通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章
樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(确知信号)【圣才出品】
第2章确知信号思考题2-1 何谓确知信号？答：确知信号是指其取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。
例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。
2-2 试分别说明能量信号和功率信号的特性。
答：（1）能量信号的能量为一个有限正值，但其平均功率等于零。
（2）功率信号的能量为无穷大，其平均功率为一个有限正值。
2-3 试用语言（文字）描述单位冲激函数的定义。
答：单位冲击函数是指宽度无穷小，高度为无穷大，积分面积为1的脉冲。
其仅有理论上的意义，是不可能物理实现的一种信号。
2-4 试画出单位阶跃函数的曲线。
答：如图2-1所示。
图2-12-5 试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。
答：（1）功率信号的频谱适用于周期性的功率信号。
（2）能量信号的频谱密度适用于能量信号。
（3）能量信号的能量谱密度适用于能量信号。
（4）功率信号的功率谱密度适用于功率信号。
2-6 频谱密度S（f）和频谱C（jnω0）的量纲分别是什么？答：频谱密度的量纲是伏特/赫兹（V/Hz）；频谱的量纲是伏特（V）。
2-7 自相关函数有哪些性质？答：自相关函数的性质：（1）自相关函数是偶函数；（2）与信号的能谱密度函数或功率谱密度函数是傅立叶变换对的关系；（3）当τ＝0时，能量信号的自相关函数R（0）等于信号的能量，功率信号的自相关函数R（0）等于信号的平均功率。
2-8 冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？答：（1）冲激响应的定义：输入为单位冲激函数时系统的零状态响应，一般记作h（t）。
（2）冲激响应的傅里叶变换等于系统的频率响应，即H（f）。
习题2-1 试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号：（1）s1（t）＝e－t u（t）（2）s2（t）＝sin（6πt）＋2cos（10πt）（3）s3（t）＝e－2t解：若0＜E＜∞，而功率P→0，则为能量信号；若能量E→0，而0＜P＜∞，则为功率信号。
通信原理(第六版)习题答案
通信原理（第六版）课后答案通信原理第六版（樊昌信曹丽娜著）国防工业出版社课后答案 第一章绪论1-1设英文字母盘出現的概卒药0.105, I 出璇的槪率为0.a02t 试求迓和JT 的信息昼°解：厶=log 2 — = log1-2皐信息源的符号集由Z2D 和E 组咸，设每一符号■独立出现，其出现槪率分别为1炸 1朋・1.岛3/lGi 5/15.徐亲该信息源符号的平均信息壘。
解=平均信息量 疋=Pgbj 恥Ji-LI . 1 V 1 k 1 3 , 3 5 . 5一才叫厂冠吨迈飞呃乔护喝忆 二2.2咖/棉门设駆个消息乩氐C. D 分别以概率lf4、1他1区 ⑴传送 斑一消息的出现是相 互独立的，试计算其平均信息量.M —个由字母直pep 组咸的字，对于告输的每一字囹用二进制眛冲编码，00代替每01 代清即U 代替匚11代替D ，每个脉冲宽度丸％弘⑴不同的宇毎等可能蜩时.试计算传輸的平均信息速率； ⑵ 若霉个字囹出现的等可能性另别光甩=1/5耳=1曲用尸1地山3/10,试计聲传需的平均信 息Jt 率-解；平均信息量用二—£ FUJI 躍」P 〔Gj-10.002解;（1）因一b字母衬翻个二ffi制圖中「属于四进41符号,故一b字母的持剜间为25, 传達宇母的符吕頑率为=1005&4 = ------------ 7聃2x5xl0-3等概时,平均信息速率尽=弘logs 4 = 200^/B ⑵每个符号平均信息量为H= 一工目leg 2 =-丄bg Q 丄1。
呂 2 丄一丄1笔」 --- l og 了——h 5 5 4 2 4 4 S 10 a10-1985边库f号平均信息速率R t=理斗月=100x1.985 = 198.5&/ff1-5国磅尔斯电码用点和划的序列发遊英文字母，划用持续3单位的电臟沖表示，虽用持续1个劉i的电瞒冲表示且到出现的概率是点t±®的概率的1心⑴求点和划的信息墨（刀求点和划的平均信息量-解:⑴由已知条件划出现的概率是点出现的概率的1/3,即PT3巳且P卄Pi所以卩产14 PTA '划的信息量几=-1唱卜加点的信息量厶二-1隅肓=0⑷気左N 1⑵平均信息量/f = -x0.415 + -x2 = 0.81加/符号皿某离散信I.W出忌尬…唧个不同的符号符号遠率为24D逻其中4个符号出现概率为尸财"⑹"MP 兔）=1他利无）="4具余符号等概出BL⑴求该信息源的平均信息率i⑵求传逆“的信息量◎ 解（1由已知条件得巩心）■户（忑訂■用（衍）■刀（花）■—僖耳源航:用（兀）一迟戸（吗）呱尸3” -“丄叱拮!□1D-2.87了加“符号则信忌源的平均信M連率为尺# = x H =2400 x 2. £75 = d?0O bit / $ ⑵舱1血的传亘量酋：f =『X/?』■ 3(500 y tS90D = 2.434 xlO7^1-7设某信息-源以每秒2000个符号的速率发送消息信息源由ARGDE五个信息符号组成发送盘的慨率为12发送其余符号的概率相同，且设每一符号出现是相互独立的。
