等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧

高考专题复习——等差与等比数列一、知识结构与要点： 等差、等比数列的性质推广定义n n n n n n a a a a d a a -=-→=-++++1121 N n ∈ 通项d n a a t n )1(1-= —等差中项 abc 成等差2ca b +=⇔ 基本概念 推广 d m n a a m n )(-+=前n 项和nd n n a n a a S n )1(212)(121-+=+=等差数列当d>0(<0) 时{}n a 为递增（减）数列 当d=0时}{n a 为常数基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等1121......+--+==+=+i n i n n a a c a a a a N i ∈q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+}{n a 中共k n n n .......21成等差则nk n n a a a ......,,21也成等定义:nn n n n n a aa a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项：abc 成等比数列ac b =⇒2基本概念 推广m n q -⋅前n 项和=n S )1(11)1()1(111≠--=--=q qqa a qq a q n a n n 等比数列与首末两端等距离的两项之积相等1121......+--⋅===i n i n n a a a a a aq p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差 则nk n a a a ,...,21 成等比基本性质 当101>>q a 或1001<<<q a 时 {}n a 为递增数列当101><q a 或1001<<>q a 时 {}n a 为递减数列当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列二、典型例题例1．在等差数列中20151296=+++a a a a 求20S 解法一 d n a a n )1(1-+=Θ20)192(2)14()11()8()5(11111151296=+=+++++++=+++∴d a d a d a d a d a a a a a∴101921=+d a 那么100)192(102)(20120120=+=+=d a a a S解法二：由q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+20)(2)(2201156151296=+=+=+++a a a a a a a a Θ点评：在等差数列中，由条件不能具体求出1a 和d ，但可以求出 1a 与d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出（2）利用：q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用1a 和 d 表示更简捷。

例2．等差数列前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 解法一 用方程的思想，由条件知10022)(302)(211=+=+m a a ma a m m ⇒ 100)(60)(211=+=+m a a m a a m mm a Θ m a 2 m a 3也成等数列)2(23)(2321313m m m m a a a m a a m S -+=+=∴ 由②Χ2-①得 140)(21=-+m m a a a m 代入210140233=⋅=m S 解：在等差数列中由性质知m S m m S S -2 m m S S 23-成等差数列m m m m m S S S S S --=-∴)(2223 210)(323=-=∴m m m S S S解法三 等差数列}{n a 中d n n n a S n )1(211-+=Θ 2)1(dn a n S n -+=∴ 即}{nS n 为以1a 为首项公差为2d的等差数列 依题意条件知m S m m S m 22 m S m 33成等差 m S m S m S m m m +=⋅∴32223210)(323=-=∴m m m S S S点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。

例3 在等比数列中 935=S 18665432=++++a a a a a 求8a①②分析：在等比数列中对于1a q n n a n S 五个量一般“知三求二”其中首项5元比是关键，因此解法一18665432=++++a a a a a Θ 186165+=+∴a a S3169+=∴a a 31519+=⋅∴a q a又9315115=--=qq a a S 29319311=⇒=-+-∴q q a a 31=a 则384718=⋅=q a a解法二: 935=S Θ 而 186)(5432165432=++++=++++q a a a a a a a a a a2=∴q 代入931)1(51=--qq a 中得31=a故384718=⋅=q a a点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。

例4．在等差数列 }{n a 中369-=S 10413-=S 等比数列}{n b 中 55a b = 77a b =则 =6b解：3699)2(5919-=⋅=⨯+=a a a S 45-=∴a10413132713113-=⨯=⨯+=a a a S 87-=∴a 327575=⋅=⋅a ab b 3222=∴b 346±=b点评：此题也可以把1a 和d 看成两个未知数，通过369-=S 10413-=S 列方程，联立解之d=2- 41=a 。

再求出75a a 但计算较繁，运用n n a a a =+-2121计算较为方便。

例5．设等差数列}{n a 前n 项和为n S 已知123=a 012>S 013<S （1）求公差d 的范围 （2）指出1221......S S S 中哪一个值最大，并说明理由2)113(131302)112(1212113112<-⨯+=>-⨯+=d a S d a S ⇒ 06011211<+>+d a d a解：（1）由题义有由 123=a ⇒ d a 2121-= 则代入上式有30724<+>+d d 3724-<<-∴d(2221)]245(21[2)]245(21[2)1(21)212(2)1(dd d n d d n n d n d n n n a S n ----=-+-=-+=Θd<0 所以2)]245(21[d n --最小时n S 最大 当3724-<<-d 时 5.6)245(216<-<d 所以 当n=6 时2)]245(21[dn --最小 故 6S 最大 点评：本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用，判断数列随N 增大而变化规律的方法与判断函数增减性的方法相同。

例6 已知a>0 1≠a 数列}{n a 是首项5元比都为a 的等比数列，n n n a a b lg =(n )N ∈如果数列}{n b 中每一项总小于它后面的项，求a 的取值范围。

解：由已知有 n n n a a a a =⋅=-1所以a na a a a a b n n n n n n lg lg lg ==⋅= 因此由题意 对任意N n ∈ 1+<n n b b 成立 即a n a n a n na lg )1(lg 1++< 即0])1[(lg >-+n a n a a n 对任N n ∈总成立，由0>a 知0>na 那么 由 a>0 1≠a 知)1(0lg >+>-na a n 或)1(0lg <+-<n n a a即（Ⅰ）11+>>n n a a 或 （Ⅱ） 110+<<<n n a a 由Ⅰ知 a>1 中Ⅱ1+n n为递增的函数 所以21)1(min =+n n 210<<∴a 故a 的取值范围为210<<a 或 a>1 点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值的观点来解决问题，同时还要判断函数2+=x xy 的单调性，具有一定的综合性。

高考专题——数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n kS nk n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……. ②（设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n ∴1224-+-=n n n S 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由m n n m n C C -=可得 nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(……..②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …① 将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得 S n＝kk k nk n k n k ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解：∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S由οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1οοοοοοοοο-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝οο1cot 1sin 1⋅＝οο1sin 1cos 2 ∴原等式成立 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵)180cos(cos οοοn n --=（找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0 [例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a …… 2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和） ＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k 43421321个个 （找通项及特征） ∴ 32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(9113214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16]已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征） ＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组） ＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项） ∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝418)4131(4⋅++⋅＝313高考专题复习练习——等差与等比数列1(北京)已知数列}{n a 中，211=a ，n S 为数列的前n 项和，且n S 与n a 1的一个等比中项为`)(N n n ∈，则n n S ∞→lim 的值为（ ） （A ）43 （B ）23 （C ）32 （D ）1 2（黄冈）在等差数列{a n }中，a 1 + a 2 + … + a 50 = 200，a 51 + a 52 + … + a 100 = 2700，则a 1等于（ ）（A ）－1221 （B ）－21.5 （C ）－20.5 （D ）－203（合肥）数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121(12)210(21n n n n n a a a a a 若761=a ，则=8a （ ） (A)76 (B)75 (C)73 (D)71 4（北京）在数列}{n a 中，1,1211-==+n n a a a , 则此数列前4项之和为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -25（天津）在等差数列}{n a 中， 2≥n ，公差d<0，前n 项和是n S ，则有（ ）（A ）1na S na n n << （B ）n n na S na <<1 （C ）1na S n ≥ （D ）n n na S ≤6(北京)等差数列{a n }中，已知113a =，a 2＋a 5=4，a n =33，则n 为（ ） A 、48 B 、49 C 、50 D 、517、如果数列满足是首项为1，公比为2的等比数列，则_________________。