静力学：第三章-平面任意力系(1)详解
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其中：M B M B (F ) Fd
3.2 平面任意力系向作用面内一点简化
主矢：矢量和 FR Fi 主矩: 代数和 M O M O (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
主矩简化什么情况下与简化位置无关？
平面任意力系应用：平面固定端约束
=
=
平面任意力系的简化结果
(1) FR 0, M O 0
合力
合力
3.3 平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任
意点的主矩都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
一般式
二矩式
三矩式
Fx Fy
0 0
MO 0
F x
0
M A 0
M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
三个取矩点， 不得共线
解得: P3max=350kN
P3
P1
P2
75kN P3 350kN A
B
FA
FB
当 P3=180kN 时（平面平行力系）：
M A 0 4 P3 2 P1 14 P2 4 FB 0 P3
P1
P2
Fy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得： FA=210kN FB=870kN
A
B
FA
FB
例3.6 已知 : P=60kN, P1=20kN, P2=10kN,风载
F=10kN,尺寸如图; 求: A,B处的约束力. 解: 取整体,画受力图，建立坐标系.
M A 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0 Fy 0 FAy FBy 2P P1 P2 0 Fx 0 FAx F FBx 0
立的平衡方程数目。
例3.1 已知： AC=CB= l， P=10kN;
求：铰链A和DC杆受力.
解： 取AB梁，画受力图.
F x
0
F y
0
MA 0
FAx FC cos 45 0 FAy FC sin 45 P 0 FC cos 45 l P 2l 0
解得： FC 28.28kN , FAx 20kN , FAy 10kN 负号表示该力的作用方向与假设的方向相反。
M A 0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
FAx 316.4kN FAy 300kN
M A 1188kN m
例3.5 已知： P1 700kN, P2 200kN, AB=4m；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3范围；
静力学
东南大学土木学院工程力学系
第三章
平面任意力系
平面汇交力系：可以简化成为一个合力 平面力偶系：可以简化成为一个合力偶
平面任意力系：作用线在同一平面内，彼此既不 平行，也不汇交于一点的平面力系。
平面任意力系的简化结果如何？
3.1 力线平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B， 但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于 原来的力F对新作用点B的矩.
FAy 72.5kN FBy 77.5kN
FAx FBx F
取吊车梁,画受力图.
MD 0
8F ' E
4 P1
2 P2
0
F ' 12.5kN E
取右边刚架,画受力图.
MC 0
6FBy 10FBx 4P FE 0
FBx 17.5kN FAx 7.5kN
例3.7 已知:DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P,各构件自
力系平衡：与简化中心位置无关
(2) FR 0, M O 0
合力偶：与简化中心位置无关
Fra Baidu bibliotek
若向O1点简 化，如何?
(3) FR 0, M O 0
合力：作用线过简化中心
(4) FR 0, M O 0
合力：作用线距简化中心d M O FR
■讨 论
请指出以下各图力系的最终简化结果
力偶
平衡
平衡
合力
平面任意力系的平衡方程只有三个，只能求三 个未知数。
三个特例：
平面汇交力系： Fx 0, Fy 0 平面力偶系： M o 0
平面平行力系： Fy 0, M o 0 或者 M A 0, M B 0
3.4 物体系统的平衡
静定问题：系统未知量数目等于独立的平衡方程数目。 超静定问题（静不定问题）：系统未知量数目超过独
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。 解： 取起重机，画受力图.
满载极限情况 FA 0, P2 200 kN
P3
P1
P2
M B 0 P3min 8 2P1 10P2 0
解得: P3min=75kN
A
B
空载极限情况 FB 0, P2 0
M A 0 4P3max-2P1=0
mA = 31.72 kN.m
例3.4 已知： P 100kN, M 20kN m,
q 20 kN m , F 400kN, l 1m;
求：固定端A处约束力.
解：取T型刚架，画受力图，建坐标系.
其中
F1
1 2
q
3l
30kN
F x
0
FAx F1 F sin 600 0
F y
0
FAy P F cos 60 0
例3.2 已知： P1 10kN, P2 40kN, 尺寸如图：
求：轴承A、B处的约束力.
解：取起重机，画受力图，建坐标系.
