线性规划中目标函数的几何意义

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借助目标函数的几何意义解线性规划问题

借助目标函数的几何意义解线性规划问题
线性规划问题是企业决策分析中常见的问题，它利用目标函数的几何意义来求解，目标函数的几何意义就是通过特定的函数曲线使得所求的最优解能够达到的最佳的位置及形状，以达到实现优化的最大化或者最小化的目的。

下面以做公司生产原料决策为例，讲解目标函数几何意义。

企业要求以X1和X2为两种原料采购，采购成本分别为1元和2元，通过原材料加工生产制成品，售价为3元每台。

线性规划问题就是在一定的条件下，如何选择X1和X2的采购量，用更少的采购成本来达到最高的利润。

假设有约束条件，比如最多只能采购3个X1和2个X2，那么，目标函数的几何意义表示的是把X1和X2的采购量作为变量，利润作为函数的函数曲线，在X1和X2的采购量满足约束条件的前提下，把曲线微调，把利润最大化，称为最佳曲线。

因此，结合目标函数几何意义，最终企业可以从曲线最高点处，获得最优原材料采购量，比如最高点处极大值为9，则最优解是，X1=3，X2=2，则最高利润为27元。

线性规划问题可以借助目标函数的几何意义来解决，也就是说，解决线性规划问题的问主要就是把函数曲线的极大值调整到可以实现最大化或最小化的结果位置。

从而可以有效的获得最优解。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D．【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线的斜率，要与直线或的斜率相等，∴或．【考点】线性规划．2.已知最小值是5，则z的最大值是（）A．10B．12C．14D．15【答案】A【解析】首先作出不等式组所表示的平面区域，如图中黄色区域，则直线-2x+y+c=0必过点B（2，-1），从而c=5,进而就可作出不等式组所表示的平面区域，如图部的蓝色区域：故知只有当直线经过点C（3，1）时，z取最大值为：，故选A．【考点】线性规划．3.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.5.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】作出可行域:oyxA(1，1)由图可知，当直线过点时，目标函数取最小值为3，选B.【考点】线性规划6.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．7.若变量满足约束条件，则的最大值为_________.【答案】【解析】作出不等式组表示的区域如下,则根据线性规划的知识可得目标函数在点处取得最大值,故填.【考点】线性规划8.设x，y满足约束条件，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80B．4C．25D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程＝(3＋1)2＋82＝80.组，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax9.已知实数满足，则目标函数的取值范围是．【答案】【解析】可行域表示一个三角形ABC，其中当直线过点A时取最大值4，过点B时取最小值2，因此的取值范围是.【考点】线性规划求取值范围10.设变量满足，则的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．2，-2C．1，-2D．2，-1【答案】B【解析】由约束条件，作出可行域如图，设，则，平移直线，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．【考点】线性规划.11.（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．12.若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y =" -" 6取最小值。

浅谈线性规划问题中目标函数的几何意义

维普资讯
２００８年
《田师范专科学校学报》（和汉文综合版）
Ｊ１０８第２ｕ．０２８卷第四期
总第５期４
浅谈线性规划问题中目标函数的几何意义
贾玉美
（和田地区二中新疆和田８８０）４００
Ｌ安Ｊ捅本文主要介绍了解决线性规划问题的方其关键是法，确定目
＝
。
一
面我们就ｂ的取值分两种情况来看看：）与定点Ｍ（，ｂａ）连线的斜率。： —— ：ｘａ可以变形为：－：（）＝且ａ。１ｂＯ ≠０此时目标函数可化为ｘ：，ｚ它表示以ｚ为ｙ横截距，垂直于Ｘ轴的直线。ｚ是一个与横截距相关的量，它的最值由ａ的符号，及直线ｘＯ＝在线性区域内自左向右平行移动最先及最后经过的点确定。由横截距取值情况知，当ａ＞Ｏ时，将垂直于Ｘ轴的直线在线性区域内自左向右平行移动最先经过的点确定的是最小值，最后经过的点确定的是最大值：当ａ时，＜Ｏ将垂直于Ｘ轴的直线在线性区域内自左向右平行移动最先经过的点确定的是最大值，最后经过的点确定的是最小值。
－
（）ｂ２ ≠０（∈Ｒ）此时目ａ。标函数可化为Ｙ一 ÷ 尺，＝÷＋∈
它示一为率以为截的线ｚ一与截相例：知ｆ－ｓ表以詈斜，三纵距直。个横距关ｂ是２已｛ｘ＋ｙ＋４＞Ｏ且。－，ｚ取范。４。ｐ求的值围２２
的，的值ｂ符，斜为詈直在性域自量它最由的号及率一的线线区内下
６
，它
的几何意义是线性区域内的点Ｐ（，）与定点Ｍ（，ｂ连线的斜ｘｙａ）率的倒数。

