运筹学-整数规划PPT课件

s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
2021/3/9
授课：XXX
15
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
作图法求解例1
Z=90
+
Z=96
+++ +
(4.8,0)
整 数 规 划 解 的 特 点
定义：去掉整数条件得到的问题为整数规划问题的松弛问题。
整数规划的松弛问题是一个线性规划问题，其 可行域是一个凸集，任何两个可行解的凸组合 都是可行解；
第
四
• 整数规划
章
• 整数规划的分支定界法
整
• 0-1整数规划 隐枚举法
数
匈牙利算法
规
划
引例：
问 题 引 出
且为整数
当不要求解为整数时，对应的线性规划问题最优解为： X1=6.5, x2=2.4 整数解如何获得? 能否用将线性规划问题解中不满足整数的解取整的办法获得整 数解呢？
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积重 量可获得的利润及托运所受的限制如表1所示。问每次 两种货物各托运多少箱，可使得获得的利润最大？
定界：根据前面分析，对每一个松弛问题(B)，以及(A) 的可行解，得到当前问题的上、下界z和 z 。
对于问题(B1)(分支xr ≤ [xr])相应的松弛问题，如果其最优 解为x(r), 最优值为z(r), 那么在这个分支中原整数规划所有 可行解的目标函数值都不会优于z(r)。 对于问题(B2)分支xr ≥ [xr]+1 可以做同样的分析。
问题(A)如下：
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
整数规划可行解的集合是其松弛问题可行域的 一个子集。任何两个可行解的凸组合不一定满 足整数条件，因而不一定为可行解；
整数规划的可行解一定是其松弛问题的可行解 ，反之，不成立。
所以整数规划的最优解不优于松弛问题的最优 解( 引申含义是什么？ )。
整
数
原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，
规
问 题 引 出
线性规划模型：
假 设 x 1 ,x 2 分 别 为 两 种 货 物 托 运 的 箱 数
m ax z 20 x1 10 x2
5 x1 4 x2 24
s
.t
.
2
x1
5 x2
13
x1
,
Leabharlann Baidu
x2
0且
为
整
数
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则
整 称为整数线性规划。 数
规 整数规划分类
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 为整数
分支定界法的计算过程(以最大化问题为例)：
步骤1. 求解对应的松弛问题
(A)去掉整数条件得到的问题为松弛问题(B)，对(B)进行求解，在 应用分支定界法过程中，对应的解应满足以下情况之一：
① (B)无可行解，则(A)亦无可行解，停止对此问题 的计算； ② (B)有最优解，并满足整数约束，即同时为(A)的最优解，那 么z*同时是当前问题(A)最优目标值的上界和下界。停止对这个问 题的计算； ③ (B)有最优解 x, 但不符合整数条件。
对(B)分别加入这两个约束，可得到两个子问题: (B1)(分支xr ≤ [xr] )和(B2)(分支xr ≥ [xr]+1 )，
由于在区域 [xr] < xr< [xr]+1 中不可能有整数规划的可行解，所以 整数规划的所有可行解分别含在两个子问题 (分支)中，即只要求 出各分支中符合整数要求的最优解进行比较，就可以得到整数规 划的最优解；
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(3) 得到非整数解且目标值优于原有定界(下界),则继续分支，并回到步骤2;
(4) 得到非整数解且目标值劣于等于原有定界(下界),则剪支(其中无最优解).
为什么？
当所有子问题都剪支了，即没有需要处理的子问题时，达到当前下界z 的可行解即原问题的最优解， 算法结束。
用分支定界法求解整数规划
max z 40 x1 90 x2
其整数规划解出现下述情况；
①原线性规划最优解全是整数，则整数规
划
划最优解与线性规划最优解一致。
解
②原最优解变为非可行解。 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整
的
而获得。
特
点
整 数 规 划 求 解 方 法
1．割平面法——主要求解纯整数线性规划(不要求掌 握)
2．分支定界法——可求纯或混合整数线性规划 3．隐枚举法——求解0-1整数规划
两个分支中较优的目标函数值可以作为新的上界，整数 解可作为新的下界。
步骤3.分支后计算子问题的线性规划的最优解——剪支 分情况讨论： (1) 得到整数解且目标值优于原有定界(下界),则替代原有定界(下界);
比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值大于原有的下界。
(2) 得到整数解且目标值劣于原有定界(下界),则删除该分支—剪支(其中无最 优解); 比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值小于原有的下界。