线性代数习题二解答

习 题 二 解 答1. 两个零和对策问题.两个儿童玩石头--剪刀--布的游戏，每人的出法只能在{石头--剪刀--布}选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势”，也就得出了各自的输赢.若规定胜者得1分，负者得-1分，平手各得零分，则对于各种可能的局势（每一局势得分之和为零即零和），试用赢得矩阵来表示的A 得分.解011101110B A→-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭↓策略石头剪刀布石头策剪刀略布删了2. 有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于3；选手2胜选手4，5，6负于1，3；选手3胜选手1，2，4负于5，6；选手4胜选手5，6负于1，2，3；选手5胜选手3，6负于1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.解 123456110111200111311100400011500101600100⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.2. 某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B .且357220430123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132021570648B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.解 357213202043215701230648A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭48924191007611⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3. 设111123111124111051A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，求32AB A -与TA B .解 1111231113331111242111111051111AB A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=----- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21322217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭058123056124290051TT A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭002123058559124056860051290⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4. 某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：234123241A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭甲乙丙方法一方法二方法三 若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利最多.解 1072844759A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方法一获利最多.5. 设12101312A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，问 （1）AB BA =吗？（2）()2222A B A AB B +=++吗？ （3）()()22A B A B A B +-=-吗？解 （１）AB BA ≠， 因为34124638AB BA ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以AB BA ≠． （２）()2222A B A AB B +≠++因为 2225A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2222281425251429A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭但 2238681010162411812341527A AB B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2222A B A AB B +≠++（３）()()22A B A B A B +-≠- 因为 22022501A B A B ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ()()220206250109A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 223810284113417A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()22A B A B A B +-≠-6. 举反例说明下列命题是错误的： （1） 若2A O =，则A O =； （2）若2A A =，则A O =或A E =； （3）若AX AY =，且A O ≠，则X Y =. 解 （1）取1111A O ⎛⎫=≠⎪--⎝⎭，而2A O =，（2）取1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，有A O A E ≠≠，，而2A A =， （3）取101010000001A X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，有X Y ≠，而AX AY =.7. 设101A λ⎛⎫=⎪⎝⎭，求23k A A A L ，，，. 解 21010101121A AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；由此推出 ()10231kA k k λ⎛⎫== ⎪⎝⎭L ，， 下面利用数学归纳法证明这个结论．当12k k ==，时，结论显然成立． 假设1k -时结论成立，即有 ()11011k Ak λ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭则对于k 时，有 ()11010101111k k A AA k k λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故结论成立． 8.增加设100100A λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求k A .解 首先观察2101001010000A λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭222210200λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3232323330300A A A λλλλλλ⎛⎫ ⎪=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭由此推测 121(1)200kk k kkk kk k k A k λλλλλλ----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)k ≥用数学归纳法证明:当2k =时,显然成立.假设k 时成立，则1k +时，1211(1)102010000k k k k k kk k k k k A A A k λλλλλλλλλ--+--⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭111111(1)(1)20(1)00k k k k k k k k k k λλλλλλ+--+-++⎛⎫+ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由数学归纳法原理知: 121(1)200k k k kkk kk k k A k λλλλλλ----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8. 