通信原理樊昌信第二版答案
第一章习题习题1.1 在英文字母中E 出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。
解：E 的信息量：()()b 25.3105.0log E log E 1log 222E =-=-==P P I习题1.2 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。
试求该信息源中每个符号的信息量。
解：b A P A P I A 241log )(log )(1log 222=-=-==b I B 415.2163log 2=-= b I C 415.2163log 2=-= b I D 678.1165log 2=-=习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms 。
传送字母的符号速率为Bd 100105213B =⨯⨯=-R等概时的平均信息速率为s b 2004log log 2B 2B b ===R M R R（2）平均信息量为比特977.1516log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H则平均信息速率为 s b 7.197977.1100B b =⨯==H R R习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？ 解：311200 Bd 5*10B B R T -===习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：该信息源的熵为96log 961*4832log 321*16)(log )()(log )()(22264121+=-=-=∑∑==i i i i Mi i x P x P x P x P X H=5.79比特/符号因此，该信息源的平均信息速率 1000*5.795790 b/s b R mH === 。
通信原理(第六版)樊昌信曹丽娜课后答案
通信原理(第六版)课后习题答案第一章绪论1-1没奨文字母总出视笛⅛S率为O 105, X 的槪奉为0.002,试求总和Jr的信息量“解:I S— IQg 2 —= IOg ? —-—- 3.25 bii> S S 2P 5 1 0.105I X = Iog a—= IOg 2——-——=8.97bitT f30 0021∙2某信息源的符号集由査BCD和E组成，设每一符号独立出现其出现概率分别再1招，1/8» l/Et 3/1, 5/16-试求该信息源苻号的平均信息量Il解：平均信息量H = ~∑Fx) IOg 2 Fu i)J-I1 I 1 I i 1 1 I 1 3 I 3 5 I5=_ —log 3—_ —1Og a———log 3—- Io I g a----------------------------------- ——IGg 3-------4 2A8 e28 S 2 8 16 3 16 16 62 16=2.23 WW 号1-3设有四个消息乩B、C、D分别以M率1练1煤1/& 1门传送4消息的Lt®是相互独立Kh试计算其平均信息量*解：平均信息量j v = -∑¾)iog2¾)i-11.方竝/符号14—个由字母点PCD组成的宇，对于传输的毎一字母用二进制脉冲编码，00代替钉1 代替代替CJl代替D行个脉沖宽度为5沁Ii)不同的字母等可能版时.试计算传输的平均信息速率；⑺若环字母出现的等可能性分删为凡=1∕5∕>%Pe咫防剂W试计算传输的平均信息速率II解:(1X≡→ 字母对应两个二≡制脉沖,属于四进》」符号,故一b字母的持貓间为2× ‰τ 传送字母的符号速率为=——J—=IOO^刖2x5xl0^j等概时，平均信息速率& = Iog2 4 = 200⅛∕s(2)每个符号平均信息量为4 1 Il II 13 3H = -ZRTE=--L IOg 2---Iog3 --^IQg ,---Iog2- h 5 5 4 a 44 2 4 10 3IO=1.985 to/W 号平均信息速率肮=R M H =100xl.9S5 = 198 5⅛∕ff1-5国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1个单位的电流脉沖表示]且划出现的概率是点出现的嘅率的1/3.⑴求点和划的信®⅛(2)求点和划的平均信S⅛≡解⑴由己知条件划出现的概率是点出现的概率的1/3,即P^∖β P2且Λ+⅛L 所以尸尸1砂Pj=3∕4划的信息量Z l= -IOS3- = 2⅛⅛43点的信息量厶=-Iog 2 - = 0-415⅛ii(2)平均信息量^ = ^XO.415+-^-x2 = 0.31驗/符号M某离散信忌獅出忌心…杯个不同的符号.符号逋率为如迥苴中4个符号出现概率为尸(殆=巩再)= IJg Pg = 1∕3>Fg= IM其余符号等概出现。
