安徽省亳州市高三数学一模(期末)试卷
安徽省亳州市2021届高三数学上学期期末考试质量检测试题文（含解析）
6. 平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点 ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由， ，
，应选B。
7. 在三棱锥 中， ，那么点 在平面 的射影必然在〔 〕
A. 边的中线上B. 边的高线上
C. 边的中垂线上D. 的平分线上
【答案】C
【解析】由 可知，它们的投影长度相等，那么点 的投影是底面的外心，即在 边的中垂线上，应选C。
试题解析：
〔1〕 时， ，
故 ，即不等式 的解集是 ；
〔2〕 时， ，
当 时， ，显然知足条件，此时为任意值；
当 时， ；
当 时，可得 或 ，求得 ；
综上， .
点睛：此题考察绝对值不等式问题。解绝对值不等式的根本思想是去绝对值，取得分段函数 ，再别离解不等式即可。绝对值问题的核心就是去绝对值。
【答案】〔1〕0.0625〔2〕26〔3〕
【解析】试题分析：〔1〕 ；〔2〕中位数估量为： ；〔3〕高度在 的植株个数为 ，高度在 的植株个数为2，可计算根本领件总数为：28，植株来自同一组有根本领件 ，故所求概率为 。
试题解析：
〔1〕由条件， ；
〔2〕由于 ，故中位数估量为： ；
〔3〕由样本容量为32可知，高度在 的植株个数为： ，
试题解析：
〔1〕由条件易知 在抛物线 上， ，
故 ，，
联立 得 即 ，
由 得 ，
且 ②， ③，
由①②③得 ，即直线 .
21. 函数 ，其中为自然对数的底数.
〔1〕求证：当 时，对任意 都有 ；
〔2〕假设函数 有两个极值点，求实数的取值范围.
当 时，令 ，可得 ，且 ，
安徽省亳州市(新版)2024高考数学统编版模拟(自测卷)完整试卷
安徽省亳州市（新版）2024高考数学统编版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，若，则（）A．B．C．D．第(2)题设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（）A．①和②都为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①和②都为假命题第(3)题我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定的值，类似地的值为（）A．3B．4C．6D．7第(4)题某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32第(5)题函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(7)题已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为（）A．2B．3C．4D．5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（）A．B．双曲线的离心率C．双曲线的渐近线方程为D．原点在以为圆心，为半径的圆上第(2)题为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：时间2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月编号x123456 y/百亿元11.107参考数据：．则下列说法正确的是（）A．经验回归直线经过点B．C．根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元D．相应于点的残差为0.103第(3)题已知函数（其中），下列说法正确的是（）A．存在使有3个零点B．存在使有4个零点C．不存在使有5个零点D．若有6个零点，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且，则__________．第(2)题若关于的方程组无解，则实数________第(3)题已知，则的值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．(1)求实数和的值；(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．第(2)题已知抛物线上一点的横坐标为4，且到焦点的距离为5，直线交抛物线于，两点（位于对称轴异侧），为坐标原点，且.(1)求抛物线的方程；(2)求证：直线必过定点.第(3)题已知有穷数列A：（且）.定义数列A的“伴生数列”B：，其中（），规定，.（1）写出下列数列的“伴生数列”：①1，2，3，4，5；②1，，1，，1.（2）已知数列B的“伴生数列”C：，，…，，…，，且满足（，2，…，n）.（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C所有项的和.第(4)题已知函数．(1)当时，判断的单调性；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．第(5)题已知函数存在两个极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)判断的符号，并说明理由．。
安徽省亳州市(新版)2024高考数学部编版摸底(自测卷)完整试卷
安徽省亳州市（新版）2024高考数学部编版摸底(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，是圆锥底面中心O到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题一组数据：的第30百分位数为（）A．30B．31C．25D．20第(5)题若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间12345销售量（千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A．由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数B．线性回归方程中C．残差的最大值与最小值之和为0D．可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只）第(7)题某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（）A．240种B．120种C．156种D．144种第(8)题某班级有40名同学，为庆祝中国共产党建党100周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同，所以他们获奖的概率也不同，其中，有20名同学获奖概率为0.9，12名同学获奖概率为0.8，8名同学获奖概率为0.7，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为（）A．0.83B．0.78C．0.76D．0.63二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )A．B．若，则函数的最小正周期为；C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为第(2)题半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点、、是该多面体的三个顶点，且棱长，则下列结论正确的是（）A．该多面体的表面积为B．该多面体的体积为C．该多面体的外接球的表面积为D．若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为第(3)题已知向量，满足，，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．或D．与的夹角为45°三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知为与的交点，若为等边三角形，则正数的最小值为_________．第(2)题已知函数．若实数满足，则的最小值为__________．第(3)题已知双曲线的实轴长为4，其右焦点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.第(2)题已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)当，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．第(3)题已知函数.（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.