等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧

高考专题复习——等差与等比数列

一、知识结构与要点： 等差、等比数列的性质推广

定义n n n n n n a a a a d a a -=-→=-++++1121 N n ∈ 通项d n a a t n )1(1-= —等差中项 abc 成等差2

c

a b +=

⇔ 基本概念 推广 d m n a a m n )(-+=

前n 项和nd n n a n a a S n )1(2

1

2)(121-+=+=

等差数列

当d>0(<0) 时{}n a 为递增（减）数列 当d=0时}{n a 为常数

基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等

1121......+--+==+=+i n i n n a a c a a a a N i ∈

q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+

}{n a 中共k n n n .......21成等差则nk n n a a a ......,,21也成等

定义:

n

n n n n n a a

a a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项：a

b

c 成等比数列ac b =⇒2

基本概念 推广m n q -⋅

前n 项和=n S )1(11)1()

1(11

1≠--=

--=q q

q

a a q

q a q n a n n 等比数列

与首末两端等距离的两项之积相等

1121......+--⋅===i n i n n a a a a a a

q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+

}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差 则nk n a a a ,...,21 成等比

基本性质 当

1

01>>q a 或

1001<<

当

1

01>

1

001<<>q a 时 {}n a 为递减数列

当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列

二、典型例题

例1．在等差数列中20151296=+++a a a a 求20S 解法一 d n a a n )1(1-+=Θ

20

)192(2)14()11()8()5(11111151296=+=+++++++=+++∴d a d a d a d a d a a a a a

∴101921=+d a 那么100)192(102

)

(20120120=+=+=

d a a a S

解法二：由q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+

20)(2)(2201156151296=+=+=+++a a a a a a a a Θ

点评：在等差数列中，由条件不能具体求出1a 和d ，但可以求出 1a 与d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出

（2）利用：q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用1a 和 d 表示更简捷。

例2．等差数列前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 解法一 用方程的思想，由条件知

100

2

2)(30

2)(211=+=+m a a m

a a m m ⇒ 100)(60)(211=+=+m a a m a a m m

m a Θ m a 2 m a 3也成等数列

)2(2

3

)(2321313m m m m a a a m a a m S -+=+=

∴ 由②Χ2-①得 140)(21=-+m m a a a m 代入2101402

3

3=⋅=

m S 解：在等差数列中由性质知m S m m S S -2 m m S S 23-成等差数列

m m m m m S S S S S --=-∴)(2223 210)(323=-=∴m m m S S S

解法三 等差数列}{n a 中d n n n a S n )1(211-+

=Θ 2

)1(d

n a n S n -+=∴ 即}{n

S n 为以1a 为首项公差为2

d

的等差数列 依题意条件知

m S m m S m 22 m S m 33成等差 m S m S m S m m m +=⋅∴32223

210)(323=-=∴m m m S S S

点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等

差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。 例3 在等比数列中 935=S 18665432=++++a a a a a 求8a

①

②

分析：在等比数列中对于1a q n n a n S 五个量一般“知三求二”其中首项5元比是关键，

因此

解法一18665432=++++a a a a a Θ 186165+=+∴a a S

3169+=∴a a 31519+=⋅∴a q a

又9315

115=--=q

q a a S 2931931

1=⇒=-+-∴q q a a 31=a 则384718=⋅=q a a

解法二: 935=S Θ 而 186)(5432165432=++++=++++q a a a a a a a a a a

2=∴q 代入931)

1(51=--q

q a 中得31=a

故384718=⋅=q a a

点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。 例4．在等差数列 }{n a 中369-=S 10413-=S 等比数列}{n b 中 55a b = 77a b =则 =6b

解：3699)2

(59

19-=⋅=⨯+=a a a S 45-=∴a

10413132

713

113-=⨯=⨯+=

a a a S 87-=∴a 327575=⋅=⋅a a

b b 322

2=∴b 346±=b

点评：此题也可以把1a 和d 看成两个未知数，通过369-=S 10413-=S 列方程，联立解

之d=2- 41=a 。再求出75a a 但计算较繁，运用n n a a a =+-2

1

21

计算较为方便。 例5．设等差数列}{n a 前n 项和为n S 已知123=a 012>S 013