通信原理教程(第三版)樊昌信部分课后习题答案
A
T
O
T
t
5
（1）由图 5-21 得
图 5-2 习题图 1
g (t)
A1
2 T
t
,
t
T 2
0
其他
g(t) 的频谱函数为：
G(w) AT Sa2 wT 2 4
由 题 意 ， P0 P1 P 1/ 2 ， 且 有 g1(t) = g(t) , g 2 (t) =0 ， 所 以
第一章： 信息量、平均信息速率、码元速率、信息速率 第二章：
习题 设随机过程 X(t)可以表示成：
X (t) 2cos(2t ), t
式中， 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P( =0)=，
P( = /2)=
试求 E[X(t)]和 RX (0,1) 。
解 E[X(t)]=P( =0)2 cos(2t) +P( = cost
T /2 T /
2
2
cos(2
t
)
*
2
cos
2
(t
)
dt
2 cos(2 ) e j2t e j2t
P( f )
RX
(
)e
j
2
f
d
(e
j
2
t
e j2t )e j2
f d
( f 1) ( f 1)
1
习题 试求 X(t)=A cost 的自相关函数，并根据其自相关函数求 出其功率。
（1） 试写出该信号序列功率谱密度的表达式，并画出其曲线； （2） 该序列中是否存在 f 1 的离散分量若有，试计算其功率。
gT(t)
1
T / 2 图/ 25-4 习0 题图 / 2 T / 2 t 解：（1）基带脉冲波形 g(t) 可表示为：
通信原理樊昌信课后习题答案
习题解答《通信原理教程》樊昌信第一章 概论某个信息源由A 、B 、C 、D 等4个符号组成。
这些符号分别用二进制码组00、01、10、11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这4个符号等概率出现；（2） 这4个符号出现的概率分别为1/4、1/4、3/16、5/16。
解： 每秒可传输的二进制位为：()20010513=⨯÷-每个符号需要2位二进制，故每秒可传输的符号数为：1002200=÷（1） 4个符号等概率出现时每个符号包含的平均信息量为： bit 24log 2=故平均信息速率为：s b R b /2002100=⨯=（2）每个符号包含的平均信息量为：bit 977.11651log 1651631log 163411log 41411log 412222=+++故平均信息速率为： s b R b /7.197977.1100=⨯=设一个信号源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125s μ。
试求码元速率和信息速率。
解：码元速率为：()baud R B 80001012516=⨯÷=- 信息速率为：s kb R R B b /16280004log 2=⨯==第二章 信号设一个随机过程X （t ）可以表示成：()()∞<<∞-+=t t t X θπ2cos 2其中θ在（0，2π）之间服从均匀分布，判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它的能量无限，功率有界，所以是一个功率信号。
`()[]()[]()()()πτθπτθππτπθπθπτπθπππ2cos 4224cos 2cos 22122cos 22cos 22020=+++=•+++=⎰⎰d t d t t由维纳－辛钦关系有：()()ττωωτd e R P j X -+∞∞-⎰=()()[]πωδπωδπ222++-=设有一信号可表示为：()()⎩⎨⎧>≥-=000exp 4t t t t x试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
《通信原理》樊昌信课后习题答案及解析
习题解答《通信原理教程》樊昌信第一章 概论1.3 某个信息源由A 、B 、C 、D 等4个符号组成。
这些符号分别用二进制码组00、01、10、11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这4个符号等概率出现；（2） 这4个符号出现的概率分别为1/4、1/4、3/16、5/16。
解： 每秒可传输的二进制位为：()20010513=⨯÷-每个符号需要2位二进制，故每秒可传输的符号数为：1002200=÷（1） 4个符号等概率出现时每个符号包含的平均信息量为： bit 24log 2=故平均信息速率为：s b R b /2002100=⨯=（2）每个符号包含的平均信息量为：bit 977.11651log 1651631log 163411log 41411log 412222=+++故平均信息速率为： s b R b /7.197977.1100=⨯=1.6 设一个信号源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125s μ。
试求码元速率和信息速率。
