高三一轮复习三角函数的图像与性质

[2kπ＋π2，2kπ
＋32π] (k∈Z)
奇函数
单调增区间 [2kπ 单调增区间
－π，2kπ] (k∈Z)； 单调减区间 [2kπ，
2kπ＋π](k∈Z)
(kπ－π2，kπ ＋π2)(k∈Z)
偶函数
奇函数
与三角函数有关的定义域、值域问题
例1
（1）求函数 y sin x cos x 的定义域和值域.
三角函数的图像和性质
考纲下载 理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像；会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋ φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义． 了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单 三角函数的周期，了解三角函数的奇偶性、单调性、对 称性，并会运用这些性质解决问题
（2）求函数y=7-8cosx-2sin2x 的最大值为___, 最小值是_____.
（3）已知函数 f ( x) 5sin x cos x 5
在
[0,
2
]
上的最大值和最小值
.
3
cos2
x
5
3 2
.
求
f(x)
求定义域
(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)． (2)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的 三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴． 求值域 1．利用函数的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cosx≤1)，求三 角函数的值域(最值)． 2．利用函数的单调性求函数的值域或最值．(注意结合三 角函数图象或三角函数线)
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称 性
对称轴：x＝kπ＋π2 对称轴：x＝kπ(k∈Z)； 对称中心：
(k∈Z) ;对称中心： 对称中心：(kπ＋π2，
(kπ，0)(k∈Z)
0) (k∈Z)
k2π，0(k∈Z)
周期
2π
2π
π
单调性 奇偶性
单调增区间
[2kπ－π2，2kπ
＋π2](k∈Z) 单调减区间
探究提高
若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x)取得最大 或最小值． 若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时，f(x)＝0. 如果求 f(x)的对称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ (k∈Z)，求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ (k∈Z) 即可．
三角函数的对称性与奇偶性
例 3 (1)已知 f(x)＝sin x＋ 3cos x(x∈R)，函数 y＝f(x＋φ) |φ|≤π2的图象关于直线 x＝0 对称，则 φ 的值为________． (2)如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点43π，0中心对称， 那么|φ|的最小值为________．
探究提高
(2)对于 y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ 为常数)，其周期 T＝|ωπ|，单调 区间利用 ωx＋φ∈kπ－π2，kπ＋π2，解出 x 的取值范围，即为其单 调区间．对于复合函数 y＝f(v)，v＝φ(x)，其单调性判定方法是： 若 y＝f(v)和 v＝φ(x)同为增(减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若 y ＝f(v)和 v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为减函数． (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象， 结合图象判定．
1. “五点法”作图原理
在确定正弦函数y＝sinx在[0, 2π]上的图象形状时,
起关键作用的五个点是 ____(0_,_0_),
_(_π__, 0__)_,_(_3π2__,__1_) , __(_2π__,_0_)__．
____(π_2_,1_),
yyπo源自πx 2π 3 2
2
o
2
3 2
x
在确定余弦函数y＝cosx在[0,
三角函数的单调性与周期性
例 2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tan x|.
(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，减 区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.最小正周期：T＝π.
探究提高
(1)求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ) (其中 A≠0，ω>0) 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等 式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与 y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
起_(_π关_,__键1_)_作,_用(_3_π2的_,_0五_)_个, _点__是(_2π___,_1__)__(_0_．_,1_),
_2_π_]上_(π_2的_,_0图), 象形状时,
2．三角函数的图象和性质 y＝sin x
定义域
R
y＝cos x
R
y＝tan x {x|x≠kπ＋π2， k∈Z}