设A B 、都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =. 证明 由已知：T A A = TB B =充分性：由AB BA =，得TTAB B A =，所以()TAB AB =即 AB 是对称矩阵. 必要性：由()TAB AB =得，T T B A AB =所以BA AB =.删了9. 设A B 、为n 矩阵，且A 为对称矩阵，证明T B AB 也是对称矩阵. 证明 已知：TA A =则 ()()TTTT T T T T B ABB B AA B A B B AB ===从而 T B AB 也是对称矩阵.11. 求下列矩阵的逆阵（（1）、（3）用公式法和初等行变换法求解）：()()12cos sin 125sin cos θθθθ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2，()121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3 ()()12120n n a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭L O4，改()1234012300120001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭4解 (1) 公式法：1225A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1A =112112225,2(1),2(1),1A A A A ==⨯-=⨯-=112112225221AA A A A *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11A A A -*= 故 15221A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭初等行变换法：()12102501AE ⎛⎫=⎪⎝⎭21212100121r r -⎛⎫−−−→ ⎪-⎝⎭12210520121r r --⎛⎫−−−→ ⎪-⎝⎭所以 15221A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭．(2) 10A =≠ 故1A -存在11211222cos sin sin cos A A A A θθθθ===-=从而 1cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭(3) 公式法;2A =, 故1A -存在 112131420A A A =-== 而 1222321361A A A =-==- 13233332142A A A =-==-故 11A A A -*=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭初等行变换法：()121100342010541001AE -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 2131351211000213100146501r r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭3271211000213100011671r r --⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭2313120157102013610011671r r r r +---⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭3210021002013610011671r r +-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭2122101001310103220011671r --⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-- ⎪- ⎪-⎝⎭所以 12101313221671A --⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．（４）由对角矩阵的性质知 12110101n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O改()1212341000103412000123010001230100 2 00120010001200100001000100010001r r ⎛⎫⎛-⎫⎪⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u u uu r 413142324343225210021230100012320105012001000125 0012001000100012000100010001001r r r r r r r r rr -+-+-⎛---⎫⎛--⎫ ⎪⎪--- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11232012500120001A ---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭10. 解下列矩阵方程： （1） 25465321X -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2） 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭；（3）010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解 (1) 125461321X --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 1211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭10111312324323330⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭22182533-⎛⎫ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭ (3) 11143120120111X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭243110111011212-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭66101301212⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11104⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭删了13. 利用逆阵解下列线性方程组：123123123231,(1)2252,353;x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1231231232,(2)231,3250.x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩解 (1) 方程组可表示为 123123122523513x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 1123123112252035130x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而有 123100x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩(2) 方程组可表示为 123111221313250x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 1123111252131032503x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故有 123503x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩删了14. 