线性代数下01多项式概念与带余除法

Example 8.2 (P.5) f ( x) x 4 x 5x 2
3 2
find
Solution:
f ( 3)
1 + 1 4 3 7 5 21 16 2 48 46
3
f ( x ) ( x 2 7 x 16)( x 3) 46 f ( 3) 46
●
9
f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 q( x ) bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b1 x b0 f ( x ) q( x )( x ) r r f ( )
an bn 1 an 1 bn 2 bn 1 an 2 bn 3 bn 2 a1 b0 b1 a0 r b0 an bn 1 an 1 bn 1 bn 2 an 2 bn 2 bn 3 a1 b1 b0 a0 b0 r f ( )
整数环 整数总是可以比较大小 有些整数有整除关系 有素数和合数 整数有唯一素因数分解 整数有公因数和公倍数 整数有带余除法
多项式环F[x]
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问题：整数环与多项式环中能否做除法？如何改进？ 例如:猴子分桃问题
三、带余除法
定理1 设f(x), g(x)∈F [x], g(x)≠0, 则∃唯一的 q(x), r(x)∈F[x], s.t. f (x) = q(x)g(x) + r(x) 其中，deg r(x) < deg g(x). (规定：deg 0= ∞) 证明思路：存在性:分情况讨论+对次数归纳；唯一性 注记： f (x)称为被除式, g(x)称为除式, q(x)称为商式(quotient) r(x)称为余式(remainder) 当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除，记为g(x) | f(x).
推论3 设f(x)∈F[x], deg f(x)=n，则f(x)在F 的扩域K中至多 有n个互异零点. 证明思路：反证法最简单
这个条件很重要
推论4 设f(x)∈F[x], deg f(x)=n，若f(x)在F 的某个扩域 K中 有多于n个互异零点，则 f(x) ≡ 0. 推论5 设f(x), g(x)∈F[x], deg f(x)≤ n, deg g(x)≤ n，若f(αi)= g(αi), i=1,2,···, n+1，其中αi∈F，且αi≠αj, i≠j，则 f(x)=g(x). 注记：n+1个点及其函数值，可确定一个n次多项式
上述表达式，可简化为下表（综合除法）
an

an 1 a1 a0 bn 1 b1 b0 b0 r
bn 1 bn 2
其中
f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 q( x ) bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b1 x b0 f ( x ) q( x )( x ) r r f ( )
i 1 i i i n 1
bi F ( x ) = i 1 ( x ai ) F ( ai )
其中 F ( x ) : ( xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ai )
i 1 n 1
n 1
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作业:习题八 1,2,4,5,9, 11,13,15
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下节内容: 多项式的 最大公因式 与 互素
《线性代数2》
杨晶
第一讲
多项式概念 & 带余除法
2012年 2月20日
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本讲提要
多项式的概念 与 带余除法
一、代数基本系统简介：群、环、域 二、多项式的概念与运算 三、带余除法 四、拉格朗日(Lagrange)插值公式
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一、代数基本系统简介
群(Group)：一个集合G及其中的一个二元运算(记为*) 封闭性: a*b∈G 群的口诀： “凤姐咬你” 结合律: (a*b)*c= a*(b*c) 单位元(幺元): ∃!e, s.t. e*a=a*e=a (∀a∈G) 逆元: ∀a∈G, ∃ , s.t. b*a=a*b=e, 记 b=a-1. 交换群： “凤姐咬你脚” 交换群：二元运算还满足交换律的群. 群的例子: ( ,+), ( ,*), {偶整数,+}, (Mn( ),+). (Mn( ),*)? {奇整数,+}? 环(Ring): 一个集合R, 其中有两种运算，分别记为+和× +法构成交换群（凤姐咬你脚） ×法构成半群（封闭性&结合律：凤姐）例如: (Z,+,×) 域(Filed): 乘法也构成交换群的环（凤姐咬你双脚） 3 如：ℚ, , . ? Mn( )?
n i 0 n m
∑
,g
(n m)
∑
f ( x ) g ( x ) ( ai bi ) x i
f ( x) g( x)
运算后的次数:
(
k 0
i jk

ai b j ) x k .
何时取小于号？
deg( f g ) max{deg f , deg g } deg( fg ) deg f deg g
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Example 8.1 (P.4) 设 f x 1, g ( x ) x 2 x 2
3 2
求多项式 q r 使得 f qg r and deg r deg g
长除法：
x 2 q( x )
x3 x 2x 2x
3 2 2
建议用“厂”形竖图
x 2x 2
2
1 2x 2x 1
2 x2 4 x 4 6 x 5 r( x)
推论1 (余数定理) 设f(x) ∈F [x], α∈F，则∃!q(x) ∈F [x], s.t. f(x) = (x − α)q(x) + f(α). 证明思路：设f(x)=(x−α)q(x)+r, 将x=α代入得r= f(α). 推论 2 设 f(x)∈F[x], α∈F，则 f(α) = 0 ⇐⇒ x−α | f (x). 其中，α 称为根或零点. 特别地，对于f(x)除以(x−α) ，还有一个更简便的方法叫 综合除法 f(x) = (x − α)q(x) + r
规定 deg 0= ∞ 零多项式：f(x)=0, 即所有ai=0. 零次多项式：f(x)= a0, 即只有常数项, 则deg f(x)=0.
多项式相等：设 ∑ ,g ∑
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f(x) = g(x) ⇐⇒ n = m, 且ai = bi, i = 0, 1, • • • , n.
多项式的运算:设
F 上的一元多项式环：F上全体多项式对于加法和乘法构 成环，记为F[x]. （请自行验证） F上次数<n的全体多项式记为：（是否也构成环？）
t i Fn[ x ] ai x t n, ai F , i 1, 2, ..., t i 0
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与整数环 类似 乘法交换律，乘法消去律 总可拿 与F[x]做类比 f (x)g(x) = g(x)f (x) 若 f(x)≠0，则 f (x)g(x) = f (x)h(x) =⇒ g(x) = h(x).
二、多项式的概念与运算
定义1 (一元多项式) F −数域，x− 符号(未定元)，形式为：
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0
其中 ai∈F, i = 0,1,···,n, 且an≠0. 则 f(x) 称为数域 F上的关于 x的 一元多项式(polynomial). aixi称 i次项，ai称i次项系数， an称首项系数, a0称常数项. n 称为f(x)的次数(degree)，记作 deg f(x).
具体如何确定各项系数呢？
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四、拉格朗日(Lagrange)插值公式
问题：给定F中n+1个不同的数：a1, a2,···, an+1及任意 n+1个数 b1, b2,···, bn+1，求一个次数 ≤ n的多项式f(x)，s.t. f(ai)=bi, i=1,2,···, n+1. 分析：特殊情况入手, 即b1≠0, b2=···=bn+1=0, 用零点构造满足 条件的f1(x), 再求和. n 1 结论： bi ( x a1 ) ( x ai ) ( x an1 ) f ( x) ) i 1 ( a a ) ( a a ) ( a a