三种目标函数的几何意义

三种目标函数的几何意义一、教学目标：知识目标：1. 了解线性规划意义，并会简单的运用；2. 能解决一些非线性目标函数的最值问题。

能力目标：提高学生的作图能力、分析能力，培养学生运动变化的数学思维。

情感目标：通过自主学习、合作学习培养学生的团队合作精神。

二、教学重点：三种目标函数的几何意义。

教学难点：非线性函数最值问题。

三、教学工具：powerpoint 课件、几何画板四、教学过程：我们已经学习过线性规划的有关知识，请看下面的问题：【问题】求y x z +=2的最大值，使x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 。

（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。

在大部分学生完成后，提问学生：） 1. 题目中给出的是关于x ，y 的代数表达式，做题时依据什么能转化为图形？2. 要正确解答问题，首先要弄清楚z 的意义，你能给大家分享一下你的想法吗？其他同学还有没有不同想法？3. 在得出z 的最值时，要说清x 与y 的取值，那么x 与y 应该在什么范围内取值呢？不等式组表示的区域我们在线性规划里面称作什么？（多媒体给学生演示z 的变化过程，让学生体会“运动变化”的数学思想。

然后给出上述问题的详细解答过程）【变式1】在上述问题中，如果把目标函数改写成y x z 32+=，那么z 的几何意义又是什么呢？如果改成y x z -=2呢？上述题目和变式1中提到的目标函数为直线型：By Ax z +=，即y A B x z B z B=-+，为直线在y 轴上的截距。

z 的几何意义就是直线在y 轴上截距的B 倍。

至于z 与截距是否同时取到最值，还要看B 的符号。

【变式2】如果把题目中目标函数改写成23++=x y z ，那么z 的几何意义会是什么？最值如何呢？如果是改写成xy z 2+=，最值又如何？学生分组探究，寻找解决问题的方法。

找学生分享自己的想法。

（多媒体演示，z 的变化过程）在解决变式2中两个函数最值时，不同之处是什么？（当定点与区域内的点连线斜率都存在时，z 有最值；当定点与区域内的点连线斜率有不存在情况时，z 没有最值，但可以把z 的取值范围写出来。