把矩阵102120313043-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭化为行最简形矩阵解 102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭213123r r r r --−−−→102100130020-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2312r r --−−−→102100130010-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32r r -−−−→102100130003-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭313r −−→102100130001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭233r r +−−−→102100100001-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭12132r r r r -+−−−→100000100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭15. 设方阵A 满足22A A E O --=，证明A 与2A E +均可逆，并求其逆矩阵证明 由22A A E O --=得22A A E -=两端同时取行列式: 22A A -= 即 2A A E -=,故 0A ≠ 所以A 可逆,而22A E A +=2220A E A A +==≠ 故2A E +也可逆.由22A A E O --=得()2A A E E -=所以 11()2A A A E A E ---=，则11()2A A E -=- 又由22A A E O --=(2)3(2)4A E A A E E +-+=-(2)(3)4A E A E E +-=-所以 11(2)(2)(3)4(2)A E A E A E A E --++-=-+则 11(2)(3)4A E E A -+=- .改11.设方阵A 满足225A A E O +-=，证明3A E +可逆，并求其逆矩阵. 由225A A E O +-=得()()32A E A E E +-=，即()()132A E A E E +-=， 所以，()()1132A E A E -+=-. 12.已知对给定方阵A ，存在正整数k ，成立kA O =，试证E A -可逆，并指出()1E A --的表达式. 证明()()1k k E A E A E A A --=-+++L ，而kA O =，所以()()1k E A E A A E --+++=L ，则()1E A --=1k E A A -+++L 13.设A 为3阶方阵，12A =，求()125A A -*-. 解 因为11AA A-*=，所以1A A A *-=，代入，得 ()111111112555222A A A A A A A -*-----=-=-⋅12A -=-， 又11,AA E -==12A =，故12A -=. ()125A A -*-()311288216A A --=-=-=-⨯=-14. 设方阵A 可逆，证明其伴随矩阵A *也可逆，且()()11A A -**-=.证明 由11AA A-*=，得1A A A *-=， 所以 当A 可逆时，有110nn A AA A-*-==≠，从而A *也可逆.因为1A A A *-=，所以()11A AA --*=，又()()1111A A A A A **---==，所以 ()()()11111A AA AA A A -**--*--===另外：1 辅导书中n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *的性质证明. (1) AA A A A E **==P41.定理， (2) 当A 可逆时，1A A A *-= (证：由AA A E *=左乘A 逆得出)；(3) 当A 可逆时，()()111AA A A-**-==(证：由1A A A *-=左乘A 得,AA A E *=由定理推论，得()11AA A-*=， 又()1111AA A E A E *----==左乘A ，得()11A A A*-=)； (4) ()()TT AA **=(证：由,AA A E *=得()(),TTAA A E *=即()TT A A A E *=，同样()TT T AA A E A E *==，所以()()TT A A **=)(5) ()()1=1n A A *-*--(证：()()()()()()1==1,=1.nn A A A A A E A E A A A E ***------=--- 又,AA A E *=故()()1=1,n A A AA *-*--当A 可逆时，()()1=1n A A *-*--).(6) ()=AB B A ***(证：由()()=AB AB AB E A B E *=和()()()AB B A A BB A A B EA B AA B A E ******====，得()=AB B A ***)；(7) ()2n AAA *-*=(证：AA A E *=， nAA A A A E A **===，当A 可逆时，10n A A -*=≠.同样()1n AA A E AE *-***==，左乘A ，得()1n AA A A AE AA *-***==，()1n A E A AA *-*=，故()2n A AA *-*=).(8) ,AA A E *=当A 可逆时，左乘1A -，11A AA A A -*-=，即1A A A *-=， 故111n n A A A A A A-*--===；(9).2..设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明：(1) 若0A =,则0A *=;(2) 1n A A-*=.证明(1) 用反证法证明．假设0A *≠则有1()A A E **-=，由此得11()()A AA A A E A O **-*-===A O *∴=，与0A *≠矛盾，故当0A =时，有0A *=.(2) 由于11AA A-*=, 则AA A E *=，取行列式得到: nA A A *=. 若0A ≠ 则1n A A-*=，若0A =由(1)知0A *=此时命题也成立. 故有1n A A-*=.15. 设131020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2AB E A B +=+，求B .解 由2AB E A B +=+得()2A E B A E -=-即()()()A E B A E A E -=-+因为 0011010100A E -==-≠，所以()A E -可逆，则201030102B A E ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭加了16.设三阶矩阵A B ，满足关系：16A BA A BA -=+，且100210041007A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 求B .加了17.设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AX A X =+，求X .删了19. 设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AB A B =+，求B .解 由2AB A B =+可得(2)A E B A -=故1(2)B A E A -=-1233033110110121123--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭033123110⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭删了21. 设1P AP -=Λ，其中14101102P ---⎛⎫⎛⎫=Λ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=，求11A .解 因为1P AP -=Λ，故1A P P -=Λ 所以 11111A P P -=Λ3P = 1411P *⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 1141113P -⎛⎫= ⎪--⎝⎭而 11111110100202--⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故 11111414103311021133A ⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭ 删了22. 