBD 面积为S ，△ABO 的面积为S 1， 则S 1=12AB ⋅d =12×4√3(1+m 2)2m 2+3×√1+m 2=2√3⋅√1+m 22m 2+3，所以S ＝S △ABC +S △ABD ＝(λ+1)S 1+(λ−1)S 1＝2λS 1＝4√3λ⋅√1+m 22m 2+3， 将λ2＝2m 2+3代入得S ＝4√3⋅√1+m 22m 2+3=4√3⋅√12+1m 2+1，因为m ∈R ，所以当m ＝0时S 取最小值为4，所以4≤S <2√6 故四边形的取值范围为[4, 2√6)．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝2，四边形ABCD 的四个顶点都在曲线E 上． (Ⅰ)求曲线E 的直角坐标方程；(Ⅱ)若AC ，BD 相交于点P(1, 1)求|PA|⋅|PB|⋅|PC|⋅|PD|的值． 【解答】（1）曲线E 的极坐标方程为ρ＝2，转换为直角坐标方程为：x 2+y 2＝（4） （2）设经过点P(1, 1)的直线AC 的参数方程为{x =1+cosθty =1+sinθt （t 为参数） 把直线AC 的参数方程代入圆的方程为(1+cosθt)2+(1+sinθt)2＝4，整理得t 2+2(cosθ+sinθ)t −2＝0， 所以t 1t 2＝−(2)所以|PA||PC|＝|t 1t 2|＝（2）同理经过点P(1, 1)的直线BD 的参数方程为{x =1+cos(π−θ)ty =1+sin(π−θ)t （t 为参数）整理得{x =1−cosθty =1+sinθt （t 为参数），把直线BD 的参数方程代入圆的方程为(1−cosθt)2+(1+sinθt)2＝4，整理得t 2+2(sinθ−cosθ)t −2＝0， 所以t 3t 4＝−2，所以|PB||PD|＝|t 3t 4|＝（2） 故：|PA|⋅|PB|⋅|PC|⋅|PD|＝（4） 已知函数f(x)＝|x −1|+|x +2|． (Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥x 2−ax +1的解集包含[−1, 1]，求实数a 的取值范围． 【解答】（1）函数f(x)＝|x −1|+|x +2|={−2x −1,x ≤−24,−2<x <12x +1,x ≥1；当x ≤−2时，不等式f(x)≤5为−2x −1≤5，解得x ≥−3，即−3≤x ≤−2；当−2<x <1时，不等式f(x)≤5为4≤5恒成立，即−2<x <1； 当x >1时，不等式f(x)≤5为2x +1≤5，解得x ≤2，即1≤x ≤2； 综上知，不等式f(x)≤5的解集为{x|−3≤x ≤2}； （2）不等式f(x)≥x 2−ax +1的解集包含[−1, 1]， 即x ∈[−1, 1]时，不等式4≥x 2−ax +1恒成立； 即x ∈[−1, 1]时，不等式x 2−ax −3≤0恒成立； 设g(x)＝x 2−ax −3，x ∈[−1, 1]， 则{g(−1)≤0g(1)≤0 ，即{1+a −3≤01−a −3≤0，解得−2≤a ≤2；所以实数a 的取值范围是[−2, 2]．。
新疆乌鲁木齐地区2020届高三理数第一次质量监测试卷
新疆乌鲁木齐地区2020届高三理数第一次质量监测试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）若集合A={x|x2−2x−8<0}，B={x|x2−9≤0}，则集合A∪B=（）A．(−2,3]B．(−4,3]C．[−3,2)D．[−3,4)2．（2分）已知复数z满足z(1+2i)=|3+4i|（i是虚数单位），则z的共轭复数z̅=（）A．1+2i B．1−2i C．−1+2i D．−1−2i3．（2分）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线互相垂直，焦距为6√2，则该双曲线的实轴长为（）A．3B．6C．9D．124．（2分）已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m//α，n//α，则m//nB．若α⊥β，γ⊥β且α∩γ=m，则m⊥βC．若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βD．若m⊥α，n//β，α⊥β，则m⊥n5．（2分）数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4=（）A．8B．12C．16D．246．（2分）若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为r=nMODm，例如2=12MOD5.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i等于（）A．2B．4C．8D．167．（2分）为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0,0.5)，…，[4,4.5]分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准a.使85%的居民用水量不超过a，按平价收水费，超出a的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准a的是（）A．2.5吨B．3吨C．3.5吨D．4吨8．（2分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯( Hipparcℎus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森( M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1−m2=2.5(lgE2−lgE1).其中星等为m i的星的亮度为E i(i=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)A．1.24B．1.25C．1.26D．1.279．（2分）已知函数f(x)=2sin2(x+π6)+√3sin(2x+π3)−1，则下列判断正确的是（）A．f(x)的图象关于x=π6对称B．f(x)为奇函数C．f(x)的值域为[−3,1]D．f(x)在[0,π3]上是增函数10．（2分）已知α∈(0,π4)，a=(sinα)sinα，b=(sinα)cosα，c=(cosα)sinα，则a，b，c的大小关系是（）A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a 11．（2分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为√3的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l于点N，直线NF交y轴于点D，则|MD|=（）A．4B．2√3C．2D．√312．（2分）已知函数f(x)={lnx−1，x≥11 3(x+2)，x<1，若α<β且f(α)=f(β)，则β−α的取值范围是（）A．[8−3ln3，6]B．[8−3ln3，e2−1)C．[9−4ln3，6]D．[9−4ln3，e2−1)二、填空题 (共3题；共3分)13．（1分）已知单位向量a⃗，b⃗满足a⃗⋅(a⃗+2b⃗)=2，则向量a⃗与向量b⃗的夹角的大小为．14．（1分）造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系为x:y=1:√2；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格. A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为624cm2，则这9张纸的面积之和等于cm2.15．（1分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，有下列四个命题：①BC1与平面BCD1A1所成角为30°；②三棱锥A−A1BD与三棱锥C1−A1BD的体积比为1:2；③过点A作平面α，使得棱AB，AD，AA1在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且仅有一个；.