第3章-离散傅立叶变换
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法
~ ~ 设周期序列 x 1( n) 和 x 2 ( n) 的周期均为N，且：
~ X 1(k ) DFS[~1(n)], x
~ X 2(k ) DFS[~2(n)]; x
~3(n) a~1(n) b~ 2(n) （a，b均为常数） x x 如果： x
则有： ~ ~ ~ ~1(n) b~2(n)] aX 1(k ) bX 2(k ) X 3(k ) DFS[ax x
1 2
③周期卷积满足交换律。 同理可得： 如果： ~(n) ~1(n) ~ 2(n) y x x
则有：
1 N 1 ~ ~ 1 ~ ~ ~ Y (k ) DFS[ ~1(n) ~ 2(n)] X 1(l ) X 2(k l ) X 1(k ) * X 2(k ) x x N l 0 N
~(n) 1 x N ~(k) j N kn ...(3.2.1a) x e
k 0 N 1 2
两边 e
N 1
j
2 nr N
并从n=0～N-1求和得：
N 1 N 1 2 2 ~ j ( k r ) n ~(n) j N nr 1 x e X(k)e N N n 0 k 0 n 0 N 1 1 N 1 j 2N ( k r ) n ~ X(k)[ e ] （交换右边求和次序） N n 0 k 0 ~ X(r)
~ ~ kn X 1(k ) X 2(k )W N
k 0 k ( nmr ) N
N 1
W
]
~1(m) ~ 2(n m lN ) x x
m 0
1 N
W
k 0
N 1
k ( nmr ) N
1, r (n m) lN 0, r (n m) lN
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
第3章 离散傅里叶变换
图3-4 有限长序列及其周期延拓
定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。
~ 三.周期序列X ( k )与有限长序列X(k)的关系
~ X (k ) X k N ~ X (k ) X (k ) RN ( k )
有限长序列X(k)的周期延拓。
由于时域和频域都是离散的，因而这种 傅里叶变换对有其特殊的性质，这些性质使 离散傅里叶变换在实际应用中会存在一些特 殊问题，因此有必要对它们进行仔细的了解。 离散傅里叶变换由于有快速计算方法， 因而不仅有理论意义，也有实际意义，在数 字信号处理实现中起着重要的作用。
为了对各种形式的傅里叶变换有个总体 认识，我们在这一章的开始首先回顾各种傅 里叶变换，这样也就明确了DFT在傅里叶变换 中所占的地位和研究DFT的目的。 然后，我们再了解DFT是怎样导出的，为 此我们先讲述离散傅里叶级数，在得到DFS之 后，DFT也就随之得到了。 接下来，我们要研究DFT的性质和应用， 最后还要讲述DFT解决具体问题时所遇到的一 系列技术性问题，这是这一部分的难点。
3.2 离散傅里叶级数
3.2.1 离散傅里叶级数的推导 3.2.2 离散傅里叶级数的性质
3.2.1
离散傅里叶级数的推导
正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，离散周 期序列也可以用离散傅里叶级数表示，也就是用周期为N的复指 数序列来表示。 表3-2表示了连续周期信号与离散周期序列的复指数对比。
n
cn为单边频谱。
Fe
n
jn 0t
2 Fn f (t )e jn0t dt TT cn 2 Fn (n 0)
Fn为展开式中各频率分量的幅度 ，一般是复函数
周期信号频谱的数学表达式
第三章离散傅里叶变换(DFT)
3.1.1 有限长序列的离散频域表示
我们已学过三种傅里叶分析工具，它们 分别应用于不同性质的信号。
1. 应用于连续周期信号——傅里叶级数展开
j2 kt
xa t Cke T
k
Ck
1 T
T２ －T２
xα
(t
－ｊ２
)e T
kt
dt
其中，T是信号 xa t的周期，Ck 表示了xa (t)的
离散傅里叶变换定义为
X (k)
N 1
x nWNkn
n0
0
0 k N 1 其他
西北大学信息科学与技术学院 2007年
反变换公式为
x(n)
N 1
X
k
W kn N
0 n N 1
k 0
0
其他
DFT是借用了DFS，这样就假定了序 列的周期性，但定义式本身对区间作了强制 约束，以符合有限长特点，这种约束不改变 周期性的实质，或者说，DFT隐含了周期 性。
fc n xn yn
M 1 m0
x
m
y
n m
l
RL
n
M 1 m0
x
m
r
y
n
m
rL
RL
n
r
M 1 m0
x
m
y
n
rL
m
RL
n
r
f
n
rL
Rl
n
西北大学信息科学与技术学院 2007年
圆周卷积fc (n) 等于一个周期序列的主值 序列，该周期序列是线性卷积f (n)以L为周期 进行周期延拓的结果，因此，当L ≥ L1满足 时， fc (n)必然等于f (n)，但是，如果L < L1 ， 则fc (n)不等于f (n) 。
第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
离散傅里叶变换(DFT)
X (k) X (e j ) 2 k , N
0 k N-1
(3.1.4)
序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在[0，2π]上的N点等间隔采样
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
2 N
m
-1 单位圆
jIm(z)
j
z平面
2 N
0
1
Re(z)
2 ( N 1) N
-j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