解：码元速率为：()baud R B 80001012516=⨯÷=- 信息速率为：s kb R R B b /16280004log 2=⨯==第二章 信号2.2 设一个随机过程X （t ）可以表示成：()()∞<<∞-+=t t t X θπ2cos 2其中θ在（0，2π）之间服从均匀分布，判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它的能量无限，功率有界，所以是一个功率信号。
`()[]()[]()()()πτθπτθππτπθπθπτπθπππ2cos 4224cos 2cos 22122cos 22cos 22020=+++=•+++=⎰⎰d t d t t由维纳－辛钦关系有：()()ττωωτd e R P j X -+∞∞-⎰=()()[]πωδπωδπ222++-=2.3 设有一信号可表示为：()()⎩⎨⎧>≥-=000exp 4t t t t x试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
通信原理(第六版)樊昌信曹丽娜_第六版--课后思考题及习题答案
第一章绪论1.1以无线广播和电视为例，说明图1-1模型中的信息源，受信者及信道包含的具体内容是什么在无线电广播中，信息源包括的具体内容为从声音转换而成的原始电信号，收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换乘的声音；在电视系统中，信息源的具体内容为从影像转换而成的电信号。
收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换成的影像；二者信道中包括的具体内容分别是载有声音和影像的无线电波1.2何谓数字信号，何谓模拟信号，两者的根本区别是什么数字信号指电信号的参量仅可能取有限个值；模拟信号指电信号的参量可以取连续值。
他们的区别在于电信号参量的取值是连续的还是离散可数的1.3何谓数字通信，数字通信有哪些优缺点传输数字信号的通信系统统称为数字通信系统；优缺点：1.抗干扰能力强；2.传输差错可以控制；3.便于加密处理，信息传输的安全性和保密性越来越重要，数字通信的加密处理比模拟通信容易的多，以话音信号为例，经过数字变换后的信号可用简单的数字逻辑运算进行加密，解密处理；4.便于存储、处理和交换；数字通信的信号形式和计算机所用的信号一致，都是二进制代码，因此便于与计算机联网，也便于用计算机对数字信号进行存储，处理和交换，可使通信网的管理，维护实现自动化，智能化；5.设备便于集成化、微机化。
数字通信采用时分多路复用，不需要体积较大的滤波器。
设备中大部分电路是数字电路，可用大规模和超大规模集成电路实现，因此体积小，功耗低；6.便于构成综合数字网和综合业务数字网。
采用数字传输方式，可以通过程控数字交换设备进行数字交换，以实现传输和交换的综合。
另外，电话业务和各种非话务业务都可以实现数字化，构成综合业务数字网；缺点：占用信道频带较宽。
一路模拟电话的频带为4KHZ带宽，一路数字电话约占64KHZ。
1.4数字通信系统的一般模型中的各组成部分的主要功能是什么数字通行系统的模型见图1-4所示。
其中信源编码与译码功能是提高信息传输的有效性和进行模数转换；信道编码和译码功能是增强数字信号的抗干扰能力；加密与解密的功能是保证传输信息的安全；数字调制和解调功能是把数字基带信号搬移到高频处以便在信道中传输；同步的功能是在首发双方时间上保持一致，保证数字通信系统的有序，准确和可靠的工作。
《通信原理》樊昌信__课后习题答案
《通信原理》樊昌信__课后习题答案第⼀章概论1.3 某个信息源由A 、B 、C 、D 等4个符号组成。
这些符号分别⽤⼆进制码组00、01、10、11表⽰。
若每个⼆进制码元⽤宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1）这4个符号等概率出现；（2）这4个符号出现的概率分别为1/4、1/4、3/16、5/16。
解：每秒可传输的⼆进制位为：()20010513=?÷-每个符号需要2位⼆进制，故每秒可传输的符号数为： 1002200=÷ （1） 4个符号等概率出现时每个符号包含的平均信息量为： bit 24log 2=故平均信息速率为：s b R b /2002100=?=（2）每个符号包含的平均信息量为：bit 977.11651log 1651631log 163411log 41411log 412222=+++故平均信息速率为： s b R b /7.197977.1100=?=1.6 设⼀个信号源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125s µ。
试求码元速率和信息速率。
解：码元速率为：()baud R B 80001012516=?÷=- 信息速率为：s kb R R B b /16280004log 2=?==第⼆章信号2.2 设⼀个随机过程X （t ）可以表⽰成：()()∞<<∞-+=t t t X θπ2cos 2其中θ在（0，2π）之间服从均匀分布，判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它的能量⽆限，功率有界，所以是⼀个功率信号。
