数学建模课件03-1第三章 第1-8节 微分方程模型

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§4 追踪问题的数学模型
问题：我辑私舰雷达发现距d海里处有一艘走私船 正以匀速 a 沿直线行驶，辑私舰立即以最大的速 度 v （匀速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰 的瞬时速度方向始终指向走私船，试求辑私舰的运 动轨迹及追上的时间。
(留作自学 )
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§5 万有引力定律的发现
历史背景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太 阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上。 ２、每颗行星运行过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过的面积是常数。
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这表明只要适当控制a（进食）、b（新陈代 谢）、 （工作、生活）、 （体育锻炼），要使 体重等于多少是“可能”的. 正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、 工作和锻炼的习惯，即要适当控制a、α＋β。对于少 数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢 的改变也是必要的。
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思考题：
某人每天由饮食获取10500焦耳的热量，其中 5040焦耳用于新陈代谢。此外每千克体重需支付 67.2焦耳热量作为运动消耗。其余热量则转化为脂 肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问 此人的体重如何随时间变化？
所以铅球的运动轨迹为
y g 2 v cos
2 2
x x tan h
2
( 2 1)
令y=0 ，铅球落地的距离为
x v
2
cos sin (
v g
2 2
sin
2

2h g
1
) 2 v cos
(2 2)
g
它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手 速度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球 投掷模型。 9
2
2F m
g sin ) t 0 v
2F m
分析出手速度模型(2-4)，不难看出v随着F和 t 0 的增加而增大，显然v随着 v 0 的增加而增大。这与 0 我们的常识也是一致的。由于 ，由(2-4)式 2 还可以看出v将随着 的增加而减少。因此，当 推力F和作用时间 t 0 不变时，运动员要提高铅球 的出手角度 ，就必须以降低出手速度为代价， 所以对于铅球投掷来说，模型1所给出的“最佳出 手角度”不一定是最佳的。
应用分离变量法，解方程(3-1)得
1

ln ( a b ) ( ) w
t 42000
C
(3 2 )
利用初始条件得
C 1


ln ( a b ) ( ) w 0
( ) t 42000
从而得
w ab a b ( ) w 0
m y ( t ) F sin mg ( 2 3)
式中m为铅球的质量，F是对铅球的推力， 为力的 方向既铅球的出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球， t 0 t 时铅球出手，在区间 ( 0 , t 0 )上积分（2-3）可得
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x ( t 0 )
y ( t 0 )
于是每天净吸收量＝ 每天净输出量＝
ab 42000
输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量。

42000
w
所以在t到t＋ t 时间内体重的变化：
w (t t ) w (t ) ab 42000 t

42000
w (t ) t
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体重变化的数学模型：
( a b ) ( ) w dw 42000 dt w (0) w 0 ( 3 1)
模型1——抛射模型
在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内 用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度 和投掷角度对铅球的影响。 假设： 1、铅球被看成一个质点。
2、铅球运动过程中的空气阻力不计。
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3、投掷角和初速度是相互独立的。
4、设铅球的质量为m， 建立坐标系如图
M ( x, y)
在t时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学 定律知，铅球运动的两个微分方程是：

t 50
所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为
y2 100 t 12500 100 t 50 ( )e
（磅盐／加仑）
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§2 铅球掷远的数学模型
问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h，出 手角度为 （与地面的夹角），建立投掷距离与 V、h、 的关系式，并在V、h一定的条件下求最 佳出手角度和最远距离。
故 y 1 50 e 50 第二只桶在t到t＋ t 内盐的改变量
y 2 ( t t ) y 2 ( t ) 流入 流出

t

y1 ( t ) 100
2t
y 2 (t ) 100 ( 2 1 ) t
源自文库
1 t
5
1 y2 (t ) dy 2 y1 ( t ) dt 50 100 t y ( 0 ) 50 2
，即净吸收大于总消耗，
dw dt
>0，
２、若a－b<( ) w 0 ，即净吸收小于总消耗， <0， dt 则体重减少。 dw ３、若a－b＝ ( ) w 0 ，即净吸收等于总消耗， =0 ， dt 则体重不变。 ４、当t→＋∞时，由(3-3)式知
W (t ) ab
dw

