材料力学 梁的应力PPT课件

⒊ 变形几何关系 取一微段dx
o1o2dx d
a
b
k1'k2'(y)d
l k1'k2'dx
o1
o2
k1
k2
c
d
dx
( y)d d 变形前
yd
l yd y dx d
9
o
a ' d b '
o1
o2
k1'
k2'
c'
d'
变形后
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⒋ 变形物理关系
E E y
其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标， 为
由： M yAzd AE Ayz dE A Syz0
必有 Syz=0 ，z 轴为形心主轴。
11
z
x
dA
由：Mz
ydAM
A
AydA E Ay2dA E IzM
1 M
EIz
C
y z y
12
z
x
dA
其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。
于是得：
EyM y Iz
M y
Iz
由该式可知横截面上各点正应 力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正应力为零，离 中性轴最远点正应力最大。
25
⑵圆形截面
⑶环形截面
h/2 h/2
C
z
b
C
z
d
C z
d D
Wz
bh 2 6
Wz
d3
32
D3 d4
Wz 32 (1D4)
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例1 求图示矩形截面梁D 截面上a、b、c 三点的正应力。
F=12kN
a
5 23
b
A
DB
C
A
cz
2m 2m 2m
6
FA
FB
(cm)
解： m B0; F A6kN
FA
MD D
a
c
bd
同层纤维变形相同。 M
下层纤维受拉伸长，
上层纤维受压缩短；层
间变形连续，中间必有
a
c
b
d
一层即不伸长也不缩短， 称为中性层。
7
M
⑵横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
8
纵向对称面 中性层
中性轴
⒉ 基本假设 ⑴平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； ⑵层间纤维无挤压。
I z
y2d A
A
y2d A
AD Ad
y 2 d A y 2 d A
AD
Ad
O
z
πD4 πd 4 π D4 d 4
64 64 64
y
π D 4 1 4 64
式中， d D 。
而空心圆截面的弯曲截面系数为
Wz D Iz
πD3 14
32
2
根据对称性可知：
D d
20
根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯
性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得
Iz
Iy
Ip 2
πd4 64
d
而弯曲截面系数为
WzWydIz
dIy
πd3 32
22
o
z
y
z dA
y
21
(3) 空心圆截面
由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减
去小圆(即空心部分)的面积Ad故有
D d
截面上最大拉应力值和最大压应力值为
t,max
Myt,max Iz
c,max
Myc,max Iz
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简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数
(1) 矩形截面
IzAy2dA h h 2 2b2y dyb 13h 2
Wz
Iz h
bh2 6
2
IyAz2dA b b2 2h2d zzb 1 3h2
中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道 中性轴的位置和中性层的曲率半径。
⒌ 静力关系 横截面正应力满足如下关系：
FN
dA0
A
My AzdA0
z
x
dA
y z y
Mz
ydAM
A
由：FNAdAAE ydA0
E
E
FN Ayd ASz 0
C
y z y
必有 Sz=0 ，z 轴过截面形心。
22
O
z
IyIz, W yW z
y
思考：
空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对
形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；
但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小
圆的弯曲截面系数之差，为什么？
23
型钢截面及其几何性质：参见型钢表 需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我
们所标示的z轴。
24
max
15
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、
压应力的值max为
maxMIzm yax
M M Iz Wz
ymax
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数
(section mbodulus in bending)，其单位为m3。
h d
o
z
oz
y
y
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中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横
P1
P2
纵向对称面
二、纯弯曲
aP
图示梁 AB 段横截面上 C
A
只有弯矩，而无剪力，该段
梁的弯曲称为纯弯曲。 F
C A与BD 段横截面上即 s ⊕
有弯矩，又有剪力，该两段
梁的弯曲称为横力弯曲。
5
Pa BD
○－ x
⊕
x
M
6
§4–6 弯曲正应力
一、纯弯曲时梁的正应力 ⒈ 实验观察
⑴纵向直线代表一 层纤维，变形后为平行 曲线。每层变成曲面，
M Iz
ymax
令
Wz
Iz , ymax
上式可改写为
max
M
Wz
Wz 称为抗弯截面模量，单位：m3。
上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于
横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再
成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可
按平面假设分析，上面公式仍可使用。
⑴矩形截面
13
z
C
x
dA
y z
y
max
C
z
max
C
z
b
d2
14
yc,max
h d
oz
百度文库oz
Oz
d1
h
yt,max
y
y
y
b
(a)
(b)
(c)
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截
面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z
不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大
拉应力和最大压应力的值不相等。
1
建筑力学
整体 概述
2
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
3
第4章 弯曲应力
§4–5 概述 §4–6 弯曲正应力 §4–7 弯曲切应力 §4–8 梁的强度计算 §4–9 提高梁强度的主要措施 §4–10 弯曲中心
4
§4–5 概述
一、平面弯曲
Fs
取AD， m D 0 ; M D 1k2 .m N(上面受拉)
aM W zD6b M 2 h D6 61 1 21 203012M 0P(拉a)
Wy
Iy b
b2h 6
2
18
思考:
一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于
形心轴
z
的惯性矩是否也是
Iz
bh 3 12
？
19
(2) 圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
Ip
2dAπd4
A
32
d
o
z
y
z dA
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而
y
知
I p A2 d A A y 2 d A A z 2 d A I z I y π 3 d 42