Dirac符号

Dirac符号
8
例如， 例如，在中心力场中能量的本征波函数为 unr lm ( r ) 可表示它为 nr lm
ˆ,L ˆ2 , L ˆ ) 的共同本征函数。 它是 ( H 的共同本征函数。 z
ˆ n r lm = E n l n r lm H r ˆ2 n lm = l ( l + 1) h 2 n lm L r r ˆ n lm = m h n lm L z r r
右矢和左矢的关系
1
展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 表象中的表示： ψ + = (a*1, a*2, ..., a*n, ... )
1
2
2
n
n

* 定义|ψ>和 <φ| 的标积为 标积为： < φ |ψ >= ∑ bn an (4.5-1)式 n (4.5-2)式 显然 <φ|ψ >* = <ψ |φ> * 符号表示的 由标积定义得: <ψ |ψ >= ∑anan = 1 用Dirac符号表示的 波函数归一化条件 波函数归一化条件 11 n Dirac符号
Dirac符号
4
§4-5-1 量子态、 量子态、Ket矢，Bra矢(Bracket)
量子力学中的状态， 量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢 量，量子体系的状态用态矢量代表。 代表。 态矢量有两种： 态矢量有两种：Ket矢，右矢， 右矢，刃矢， 刃矢，刃，|> Bra矢，左矢， 左矢，刁矢， 刁矢，刁，<| 右矢空间 一个状态通过一组力学量完全集的测量（ 一个状态通过一组力学量完全集的测量（ 完全测量） 完全测量 ）来 确定， 确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。 通常用所测得的力学量的量子数来确定。
Dirac符号
5
• 量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。 空间。空间 中的一个矢量(方向)一般为复量， 一般为复量，用以标记一个量子态; • 在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量 | >与量子 状态相对应， 状态相对应，该矢量称为右矢 该矢量称为右矢。 右矢。若要标志某个特殊的态 ，则在右矢内标上某种记号。 则在右矢内标上某种记号。 例 一维线性谐振子其状态由量子数n确定， 确定，记为Ψn(x)； 氢原子的状态由量子数 n,l,m 确定， 确定，记为Ψnlm(r,θ,ϕ)，如 此等等。 此等等。 |n > → Ψ n(x)； |n, l, m > → Ψ nlm 状态 |n > 和 Ψ n(x) 亦可分别记成 |Ψ n > 和 |Ψ nlm >。
n
基矢量集 { n , n = 1,2, L} 的正交归一性
m n = δ mn ∑ n n =I
n
∞
* ϕ ∑ n ( x′)ϕ n ( x) = δ ( x − x′)
−∞
n * ϕ ∫ m ( x)ϕ n ( x)dx =δ mn
n
连续谱： 连续谱：
ˆ λ =λλ F
λ ′ λ = δ (λ ′ − λ )
Dirac符号 9
右矢和左矢的关系 右矢和左矢二者的关系是 刃和刁二者的关系是： 刃和刁二者的关系是：
1 2 3 =(1 4 5 M
+
ψ = ψ
+
.
如：
2
3
4
5
L)
在一个具体表象中如何计算标积， 在一个具体表象中如何计算标积， 需要用到态矢在具体表象中的表示
1
§4-5 Dirac符号
“符号法看来更能深入事物的本质， 符号法看来更能深入事物的本质，它 可以使我们用简洁精炼的方式来表达 物理规律” 狄拉克
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 888 Dirac符号 罗马人计法： 罗马人计法： I eight hundred and eighty-eight II 捌佰捌拾捌 III 在经典力学中， 在经典力学中，物理规律与选 IV 八百八拾八 择什么样的坐标系无关； 择什么样的坐标系无关；同样 888 V 在量子力学中， 在量子力学中，运动规律与选 VI 择的表象无关。 择的表象无关。 VII Dirac引入一套不涉及具体表象 VIII
Dirac符号 14
§4-5-2 本征态的正交归一化条件
ˆ = {F ˆ1, F ˆ2 ,L} 的正交、 用力学量完全集 F 的正交、归一、 归一、完备的 ˆ 表象 本征态矢量集合作基底的表象， 本征态矢量集合作基底的表象，称为 F ˆϕn ( x) = λ ϕn ( x) ˆ n =λ n 分立谱： 分立谱： F F
Dirac符号 7
左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应 的左矢量， 的左矢量，记为 < |。 左矢<| 左矢<|表示共轭空间中与 <|表示共轭空间中与|> 表示共轭空间中与|>相应的一个抽象态矢 |>相应的一个抽象态矢。 相应的一个抽象态矢。 例如： 例如： ψ 是 ψ 的共轭态矢， 的共轭态矢， x′ 是 x′ 的共轭态矢等。 的共轭态矢等。 Dirac 符号 右矢空间和左矢空间称为伴 右矢空间和左矢空间称为伴 空间或 空间或对偶空间， 对偶空间， <ψ| 和 |ψ> 称为伴矢量 伴矢量。 称为伴矢量。 <p’|, <x’|, <Q <Qn| 组成左矢 空间的完备基组， 空间的完备基组， 任一左矢量可按其展开， 任一左矢量可按其展开， 即左矢空间的任一矢量可按 左矢空间的完备基矢展开。 左矢空间的完备基矢展开。