设AP P =Λ，其中111110211115P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-Λ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，=， 求()()8256A A E A A ϕ=-+.解 因为AP P =Λ，所以1A P P -=Λ；又 6P =-， 122213036121P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，88115⎛⎫ ⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭= 所以 111112221102130361115121A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=Λ=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭115222110103036115121-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭ 6120120112181223260126021--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭881811112221102130361115121A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=Λ=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭888115222110253036115121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 8888888885522515122524522561522555⎛⎫+-⋅-+⎪=-⋅+⋅-⋅ ⎪ ⎪-+-⋅+⎝⎭所以()()()()828565A A E A A A E A E A ϕ=-+=--又因为 100120020010232222001021020E A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭10012042055010232222001021024E A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()8888888885522515122524522561522555A ϕ⎛⎫+-⋅-+ ⎪=-⋅+⋅-⋅ ⎪ ⎪-+-⋅+⎝⎭020222020⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭420222024⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1114111111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭加了18已知AP P =Λ，其中100100210000211001P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-Λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，=，求A 及5A19. 设A B 、和A B +均可逆，证明11A B --+也可逆，并求其逆矩阵. 解 因为()1111A BA E CA BB B A ----+=+=+，由()()1A B A B E -++=得()()()()111111A B A A B B A B A B B ------++=++=则()()1111AB A A B B B B E ----++==所以11A B --+可逆，其逆为()1A B A B -+. 解二 由()111111AA B B B A A B ------+=+=+，又A B 、和A B +均可逆，故()11A A B B --+可逆，所以，11A B --+也可逆.解三A B 、均可逆，11,A A E BBE --==，()()111111111111A B A E EB A BB A AB A B A B A A B B ------------+=+=+=+=+，所以，11A B --+也可逆，()()()()1111111A BA AB B B A B A -------+=+=+.20. 将矩阵2131425442622140A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭化为行阶梯形矩阵，并求矩阵A 的一个最高阶非零子式.解 213241221312131425400124262001221400011r r r r r r A -+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 32344221312131001200120000000100010000r r r r r r B -↔+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 的秩为3，其一个3阶非零子式为131012001--，对应于A 的3阶非零子式为131254262----. 故2131001200010000-⎛⎫⎪-⎪⎪⎪⎝⎭即为矩阵A 的行阶梯形矩阵，矩阵A 的一个最高阶非零子式为131254262----. ，21.用初等变换法求下列矩阵的逆：（1）111211120⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）321315323⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）3201022112320121--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭； （4）1357012300120001-⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.22. 求方阵A 的秩.1001310312011457A ⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎝⎭解 21314131001101310301001201020214570456r r r r r r A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪=−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3234422410011001010001000002005600560002r r r r r r -↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以 ()4R A =.23.设A 为n 阶矩阵，且2A A =,证明()()R A R A E n +-=. 增加 矩阵秩的性质1. (){}0min ,m n R A m n ⨯≤≤P57；2. ()()R A R kA =其中0k ≠；3. ()()T R A R A =，即 行秩=列秩P57； 4. 若,A B 等价，则()()R A R B =；P585. 若,P Q 是可逆矩阵，则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===；6. ()(){}()()()max ,R A R B R A B R A R B ≤≤，+；注： 证明()()()R A B R A R B ≤+，，特别地，当B b =为列向量时，有()()1R A b R A ≤+，证明 设12r αααL ，，，为A 的列向量极大线性无关组， 12t βββL ，，，为B 的列向量极大线性无关组，则()A B ，的列向量均可由()1212r t αααβββL L ，，，，，，，线性表出，而1212r t αααβββL L ，，，，，，，中线性无关的向量一定不超过r t +个，所以()()()R A B R A R B ≤+，.特别地，当B b =为列向量时，有()()1R A b R A ≤+，. 