目标函数的几何意义

目标函数的几何意义目标函数的几何意义目标函数在数学中是用来描述最优化问题的数学函数。

在最优化问题中，我们希望通过对给定条件下的多个可行解进行比较，找到使目标函数取得最优值的解。

目标函数的几何意义是通过对函数的图像进行分析和解释，来理解和说明问题的最优解。

首先，我们来看一元函数的情况。

对于一个一元的目标函数，其图像是一个曲线。

我们可以通过绘制目标函数的图像来直观地观察函数的特点。

例如，如果目标函数是一个二次函数，它的图像是一个抛物线。

我们可以看到抛物线的顶点是函数的极小值点，这是最优解的可能位置。

在图像上，我们可以推断出目标函数的最优解将在极小值点处取得。

对于多元函数的情况，我们需要将目标函数的图像表示在更高维的空间中。

我们可以将目标函数表示为一个曲面，其中曲面的高度表示目标函数的值。

通过观察这个曲面，我们可以获得一些有关最优解位置和形式的信息。

在多元函数的情况下，最优解的位置是曲面上的一个点，使得点的邻域中没有其他点比它更好。

这个点被称为最优解点或最小值点。

在图像上，最小值点就是曲面的一个局部最低点。

最优化问题的目标就是在这个曲面上找到这个最低点，寻找其它点比这个点更低的可能性非常小。

除了寻找最低点，目标函数的几何意义还包括判断函数的性质和拓扑结构。

通过分析目标函数的曲面，我们可以确定函数的凸性、连续性和存在最优解的区域等性质。

例如，对于一个凸函数，其曲面呈现一个凸状。

这意味着任意两点连线上的曲面点都位于该曲线下方。

因此，凸函数的最低点也是全局最低点。

总结来说，目标函数的几何意义可以帮助我们直观地理解最优化问题，并帮助我们找到问题的最优解。

通过对函数图像的观察和分析，我们可以获得关于函数的性质和拓扑结构的信息。

理解目标函数的几何意义可以为我们设计和优化问题的解决方案提供指导。

线性规划问题的图解法

bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解（ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域

运筹学线性规划与目标函数

存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示;
都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数(称为目标函数)来表示。按问题的要求不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
11
1.1 问题的提出
决策变量及各类系数之间的对应关系
决策变量
资源
x1 x2 xn
13
1.2 图解法
1.2 图解法
例1是一个二维线性规划问题，可用作图法直观地进行求解。
max z 2x1 3x2
x1 2x2 2
4x1
16

4x2 12
x1 ,x2 0
14
1.2 图解法
max z 2x1 3x2
x2

2 3
x1

z 3
表示一簇平行线
4x1
16

4x2 12

max z=2x1+4x2
x1, x2 0
图1-4 无穷多最优解（多重最优解）
17
1.2 图解法
图1-5-1 无界解
max z x1 x2
2x1 x 4

x1 x2 2
x1,x2 o
max z 2x1 3x2
8
4
x1

4
16 x2 12

4
x1
4x2
x4 16 x5 12
x1, x2 0
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
25
1.3 线性规划问题的标准型式
例4 将下述线性规划问题化为标准形式线性规划
min z x1 2x2 3x3

线性规划问题的几何意义

重要结论
根据以上讨论，可以得到以下结论：线性规划问题的可行域是凸集（定理3.1）；凸集的每个顶点对应一个基可行解（定理3.2），基可行解个数是有限的，当然凸集的顶点也是有限的；若线性规划有最优解，必在可行域某顶点上达到（定理3.3），亦即在有限个基可行解中间存在最优解。因此，我们可以在有限个基可行解中去找最优解。这就是下节将介绍的单纯形法的理论依据，该方法就是一种在基可行解中搜索最优解的算法。
因此，对于j=k+1,k+2,…,n，应有 k 1 2 0 ，由于P1,P2,…,Pk线性无关，并且 pj xj xj 故 xj1 xj2 ,j=1,2,…,k.这就得到了x（1）=x（2）之矛盾。

2 1 xj xj 0

i1
i1
由X（0）的任意性,知线性规划在顶点X（m）处达到最优。

显然θ>0。取x（1）=(x1+θα 1,x2+θα 2,…,xk+θα k,0,…,0)T x（2）=(x1-θα 1,x2-θα 2,…,xk-θα k,0,…,0)T
易于验证x（1）∈D，x（2） ∈D，x（1）≠x（2）且
1 2 1 1 X X X ，此与X是D的顶点矛盾，因而X是基可行解。 2 2 充分性：←设X是问题的基可行解，不妨设x1＞0,x2＞ 0,…,xk＞0, xk+1=…=xn=0（k≤m），于是P1,P2,…,Pk必线性无关。若X不是D的顶点，则存在x（1）∈D，x（2） ∈D， x（1）≠x（2）及α ∈（０，１），有