④过BD1作正方体的截面，设截面面积为S，则S的最小值为√62上述四个命题中，正确命题的序号为.三、解答题 (共8题；共71分)16．（1分）已知点N在圆x2+y2−4x+4y+7=0上，点M在直线3x−4y+6=0上，则|MN|的最小值为.17．（10分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD 中点，点F在BC上，且BF=3FC .（1）（5分）证明EF⊥平面PAE；（2）（5分）若PA=5AB，求平面PAB与平面PEF所成二面角的正弦值.418．（10分）已知ΔABC的面积为3，BC边上的高是2，tanA=3.（1）（5分）求ΔABC外接圆的半径；（2）（5分）求AB和AC的长.19．（10分）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.（1）（5分）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）（5分）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有 X 个人存在早恋的现象，求 X 的分布列及数学期望.20．（10分）已知函数 f(x)=ax 2−xlnx −x （ a ∈R ）.（1）（5分）当 a =1e时，求曲线 y =f(x) 在点 (e ，f(e)) 处的切线方程；（2）（5分）若 f(x) 在定义域内为单调函数，求实数 a 的取值范围.21．（10分）点 P(x,y) 与定点 F(−1,0) 的距离和它到直线 l:x =−3 的距离的比是常数 √33，设点 P 的轨迹为曲线 E .（1）（5分）求曲线 E 的方程；（2）（5分）过点 F 的直线 l 与曲线 E 交于 A ， B 两点，设 AB 的中点为 M ， C ， D两点为曲线 E 上关于原点 O 对称的两点，且 CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （ λ>0 ），求四边形 ACBD 面积的取值范围.22．（10分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为 ρ=2 ，四边形 ABCD 的四个顶点都在曲线 E 上. （1）（5分）求曲线 E 的直角坐标方程；（2）（5分）若 AC ， BD 相交于点 P(1,1) ，求 |PA|⋅|PB|⋅|PC|⋅|PD| 的值.23．（10分）已知函数 f(x)=|x −1|+|x +2| .（1）（5分）求不等式 f(x)≤5 的解集；（2）（5分）若不等式 f(x)≥x 2−ax +1 的解集包含 [−1,1] ，求实数 a 的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】对集合A：x2−2x−8<0，解得x∈(−2,4)；对集合B：x2−9≤0，解得x∈[−3,3]，故可得A∪B=[−3,4).故选：D.【分析】求解一元二次不等式，解得集合A,B，再求并集即可. 2．【答案】A【解析】【解答】因为|3+4i|=√32+42=5，故z=51+2i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i，故其共轭复数z̅=1+2i.故选：A.【分析】先求|3+4i|的模长，再利用复数除法运算求得复数z，写出其共轭复数即可. 3．【答案】B【解析】【解答】因为两条渐近线互相垂直，故可得−(ba)2=−1，又因为焦距为6√2，故可得2c=6√2，结合a2+b2=c2，解得a=3,b=3,c=3√2，故实轴长2a=6.故选：B.【分析】根据渐近线垂直，可得a,b的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果. 4．【答案】B【解析】【解答】对A：若m//α，n//α，则m//n，或m与n是异面直线，或m与n 相交，故A错误；对B：若α⊥β，γ⊥β且α∩γ=m，不妨取交线m上一点P，作平面γ的垂线为l，因为l⊥γ,α⊥γ，且点P∈α，故l⊂α；同理可得l⊂β，故l与m是同一条直线，因为l⊥γ，故m⊥γ.故B选项正确.对C：只有当m与n是相交直线时，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，才会有α//β.故C错误；对D：若m⊥α，n//β，α⊥β，则m与n的关系不确定，故D错误.故选：B.【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可. 5．【答案】D【解析】【解答】因为a1，a4，a13成等比数列，故可得a1⋅a13=a42，即可得a1(a1+24)=(a1+6)2，解得a1=3.故S4=4a1+4×3×2=24.2故选：D.【分析】根据等比中项的定义，结合数列的公差为2，列方程即可求得数列的首项，进而利用公式求得S4.6．【答案】D【解析】【解答】模拟执行程序如下：n=7,i=1开始，i=2,n=9，不满足1=nMOD3，故i=4,n=13，满足1=nMOD3，但不满足2=nMOD5，故i=8,n=21，不满足1=nMOD3，故i=16,n=37，满足1=nMOD3，满足2=nMOD5，输出i=16.故选：D.【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.7．【答案】B【解析】【解答】根据频率分布直方图，结合题意可得：0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.44×0.5+0.50×0.5+(a−2.5)×0.5=0.85解得a=2.72.故要满足85%的居民用水量不超过a，则a比较合适的取值为3吨.故选：B.【分析】根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为0.85和0.15的数值，即为标准a.8．【答案】C【解析】【解答】根据题意可得：1−1.25=2.5(lgE2−lgE1)可得lg E1E2=110，解得r=E1E2=10110，根据参考公式可得r≈1+2.3×110+2.7×1100=1.257，故与r最接近的是1.26.故选：C.【分析】根据题意，代值计算，即可得r，再结合参考公式，即可估算出结果. 9．【答案】A【解析】【解答】f(x)=2sin2(x+π6)+√3sin(2x+π3)−1=1−cos(2x+π3)+√3sin(2x+π3)−1=2sin(2x+π3−π6)=2sin(2x +π6) .因为 f(π6)=2sin π2=2 是该函数的最大值，故 x =π6 是函数的对称轴，故 A 正确； 因为 f(−x)=−2sin(2x −π6)≠−f(x) ，故该函数不是奇函数，故 B 错误； 因为 2sin(2x +π6)∈[−2,2] ，故 f(x) 的值域为 [−2,2] ，故 C 错误；由 x ∈ [0,π3] ，可得 2x +π6∈[π6,5π6] ，在此区间内，正弦函数不单调，故 D 错误；综上所述，正确的是 A . 故选：A.【分析】利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.10．【答案】A【解析】【解答】因为 α∈(0,π4) ，故可得 1>cosα>sinα>0 ，根据指数函数 y =(sinα)x ,sinα∈(0,1) 是单调减函数， 可得 sinαcosα<sinαsinα ，即可得 b <a ； 根据幂函数 y =x sinα,sinα∈(0,1) 是单调增函数， 可得 cosαsinα>sinαsinα ，即可得 c >a 综上所述： c >a >b . 故选：A.【分析】因为 α∈(0,π4) ，故可得 cosα>sinα ，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 11．【答案】B【解析】【解答】根据题意，作图如下：由题可知，点F(1,0)，故直线FM的方程为y=√3(x−1)，联立抛物线方程y2=4x可得3x2−10x+3=0，解得x=13或x=3因为点M在第一象限，故可得M(3,2√3).又因为准线方程为x=−1，故可得N(−1,2√3).则直线FN的方程为y=−√3(x−1)，令x=0，解得y=√3，即可得D(0,√3) .