运筹学-整数规划PPT课件
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《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
运筹学第五章 整数规划ppt课件
，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合A的整数条件，记其目标函数值为z1。
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
7
7
第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
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第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
运筹学——.整数规划与分配问题45页PPT
谢谢！
运筹学——.整数规划与分配 问题
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
ห้องสมุดไป่ตู้35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
运筹与决策PPT：整数规划
案例2： California制造公司问题－ Excel求解
多个决策变量
0-1变量
相依决策
互斥方案
案例2： California制造公司问题－ 灵敏度分析
Capital Spent 100 <=
Capital Available
100
Total Profit ($millions)
10
取整约束
G 12 SUMPRODUCT(UnitProduced,UnitProfit)
6.2 整数规划问题的分类
▪ 纯整数规划问题：
– 所有决策变量均为整数
▪ 混合整数规划问题（MIP）：
B
C
3 NPV ($millions)
LA
4
Warehouse
6
5
6
Factory
8
7
8 Capital Required
9
($millions)
LA
10
Warehouse
5
11
12
Factory
6
13
14
15
Build?
LA
16
Warehouse
0
17
<=
18
Factory
1
19
20
Total NPV ($millions)
原因分析
▪线性规划的可分性假设
–线性规划的决策变量必须允许在满足一定函数 约束与非负约束下取任意实数。
TBA公司的问题由于决策变量只能取整 数，故不满足可分性假设。
整数规划的Excel求解模型－ 案例1
B
3
4
Unit Profit ($millions)
运筹学--整数规划 ppt课件
三、投资问题
某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末
回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第 二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年未能回收本利128％， 但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%， 但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，此项投资金额不限。
= 1.15x1A+ 1.06x2D； 第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D =
1.15x2A+ 1.06x3D； 第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D =
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以 保证当 yi = 0 时，xi = 0 。
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 -
200y3
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
一、投资场所的选择
京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售
门市部，拟议中有10个位置 Aj ( j＝1，2，3，…，10)可供 选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
-
25
-
26
-
27
-
28
-
29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
运筹学课件第四节0-1型整数规划
运筹学课件第四节0-1型整数 规划
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具
运筹学整数规划PPT课件
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
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4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
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6
8
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x1
x2 8
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9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
运筹学课件--第四章 整数规划
上述分枝过程可用下图表示
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
14
3
4
10
x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
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3
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x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
运筹学-4-整数规划ppt课件
.
8
第四章 整数规划 0-1规划
解：设xi
1 0
带第 i件物品
不带第 i件物品 数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m
Z ci 带第i件
ci xi
i 1
m
携带物品的总重量 bi x i
i 1
m
max Z ci xi
m i1
s.t
i1
bi xi
b
xi 0,1，
i 1, 2, m
i1
1, 2,..., m
i1
s.t. xij bj j 1, 2 , n
i1
xij
0
,
yi 0,1
混合型整数规划
.
11
第四章 整数规划
例 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需 求地的单位物资运费cij，见下表：
.
10
第四章 整数规划
解：设 xij表示A 工 i运厂 往B 商 j的店 运量
m
n
则总运费为
c ij x ij
i1 j 1
数学模型：
mn
m
设yi
1 0
则总建厂费为
在第 i个地点建m厂in Z
不在第 i个地点建厂 n
m
fi yi
j1 m
xij
i1
j
ai
1
yi
cij xij
i
fi yi
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建 工 厂(i3,4)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
运筹学课件 第5章：整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
第05章 整数规划 《运筹学》PPT课件
︰︰ ︰
︰
xm+1 λ1 a1m+1 ︰
… … …[j0aim1xλa,1m2mjfm],++i+jjmj njf
…
im j
…1 …m
xn λn a1n
︰
︰
解
zb-1zb00i0 fi0
︰0 fi0 1
xi 0 … 1 … 0 aim+1
… aim+j
… ain
bi0
︰︰ ︰
︰︰
︰
︰
︰
非基
符号[*]表示不超过“*”的最大整数，f(*)表 示“*”的非负真分数。
对整数规划问题 IP：max z CX
s.t
AX b X 0
x j为整数
其松弛问题 L0 max z CX
s.t
AX X
b 0
设L0的最优解
X
不是整数解
0
不妨设
X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0 其中bi0是分数
即x1,xi ,xm是基变量，xm1,, xn是非基变量
设L0的最优解 X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0 ,bi0是分数
L0的最优单纯形表：
x1 … xi … xm xm+1 … xm+j … xn
解
检 0 … 0 … 0 λ1
… λm+j … λn
z-z0
x1 1 … 0 … 0 a1m+1 … a1m+j … a1n
个旅行包里。
物 品
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
体 积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
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对(B)分别加入这两个约束，可得到两个子问题: (B1)(分支xr ≤ [xr] )和(B2)(分支xr ≥ [xr]+1 )，
由于在区域 [xr] < xr< [xr]+1 中不可能有整数规划的可行解，所以 整数规划的所有可行解分别含在两个子问题 (分支)中，即只要求 出各分支中符合整数要求的最优解进行比较，就可以得到整数规 划的最优解；
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
作图法求解例1
Z=90
+
Z=96
+++ +
(4.8,0)
整 数 规 划 解 的 特 点
定义：去掉整数条件得到的问题为整数规划问题的松弛问题。
整数规划的松弛问题是一个线性规划问题，其 可行域是一个凸集，任何两个可行解的凸组合 都是可行解；
问 题 引 出
线性规划模型：
假 设 x 1 ,x 2 分 别 为 两 种 货 物 托 运 的 箱 数
m ax z 20 x1 10 x2
5 x1 4 x2 24
s
.t
.