x((n))N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 7 9
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n
0 ~x (n) N-1
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换
(4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
k ~ n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
x(n)e
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法
傅里叶系数标号k ：0～N
数字频率ω：0～2π 模拟频率 f ：0～fs
0
N /2
0
0
fs /2
0
s /2
北京邮电大学信息与通信工程学院
N k (变换系数标号) 2 （弧度，数字频率） fs f （Hz，模拟频率） s （弧度/秒，模拟角频率）
24
DFS 定义：几点说明
频率成份
直流分量：
N 1
北京邮电大学信息与通信工程学院
11
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
1 W N 1 j 2 k(rm) N
e W 1W k0
N 1 k(rm)
离散傅里叶级数包含了 0 到 (N-1)fs/N 的频率，因而 N 个傅里叶级数的系 数位于从 0 直到接近取样频率的频率上。
N 1
当 k=0 时， X (0) x(n)WN 0n x(n) ，此时得到的傅里叶级数的系数
称为信号的直流分量（DnC0 Componenn0t）X，(0)/ N 是信号的平均值；
交流分量：
其它频率（k>0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为 信号的交流分量。
k=1 时的频率为信号的一次谐波，或基频，频率大小为 fs/N，时间为 NTs，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。
8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结：
形式
时间函数
频率函数
第3章离散傅里叶变换(DFT)
16
k 0,1, ,15
由此可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间 长度N的取值有关。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
3.1.2 DFT与傅里叶变换（DTFT）和Z变换的关系 设序列x(n)长度为M，其Z变换和N(N≥M)点DFT分别为：
M 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
解：设变换区间N=4，则
X (k)
3
x(n)W4kn
3 j2π kn
e4
n0
n0
1 e j2πk
j2πk
1e 4
4 0
k0 k 1, 2, 3
设变换区间N=8，则
X (k)
7
x(n)W8kn
3 j 2 kn
e8
n0
n0
j 3 k
e8
sin( 2
sin(
k) ,
k)
8
k 0,1, , 7
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
设变换区间N=16， 则
X (k)
15
x(n)W1k6n
3
j 2 kn
e 16
n0
n0
j 3 k
e 16
sin( k)
4
,
sin( k)
jIm[z]
ooo
o
o
o
o
o
o
ooo
Re[z]
X(ejω)
o
0
0
X(k)
2
N 1 k
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω) 在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT 的变换结果不同。
(整理)离散傅里叶变换
第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。
为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。
而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。
)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n F ，f(t)和n F 组成变换对，表示为:tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=（112Ω=πT ）dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。
采样脉冲信号的频率为Ts π2=Ω可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换正变换：DTFT[x(n)]=()()j nj n X e x n eωω∞-=-∞=∑反变换：DTFT-11[()]()()2j n j j X e x n X e e d πωωωπωπ-==⎰)(ωj e X 级数收敛条件为|()j nn x n eω∞-=-∞∑|=∞<∑∞-∞=n n x )(可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。
第3章离散傅里叶变换及其快速算法.