线性规划几何意义

目标函数几何意义在变化线性规划是高中数学的重要内容之一，它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题．由于目标函数在不断地变呈动，现出多样性和隐蔽性，所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化．下面举例说明：一、目标距离化．例1．已知实数x，y满足,则的最大值是分析，目标函数的几何意义是表示可行域内的点到点（1，1）的距离的平方，画出可行域可求得解：如图，作出可行域，则可知行域内点（4，1）到可点（1，1）的距离最大，从图形中可只是3，故．例2．已知实数满足，求的最大值．分析：这个目标函数就显得有点“隐蔽”了，注意到目标函数有个绝对值符号，联想到点到直线的距离公式的结构特点，那么就可顺利解决了．，也是说表示为可行域内的点到直线距离的倍．解：作出可行域，（如上图）可知可行域内的点（7，9）到直线的距离最大，所以二、目标角度化．已知为直角坐标系原点，的坐标均满足不等式组，则的最小值等于．分析：作出相应的可行域，可知越大，则越小，所以可知在（1，7）（4，3）此时与原点O的张角最大解：画出可行域，不失一般性，不妨设P（1，7），Q（4，3）；则，，则，所以．三、目标斜率化．例4．已知变量满足约束条件，则的取值范围是_____.分析，观察的结构特征，令人想到平面内的两点间的斜率公式，可得表示可行域内的点与原点之间的斜率，结个可行域可得其取值范围是，具体的过程留给聪明的读者．四、目标投影化．例5．已知点（O为原点）的最大值为．分析：这个目标函数更为隐蔽了，表示的是是方向上的投影．解：作出可行域，则可知P（5，2），则=（5，2），则在上的投影是PQ，可看作点P到直线是距离五、目标面积化．例6已知实数满足，求的最大值．分析：表示可行域内的点（正好在第一象限）到两坐标轴距离的乘积的两倍，即过该点作两坐标轴的垂线，长线段与两坐标轴所围成的面积的2倍，可知当时取得最大值，最大值是同学们应该知道目标函数是直线的截距的这种类型的基础上，还要知道距离、投影、斜率、角度、面积等几种常见的形式．这样我们的在解决线性规划问题上才能心中有“形”．下面提供部分习题请同学们完成．（1）若函数是定义在上的函数，则函数的值域是（）A．B．C．D．（2）约束条件，目标函数的最小值是（3）已知（是坐标原点）的最大值为答案：（1）D （2）0 （3）5。

从目标函数几何意义探求线性规划问题

从目标函数的几何意义探求线性规划问题新教材试验修订本中“简单的线性规划”是新增加的内容,在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类常见题型。

在近几年高考试题中都有所体现,若能借助于目标函数的几何意义解题,可提供直观明了的解题思路,解题也显得迅速简捷。

本文通过对目标函数几何意义的诠释来解几类线性规划中的最值问题。

一、借助于平面向量的数量积解一类线性规划问题形如z=ax+by的目标函数,可以把它看成平面内的向量=(a,b)与向量=(x,y)的数量积即z==cosθ,因为为定值,所以z的最值主要由cosθ决定的,即向量在向量方向上的投影。

例1.(2005年山东卷15)设x、y满足约束条件x+y≤5,3x+2y≤12,0≤x≤3,0≤y≤4则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是_______。

图1解析:作出可行域如图1,设n(x,y)为可行域内的任意一点,m(6,5),则z==cos∠mon,由数量积的几何意义(如图所示)得,当n(x,y)在a(2,3)时,在上的投影最大,即z=6x+5y取得最大值,zmax=27。

二、借助于两点间的距离解一类线性规划问题形如z=(x-a)2+(y-b)2的目标函数,可以把它看成点m(a,b)与点n(x,y)间距离的平方,即z=mn2,问题转化为研究m、n两点间距离平方的最值,又m为定点,所以z的最值主要由可行域内n点位置决定。

例2.已知2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值时x、y的值。

图2解析:作出满足约束条件的可行域如图2。

设p(x,y)为可行域内任意一点,目标函数z可视为o、p两点间的距离的平方,问题转化为研究距离平方的取值范围,由图易知可行域内,点c到原点o的距离最远,即:zmax=oc2=13,此时x=2,y=3。