故|MD|=√9+3=2√3.故选：B.【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M的坐标，即可得N点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D的坐标，用两点之间的距离公式即可求得|MD|的长度.12．【答案】B【解析】【解答】因为f(x)={lnx−1，x≥113(x+2)，x<1，故其函数图象如下所示：令lnx−1=1，解得x=e2；令lnx−1=−1，解得x=1.数形结合可知，若要满足f(α)=f(β)，且α<β，则 β∈(1，e 2) ，且 13(α+2)=lnβ−1 ，解得 α=3lnβ−5 .故 β−α =β−3lnβ+5 ， β∈(1，e 2) . 令 g(x)=x −3lnx +5，x ∈(1，e 2) ，则 g ′(x)=1−3x，令 g ′(x)=0 ，解得 x =3 ，故 g(x) 在区间 (1，3) 单调递减，在区间 (3，e 2) 单调递增， 则 g(1)=6，g(3)=8−3ln3，g(e 2)=e 2−1 ， 故 g(x)∈[8−3ln3，e 2−1) . 即可得 β−α ∈[8−3ln3，e 2−1) . 故选：B.【分析】根据 f(x) 的函数图象，结合 f(α)=f(β) ，求得 β 的取值范围以及 α，β 之间的等量关系，将 β−α 表示为 β 的函数，求该函数在区间上的值域即可.13．【答案】π3【解析】【解答】因为 a ⃗ ， b ⃗ 均是单位向量，故可得 |a |=1,|b⃗ |=1 ， 故可得 a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=|a ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos〈a ⃗ ,b⃗ 〉=2 ， 即 2cos〈a ,b ⃗ 〉=1 ，解得 cos〈a ,b ⃗ 〉=12 ， 又因为向量夹角的范围为 [0,π] ，故 a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为 π3 . 故答案为： π3 .【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.14．【答案】19929【解析】【解答】由题可设， A0 纸的面积为 S ，根据题意，纸张面积是首项为 S ，公比为 12的等比数列，则容易知 A4 纸张的面积为 S ×(12)4=624 ，故可得 S =9984 ，故纸张面积是一个首项为 9984 ，公比为 12的等比数列，故9张纸的面积之和为S[1−(12)9]1−12=19929 .故答案为：19929.【分析】根据题意，求出A4纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前n项和的计算公式，即可求得.15．【答案】①②④【解析】【解答】对①：连接C1D交D1C与H，连接BH，作图如下：因为ABCD−A1B1C1D1是正方体，故可得BC⊥平面CC1D1D，又因为CH⊂平面CC1D1D，故可得CH⊥BC，又CH⊥D1C，故可得CH⊥平面MN//A1C，则∠C1BH即为所求线面角.在Rt△C1BH中，CH=12C1D=√22,C1B=√2，故可得sin∠C1BH=CHC1B=12，又线面角的范围为[0,π2]，故∠C1BH=30°，则BC1与平面BCD1A1所成角为30°，故①正确；对②：因为正方体棱长为1，故可得V A−A1BD =V A1−ABD=13S�ABD×A1A=13×12×1×1×1=16；而棱锥C1−A1BD的体积可以理解为正方体的体积减去4个体积都和V A−A1BD相等的三棱锥的体积，故V A−A1BD=1−4×16=13.故棱锥A−A1BD与三棱锥C1−A1BD的体积比为1:2，故②正确；对③：若棱AD,AA1,AB在平面α的同侧，则α为过点A且与平面A1BD平行的平面；若棱AD,AA1,AB中有一条棱与另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面有3个；故满足题意的平面α有4个.故③错误；对④：根据题意，取AA1,C1C中点为M,N,则过BD1作正方体的截面如下：则过BD1的所有截面中，当截面D1MBN为菱形时，面积最小，其面积为S=12|MN|×|D1B|=12×√2×√3=√62.故④正确.总上所述，正确的有①②④.【分析】根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得.16．【答案】3【解析】【解答】因为圆方程为x2+y2−4x+4y+7=0，故圆心坐标为(2,−2),r=1，则圆心到直线的距离d=|6+8+6|√3+4=4>1，则直线与圆相离.故|MN|的最小值为d−r=4−1=3.故答案为：3.【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求.17．【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，故可得EF⊥PA；设底面正方形的边长为4，故可得AE=√AD2+DE2=√16+4=2√5，EF=√FC2+CE2=√1+4=√5，AF=√AB2+BF2=√16+9=5，故在△AFE中，满足AE2+EF2=AF2，故可得AE⊥EF；又PA,AE⊂平面PAE，且PA∩AE=A，则 EF ⊥ 平面 PAE ，即证.（2）解：因为 PA ⊥ 平面 ABCD , AB,AD ⊂ 平面 ABCD ，故可得 PA ⊥AB,PA ⊥AD ， 又底面 ABCD 为正方形，故可得 AB ⊥AD ，故以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：设 AB =4 ，故可得 A(0,0,0),P(0,0,5),B(4,0,0),E(2,4,0),F(4,3,0)设平面 PEF 的法向量为 m⃗⃗⃗ =(x,y,z) ， 则 {m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⇀=0m ⃗⃗⃗ ⋅PE ⇀=0 ，则 {2x −y =02x +4y −5z =0 取 y =2 ，则 m⃗⃗⃗ =(1,2,2) . 不妨取平面 PAB 的法向量 n⃗ =(0,1,0) . 则 cos〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |m⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=29×1=23 . 设平面 PAB 与平面 PEF 所成二面角的平面为 θ ，则 sinθ=√1−cos 2〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=√53 .即平面 PAB 与平面 PEF 所成二面角的正弦值为 √53.【解析】【分析】（1）根据 PA ⊥ 平面 ABCD ，可得 EF ⊥PN ，再证 EF ⊥AE ，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.18．【答案】（1）解：设三角形的边长 BC =a,AC =b,AB =c . 由面积公式 S =12a ×2=3 ，解得 a =3 .因为 tanA =3 ， A ∈(0,π) ，故由同角三角函数关系，容易得 cosA =√1010,sinA =3√1010.由正弦定理可得 R =a 2sinA =32×31010=√102 .故 △ABC 外接圆的半径为 √102.（2）解：由面积公式可得 S =12bcsinA =3 ，结合（1）中所求，可得 bc =2√10 ；由余弦定理可得 cosA =b 2+c 2−92bc =√1010，解得 b 2+c 2=13 ，即 (b +c)2=13+2bc =13+4√10=√(√5+2√2)2 解得 b +c =√5+2√2 ，联立 bc =2√10 可得 b =√5,c =2√2 或 b =2√2,c =√5 . 故 AB =√5,AC =2√2 或 AB =2√2,AC =√5 .