高三一轮复习三角函数的图像与性质

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起_(_π关_,__键1_)_作,_用(_3_π2的_,_0五_)_个, _点__是(_2π___,_1__)__(_0_._,1_),
_2_π_]上_(π_2的_,_0图), 象形状时,
2.三角函数的图象和性质 y=sin x
定义域
R
y=cos x
R
y=tan x {x|x≠kπ+π2, k∈Z}
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
对称 性
对称轴:x=kπ+π2 对称轴:x=kπ(k∈Z); 对称中心:
(k∈Z) ;对称中心: 对称中心:(kπ+π2,
(kπ,0)(k∈Z)
0) (k∈Z)
k2π,0(k∈Z)
周期


π
单调性 奇偶性
单调增区间
[2kπ-π2,2kπ
+π2](k∈Z) 单调减区间
(2)求函数y=7-8cosx-2sin2x 的最大值为___, 最小值是_____.
(3)已知函数 f ( x) 5sin x cos x 5

[0,
2
]
上的最大值和最小值
.
3
cos2
x
5
3 2
.

f(x)
求定义域
(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式). (2)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中的 三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴. 求值域 1.利用函数的有界性(-1≤sin x≤1,-1≤cosx≤1),求三 角函数的值域(最值). 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.(注意结合三 角函数图象或三角函数线)
三角函数的图像和性质
考纲下载 理解正弦函数,余弦函数、正切函数的图像;会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义. 了解周期函数与最小正周期的意义,会求一些简单 三角函数的周期,了解三角函数的奇偶性、单调性、对 称性,并会运用这些性质解决问题
1. “五点法”作图原理
在确定正弦函数y=sinx在[0, 2π]上的图象形状时,
起关键作用的五个点是 ____(0_,_0_),
_(_π__, 0__)_,_(_3π2__,__1_) , __(_2π__,_0_)__.
____(π_2_,1_),
y
y
π
o
π
x 2π 3 2
2
o
2
3 2
x
在确定余弦函数y=cosx在[0,
三角函数的单调性与周期性
例 2 写出下列函数的单Baidu Nhomakorabea区间及周期: (1)y=sin-2x+π3;(2)y=|tan x|.
(2)观察图象可知,y=|tan x|的增区间是kπ,kπ+π2,k∈Z,减 区间是kπ-π2,kπ,k∈Z.最小正周期:T=π.
探究提高
(1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) (其中 A≠0,ω>0) 的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答.列不等 式的原则是:①把“ωx+φ (ω>0)”视为一个“整体”;②A>0 (A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同(反).
[2kπ+π2,2kπ
+32π] (k∈Z)
奇函数
单调增区间 [2kπ 单调增区间
-π,2kπ] (k∈Z); 单调减区间 [2kπ,
2kπ+π](k∈Z)
(kπ-π2,kπ +π2)(k∈Z)
偶函数
奇函数
与三角函数有关的定义域、值域问题
例1
(1)求函数 y sin x cos x 的定义域和值域.
三角函数的对称性与奇偶性
例 3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ) |φ|≤π2的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点43π,0中心对称, 那么|φ|的最小值为________.
探究提高
若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大 或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ=π2+kπ (k∈Z),求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z) 即可.
探究提高
(2)对于 y=Atan(ωx+φ) (A、ω、φ 为常数),其周期 T=|ωπ|,单调 区间利用 ωx+φ∈kπ-π2,kπ+π2,解出 x 的取值范围,即为其单 调区间.对于复合函数 y=f(v),v=φ(x),其单调性判定方法是: 若 y=f(v)和 v=φ(x)同为增(减)函数时,y=f(φ(x))为增函数;若 y =f(v)和 v=φ(x)一增一减时,y=f(φ(x))为减函数. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象, 结合图象判定.
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