又过o作直线ab:2x+y-2=0的垂线,垂足d(,),可知点d到原点的距离最近,即zmin=od2=。

线性规划目标函数

线性规划目标函数线性规划是一种数学优化方法，常用于解决资源有限的问题，目标是使目标函数达到最大或最小值。

目标函数是根据问题的具体情况和需求所建立的数学模型，是线性规划问题中一个重要的方面。

线性规划的目标函数通常用于描述问题的最终目标或成本效益，它是通过对问题的各个方面进行量化分析和数学建模而得到的一个数学表达式。

线性规划的目标函数可以是线性的，也可以是非线性的，但通常人们更倾向于使用线性的目标函数，因为这样能够更容易求解且具有更好的数学性质。

线性规划的目标函数通常包括两个部分：决策变量和参数。

决策变量是指问题中需要决策的变量，它们是通过调整来实现最优化的目标的变量。

参数是指问题中给定的固定数值，它们描述了决策变量和目标函数之间的关系。

例如，假设有一家公司要生产两种产品A和B，目标是最大化公司的利润。

如果每个单位的产品A的利润为x元，每个单位的产品B的利润为y元，而公司生产产品A的成本为2x 元，生产产品B的成本为3y元。

那么公司的目标函数可以表示为：目标函数：f(x, y) = x - 2x + y - 3y其中，f(x, y)表示公司的利润，x和y是决策变量，表示公司生产产品A和B的数量。

公司的目标是找到合适的x和y的值，使得f(x, y)达到最大值。

通过对目标函数进行求导和数学推导，可以得到最优解。

在这个例子中，最优解是使得x的值为0，y的值为1，此时公司的利润为y元。

这意味着公司应该停止生产产品A，只生产产品B才能使利润最大化。

通过设置不同的目标函数和约束条件，线性规划可以应用于不同的领域和问题。

无论是在生产计划、资源分配、运输问题还是投资组合优化等方面，都能有效地应用线性规划来优化决策。

目标函数作为线性规划的核心部分，发挥着至关重要的作用，它能够准确地描述问题的目标和成本效益，帮助人们做出最优的决策。

2022管理运筹学知识点：线性规划问题的几何意义及解的状态分析进入阅读模式

（1）凸集：设有任意两点X(1)、X(2)在某个点集中，其中X(1)≠X(2)，如果连接这两点的线段上所有的点也在这个点集之中，则称这个点集为凸集。

凸集定义的另外一种表示形式是：设K是n维欧氏空间的一个点集，若任意两点X(1)∈K、X(2)∈K的连线上一切点X(1) +(1-α)X(2)∈K(0≤α≤1)，则称K为凸集。

不符合上述特征的点集不是凸集，称为凹集。

（2）极点或顶点：设K是一个凸集，再令X∈K，如果X不能用不同的两点X(1)∈K、X(2)∈K的线性组合X=X(1) +(1-α)X(2)∈K(0≤α≤1)表示，则称点X是K的一个极点或顶点，其直观意义就是X不是K中任何线段的内点。

（3）基本解和基本可行解：在线性规划问题约束条件方程中，由与约束条件个数相等的若干个系数列向量组成的满秩矩阵叫基本矩阵。

一个有n个变量m个约束（m≤n）的线性规划问题至多可以有Cnm个基本矩阵。

所谓满秩矩阵，就是给这个矩阵作行线性变换不会出现某一行元素全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变换)；
所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常数后再加到另一行，过程与我们中学学过的解方程组的消元法完全一致。