`()[]()[]()()()πτθπτθππτπθπθπτπθπππ2cos 4224cos 2cos 22122cos 22cos 22020=+++=+++=?d t d t t由维纳－⾟钦关系有：()()ττωωτd e R P j X -+∞∞-?=()()[]πωδπωδπ222++-=2.3 设有⼀信号可表⽰为：()()??>≥-=000exp 4t t t t x试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
樊昌信-通信原理(第五版)-第2章 确定信号分析
第2章 确定信号分析 章
其中: (2.18)
为功率信号x(t)的功率谱，它为单位频带上的信号功率，表示 信号功率在频率轴上的分布情况。由式(2.17)得： (2.19)
式(2.19)表明，信号x(t)的功率为功率谱在频域内的积分值。
23
第2章 确定信号分析 章
对于功率信号中的典型信号——周期信号，其功率谱可利 用以上方法求得。 设周期信号x(t)的周期为T0， xT(t)为x(t)的截断信号，其频 谱密度函数为XT(ω)。 xT(t)可视为x(t)与矩形窗函数的乘积，即
第2章 确定信号分析 章
以上讨论了周期信号和非周期信号的频谱分析方法。然而， 把确定信号分为周期信号和非周期信号有一定的局限性，如在 通信系统中，常会遇到一类非正规信号，它是一种确定信号， 因为从理论上总能找到一种函数来近似表示它，但它既不是周 期信号，也不是有始有终的非周期信号，如图2.2所示。对这 类非正规信号应如何描述呢? 下面将进一步研究。
31
第2章 确定信号分析 章
【例2.2】
设x1(t)、 x2(t)如图2.5(a)、(b)所示，试求两信
号的互相关函数R12(τ)。 解：由图可见， x1(t)和x2(t)的表示式分别为
32
第2章 确定信号分析 章
根据互相关函数的计算式(2.42)， R12(τ)为
τ≥0时， x2(t+τ)是x2(t)在t轴上向左移τ的结果。所以乘积 x1(t)·x2(t+τ)存在的积分区间为t=0到t=a－τ，如图2.5(c)所示，于 是有：
解：x(t)为一矩形脉冲，其表示式为
求解自相关函数R(τ)的步骤与例2.2相同，关键在于确定 x(t)·x(t+τ)的积分区间。
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第二章习题习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成：()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=0.5，P (θ=π/2)=0.5 试求E [X (t )]和X R (0,1)。
解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22t t t ππππ+-cos t ω习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成：()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
[]/2/2/2/21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dtT ττπθπτθ→∞-→∞-=+=+++⎰⎰222cos(2)j t j t e e πππτ-==+2222()()()(1)(1)j f j tj t j f X P f R e d ee e df f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++⎰⎰习题2.3 设有一信号可表示为：4exp() ,t 0(){0, t<0t X t -≥=试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。
X (t )的傅立叶变换为：(1)004()()441j t t j t j tX x t edt e e dt e dt j ωωωωω+∞-+∞--+∞-+-∞====+⎰⎰⎰ 则能量谱密度 G(f)=2()X f =222416114j fωπ=++习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。
试求：(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t解：(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=⋅-⋅=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ()X P f 因为21x x 和相互独立，所以[][][]2121x E x E x x E ⋅=。
又因为[][]021==x E x E ，[][]12212x E x E -=σ，所以[][]22221σ==x E x E 。
