通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

第二章习题

习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成：

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=0.5，P (θ=π/2)=0.5 试求E [X (t )]和X R (0,1)。

解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22

t t t π

πππ+

-

cos t ω

习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成：

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

[]/2

/2/2

/21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dt

T ττπθπτθ→∞

-→∞-=+=+++⎰

⎰

222cos(2)j t j t e e πππτ-==+

2222()()()(1)(1)

j f j t

j t j f X P f R e d e

e e d

f f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++⎰⎰

习题2.3 设有一信号可表示为：

4exp() ,t 0

(){0, t<0

t X t -≥=

试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。X (t )的傅立叶变换为：

(1)004

()()441j t t j t j t

X x t e

dt e e dt e dt j ωωωωω

+∞-+∞--+∞-+-∞====+⎰⎰⎰ 则能量谱密度 G(f)=2

()X f =2

22

416114j f

ωπ=++

习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。试求：

(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t

解：(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=⋅-⋅=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ

()X P f 因为21x x 和相互独立，所以[][][]2121x E x E x x E ⋅=。

又因为[][]021==x E x E ，[][]12212x E x E -=σ，所以[][]

22

2

21σ==x E x E 。 故 ()[]

()222222sin 2cos σσππ=+=t t t X E

(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高斯分布，其概率分布函数()⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=

222exp 21

σσπz x p 。 (3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--== []212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+= ()1222cos t t -=πσ

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2

ex p f a -

解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。

可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =[]cos *cos()E A t A t ωωτ+

[]2

21cos cos (2)cos ()22

A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=22

A

习题2.7 设()t X 1和()t X 2是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为()()ττ21X X R R 和。试求其乘积X (t )=12()()X t X t 的自相关函数。

解：

(t,t+)=E [X (t )X (t+)]=E [1212()()()()X t X t X t X t ττ++]

=[][]1122()()()()E X t X t E X t X t ττ++=12()()X X R R ττ

习题2.8 设随机过程X (t )=m (t )cos t ω，其中m (t )是广义平稳随机过程，且其自相关函数为

4210,10 kHZ 10 kHZ

()0,X f f P f -⎧-<<=⎨

⎩

其它 (1)试画出自相关函数()X R τ的曲线；(2)试求出X (t )的功率谱密度()X P f 和功率P 。

解：(1)()1, 101010,x R ττττ

τ+-<<⎧⎪

=-≤<⎨⎪⎩

其它 其波形如图2-1所示。

图2-1信号波形图

(2)因为)(t X 广义平稳，所以其功率谱密度()()τωX X R P ↔。由图2-8可见，()τX R 的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此

()()()[]⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

⎪⎭⎫

⎝⎛⨯*-++⨯=

2Sa 2Sa 4112Sa 21210

202200ωωωωωωωδωωδππωx P

()()2

10,21d 21===

=

⎰

∞

∞

-x x R S P P 或ωωπ

习题 2.9设信号x (t )的傅立叶变换为X (f ) =sin f

f

ππ。试求此信号的自相关函数。

解：x (t )的能量谱密度为G (f )=2

()X f =

2

sin f

f

ππ 其自相关函数()21, 10()1010,j f X R G f e

df πτ

τττττ+∞-∞+-≤≤⎧⎪==-≤<⎨⎪⎩

⎰其它

习题2.10 已知噪声()t n 的自相关函数()τ

τk -e 2

k R n =

，k 为常数。 (1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。 解：(1)222

()()2(2)k j j n n k k P f R e

d e e d k f τωτ

ωττττπ-+∞-+∞--∞

-∞

===+⎰

⎰

2

1()

τx R -1

τ

1