令不与基本矩阵中列向量对应的变量（这些变量就叫非基变量）为零后，约束方程中剩余的与基本矩阵对应的变量就可唯一求得（这些变量就叫基变量），求得的这个解就叫基本解。

简单的说，就是“通过基本矩阵求得的线性规划问题的解”。

目标函数的几何意义

★高中数学必修模块5第10期第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（诠释重点直击热点）目标函数的几何意义解决简单线性规划问题的方法是图解法．求目标函数的最值、取值范围等问题，应转化为在可行域中求解，并充分挖掘目标函数的几何意义．一、运用直线的截距例1：已知z x y =-，且,x y 满足线性约束条件210,20,250,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩求z 的最大值和最小值．分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解析：作出可行域如图1所示，△ABC 内部及边界上的点的坐标为可行解，作出直线0x y -=，易知，线段AB 上的点使z 取最小值的最优解，故把（0，2）代入得min 2z =-．而C 点是使z 取最大值的最优解，解方程组210,250,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得C （3，－1），∴max 3(1)4z =--=．点评：1.对线性目标函数z Ax By =+（0A >）中的B 的符号一定要注意，当0B >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当0B <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．2.若最优解有无穷多个，则目标函数所表示的直线与可行域的一条边平行或重合．变式：（2008·广东）若,x y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则32z x y =+的最大值是（）A.90B.80C.70D.40解析：作出可行域如图2所示，作出直线42-2-55yxCBAOy=xx+2y-1=02x+y-5=0x-y+2=0（图1）504020-203x+2y=0AyxOx+2y-50=02x+y-40=0（图2）320x y +=，易知A 点是使z 取最大值的最优解，由240,250,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得A （10，20），∴max 70z =，答案：C ．点评：可从几何角度理解z 的最大值，此题中，z 为直线在纵轴上的截距，直线在纵轴上的截距越大，z 值越大．二、运用直线的斜率、两点距离公式（或平方）、点到直线的距离例2：已知一元二次方程220x ax b ++=有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点(,)a b 对应的平面区域；（2）21m a b =+-的取值范围；（3）21b n a -=-的取值范围；（4）22(1)(2)q a b =-+-的取值范围；分析：由一元二次方程根的分布情况求出,a b 满足的条件，充分理解目标函数的几何意义是解决此题的关键．解析：方程220x ax b ++=的两根在区间（0，1）和（1，2）内的几何意义是：函数2()2y f x x ax b ==++与x 轴的两个交点的横坐标分别在（0，1）和（1，2）内，由此得不等式组(0)0,(1)0,(2)0,f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即0,210,20.b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩由210,20,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得A （－3，1）；由0,20,b a b =⎧⎨++=⎩解得B （－2，0）；由0,210,b a b =⎧⎨++=⎩解得C （－1，0）．（1）在如图3所示的aOb 坐标平面内，满足满足约束条件的点(,)a b 对应的平面区域为△ABC （不包括边界）．（2）215m a b =+-=，其几何意义为区域内的点到直线210a b +-=A ，点C 分别是到直线210a b +-=的最大、最小值，此时max 6z =，min 2z =，∴(2,6)m ∈．-52ba2a+b-1=0ODCBAa+2b+1=0a+b+2=0（图3）（3）21b n a -=-的几何意义点(,)a b 和点D （1，2）连线的斜率．因为211134AD k -==+ 20,111CDk -==+，由图3可知21AD CD b k n k a -<=<-，∴1(,1)4n ∈．（4）因为22(1)(2)q a b =-+-表示区域内的点(,)a b 和点D （1，2）之间的距离的平方，其最小值为222(11)28CD =++=，最大值为222(13)(21)17AD =++-=，∴(8,17)q ∈．点评：本题把直线、线性规划问题、方程等知识点结合起来，在求解是要注意“几何问题代数化，代数问题几何化”的转化思想的应用．变式：已知20,40,250.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩求：（1）24z x y =+-的最大值；（2）221025m x y y =+-+的最小值；（3）211y n x +=+的范围．解析：作出可行域如图4所示，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．（1）易知可行域内各点均在直线240x y +-=的上方，故将C （7，9）代入得z 的最大值为21．（2）22221025(5)m x y y x y =+-+=+-表示可行域内任一点(,)x y 与点M （0，5）距离的平方，易知M 点到直线AC 距离就是m的最小值，故min m =（3）21(0.5)21(1)y y n x x +--==+--表示可行域内任一点(,)x y 与定点Q (1,0.5)--连线的斜率的两倍，因为74QA k =，38QB k =，故37(,)42n ∈．点评：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率．。

线性规划中目标函数的几何意义

线性规划中目标函数的几何意义课例名称：《线性规划中目标函数的几何意义》授课教师：梁耀冬（罗定实验中学）课型：高三复习【教学设计】一、教材分析1 ．教学背景分析简单的线性规划是高中数学知识的重要内容,也是高考的主要考点之一，而且对线性规划的要求也越来越灵活，以考查线性目标函数的最值为重点,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等).多以选择题、填空题出现, 它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题．具有应用的多样性.其中也对学生的数形结合思想进行全方位考查. 所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化．下面笔者对平时教学中出现的线性规划问题进行分类与剖析,旨在拓展学生思维同时,教给学生掌握一些解题的方法与技巧.2 ．教学目标知识与技能目标：（ 1 ）能正确理解目标函数所表示的几何意义（ 2 ）能运用数形结合的数学思想解决线性规划中目标函数的几种基本的类型过程与方法目标：（ 1 ）培养学生的数学意识，增强学生数形结合的思想；（ 2 ）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：（ 1 ）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；（ 2 ）体会数形结合的美。