第3章离散傅里叶变换及其快速算法3. 1离散傅里叶变换（DFT）3. 2利用DFT做连续信号的频谱分析3.3快速傅里叶变换（FFT）3.4 FFT应用中的几个问题散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理.但是，直至上个世纪六十年代・由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
3. 1散傅里叶变换（DFT）第一章中，我们学习离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）,我们知道DTFT在频域是连续的周期函数，不便于计算机计算和存储；对于有限长序列我们还可以用离散傅里叶变换（DFT）反映其特点，且DFT便于计算机处理。
为了便于更好地理解DFT及离散傅里叶级数（DFS）的槪念，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
24傅里叶变换的几种形式:1.非周期连续时间信号的傅里叶变换6XMG)= (必"心2. 周期连续时间信号的傅里叶变换周期为Ti 的连续时间信号在满足狄里赫利条件时可展 开为指数形式的傅里叶级数！丘⑴=£/叫昭=¥&«-81I图3・1 (b)周期连续时间信号的傅里叶变换6t tJ fb \4*4 h /W/IlfK1 I 'N . ,1 丨■ %h/ tt• 9 ■ .・ % 1*ft .A-TT°•—n a3. 非周期离散时间信号的傅里叶变换X(J")=工兀x(n) = ——J X o=G7\X("Q)是以2”周期的周期艱4. 周期离散时间信号的傅里叶变换根据前面三种傅里叶变换可发现如下规律：如果信号 时域离散，则频域表现为周期性频率函数；相反如频域离 散，则时域表现为周期性时间函数.同样可见： 连续对应另一个域的非周期- 因此，我们可以猜想到一个周期离散序列的频谱必定是 离散的、周期的，(如图3. 1 (d))所示。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
第3章离散傅里叶变换
第3章 离散傅里叶变换
二.序列的圆周移位 1.定义 一个有限长序列 x( n )的圆周移位定义为
xm (n) xn mN RN n
这里包括三层意思： ~ 先将 x( n )进行周期延拓 x (n) xn N 再进行移位 ~ x (n m) x n m N 最后取主值序列：
第3章 离散傅里叶变换
3.共轭对称特性之一
如果X ( k ) DFT [ x( n )]，则 DFT [ x* ( n )] X * (( k ))N RN ( k )
证明：
X * (( N k ))N RN ( k )
nk DFT [ x ( n )] x* ( n )WN RN ( k ) * n 0 nk * nk * [ x( n )WN ] RN ( k ) [ x( n )WNNnWN ] RN ( k ) n 0 n 0 ( N k )n * [ x( n )WN ] RN ( k ) X * (( N k ))N RN ( k ) n 0 N 1 N 1 N 1 N 1
*复数序列实部的DFT 该序列DFT的圆周共轭对称分量。
5.共轭对称 特性之三
第3章 离散傅里叶变换
6.共轭对称 如果 X ( k ) DFT [ x( n )]，则 DFT{ j Im [x( n )]} 特性之四 1 [ X (( k ))N X * (( N k ))N ] RN ( k ) X op ( k ) 2 1 * j Im [ x ( n )] [ x ( n ) x ( n )] 证明： 2 1 DFT{ j Im [x( n )]} { DFT [ x( n )] DFT [ x* ( n )]} 2 1 [ X ( k ) X * (( N k ))N RN ( k )] 2 1 [ X (( k ))N X * (( N k ))N ] RN ( k ) X op ( k ) 2
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X ~(k) ~ x(n)是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对，这种对称关系可表为：
~ x (n ) ID [X ~ ( F k ) ] S 1N 1X ~ (k )ej2 /N nk N n 0
X ~ (k ) D[~ F x(n )S ]N 1~ x(n )e j2 /N kn n 0
N 1N k 0 1m N 0 1~ x(m )w N mY ~ k(k)w N nk
m N 0 1 ~ x ( m ) N 1 N k 0 1 Y ~ ( k ) w N (n m )k m N 0 1 ~ x ( m )~ y ( n m )
这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差 别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0~N-1），称为周期卷积。
习惯上：记 W Nej2/N，
则DFS变换对可写为
X~(k) N1~x(n)WNkn DFS~x(n) n0
~x(n) N1 N k01X~(k)WNkn IDFSX~(k)
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷 长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期 内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所 以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有 用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
N l 0
N l 0
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)x(0n) 0其 nN n余 1
为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ~x(n) ，它
由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：
数学表示： ~ x x((n n )) ~ x x((n n )()R N N )(n)x(n ()N )R N(n)
RN（n）为矩形序列。 符号（（n））N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。
x(n) ~x(n)
例：~x(n) 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到 (N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数，
~ x(n)1N1X ~(k)ej2/Nkn NK0