为A 的列均可由()A B ，线性表出，B 的列均可由()A B ，线性表出，所以()()()()R A R A B R B R A B ≤≤，，，，于是()()()()max R A R B R A B ≤，，.7. ()()()R A B R A R B +≤+；证明一 因为()A B B R A B R B B +⎛⎫+≤⎪⎝⎭，对于方阵A B B BB +⎛⎫⎪⎝⎭作初等变换，有 1212r Er c Ec A B B A O A O B B B B O B --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即E E A B B E O A O O E BB E E O B -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A B B A O R R B B O B +⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而()()()A O R A B R R A R B O B ⎛⎫+≤=+ ⎪⎝⎭.证明二 ()()()E R A B R AE BE R A B E ⎡⎤⎛⎫+=+=⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦， ()()()()min R A B n R A B R A R B ≤≤≤+⎡⎤⎣⎦，，，.证明三 因为A B +的列均可由()A B ，的列线性表出，所以 ()()()()R A B R A B R A R B +≤≤+，. 8.()()(){}min R AB R A R B ≤，；.证明 设()()m l l n A B R A r R B s ⨯⨯==，，，.因为()R A r =，所以存在可逆矩阵 P Q 、，使得E O PAQ O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是()()()1E O R AB R PAB R PAQQ B R C O O -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，其中 ()1ij C Q B c -==所以 ()1111 00 00n r rn b b E O b b R AB R C R O O ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M M L L M M L（※） 显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非0行数（=r ），也不超过C 的秩（=s ），所以()()(){}min R AB R A R B ≤，.9.若m n n l A B O ⨯⨯=，则()()R A R B n ≤+；证明P146.24.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求84A A ，. 解 34432022O A O ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则12A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭故8182A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭8182A O OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭8888816121210A A A A A ===444414426450052022O A OA OA O ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭5.设0A ≠，证明()()R AB R B =.证明 因为0A ≠，故A 可逆，则存在有限个初等矩阵12l P P P L ，，，，使12l A PP P =L ，于是 12lAB PP PB =L 由于初等矩阵左乘某一矩阵相当于对该矩阵进行了一次初等行变换，这个矩阵的秩不改变，从而()()()()()()12122l l l l R AB R PP PB R P P PB R P PBR PB R B ======⎡⎤⎣⎦L L L L 即 ()()R AB R B =.2.设A 为n 阶方阵（2n ≥），A *为其伴随矩阵，证明()()()()1101n R A n R A R A n R A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，当时，，当时，，当时.证明 当()R A n =时，A 为满秩矩阵，故0A ≠.由AA A E *=，得n AA A A A E A **===，于是有10n A A-*=≠，则()R A n *=.当()1R A n =-时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个1n -阶子式不为0，从而A *至少有一个元素不为0，所以()1R A*≥，另一方面，因()1R A n =-，故0A =，所以AAA E O *==根据秩的性质，有若A B ，为n 阶矩阵，且AB O =，则()()R A R B n +≤，有()()R A R A n *+≤，从而()()11R A n n *≤--=，故 ()1R A *=；当()1R A n <-时，由矩阵秩的定义知，A 的所有1n -阶子式全为0，从而A O *=，故()0R A *=.27.设n 阶方阵A 和s 阶方阵B 均可逆，求1A O CB -⎛⎫⎪⎝⎭，利用这个结果求矩阵11000120021301214-⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解 n n s ns s A O E O C B OE ⨯⎛⎫⎪⎝⎭ 111n nA r n s ns s E O A O C B OE --⨯⎛⎫−−−→⎪⎝⎭()2111r Cr nns n ns E OA O OB C A E ---⨯⎛⎫−−−−−→ ⎪-⎝⎭左乘 ()121111s s B r nns n nsA O E OBC A B O E -----⨯⎛⎫−−−−→⎪ ⎪-⎝⎭左乘 11111ss n s n n A O A O B C A B C B -----⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭利用这个结果取103021121412A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则由11111ss n s n nA O A OBC A B C B -----⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得 112040111113212A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，114021201241111312113512224B CA ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 则 1124080111212262424A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故 11000240001200121200121301248024*******6-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭改25.设矩阵A 和B 均可逆，求分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵，并利用所得结果求矩阵0052002183005200⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭的逆矩阵.*26. 证明 AB A B =（A B 、为n 阶方阵）.证明 设()()ij ij A a B b ==，. 记2n 阶行列式为11111111011n n nnn n nna a a a A O D A Bb b EBb b ===---L M M L L M M L而在D 中以1j b 乘第1列，2j b 乘第2列，…，nj b 乘第n 列，都加到第n j +列上()12j n =L ，，，，有A CD E O=-，其中()()1122ij iji j i j in nj nC c ca b a b a b ==+++L ，，故C AB =，再对D 的行作()12i n j r r j n +↔=L ，，，，有()1nE O D AC-=-从而由第一章的例题结果有()()()111n n nD E C D C AB =--==--=于是 AB A B =。