计量地理学第三章统计分析方法7趋势面分析

x12 x22
x1y1 x2y2
用回归分析方法，使得残差平方和趋于最小， 即
n
n
Q 2 [zi(xi,yi)z ˆi(xi,yi)2 ] mi
i 1
i 1
这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。
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8
用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数 和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形 式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围 内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可 使所求的回归方程适合实际问题的需要。
第三章
统计分析方法
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1
❖ §1 ❖ §2 ❖ §3 ❖ §4 ❖ §5 ❖ §6 ❖ §7
地理要素间的相关分析 地理要素间的回归分析 时间序列分析法 系统聚类分析方法 主成分分析方法 马尔可夫预测方法 地理系统的空间趋势面分析
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2
§7 地理系统的空间趋势面分析
❖ 一、空间趋势面分析概述
a0
A
a
1
a
p
则（3.6.6）式变为
XTX AXTZ （3.6.7）
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⑤ 对于二元二次多项式有
z a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a y 5 y 2
其正规方程组为
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1
x1
1 x2
1 xn
1
1
x1 x2
y1 y2
元线性Baidu Nhomakorabea归模型。
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令 x 1 x ,x 2 y ,x 3 x 2 ,x 4 x,x 5 y y 2 ,
则
z ˆ a 0 a 1 x 1 a 2 x 2 a p x p
②其残差平方和为
n
n
Q [z i z ˆi]2[z i ( a 0 a 1 x 1 i a 2 x 2 i a p x p )i 2]
Zi(xi,yi)Ti(xi,yi)i
zˆf(x,y)Ti(xi,yi)Z ,i(xi,yi)zˆi(xi,yi)i
i zizˆi
❖ 式中：εi即为剩余值（残差值）。
❖ 显然，当（xi，yi）在空间上变动时,式就刻画了地理要素的实际 分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系
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❖ 趋势面分析的核心 从实际观测值出发推算趋势面，一般采
❖ 趋势面分析
用数学的方法，以数学模型来模拟（或拟合）地 理数据的空间分布及其区域性变化趋势的方法
它实质上是通过回归分析原理，运用最小二乘法 拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间 上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变 化趋势。
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趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、 人口及经济要素在空间上的分布规律，它在空间 分析方面具有重要的应用价值。
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❖ 趋势面的性质与特点
是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地 理数据在大范围内的空间分布变化趋势
与实际上的地理曲面不同，它只是实际曲面 的一种近似值。
实际曲面包括趋势面和剩余（或离差）曲面 两部分，即
❖实际曲面＝趋势面+剩余曲面
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6
二、趋势面分析的数学模型
❖ （一）趋势面分析的数学原理 设以Zi(xi，yi)表示某一地理特征值在空间上的分布。其中(xi， yi)为平面上点的坐标。任一观测点Zi可分解为两个部分即
3 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2
b6 x 3 b7 x 2 y b8 xy 2 b9 x 3
4 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2
b6 x 3 b7 x 2 y b8 xy 2 b9 x 3
使每一个观测值与趋势值的残差平方和为最
小，即
n
2
Q (zi zˆi) min
i1
按建立多元线性方程的方法，使Q对系数b0， b1，…，bn求偏导，并令这些偏导数等于零， 得趋势面的正规方程组，解正规方程组，即
可求出系数，从而得到趋势面方程
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14
❖ 过程 ① 将多项式回归（非线性模型）模型转化为多
b10
x3
y
b11 xy
3
b x y2 2 完整1版2 课件ppt
b13 x 4
b14
y4
11
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12
（三） 估计趋势面模型的参数
❖ 实质 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确
定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平 方和最小。
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13
趋势面参数的确定（最小二乘法）
i 1
i 1
（3.6.5）
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③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并
令其等于0，得正规方程组(式中 a0,a1,,ap
为p+1个未知量）
n
n
n
na0 a1 x1i ap xpi zi
i1
i1
i1
a0
n i1
x1i
a1
n i1
x1i x1i
ap
n i1
xpi x1i
n i1
x1i zi
（3.6.6）
..........
a0
n i1
xpi
a1
n i1
x1i xpi
ap
n i1
xpi xpi
n i1
xpi zi
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④用矩阵形式表示
1 x11
X
1
x12
1 x1n
x21 xp1
x22
xp2
x2n
xpn
z1
Z
z
2
z
n
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❖ 多项式方程作为趋势面方程
因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼 近，并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的 需要，一般来说，多项式的次数越高则趋势值越 接近于观测值，而剩余值越小
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（二）多项式趋势面的数学模型
1 .z b0 b1 x b2 y
2 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2
趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤 掉了一些局域随机因素的影响，使地理要素的空 间分布规律明显化。
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4
通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两 部分，前者反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性 因素作用的结果；而后者则对应于微观局域，是随机因 素影响的结果。
趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势 面模型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度 精度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从 地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从 而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。