故 ()[]()222222sin 2cos σσππ=+=t t t X E(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高斯分布，其概率分布函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=222exp 21σσπz x p 。
(3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--== []212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+= ()1222cos t t -=πσ习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2ex p f a -解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。
可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =[]cos *cos()E A t A t ωωτ+[]221cos cos (2)cos ()22A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=22A习题2.7 设()t X 1和()t X 2是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为()()ττ21X X R R 和。
试求其乘积X (t )=12()()X t X t 的自相关函数。
解：(t,t+)=E [X (t )X (t+)]=E [1212()()()()X t X t X t X t ττ++]=[][]1122()()()()E X t X t E X t X t ττ++=12()()X X R R ττ习题2.8 设随机过程X (t )=m (t )cos t ω，其中m (t )是广义平稳随机过程，且其自相关函数为4210,10 kHZ 10 kHZ()0,X f f P f -⎧-<<=⎨⎩其它 (1)试画出自相关函数()X R τ的曲线；(2)试求出X (t )的功率谱密度()X P f 和功率P 。
解：(1)()1, 101010,x R τττττ+-<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它 其波形如图2-1所示。
图2-1信号波形图(2)因为)(t X 广义平稳，所以其功率谱密度()()τωX X R P ↔。
由图2-8可见，()τX R 的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⨯*-++⨯=2Sa 2Sa 4112Sa 21210202200ωωωωωωωδωωδππωx P()()210,21d 21====⎰∞∞-x x R S P P 或ωωπ习题 2.9设信号x (t )的傅立叶变换为X (f ) =sin ffππ。
试求此信号的自相关函数。
解：x (t )的能量谱密度为G (f )=2()X f =2sin ffππ 其自相关函数()21, 10()1010,j f X R G f edf πττττττ+∞-∞+-≤≤⎧⎪==-≤<⎨⎪⎩⎰其它习题2.10 已知噪声()t n 的自相关函数()ττk -e 2k R n =，k 为常数。
(1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。
解：(1)222()()2(2)k j j n n k k P f R ed e e d k f τωτωττττπ-+∞-+∞--∞-∞===+⎰⎰21()τx R -1τ1()20k R P n ==(2)()n R τ和()f P n 的曲线如图2-2所示。
图2-2习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：()1, 11R τττ=--≤<试求X (t)的功率谱密度()X P f 并画出其曲线。
解：详见例2-12习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为4210,10 kHZ 10 kHZ()0,X f f P f -⎧-<<=⎨⎩其它 试求其平均功率。
解：34310*1042410802()2102*10**1033X f P P f df f df +∞--∞====⎰⎰习题2.13 设输入信号/,0()0,0t e t x t t τ-⎧≥=⎨<⎩ ，将它加到由电阻R 和电容C 组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC ＝。