设物体的质量为m，物体在t时刻相对于静止 位置的位移为x，即x＝x(t), 由阿基米德原理知，引起振动的浮力为： x×3×3×1000g＝9000gx (N)
2
由牛顿第二定律得
m d x dt
2 2
9000 gx
(1 4 )
其中g＝9.8m／ 2 。 s 方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型。 易得方程(1-4)的通解为
o
x 11 . 4 米
*
10
模型2——铅球投掷模型
下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。
关于铅球的投掷过程我们假设：
1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生 一个水平的初速度 v 0 。
2、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到 铅球出手有一段时间 t 。 0 3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球 上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手 角度 相同。 用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组 建铅球的投掷模型。
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进一步分析铅球投掷模型2，我们还可以得到铅球 投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型1所给出 的最佳角度。对模型2还可以给出类似于模型1的全 部分析，这些我们留给读者去完成。
思考题：1、建立跳高的数学模型。
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§3 减肥的数学模型
问题：如何建立减肥的数学模型？
问题分析： “肥者”从某种意义下说就是脂肪过多以至 超过标准，数学建模就要由此入手。 模型假设：
由（2-1），关系式（2-2）可表示为
x g 2 v cos ( h x tan )
2 2 2
由
dx d
0，得最佳出手角度为

*
arcsin
v 2 ( v gh )
2
投掷的最远距离
x
*
v g
v 2 gh
2
设h=1.5米，v=10米/秒 ，则

*
41 . 4
(2 4)
式中 t 0 是推铅球时力的作用时间。 将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。
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x
v
v
2
cos sin (
F m
2 2
v g
2 2
sin
2
2 0
2h g

1
) 2 v cos
t 0 v 0 cos
(2 2)
(2 4)
g
( g
(1)设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其 中b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、 生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量，从事体 育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量。 (2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有 效，而1千克脂肪含热量是42000焦耳。 17
(3)设体重W是时间t的连续可微函数，即W＝W(t)。 数学建模： 每天：体重的变化＝输入－输出 输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。
由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度
v x ( t 0 ) y ( t 0 )
2 2

(
F m
t 0 cos v 0 ) (
2
F m
t 0 sin gt 0 )
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2

(
F m
2 2
g
2
2F m
g sin ) t 0 v
2 0

2F m
t 0 v 0 cos
F m
F m
t 0 cos C 1
t 0 sin gt 0 C 2
其中 C 1 , C 2 分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。
由假设1，有
C1 v0 ,C 2 0
x ( t 0 )
y ( t 0 )
于是我们得到
F m
F m
t 0 cos v 0
t 0 sin gt 0
y2 y2 (t )
分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量， 单位为磅，
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第一只桶在t到t＋ t 内盐的改变量为
y1 ( t t ) y1 ( t ) 0 2 t y1 ( t ) 100 2t
y1 ( t ) dy 1 dt 50 y ( 0 ) 50 1
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(1)轨道方程为
r p 1 e cos ( 5 1)
2
其中
p
b
2
a
b a (1 e )
2 2
a、b为椭圆的长、短半轴，e为离心率。 (2)单位时间内向径 r 扫过的面积是常数，即
３、各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨 道长半轴的3次方成正比。
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模型假设
开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力 定律的基础，所以需要将它们表述为这个模型的假 设条件。
对于任意一颗行星的椭圆运动轨道建立极坐标 系(r,θ)，以太阳为坐标原点r＝0，以椭圆长半轴 方向为θ＝0，用向量 r 表示行星位置，如图
x c 1 cos 9000 g m t c 2 sin 9000 g m t
于是周期为 T
2 9000 g m
2
解得
m
9000 g

2
8937
( kg )
3
二、液体的浓度稀释问题
问题：有两只桶内各装100加仑的盐水，其浓度为 0.5磅盐／加仑。现用管子将净水以2加仑／分钟的速 度输送到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管 子以2加仑／分钟的速度被输送到第二只桶内，再将 混合液搅拌均匀，然后用管子以1加仑／分钟的速度 输出，问在t时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？ 解：设 y 1 y 1 ( t )、
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模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况， 因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过 程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。 若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和 铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
m x ( t ) F cos



e
(3 3)
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对(3-3)式求导得
dw dt ( a b ) ( ) w 0 42000
( ) t 42000
e
(3 4 )
由(3-1)、(3-3)及(3-4)可以对减（增）肥分析如下： １、若a－b>( 则体重增加。
)w 0
将 y 1 50 e

t 50
代入得：
解一阶线性微分方程得
t dy 2 y2 (t ) 50 e 100 t dt y ( 0 ) 50 2
y 2 y 2 ( t ) 12500 50 (150 t ) e
150 t 100 t
t 50
x m 0 y m mg x (0) 0 y (0) h x ( 0 ) v cos y ( 0 ) v sin
8
解之得
x vt cos 1 2 y gt vt sin h 2
第三章 微分方程模型
§1 微分方程的简单应用
一、物体在液面上的浮沉振动问题
问题：一个边长为3米的立方体浮于水面上， 已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉 浮振动的规律和质量。 问题的分析：设水的密度为1000kg／ 3 ，当 m 物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿 基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中 的那部分同体积的水的重量。