2
x1
5 x2
13
x1
,
x2
0且
为
整
数
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则
整 称为整数线性规划。 数
规 整数规划分类
两个分支中较优的目标函数值可以作为新的上界，整数 解可作为新的下界。
步骤3.分支后计算子问题的线性规划的最优解——剪支 分情况讨论： (1) 得到整数解且目标值优于原有定界(下界),则替代原有定界(下界);
比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值大于原有的下界。
(2) 得到整数解且目标值劣于原有定界(下界),则删除该分支—剪支(其中无最 优解); 比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值小于原有的下界。
第
四
• 整数规划
章
• 整数规划的分支定界法
整
• 0-1整数规划 隐枚举法
数
匈牙利算法
规
划
引例：
问 题 引 出
且为整数
当不要求解为整数时，对应的线性规划问题最优解为： X1=6.5, x2=2.4 整数解如何获得? 能否用将线性规划问题解中不满足整数的解取整的办法获得整 数解呢？
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积重 量可获得的利润及托运所受的限制如表1所示。问每次 两种货物各托运多少箱，可使得获得的利润最大？
定界：根据前面分析，对每一个松弛问题(B)，以及(A) 的可行解，得到当前问题的上、下界z和 z 。
对于问题(B1)(分支xr ≤ [xr])相应的松弛问题，如果其最优 解为x(r), 最优值为z(r), 那么在这个分支中原整数规划所有 可行解的目标函数值都不会优于z(r)。 对于问题(B2)分支xr ≥ [xr]+1 可以做同样的分析。
(3) 得到非整数解且目标值优于原有定界(下界),则继续分支，并回到步骤2;
(4) 得到非整数解且目标值劣于等于原有定界(下界),则剪支(其中无最优解).
为什么？
当所有子问题都剪支了，即没有需要处理的子问题时，达到当前下界z 的可行解即原问题的最优解， 算法结束。
用分支定界法求解整数规划
max z 40 x1 90 x2
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
2021/3/9
授课：XXX
15
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 为整数
分支定界法的计算过程(以最大化问题为例)：
步骤1. 求解对应的松弛问题
(A)去掉整数条件得到的问题为松弛问题(B)，对(B)进行求解，在 应用分支定界法过程中，对应的解应满足以下情况之一：
① (B)无可行解，则(A)亦无可行解，停止对此问题 的计算； ② (B)有最优解，并满足整数约束，即同时为(A)的最优解，那 么z*同时是当前问题(A)最优目标值的上界和下界。停止对这个问 题的计算； ③ (B)有最优解 x, 但不符合整数条件。
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
整数规划可行解的集合是其松弛问题可行域的 一个子集。任何两个可行解的凸组合不一定满 足整数条件，因而不一定为可行解；
整数规划的可行解一定是其松弛问题的可行解 ，反之，不成立。
所以整数规划的最优解不优于松弛问题的最优 解( 引申含义是什么？ )。
整
数
原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，
规
问题(A)如下：
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
其整数规划解出现下述情况；
①原线性规划最优解全是整数，则整数规
划
划最优解与线性规划最优解一致。
解
②原最优解变为非可行解。 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整
的
而获得。
特
点
整 数 规 划 求 解 方 法
1．割平面法——主要求解纯整数线性规划(不要求掌 握)
2．分支定界法——可求纯或混合整数线性规划 3．隐枚举法——求解0-1整数规划
由于在区域 [xr] < xr< [xr]+1 中不可能有整数规划的可行解，所以 整数规划的所有可行解分别含在两个子问题 (分支)中，即只要求 出各分支中符合整数要求的最优解进行比较，就可以得到整数规 划的最优解；
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
作图法求解例1
Z=90
+
Z=96
+++ +
(4.8,0)
整 数 规 划 解 的 特 点
定义：去掉整数条件得到的问题为整数规划问题的松弛问题。
整数规划的松弛问题是一个线性规划问题，其 可行域是一个凸集，任何两个可行解的凸组合 都是可行解；
问 题 引 出
线性规划模型：
假 设 x 1 ,x 2 分 别 为 两 种 货 物 托 运 的 箱 数
m ax z 20 x1 10 x2
5 x1 4 x2 24
s
.t
.