【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求得 BC ，再利用同角三角函数关系，求得 sinA ，最后利用正弦定理，即可求得外接圆半径；（2）利用面积公式以及余弦定理，求得 AB 和 AC 的方程组，解方程组即可.19．【答案】（1）解：从10个球中随机摸取两个球，摸到两球同色的的概率 P =C 42+C 62C 102=715 .故回答第一个问题的人数为 300×715=140 人，则回答第二个问题的人数为 160 人； 又学籍号最后一位是奇数还是偶数，是等可能的，故回答第一个问题，选择“是”是的同学个数为 140×12=70 人，则回答第二个问题，选择“是”的同学个数为 8 人， 则中学生早恋人数的百分比为8160=5% . （2）解：依题意X~B （40，0.05）分布列为P （x=k ）=C 40K(120)k (1920)40−k ，k=0，1，2，…，40. ∴E （X ）=40×0.05=2【解析】【分析】（1）先计算出摸两个球，出现同色和异色的概率，据此计算出回答第一个问题和第二个问题的人数，再根据学籍号最后一位是奇数的概率为 12 ，计算出回答第一个问题选择“是”的同学个数，从而算出回答早恋选择“是”的同学个数，据此估算百分比即可；（2）根据题意可知， X 服从二项分布，结合（1）中所求，写出分布列，计算出数学期望即可.20．【答案】（1）解：当 a =1e 时， f(x)=x 2e−xlnx −x ，故 f ′(x)=2e x −lnx −2 ；故可得 f ′(e)=−1，f(e)=−e ，故切线方程为： y +e =−(x −e) ，整理得 y =−x . 故曲线 y =f(x) 在点 (e ，f(e)) 处的切线方程为 y =−x .（2）解：因为 f(x)=ax 2−xlnx −x ，故可得 f ′(x)=2ax −lnx −2 . 若 f(x) 在定义域内为单调函数，则 f ′(x)≥0 恒成立，或 f ′(x)≤0 恒成立. 构造函数 g(x)=lnx+22x ，故可得 g ‘(x)=−(lnx+1)2x 2， 令 g ’(x)=0 ，解得 x =1e，故 g(x) 在区间 (0，1e ) 上单调递增，在区间 (1e ，+∞) 上单调递减.故 g(x)max =g(1e )=e2 ，且当 x 趋近于0时， g(x) 趋近于 −∞ .故 g(x)∈(−∞，e2] .若要保证 f ′(x)≥0 在定义域内恒成立，即 2ax −lnx −2≥0 恒成立， 即 a ≥lnx+22x在定义域内恒成立，则只需 a ≥g(x)max =e 2 ； 若要保证 f ′(x)≤0 在定义域内恒成立，则 2ax −lnx −2≤0 恒成立， 则 a ≤lnx+22x在定义域内恒成立，但 g(x) 没有最小值，故舍去. 综上所述，要保证 f(x) 在定义域内为单调函数，则 a ∈[e2，+∞) .【解析】【分析】（1）对函数求导，解得函数在点 (e ，f(e)) 处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；（2）构造函数 g(x)=lnx+22x，利用导数求解其值域，再根据 f ′(x) 与 g(x) 之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围.21．【答案】（1）解：设动点 P(x,y) ，则 P 到直线 l:x =−3 的距离 d =|x +3| ，由题可知： |PF|d =√33 ，即可得 √(x+1)2+y 2|x+3|=√33 ，两边平方整理可得： x 23+y 22=1故曲线 E 的方程为： x 23+y 22=1 .（2）解：因为 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) ，故 O,M 两点不可能重合，则直线 AB 的斜率不可能为0， 故可设直线 AB 方程为 x =my −1 ，联立椭圆方程 x 23+y 22=1 ，可得 (2m 2+3)y 2−4my −4=0 ， 设 A,B 两点坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2) ， 则可得 y 1+y 2=4m 2m 2+3,y 1y 2=−42m 2+3， 则 x 1+x 2=m(y 1+y 2)−2=−62m 2+3故可得 M(−32m 2+3,2m2m 2+3) ，因为 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) ，故可得 C,M,0,D 四点共线， 故可得 k CD =2m 2m 2+3−32m 2+3=−2m 3 .不妨设直线 CD 方程为 y =kx ， k =−2m3，联立直线 y =kx 与椭圆方程 x 23+y 22=1可得 (2+3k 2)x 2=6 ， 设 C(x 3,y 3),D(x 4,y 4) ，则 x 3=−√62+3k 2,y 3=−k √62+3k 2 ，即 C(−√62+3k 2,−k √62+3k 2)则 x 4=√62+3k 2,y 4=k √62+3k 2 ，即 D(√62+3k 2,k √62+3k2)则点 C,D 到直线 AB 的距离为：d 1=|−√62+3k 2+km √62+3k 2+1|√m 2+1d 2=|√62+3k 2−km √62+3k 2+1|√m 2+1将 k =−2m3代入上式即可得：d 1==2√2√2m +3⋅√m +1 ， d 2=2√2√2m +3⋅√m +1， 故 d 1+d 2=2(2m 2+3)√2m +3⋅√m +1又根据弦长公式可得：|AB|=√m 2+1⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√3×m 2+12m 2+3故四边形面积 S =12|AB|(d 1+d 2)=12×4√3×m 2+12m 2+32(2m 2+3)√2m 2+3⋅√m 2+1 =4√3×√m 2+12m 2+3=2√6×√1−12m 2+32， 因为 m 2+32≥32 ，则 12m 2+32∈(0,13] ， 1−12m 2+32∈[23,1) ， √1−12m 2+32∈[√63,1) 故 2√6×√1−12m 2+32∈[4,2√6) .故四边形 ACBD 面积的取值范围为 [4,2√6) .【解析】【分析】（1）设出点 P 的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程；（2）设出直线 AB 的方程，利用弦长公式求得 |AB| ，再利用 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，建立直线 CD 与 AB 之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可.22．【答案】（1）解：将 ρ=2 两边平方，即可得 ρ2=4 ，即可得 x 2+y 2=4 .（2）解：因为直线 AC,BD 都经过点 P(1,1) ， 故直线 AC 的参数方程为： {x =1+tcosαy =1+tsinα(α 为参数 ) ； 直线 BD 的参数方程为： {x =1+tcosθy =1+tsinθ,(,θ 为参数 ) ； 联立直线 AC 的方程与 x 2+y 2=4 可得： t 2+(2cosα+2sinα)t −2=0 ，设 A,C 两点对应的参数为 t 1,t 2 ，故可得 t 1t 2=−2 ； 同理联立直线 BD 的方程与 x 2+y 2=4 可得： t 2+(2cosθ+2sinθ)t −2=0 ，设B,D两点对应的参数为t3,t4，故可得t3t4=−2；根据直线参数方程中t的几何意义可知：|PA|⋅|PB|⋅|PC|⋅|PD|=|t1t2||t3t4|=4.即为所求.【解析】【分析】（1）将ρ=2两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线AC,BD的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得.23．【答案】（1）解：当x≤−2时，f(x)≤5等价于−2x−1≤5，解得x∈[−3,−2]；当−2<x<1时，f(x)≤5等价于3≤5，恒成立，解得x∈(−2,1)；当x≥1时，f(x)≤5等价于2x+1≤5，解得x∈[1,2]；综上所述，不等式的解集为[−3,2].（2）解：不等式f(x)≥x2−ax+1的解集包含[−1,1]，等价于f(x)≥x2−ax+1在区间[−1,1]上恒成立，也等价于x2−ax−2≤0在区间[−1,1]恒成立.则只需g(x)=x2−ax−2满足：g(−1)≤0且g(1)≤0即可.即1+a−2≤0,1−a−2≤0，解得a∈[−1,1].【解析】【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.。