F x
0
FAx FB 0
Fy 0 FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
解得：FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
FBy
2m
2m
2m
Q
C
FC
2m
（2）再取整体为研究对象 P
A
FAx
mA
FAy
2m
B
2m
2m
Q
C
FC
2m
Fx = 0 FAx - 20 cos45o = 0
FAx = 14.14 kN
Fy = 0 FAy - 30 - 20 sin45o + FC = 0 FAy = 37.07 kN
mA(Fi) = 0 mA - 2×30 - 6×20sin45o +8FC = 0
例3.3 组合梁ABC的支承与受力情况如图所示。已知 P = 30kN， Q = 20kN， = 45o。求支座A和C的约束力。
解：AB为主梁，BC为次梁。
A
（1）先取次梁BC为研究对象
P
B
Q
C
mB(Fi) = 0 - 2×20sin45o +4FC = 0
FC = 7.07 kN
2m
2m
B FBx
3.2 平面任意力系向作用面内一点简化
主矢：矢量和 FR Fi 主矩: 代数和 M O M O (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
主矩简化什么情况下与简化位置无关？
平面任意力系应用：平面固定端约束
=
=
平面任意力系的简化结果
(1) FR 0, M O 0
合力
合力
3.3 平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任
意点的主矩都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
一般式
二矩式
三矩式
Fx Fy
0 0
MO 0
F x
0
M A 0
M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
三个取矩点， 不得共线
解得: P3max=350kN
P3
P1
P2
75kN P3 350kN A
B
FA
FB
当 P3=180kN 时（平面平行力系）：
M A 0 4 P3 2 P1 14 P2 4 FB 0 P3
P1
P2
Fy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得： FA=210kN FB=870kN
A
B
FA
FB
例3.6 已知 : P=60kN, P1=20kN, P2=10kN,风载
F=10kN,尺寸如图; 求: A,B处的约束力. 解: 取整体,画受力图，建立坐标系.
M A 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0 Fy 0 FAy FBy 2P P1 P2 0 Fx 0 FAx F FBx 0
立的平衡方程数目。
例3.1 已知： AC=CB= l， P=10kN;
求：铰链A和DC杆受力.
解： 取AB梁，画受力图.
F x
0
F y
0
MA 0
FAx FC cos 45 0 FAy FC sin 45 P 0 FC cos 45 l P 2l 0
解得： FC 28.28kN , FAx 20kN , FAy 10kN 负号表示该力的作用方向与假设的方向相反。
M A 0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
FAx 316.4kN FAy 300kN
M A 1188kN m
例3.5 已知： P1 700kN, P2 200kN, AB=4m；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3范围；
静力学
东南大学土木学院工程力学系
第三章
平面任意力系
平面汇交力系：可以简化成为一个合力 平面力偶系：可以简化成为一个合力偶
平面任意力系：作用线在同一平面内，彼此既不 平行，也不汇交于一点的平面力系。
平面任意力系的简化结果如何？
3.1 力线平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B， 但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于 原来的力F对新作用点B的矩.
FAy 72.5kN FBy 77.5kN
FAx FBx F
取吊车梁,画受力图.
MD 0
8F ' E
4 P1
2 P2
0
F ' 12.5kN E
取右边刚架,画受力图.
MC 0
6FBy 10FBx 4P FE 0
FBx 17.5kN FAx 7.5kN
例3.7 已知:DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P,各构件自
力系平衡：与简化中心位置无关
(2) FR 0, M O 0
合力偶：与简化中心位置无关
Fra Baidu bibliotek
若向O1点简 化，如何?
(3) FR 0, M O 0
合力：作用线过简化中心
(4) FR 0, M O 0
合力：作用线距简化中心d M O FR
■讨 论
请指出以下各图力系的最终简化结果
力偶
平衡
平衡
合力
平面任意力系的平衡方程只有三个，只能求三 个未知数。
三个特例：
平面汇交力系： Fx 0, Fy 0 平面力偶系： M o 0
平面平行力系： Fy 0, M o 0 或者 M A 0, M B 0
3.4 物体系统的平衡
静定问题：系统未知量数目等于独立的平衡方程数目。 超静定问题（静不定问题）：系统未知量数目超过独
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。 解： 取起重机，画受力图.
满载极限情况 FA 0, P2 200 kN
P3
P1
P2
M B 0 P3min 8 2P1 10P2 0
解得: P3min=75kN
A
B
空载极限情况 FB 0, P2 0
M A 0 4P3max-2P1=0
mA = 31.72 kN.m
例3.4 已知： P 100kN, M 20kN m,
q 20 kN m , F 400kN, l 1m;
求：固定端A处约束力.
解：取T型刚架，画受力图，建坐标系.
其中
F1
1 2
q
3l
30kN
F x
0
FAx F1 F sin 600 0
F y
0
FAy P F cos 60 0
例3.2 已知： P1 10kN, P2 40kN, 尺寸如图：
求：轴承A、B处的约束力.
解：取起重机，画受力图，建坐标系.
F x
0
FAx FB 0
Fy 0 FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
解得：FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
FBy
2m
2m
2m
Q
C
FC
2m
（2）再取整体为研究对象 P
A
FAx
mA
FAy
2m
B
2m
2m
Q
C
FC
2m
Fx = 0 FAx - 20 cos45o = 0
FAx = 14.14 kN
Fy = 0 FAy - 30 - 20 sin45o + FC = 0 FAy = 37.07 kN
mA(Fi) = 0 mA - 2×30 - 6×20sin45o +8FC = 0
例3.3 组合梁ABC的支承与受力情况如图所示。已知 P = 30kN， Q = 20kN， = 45o。求支座A和C的约束力。
解：AB为主梁，BC为次梁。
A
（1）先取次梁BC为研究对象
P
B
Q
C
mB(Fi) = 0 - 2×20sin45o +4FC = 0
FC = 7.07 kN
2m
2m
B FBx