2
x1
5 x2
13
x1
,
x2
0且
为
整
数
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则
整 称为整数线性规划。 数
规 整数规划分类
两个分支中较优的目标函数值可以作为新的上界，整数 解可作为新的下界。
步骤3.分支后计算子问题的线性规划的最优解——剪支 分情况讨论： (1) 得到整数解且目标值优于原有定界(下界),则替代原有定界(下界);
比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值大于原有的下界。
(2) 得到整数解且目标值劣于原有定界(下界),则删除该分支—剪支(其中无最 优解); 比如某个分支得到的整数解对应的目标函数值小于原有的下界。
第
四
• 整数规划
章
• 整数规划的分支定界法
整
• 0-1整数规划 隐枚举法
数
匈牙利算法
规
划
引例：
问 题 引 出
且为整数
当不要求解为整数时，对应的线性规划问题最优解为： X1=6.5, x2=2.4 整数解如何获得? 能否用将线性规划问题解中不满足整数的解取整的办法获得整 数解呢？
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积重 量可获得的利润及托运所受的限制如表1所示。问每次 两种货物各托运多少箱，可使得获得的利润最大？
定界：根据前面分析，对每一个松弛问题(B)，以及(A) 的可行解，得到当前问题的上、下界z和 z 。
对于问题(B1)(分支xr ≤ [xr])相应的松弛问题，如果其最优 解为x(r), 最优值为z(r), 那么在这个分支中原整数规划所有 可行解的目标函数值都不会优于z(r)。 对于问题(B2)分支xr ≥ [xr]+1 可以做同样的分析。
(3) 得到非整数解且目标值优于原有定界(下界),则继续分支，并回到步骤2;
(4) 得到非整数解且目标值劣于等于原有定界(下界),则剪支(其中无最优解).
为什么？
当所有子问题都剪支了，即没有需要处理的子问题时，达到当前下界z 的可行解即原问题的最优解， 算法结束。
用分支定界法求解整数规划
max z 40 x1 90 x2
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
2021/3/9
授课：XXX
15
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 为整数
分支定界法的计算过程(以最大化问题为例)：
步骤1. 求解对应的松弛问题
(A)去掉整数条件得到的问题为松弛问题(B)，对(B)进行求解，在 应用分支定界法过程中，对应的解应满足以下情况之一：
① (B)无可行解，则(A)亦无可行解，停止对此问题 的计算； ② (B)有最优解，并满足整数约束，即同时为(A)的最优解，那 么z*同时是当前问题(A)最优目标值的上界和下界。停止对这个问 题的计算； ③ (B)有最优解 x, 但不符合整数条件。
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
整数规划可行解的集合是其松弛问题可行域的 一个子集。任何两个可行解的凸组合不一定满 足整数条件，因而不一定为可行解；
整数规划的可行解一定是其松弛问题的可行解 ，反之，不成立。
所以整数规划的最优解不优于松弛问题的最优 解( 引申含义是什么？ )。
整
数
原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，
规
问题(A)如下：
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
其整数规划解出现下述情况；
①原线性规划最优解全是整数，则整数规
划
划最优解与线性规划最优解一致。
解
②原最优解变为非可行解。 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整
的
而获得。
特
点
整 数 规 划 求 解 方 法
1．割平面法——主要求解纯整数线性规划(不要求掌 握)
2．分支定界法——可求纯或混合整数线性规划 3．隐枚举法——求解0-1整数规划