2021届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学(理)试题Word版含解析
2021届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学（理）试题一、单选题1．若集合{|11}A x x =-<<， {|02}B x x =≤≤，则R A C B ⋂=（ ）A. {|11}x x -<<B. {|12}x x -<<C. {|01}x x <<D. {|10}x x -<< 【答案】D【解析】{|02}R C B x x x =或，{|10}R A C B x x ⋂=-<<故选D2．设复数12z i =+，设231z z +=-（ ） A. 2i B. 2i - C. 2 D. -2 【答案】C【解析】()22221233144342112122i zi i iz i i i++++++====-+-故选C3．已知等比数列{}n a 的公比为()q q R ∈，且134a a ⋅=， 48a =，则1a q +=（ ） A. 3 B. 2 C. 3或-2 D. 3或-3【答案】D【解析】由134a a ⋅=， 48a =得：4162q q =⇒=±1383a q q q∴+=+=± 故选D 4．已知3π为函数()()sin 2(0)2f x x πϕϕ=+<<的零点，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A. ()52,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ()72,21212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. ()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】3π为函数()()2(0)2f x sin x πϕϕ=+<<的零点，则2033f sin ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23k πϕπ+=，解得23k πϕπ=-当1k =时， 3πϕ=()()2f x sin x ϕ∴=+的单调增区间为222232k x k πππππ-+≤+≤+即51212k x k ππππ-≤≤+ 故选C5．已知3log 6a =， 5log 10b =， 7log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b c a <<【答案】B【解析】3361log 2a log ==+55101log 2b log ==+ 77141log 2c log ==+且357log 2log 2log 2>> 故a b c >> 故选B6．已知AB 是圆O 的一条弦，长为2，则OA AB ⋅=（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】D【解析】取AB 中点D222AD OA AB OA AD ADOA ⎛⎫→ ⎪→→=→→=→-=- ⎪→ ⎪⎝⎭故选D7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.12 B. 12- C. 1 D. -1 【答案】D【解析】011i s x ===-，，代入2x =， 21s i ==，，12x =， 12s i ==，， 1x =-， 13s i =-=，， 2x =， 24s i =-=，，12x =， 15s i =-=，， 1x =-， 16s i ==，， 2x =， 27s i ==，，不难发现6次循环当2018i =时再次循环一次 故20196336...3÷= ∴输出的结果为1- 故选D 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 826+B. 1226+C. 846+D. 1246+【答案】B【解析】由三视图可得该几何体如图其中， 212AB AD GF BC ====，，5DE EG CG DC ====22DG =25223EC =-=∴表面积为()122112122422231226222+⨯⨯⨯⨯+⨯++⨯=+故选B9．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话： 甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了.” 乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了.” 丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了.”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 甲、丁 【答案】C【解析】假设甲中奖，则根据题意，乙丙丁都中奖，此时四人都中奖，故甲不可能中奖； 假设乙中奖，则根据题意丙丁都中奖，甲不一定中奖，此时至少三人中奖，故乙不可能中奖；假设丙中奖，则根据题意丁中奖，甲乙不可能中奖，此时至少有两人中奖，故只有可能是丙，丁均中奖 故选C10．棱长均为1的直三棱柱的外接球的表面积是（ ） A. π B. 43π C. 73π D. 3π 【答案】C【解析】由正三棱柱的底面边长为1得底面所在平面截其外接球所成的圆O 的半径3r = 又由正三棱柱的侧棱长为1，则球心到圆O 的球心距12d = 根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形 满足勾股定理，球半径R 满足： 222712R r d =+=∴外接球的表面积2743S R ππ==故选C11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(),3,2F M ，直线MF 交抛物线于,A B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ）A. 3B. 2或4C. 4D. 2 【答案】B【解析】设()11A x y ，， ()22B x y ，2112222{2y px y px ==两式相减得()()()1212122y y y y p x x +-=-1212122y y px x y y -=-+M 为AB 的中点， 124y y ∴+=12122032y y p x x --=--代入22432pp =- 解得2p =或4故选B点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，在解题过程中运用了点差法来求解，先设出两点坐标，代入曲线方程，做减法运算，利用中点坐标，转化为斜率问题，即可求出答案，设而不求，当遇到直线与曲线中含有中点时可以采用点差法。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷(理科)(有解析)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|0<x<4}，则A∩B=()A. [−1,4)B. [−1,3)C. (0,3]D. (0,4)2.|1−2i2+i|=()A. 1B. √2C. −iD. 23.设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB. 若α⊥β，m⊥α，则m//βC. 若α//β，m⊄β，m//α，则m//βD. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n4.已知a=log35，b=log95，则有()A. a>b>0B. 0<a<bC. a<b<0D. 0>a>b5.