利用对数平均数解导数压轴题例谈

利用对数平均数破解导数压轴题例谈

广东佛山顺德莘村中学陈万寿2018.10.11

定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln b a b a b a ab +<--<，其中ln ln a b a b

--被称为对数平均数.（为了叙述方便，这个不等式链后面我简称对均不等式）这个不等式链巧妙地将基本不等式的算术平均数、几何平均数结合在一起，给解决高考导数压轴题提供很大的便利。据我不完全统计，高考可以利用对均不等式这个工具解决导数的压轴题有2010年湖北高考题、2010年天津高考理科导数解答题、2011年辽宁高考导数解答题、2012年天津高考导数解答题、2013年新课标卷I 卷、2014年陕西高考导数解答题等等。可见这个不等式确实非常好用。值得注意的是对数平均数必须先证再用。故而读者需熟系对均不等式的证法原理方能熟练应用。

对均不等式证明如下：

不妨设0a b >>

ln ln a b a b

-<-，即证a b b a b a -

(1)t t =>，设1()2ln (1)f t t t t t =-+>，则0)1(112)(22

2<+-=--='t

t t t t f ，所以()f t 在),1(+∞递减，而(1)0f =，因此当1t >时，1

()2ln 0f t t t t =-+<恒成立，即a

b b a b a -，2(1)g()ln (1)1

t t t t t -=->+，则0)1()1()1(41)(2

2

2>+-=+-='t t t t t t g ，所以g()t 在),1(+∞递增，而g(1)0=，因此当1t >时，2(1)ln 01t t t -->+恒成立，即ln ln 2

a b a b a b -+<-成立．该不等式本身的证明乃通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得，当然也可以通过导数的几何意义等来证明（曲边梯形的不定积分，限于篇幅在此讨论）．在处理某些与指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析．

简单拓展：设,0b a <<则.2

112

22b a b a a b ab b a a +<+<--<<+<例1（2010年天津高考理科21题）已知函数()()x f x xe x R -=∈．

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数y=g()x 的图象与函数y=()f x 的图象关于直线1x =对称，证明：当1x >时，()()f x g x >；

（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>．

分析：（Ⅰ）、（Ⅱ）略．（Ⅲ）由前知，1x =是函数()f x 的极值点，不妨设2110x x <<<，则根据12()()f x f x =，有11x x e

-=22x x e -，将11x x e

-=22x x e -两边取自然对数得，1122ln ln x x x x -=-，故12121ln ln x x x x -=-，由对数平均数不等式知，1212121ln ln 2

x x x x x x -+=<-，即122x x +>．

例题2：（2019届河北衡水中学高三第一次联考导数解答题）

若函数b ax x x f ++=ln )(，R

b a ∈,（1）试探究函数)(x f 的单调性.

（2）若21,,0x x a =是两个不相等的正数，证明：

2121212)()(x x x x x f x f +->-.解析：（1）略

（2）当.ln )(0b x x f a +==时，不妨设,

021>>x x 要证：2

121212)()(x x x x x f x f +->-只需证：,11ln 212

12121+->x x x x x x 可令:21x x x =故而只需证,1,1

)1(2ln >+->

x x x x ,1,0214ln >>-++x x x 即证：再令：1,24ln )(>-++=x x x h

,0)1(41)(2

22>+⋅-=+-='x x h 故）在区间+∞,1()(x h 内为增函数，,

0)1()(=>h x h ,1,0214ln >>-++

x x x 即∴2

121212)()(x x x x x f x f +->-实际上将（2）的结论等价变形这个题就是前面所述的对均不等式∴不等式2)()()()(212121212121212121x x x x x f x f x x x f x f +<--⇔+>--⇔+->-巩固练习：已知函数()x

f x e ax a =-+．（1）当2a =时，求过点(0,2)P 的曲线)(x f y =的切线方程；

（2）当()f x 存在两个不同零点)(,2121x x x x <时，求证：2121x x x x +<．

方法一：即要证11121>+x x ，令)2

1,0(1),1,21(12211∈=∈=x t x t ，由于⎩⎨⎧-=-=)

1()1(2121x a e x a e x x ，所以⎩⎨⎧-+=-+=)1ln(ln )1ln(ln 2211x a x x a x ，21,t t 为方程0ln 1)11ln()(=+--=a t t t h 的两根．由于)

1(121111)(22--=+---='t t t t t t t h ，所以)(t h 在)21,0(递增，在）（1,21递减．设)1()()(t h t h t --=ϕ，则)1()()(t h t h t -'+'='ϕ，)(t ϕ在21

,0(递增，从而，当)1,0(∈t 时0)1()(=<ϕϕt ，即)1()(t h t h -<，

所以)1()()(221t h t h t h -<=，因此211t t ->，即原不等式成立．方法二：即要证1)1)(1(21<--x x ，由于⎩⎨⎧-=-=)

1()1(2121x a e x a e x x ，因而121121221(1)(1)ln(1)ln(1)1

x x x e x x x x x --=⇔---=----，令),1(1),1,0(12211+∞∈-=∈-=x t x t ，则1122lnt lnt t t -=-，