试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为H(f)=()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞输入信号的傅里叶变换为X(f)=11122j f j f τπτπττ=++输出信号y(t)的能量谱密度为22()()()()11()(1)22y R G f Y f X f H f R j fCj f τππτ===++习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=[]()/dx t dt τ式中，τ为常数。
试求该线性系统的传输函数H(f).()τn R 2k τ()f P n 1fCR图2-3RC 高通滤波器解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*2*()j f X f τπ,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j 2f πτ习题2.15 设有一个RC 低通滤波器如图2-7所示。
当输入一个均值为0、双边功率谱密度为2n 的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。
解：参考例2-10习题2.16 设有一个LC 低通滤波器如图2-4所示。
若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为2n 的高斯白噪声时，试求 (1) 输出噪声的自相关函数。
(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为H(f)=2221221422j fC f LCj fLj fCππππ=-+输出过程的功率谱密度为20021()()()21i n P P H LCωωωω==- 对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为00()exp()4Cn CR L Lττ=-(2) 输出亦是高斯过程，因此 20000(0)()(0)4Cn R R R Lσ=-∞==习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为2n 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。
解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。
由 2.15题可知E(y(t))=0 , 200(0)4y n R RCσ==所以输出噪声的概率密度函数202())y x RCp x n =-习题2.18设随机过程()t ξ可表示成()2cos(2)t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随变量，且(0)1/2(/2)1/2p p θθπ====、，试求[(1)]E ξ及(0,1)R ξ。
图2-4LC 低通滤波器解：[(1)]1/2*2cos(20)1/2*2cos(2/2)1;E ξπππ=+++=(0,1)[(0)(1)]1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2R E ξξξππππ==+++=习题2.19设1020()cos sin Z t X w t X w t=-是一随机过程，若1X 和2X 是彼此独立且具有均值为 0、方差为2σ的正态随机变量，试求： （1）[()]E Z t 、2[()]E Z t ； （2）()Z t 的一维分布密度函数()f z ； （3）12(,)B t t 和12(,)R t t 。
解： （1）10200102[()][cos sin ]cos []sin []0E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=-=因为1X 和2X 是彼此独立的正态随机变量，1X 和2X 是彼此互不相关，所以12[]0E X X =22222222210200102[()][cos sin ]cos []sin []E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=+又1[]0E X =;222112()[][]D X E X E X σ=-= 221[]E X σ⇒=同理222[]E X σ=代入可得 22[()]E Z t σ=（2）由[()]E Z t =0；22[()]E Z t σ= 又因为()Z t 是高斯分布可得 2[()]D Z t σ=22[()])2z f Z t σ=- (3)12121212(,)(,)[()][()](,)B t t R t t E Z t E Z t R t t =-=101201102202[(cos sin )(cos sin )]E X w t X w t X w t X w t =--221010220102220120[(cos cos sin sin )]cos ()cos E X w t w t X w t w t w t t w σστ=+=-=令12t t τ=+习题2.20求乘积()()()Z t X t Y t =的自相关函数。