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，则|c⃗|等于()A. −2B. 4C. 2D. −46.设F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F1为圆心、|F1F2|为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A，若∠AF1F2=120°，则该双曲线的离心率是()A. √2B. √3C. √3+1D. √3+127.执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是()A. 7B. 6C. 5D. 48.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 159.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a2=4，S4=20，若a1，a k，S k+2成等比数列，则正整数k=()A. 3B. 4C. 5D. 610.已知函数f(x)的图象可由函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位长度得到，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期可为−2πB. 函数f(x)在区间(−π12,5π12)上是增函数C. 函数f(x)的图象关于直线x=π12对称D. 函数f(x)的一个零点为x=π611.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴相交于点M，N为抛物线上的一点且NF=12MN，则)A. 30∘B. 90∘C. 60∘D. 45∘12.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x⩽0时，f(x)=x2+4x，则f(x+2)>5的解集为()A. B.C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知α为锐角，cosα=45，则sin(π6+α)=______ ．14.已知数列{a n}满足a n=(−1)na n−1+1(n≥2)，若a7=711，则a5=______ ．15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P，Q，R分别是棱BC，CD，DD1的中点．下列命题：①过A1C1且与CD1平行的平面有且只有一个；②平面PQR截正方体所得截面图形是等腰梯形；③AC1与QR所成的角为60°；④线段MN与GH分别在棱A1B1和CC1上运动，则三棱锥M−NGH体积是定值；⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正方体表面上运动，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是2．其中真命题的序号是______ (写出所有真命题的序号)． 三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16. 已知x,y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，设z =yx ，求z 的最大值与最小值．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a −c =2bcos C ．(1)求sin(A+C 2+B)的值；(2)若b =√3，求c −a 的取值范围．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，△ABC 为等边三角形，PA =2AB =2，AC ⊥CD ，PD 与平面PAC 所成角的正切值为C 2．(Ⅰ)证明：BC//平面PAD ；(Ⅱ)若M 是BP 的中点，求二面角P −CD −M 的余弦值．19. 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (2)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx i2，a ̂=y −b ̂x ．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=2x 2+alnx(a ∈R)．⑴讨论函数f(x)的单调性；⑴若g(x)=f(x)−4x +2存在两个极值点，且x 0是函数g(x)的极小值点，求证：g(x 0)>12−ln222. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23. 已知函数f(x)=|ax −3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，B={x|0<x<4}，∴A∩B={x|0<x≤3}=(0,3]．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：A=1．解析：解：原式=√12+(−2)2√22+12故选：A．利用复数模的计算公式及其性质即可得出．本题考查了复数的模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查空间直线与直线的关系，直线与平面的关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．解析：α与γ可能相交或平行，故A错；m可能平行于β或m在β内，故B错；由直线与平面平行的判断定理得m//β，故C正确；m与n可能相交、平行或异面，故D错．解：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故A错；若α⊥β，m⊥α，则m平行于β或m在β内，故B错；若α//β，m⊄β，m//α，则由直线与平面平行的判断定理的m//β，故C正确；若m//α，n//β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故D错．故选C．4.答案：A解析：本题考查了比较大小，结合对数函数的单调性即可，属于基础题．解：∵a=log35>1>log95=b>0，∴a>b>0．故选：A．5.答案：C解析：本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．解：∵向量a⃗=(1,√3)，∴|a⃗|=√12+(√3)2=2；又向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，∴|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2|c⃗|⋅12=2，∴|c⃗|=2．故选：C．6.答案：D解析：解：F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F为圆心、|F1F2|为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A，若∠AF1F2=120°，A不妨在第二象限，|AF1|=2c，可得A(−2c,√3c)，可得4c2a2−3c2b2=1，可得：4e2−3e2e2−1=1，e>1，解得e2=2+√32.可得e=√3+12．故选：D．利用已知条件求出A的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.答案：A解析：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能由题意，即求n≤100(n∈N)，满足log2n∈N的n的个数．解：由题意，即求n≤100(n∈N)，满足log2n∈N的n的个数，∴n=1，2，4，8，16，32，64，共7个．故选：A．8.答案：D解析：解：从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，共有C62=15种结果，其中满足条件两个数都是偶数的有(2,4)，(2,6)，(4,6)共3种情况不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率P=315=15故选D．