3 ．教学重、难点重点：数形结合；难点：能运用数形结合的思想方法解决目标函数中的几何意义问题。

二、教法、学法设计1 ．教法设计本节课的教学通过具体实例采用了启发引导，讲练结合的教学方法，注重学生数学思维方法以及研究问题方法的渗透。

2 ．学法设计在学习中，让其以主体的态度，而不是被动的接受。

经历知识的形成和发展过程，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

三、教学过程设计1 ．提出问题 ①直线型：z ax by =+例1、(2008年广东卷)若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0010502y x y x y x ,则z=2x+y的最大值是________.（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。

高二数学线性规划试题答案及解析

高二数学线性规划试题答案及解析1.已知满足不等式组,使目标函数取得最小值的解（x，y）有无穷多个，则m的值是A．2B．-2C．D．【答案】D【解析】画出可行域，目标函数z=mx+y，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中系数必为负，最小值应在边界3x-2y+1=0上取到，即mx+y=0应与直线3x-2y+1=0平行，进而计算可得m值．【考点】线性规划2.若x，y满足则的最大值是．【答案】 10【解析】根据线性约束条件划出可行域，由目标函数得，即只需求直线在轴上的最大值即可。

【考点】线性规划求最值问题。

3.在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则实数a的值为．【答案】3【解析】由题意得：不等式组(a为常数)所表示的平面区域必须为一个封闭图形.直线恒过定点所以平面区域为三角形，面积为【考点】线性规划4.已知实数满足条件，则的最大值为．【答案】10【解析】作出满足约束条件下的平面区域，如图所示．由图可知点目标函数经过点时取得最大值，且最大值为．【考点】简单的线性规划．5.若实数满足，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】表示单位圆,表示单位圆上的点与点形成的直线的斜率.显然当与圆相切时,如图所示，可知 .【考点】线性规划求最值.6.不等式组所围成的平面区域的面积是 .【答案】2【解析】根据题意作出不等式组所表示的平面区域（如下图）直线的斜率都为，而直线的斜率都为1，所以该区域为正方形区域，其中该正方形的边长为，所以该平面区域的面积为.【考点】1.二元一次不等式表示的平面区域问题；2.两直线垂直的判定.7.设变量满足则目标函数的最小值为( )A．2B．4C．6D．以上均不对【解析】因为变量满足，符合的x,y的可行域如图所示的阴影部分，目标函数. 其中的最小值即为直线CD在y轴的截距最小.所以通过移动直线CD可知过点B是符合题意.又因为B（1,0）.所以.故选A.【考点】1.线性规划问题.2.作图的能力.3.对比归纳的思想.4.复杂问题简单化的转化过程.8.已知实数满足,且目标函数的最大值为6,最小值为1, 其中的值为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】本题为线性规划含有带参数直线问题.需要对含参直线的斜率以及b进行讨论.另外借助选项,观察4个选项都是正数，所以.这样可以减少讨论情况 .利用现行约束条件作出可行域.当讨论（ⅰ）：若无论我们都可以作图，若则表示虚线下方无最大值不合题意.所以建立方程组和分别代入目标函数可以得出.（ⅱ）：同理当时，结合图像仍然会得如上的方程组.所以.所以答案为D.【考点】线性规划、分类讨论思.9.下列坐标对应的点中，落在不等式表示的平面区域内的是A．（0，0）B．（2，4）C．（-1，4）D．（1，8）【答案】A【解析】把选项中的点的坐标代入不等式检验，得点（0,0）符合题意，故选A【考点】本题考查了二元一次不等式表示平面区域点评：只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，以Ax0+By0+C的正负情况便可判断Ax+by+C>0 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0 时，常把原点作为此特殊点．10.已知实数x,y满足,若取得最大值时的最优解有无数个,则a的值为（）A．0B．2C．-1D．【解析】先画出可行域，该可行域是一个三角形，因为取得最大值时的最优解有无数个，根据图象可知应该与边界平行，所以【考点】本小题主要考查简单线性规划.点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．11.(本题满分12分)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:432【答案】【解析】设每周生产空调台、彩电台、则生产冰箱台,产值(千元). (2分)目标函数为(6分)所以题目中包含的限制条件为即: 可行域如图.(10分)解方程组得点的坐标为所以(千元) (12分)【考点】线性规划的最优解运用点评：解决该试题的关键是能根据题意抽象出不等式，同时结合二元一次不等式组表示的区域，平移法得到最值，属于基础题。