利用正弦序列的周期性可求解系数 X~(k) 。
将上式两边乘以 ej(2/N)rn
求和
，并对一个周期
N 1 ~ x ( n ) e j2 N r n1 N 1 N 1 X ~ ( k ) e j2 N (k r )n 1 N 1 X ~ ( k ) N 1 e j2 N (k r )n
对于复序列 其共轭序列
满足
~xn
~x*n
D ~ x * n F X ~ S * k
证:
DFS~x*n N1~x*(n)WNnk
n0
(N1~x(n)WNnk)* X~* k n0
同理:
D ~ x * F n X ~ S * k
进一步可得
DFRSe~ x{n}1DF[~ xSn~ x*n]
n 0
N n 0 k 0
N k 0 n 0
N k 0 1X ~(k)[N 111 ee j2 j2 (k( kr )r/)N]
N 1N n 0 1ej(2 N )k (r)n 1 0k kr rsN
上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为
零,所以有 N1~ x(n)ej2N rnX ~(r)
n 0
i m
~x(n)
w
kn N
w mk N
N
1
m~x
(
i
)
w
ki N
im
w mk N
N
1
~x
(i
)
w
ki N
w mk N
X~
(k )
i0
由于 ~x(n) 与 X~(k) 对称的特点，同样可证明
ID X ~ ( k l ) F来自w N n ~ x ( n l ) S
3）共轭对称性
DDFS的几个主要特性：
假设
都是周期为 N 的两个周期序列，各自的
离散傅里叶级数为： ~ x(n)、 ~ y(n)
1）线性
X~(k)DF~xS(n) Y~(k)DF~Sy(n)
a,b为任意常数
D a ~ x ( n ) F b ~ y ( n ) a S X ~ ( k ) b Y ~ ( k )
例： ~x(n) 、 ~y(n) ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。
结果仍为周期序列，周期为 N 。
由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘 积，存在着频域的周期卷积公式，
若
~ f(n )~ x(n )~ y(n )
则
F ~ ( k ) D [ ~ f( n F ) ] 1 S N 1 X ~ ( l ) Y ~ ( k l ) 1 N 1 X ~ ( k l ) Y ~ ( l )
数学表示：
XX ~ (k()k )X ~X(k()(kR)N)(Nk)
再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：
X ~ (k ) D[~ x F (n ) S ]N 1 ~ x (n )W kn 0 k N 1 n 0
~ x ( n ) ID [X ~ ( k ) F ]1 S N 1 X ~ ( k ) W kn 0 n N 1
• D { ~ x [ k F n ]S } W N m X ~ [ m n ]
D x [ k F ( n ) N ] R N T [ k ] W N m X [ m ] n
k
频谱特点： 周期为2的连续谱
4. 周期为N 的离散周期信号
~ x [ k ] ID { X ~ [ m ] F } N 1 m N S 0 1 X ~ [ m ] e j2 N m N k 1 m N 0 1 X ~ [ m ] W N m
X ~ [m ] D { x [ F k ] } S N 1 ~ x [k ]e -j2 N m k N 1 ~ x [k ]W N km
若 F ~ (k)X ~ (k)Y ~ (k)
则 ~ f(n ) ID F ~ (k F ) S N 1~ x(m )~ y(n m ) m 0
或
N1~y(m)~x(nm)
m0
周期卷积
证：~ f( n ) ID X ~ ( k ) F Y ~ ( k )S N 1 N k 0 1 X ~ ( k ) Y ~ ( k ) w N kn
N n 0
这两个公式的求和都只限于主值区间（0~N-1），它 们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到 一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。
长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是 一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为：
x(nX )(kI) DD[FX F[(T xk(T )n])]N 1N n N k0 101xX (n()kW )W N kN nk n
2 1[X ~(k)X ~*(Nk)]
2
共轭偶对称分量
DR F ~ x n e S X ~ e k 1 2 [X ~ (k ) X ~ * (N k )]
共轭奇对称分量
D jI F m ~ x S n X ~ o k 1 2 [X ~ (k ) X ~ * (N k )]
4）周期卷积
x[k], N=5
x[(k)N]
01 234
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 k=3
k==2 3
x[(k2)5]
5 k=4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k=0 1
x[(k2)5]R5
k=1 2
01 234
DFT时域循环位移特性
第3章 离散傅立叶变换
▪ DFS ▪ DFS的性质 ▪ DFT ▪ DFT的性质
▪ 圆周卷积
▪ 利用DFT计算线性卷积 ▪ 频率域抽样
有限长序列的傅里叶分析
一、四种信号傅里叶表示
1. 周期为T0的连续时间周期信号
~ x(t)
X(n 0)ejn0t
n
X(n0)T 10
~ x(t)ejn0tdt
n0
或写为
X ~ (k)N 1~ x(n )ej 2 N kn n 0
0kN 1
1) 可求 N 次谐波的系数
X~(k)
2） X~(k) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数
3） X~(k) 为周期序列，周期为N。
X~ (k mN ) N 1 ~x (n)e j2 / N (k mN )n n0 N 1 ~x (n)e j2 / N kn X~ (k ) n0
x(n)~x(n)~x(0nr)x0(n其 nrN它 N)n1
周~x(期n)序对列于的的周“主期主值序值区列区间~x间(与n”主) ，，值定主序义值列其区：第间一上个的周序期列为n=主0~值N-序1，列为x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序" 列
0kN1 0nN1
x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都 有N个独立值，因而具有等量的信息。