根据已知中从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，由C62种结果，及列举出满足条件两个数都是偶数的基本事件个数，代入概率公式，即可得到答案．本题考查的知识点是等可能事件的概率，处理方法是：计算出基本事件总数N，则满足条件A的基本事件总数A(N)，代入P=A(N)÷N求了答案．9.答案：D解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，a2=4，S4=20，可得a1+d=4，4a1+6d=20，解得a1=d=2，则a n=2+2(n−1)=2n，a1，a k，S k+2成等比数列，可得a1S k+2=a k2，即2⋅12(k+2)(2+2k+4)=4k2，解得k=6，故选：D．设等差数列的公差为d，运用等差数列通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列中项性质，解方程可得k的值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．10.答案：C解析：求出平移后的图象对应的函数解析式，再由正弦函数的图象与性质求解．解：函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位长度得到f(x)=3sin[2(x−π3)+π3]=3sin(2x−π3)的图象，f(−2π+x)=f(x)，故A正确；当−π12<x<5π12，−π2<2x−π3<π2，f(x)递增，B正确；当x=π12时，f(π12)=3sin(−π6)，显然图象不关于直线x=π12对称，C错误；f(π6)=0，D正确，故选C．11.答案：C解析：本题考查抛物线的几何性质，属于中档题．过N作NE垂直于准线与E，由抛物线的定义得NE=NF，在Rt△ENM中求出∠EMN=30°.即可得到结论．解答：解：过N作NE垂直于准线与E.由抛物线的定义得：NE=NF，MN．在Rt△ENM中因为EN=NF=12所以∠EMN=30∘，故∠NMF=90∘−∠EMN=60∘．故选C．12.答案：C解析：本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的解法，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．由单调性与奇偶性可得|x+2|>5，求解即可．解：由题意，若x>0，则−x<0，∵当x ⩽0时，f(x)=x 2+4x ， ∴当−x <0时，f(−x)=x 2−4x ， ∵f(x)是定义域为R 的偶函数， ∴f(−x)=x 2−4x =f(x)，即当x >0时，f(x)=x 2−4x ，可知当x ∈(2,+∞)时函数单调递增， 令f(x)=x 2−4x =5,x >0，解得x =5， 则f(x +2)>5⇔f(|x +2|)>f(5)，当x ∈(0,2)时，函数单调递减，当x ∈[2,+∞)时函数单调递增， 可知|x +2|>5，解得x <−7或x >3． 故选C ．13.答案：4+3√310解析：解：∵α为锐角，cosα=45，则sinα=35， ∴sin(π6+α)=sin π6cosα+cos π6sinα=12×45+√32×35=4+3√310， 故答案为：4+3√310． 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(π6+α)的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，属于基础题．14.答案：47解析：本题考查数列的第5项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用． 由已知得711=−1a 6+1，解得a 6=114，再由114=1a 5+1，能求出a 5． 解：∵数列{a n }满足a n =(−1)n a n−1+1(n ≥2)，a 7=711，∴711=−1a 6+1，解得a 6=114，∴114=1a 5+1，解得a 5=47． 故答案为：47．15.答案：①⑤解析：解：对于①，∵CD 1//A 1B ，A 1B ∩A 1C 1=A 1，∴过A 1C 1且与CD 1平行的平面为A 1BC 1，有且只有一个，故①正确；对于②，如图，平面PQR 截正方体所得截面图形是正六边形，不是等腰梯形，故②错误；对于③，∵QR//CD 1，而CD 1//̲A 1B ，又AC 1在平面AA 1B 1B 中的射影为AB 1，A 1B ⊥AB 1，由三垂线定理可知，A 1B ⊥AC 1，即QR ⊥AC 1，故③错误； 对于④，如图，由图可知，V M−NGH =V G−MNH =V G−MNC 1−V H−MNC 1=13×2MN ⋅GH ，由于MN ⋅GH 不是定值，故④错误；对于⑤，设点P 为此正方体的内切球的球心，半径R =1．∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴当点O ，M ，N 三点共线时，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取得最大值． 此时，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤(|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)⋅(|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)，而|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤|PO|2−1，当且仅当点P 为正方体的一个顶点时上式取得最大值，又正方体的对角线长为2√3， ∴(OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =(2√32)2−1=2，故答案为：①⑤．①，利用线面平行的性质，过A 1C 1且与CD 1平行的平面为A 1BC 1，可判断① ②，作图可知，平面PQR 截正方体所得截面图形是正六边形，可判断②； ③，利用三垂线定理可知，QR ⊥AC 1，可判断③；④，作图，可知V M−NGH =V G−MNH =V G−MNC 1−V H−MNC 1=13×2MN ⋅GH ，由于MN ⋅GH 不是定值，可判断④；⑤，利用向量数量积的概念及性质，可知当点O ，M ，N 三点共线时，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取得最大值，继而可求得该最大值，可判断⑤．本题考查空间线面、面面之间的位置关系，考查作图能力、推理运算能力，考查平面向量的数量积的概念及性质的应用，属于难题．16.答案：z max =225，z min =25解析：由约束条件{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1作出点(x,y)的可行域如图所示，∵z =y x =y−0x−0，∴z 的值就是可行域中的点与原点O(0,0)连线的斜率，由图形可知：z max =k OA ，z min =k OB ，由{x −4y +3=0x =1，解得A(1,225)，k OA =225，由{x −4y +3=03x +5y −25=0，解得B(5,2)，k OB =25，故z max =225，z min =25． 17.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a −c =2bcosC =a 2+b 2−c 22ab×2b ，整理可得，a 2+c 2−b 2=ac ，cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB =√32，所以a sinA =c sinC =bsinB =2，从而a =2sin A ，c =2sin C ． 所以c −a =2sinC −2sinA =2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA −sinA =2sin(π3−A)．