1.272线性规划问题的几何意义

现取 X(1)=［(x1-μα1),(x2-μα2),…,(xm-μαm),0,…，0］ X(2)=［(x1+μα1),(x2+μα2),…,(xm+μαm),0,…，0］由X(1),X(2)可以得到X=（1/2）X(1) +（1/2）X(2)，即X是X(1)，X (2)连线的中点
(2) 若X不是可行域D的顶点，则它一定不是基可行解
这就得到 X=μ1X(1)+μ2X(2)+μ3X(3) ∑iμi=1,0＜μi＜1
定理 3 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。
证：设X(1),X(2)，…，X(k)是可行域的顶点，若X(0)不是顶点，且目标函数在X(0)处达到最优z*=CX(0)(标准型是z=max z)。因X(0)不是顶点，所以它可以用D的顶点线性表示为
x1
x2
X(1)
X(2)
X(3)
X
X′
X = λX′ +(1-λ)X(2) (0< λ <1)
X′= X(1) +(1- )X(3) (0< <1)
解：任选一顶点X(2)，做一条连线XX(2)；并延长交于X(1)、X(3)连接线上一点X′。因X′是X(1) 、X(3)连线上一点，故可用X(1)、X(3)线性组合表示为
这样得到 (x1-μα1)P1+(x2-μα2)P2+…+(xm-μαm)Pm=b (x1+μα1)P1+(x2+μα2)P2+…+(xm+μαm)Pm=b
另一方面，当μ充分小时，可保证
xi±μαi≥0，i=1,2,…,m即X(1)，X(2)是可行解。这证明了X 不是可行域 D 的顶点。

线性规划的基本概念与解法

实例：例如，某企业有三种产品，每种产品需要不同的原材料和设备，生产每种产品都有一定的利润和成本，如何安排生产计划使得总利润最大？可以通过线性规划来解决。
优势：线性规划可以帮助企业快速找到最优的生产计划方案，提高生产效率，降低成本，增加利润。
运输问题
添加项标题
定义：在多个供应点和需求点之间，如何分配有限的资源以达到最大效益或满足某些特定条件的问题。
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线性规划的发展趋势与展望
线性规划算法的改进与优化
算法优化：提高求解速度和精度，减少计算量混合整数规划：将整数条件引入线性规划，解决更复杂的问题启发式算法：采用启发式策略加速求解，适用于大规模问题并行计算：利用多核处理器并行计算，提高求解效率
大数据背景下线性规划的应用拓展
线性规划在大数据时代的应用场景线性规划在数据挖掘和机器学习中的应用大数据对线性规划算法的挑战和机遇线性规划在大数据分析中的未来展望
线性规划的数学模型
目标函数：要求最大或最小化的线性函数
约束条件：决策变量的限制条件，一般为线性不等式或等式
定义域：决策变量的取值范围
线性规划问题：在满足约束条件下，求目标函数的最大或最小值
线性规划的几何意义
线性规划问题可以转化为在可行域内寻找一组最优解线性规划的目标函数可以表示为可行域上的一组直线最优解通常位于可行域的顶点或边界上线性规划问题可以转化为求解一系列线性方程组
人工智能与线性规划的结合展望
人工智能技术在优化问题中的应用
线性规划问题在人工智能领域的实际应用
人工智能算法与线性规划算法的结合方式
未来人工智能与线性规划结合的发展趋势和展望
感谢观看
汇报人：XX
初始解的调整：如果初始基本可行解不满足最优性条件，需要进行调整以获得更好的解。