Dirac符号 3
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运 动规律。 动规律。这种抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的 ，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 符号。 所以Dirac建议用一抽象的符号 建议用一抽象的符号来描述体系所处的状态 抽象的符号来描述体系所处的状态 。它现在已广泛用于量子力学或文献中。 它现在已广泛用于量子力学或文献中。它的优点 它的优点在 优点在 于表述简明， 于表述简明，运算方便， 运算方便，而与具体表象无关。 而与具体表象无关。 不同的量子力学表象所表达的物理内容完全相同。 不同的量子力学表象所表达的物理内容完全相同 。 Dirac符号是一种与表象无关的符号体系。 符号是一种与表象无关的符号体系。
同理, 某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开： 的左基矢展开： <φ| = b*1 <Q1| + b*2 <Q2| +... + b*n <Qn| + ...
波函数
ψ = |> 表示右矢， 表示右矢， ψ+ = <| 表示左矢； 表示左矢； 若要表示某个特定的波函数， 若要表示某个特定的波函数，则应标上相应记号； 则应标上相应记号； 如： |ψ> 表示波函数 ψ ； |p> 表示动量为 p 的本征态； 的本征态； |n> 表示能量为En的本征态； 的本征态； |t> 表示时刻 t 的波函数； 的波函数；
的符号系统来表示波函数和力 学量，称为Dirac符号。 DCCCLXXXVIII 学量，
2
前三章给出的都是 x 表象中的形式。 表象中的形式。 本章中给出了任一力学量 Q表象中的形式， 表象中的形式，它们都是 取定了某一具体的力学量空间, 即某一具体的力学量 表象。 表象。 在几何或经典力学中， 在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指 明坐标系。 明坐标系。 事实上， 事实上，量子力学中描述体系所处的状态， 量子力学中描述体系所处的状态，并不需要 依赖于某一表象。 依赖于某一表象。而仅在计算时， 而仅在计算时，要在一个具体表象 中进行。 中进行。 量子力学中描写态和力学量， 量子力学中描写态和力学量，除了使用具体表象外， 除了使用具体表象外， 也可以不取定表象， 也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用 矢量形式 A 来表示一个矢量， 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的 分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 表示一样。
CHAP.4 量子力学的矩阵形式
--态和力学量的表象 --态和力学量的表象
§4-1 态的表象 §4-2 算符的矩阵表示 §4-3 量子力学公式的矩阵表示
* *
Dirac符号
§4.2 算符的矩阵表示 §4-4 么正变换 §4-5 Dirac符号 §4.3 量子力学公式的矩阵表示 §4-6 线性谐振子与占有数表象
Dirac符号 6
对力学量的本征态可表示为 |x>, |p>, |Qn> ... 等。 因为力学量本征态构成完备系， 因为力学量本征态构成完备系 ， 所以本征函数所对应的 右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（ 右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢 （ 或基组） 或基组 ） ，即右矢空间中的完备的基本矢量（ 即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 简称基矢）。 例如： ：态矢量在表象 { n } 中的 右矢空间的任一矢量 例如 |Ψ > 可按该空间的某 分解是 |ψ >= ∑an | n > n 一完备基矢展开。 一完备基矢展开。 an = n ψ |n > → Ψ n(x)； |n, l, m > → Ψ n l m 状态 |n > 和 Ψ n(x) 亦可分别记成 |Ψ n > 和 |Ψ n l m >。 在抽象表象中 Dirac 用右矢空间的一个矢量 | >与量子状 态相对应， 态相对应，该矢量称为右矢 该矢量称为右矢。 右矢。
+∞ −∞ +∞
§4-5-2 本征态的正交归一化条件
−∞
例如动量本征态 坐标本征态
< p'| p' ' >= δ ( p'− p' ' ) 连续谱 < x'| x' ' >= δ ( x'−x' ' ) 连续谱 < Qn | Qm >= δ nm 分立谱