因为A +C =2π3，所以0<A <2π3，从而−π3<π3−A <π3， 所以−√3<2sin(π3−A)<√3， 故c −a 的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B ，进而可求B ，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c −a ，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．18.答案：证明：(Ⅰ)∵PA ⊥平面ABCVD ，∴PA ⊥CD ，又AC ⊥CD ，CA ∩PA =A ，∴CD ⊥平面PAC ， ∴∠DPC 为PD 与平面PAC 所成角，在Rt △PAC 中，tan∠DPC =CDPC =√155， 在Rt △PAC 中，PC =√1+4=√5，∴CD =√3， 在Rt △ACD 中，AD =2，∠CAD =60°，∵∠BCA =60°，∴在底面ABCD 中，BC//AD ，AD ⊂平面PAD ， BC ⊄平面PAD ，∴BC//平面PAD ．解：(Ⅱ)设BC 的中点为N ，连结AN ，则AN ⊥BC ， 由(Ⅰ)知BC//AD ，∴AN ⊥AD ，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，2)，C(√32,12,0)，D(0,2，0)，M(√34,−14,1)，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,−94,1)， 设平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +3y =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0， 令y =1，n ⃗ =(√3,1,1)，设平面CDM 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +3y =0m⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −9y +4z =0，令y =1，得m⃗⃗⃗ =(√3,1,32)，设二面角P −CD −M 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3+1+32√5⋅√3+1+94=11√525．故二面角P −CD −M 的余弦值为11√525．解析：(Ⅰ)推导出PA ⊥CD ，CD ⊥平面PAC ，∠DPC 为PD 与平面PAC 所成角，由此能证明BC//平面PAD ．(Ⅱ)设BC 的中点为N ，连结AN ，则AN ⊥BC ，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能求出二面角P −CD −M 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)根据表中数据，计算x =15×(88+76+73+66+63)=73.4，y =15×(78+65+71+64+61)=67.8，∑x i 5i=1y i =88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25054，∑x i 25i=1=882+762+732+662+632=27174， ∴b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx i2=25054−5×73.4×67.827174−5×73.42≈0.73， â=y −b ̂x =67.8−0.73×73.4≈14.22， ∴回归直线方程为y ̂=0.73x +14.22； (2)利用(1)中回归方程，令x =96，则ŷ=0.73×96+14.22=84.3， ∴一名学生的数学成绩是96时，试预测他的物理成绩是84.3．解析：(1)根据表中数据，计算x 、y ，求出回归系数b ^、a ^，即可写出回归直线方程； (2)利用(1)中回归方程，计算x =96时y ^的值即可．本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，也考查了计算能力，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0， 由Δ>0，得 k 2>12， 且x 1+x 2=−8√3k4k +1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|， 所以 √(k 2+1)64k −32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．21.答案：解：函数的定义域为(0,+∞)，(1)f′(x)=4x +ax=4x 2+a x，当a ≥0，f′(x)>0恒成立， ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a <0时，令f′(x)=0，得x =√−a2或x =−√−a2(不合题意，舍去)，则当x ∈(0,√−a2)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,√−a2)上单调递减，当x ∈(√−a 2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(√−a2,+∞)上单调递增． (2)∵g(x)=2x 2−4x +2+alnx ， ∴g′(x)=4x −4+ax =4x 2−4x+ax，∵函数g(x)存在两个极值点，设两个极值点为x 1，x 0， ∴x 1，x 0是方程4x 2−4x +a =0的两根， ∴△=16−16a >0，0<a <1，且x 1+x 0=1，∵函数y =4x 2−4x +a 开口向上，与x 轴交于两点，x 0是函数g(x)的极小值点， ∴x 1<x 0，从而12<x 0<1，由4x 02−4x 0+a =0，得a =−4x 02+4x 0，x 0∈(12,1)， g(x 0)=2(x 0−1)2+(4x 0−4x 02)lnx 0，设ℎ(t)=2(t −1)2+(4t −4t 2)lnt(12<t <1)， ∵ℎ′(t)=4(1−2t)lnt >0， ∴ℎ(t)在(12,1)上递增， ∴ℎ(t)>ℎ(12)=12−ln2，∴g(x 0)>12−ln2．解析：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论，属于中档题．(1)对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．(2)利用条件x 0是函数f(x)的极值点，确定a 的数值，然后证明：g(x 0)>12−ln2．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1， 故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33， 由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1． 不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1，解得x≥3或83<x<3或x<0，所以原不等式的解集为{x|x<0或x>83}．(2)证明：因为m≥3，n≥3，所以f(m)+f(n)=|m−3|+|n−3|=m−3+n−3=3，即m+n=9．所以1m +4n=19(m+n)(1m+4n)=19(1+4+nm+4mn)≥19(5+2√nm⋅4mn)=1，当且仅当nm =4mn，即m=3，n=6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，说明x=1和x=5是方程f(x)=|ax−3|=2的解，求出a，然后转化不等式f(x)<2f(x+1)−1为|x−3|<2|x−2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m+n=9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。