第(4)题数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)，，矩阵，求使的的最小值.(2)，，，矩阵求.(3)矩阵，证明：，，.第(5)题如图①，将个完全一样质量均匀长为的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里拉斜塔问题”．解决方案如下：如图②，若，则当积木与桌缘垂直且积木重心恰与桌缘齐平时，其伸出桌外部分最长为，如图③，若，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为，将最下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力乘以力臂，等于最下方积木的重力乘以力臂，得出方程，求出．所以当叠放两个积木时，伸出桌外最远为，此时将两个积木看成整体，其重心恰与桌缘齐平．如图④，使前两块积木的中心与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出时积木伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出4个、5个直至个积木堆叠伸出桌外的最远距离．（参考数据：，为自然常数）(1)分别求出和时，积木伸出桌外的最远距离．（用表示）；(2)证明：当时，积木伸出桌外最远超过；(3)证明：当时，积木伸出桌外最远不超过．。
安徽省毫州市利辛县第一中学2024年数学高三上期末考试模拟试题含解析
安徽省毫州市利辛县第一中学2024年数学高三上期末考试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R2．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种3．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 4．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-5．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=6．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =( )A ．{}32x x -<< B ．{}22x x -<< C ．{}62x x -<<D ．{}12x x -<<7．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=8．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2809．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．110．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π11．已知双曲线22214x y b -=（0b >0y ±=，则b =（ ）A．BCD．12．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+ D ．815i --二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省亳州市(新版)2024高考数学部编版摸底(综合卷)完整试卷
安徽省亳州市（新版）2024高考数学部编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知椭圆的左、右顶点分别是是坐标原点，在椭圆上，且，则的面积是（）A．B．4C．D．8第(2)题已知函数，则函数的零点个数为（）A．3B．5C．6D．8第(3)题两条平行直线和间的距离为，则，分别为（）A．，B．，C．，D．，第(4)题已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，且平面是边上一动点，直线与平面所成角的正切值的最大值为，则球的表面积为（）A．B．C．D．第(5)题已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b第(6)题大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（）（参考数据：）A．B．C．D．第(7)题设，分别是双曲线（，）的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分交轴于点,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为A．B．3C．D．第(8)题若锐角满足，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为B．存在使得直与直线垂直C．对于任意，直线与圆相交D．若直线过第一象限，则第(2)题近年来，中国电影行业发展迅猛，消费者追求电影剧情的高质量，重视电影内容正面传达的积极情绪，并且愿意为其买单．某机构调查到观众在观看电影时除了关注电影的剧情、情节外，还会关注电影的幕后团队、精神内涵价值观、参演人员等方面．如图所示为该机构调查的2023年中国网民观看电影时关注方面占比的统计表，则下列结论正确的是（）A．2023年中国网民观看电影时超过40%的网民会关注参演人员B．这8个方面占比的极差是31.77%C．这8个方面占比的中位数为37.69%D．2023年中国网民观看电影时至少有10.73%的网民既关注剧情、情节，又关注精神内涵价值观第(3)题下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数，对任意的时，都有，则______，函数的最小值是______.第(2)题已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________.第(3)题的展开式中的常数项是：__________．(请用数字作答)四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列满足：，. 正项数列满足：对每个，，且，，成等比数列．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，证明：．第(2)题已知各项为正数的数列，前项和为，且，（）.（1）证明：数列为等差数列，并求出数列通项公式；（2）设，求数列的前项和.第(3)题有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；(2)设第次答题后游戏停止的概率为．①求；②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．第(4)题已知双曲线：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.(1)求的方程；(2)证明：；(3)求的取值范围.第(5)题在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知，D是的中点，且.(1)求a；(2)若，垂足为H，求.。
安徽省亳州市(新版)2024高考数学人教版摸底(综合卷)完整试卷
安徽省亳州市（新版）2024高考数学人教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第(2)题一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（）A．B．C．D．第(3)题如图为某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．4B．C．D．第(4)题已知函数的定义域为R，为奇函数，且当时，，则以下结论：①的图象关于点对称；②当时，；③有4个零点；④若曲线上不同两点的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，则曲线过点的切线为的自公切线.其中正确的为（）A．②③B．①②C．①③④D．①②④第(5)题设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（）A．B．C．D．第(6)题已知中，，，与相交于点，，则有序数对（）A．B．C．D．第(7)题设函数，若仅存在两个正整数，使得则a的取值范围是的取值范围是A．B．2ln2-2<aC．D．第(8)题若关于的不等式恒成立，则正数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（）A．B．C．若，则D．第(2)题抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）A．存在点，使得B．C．对于任意的点，必有向量与向量共线D．面积的最小值为第(3)题在中，，，，如图所示，将绕逆时针旋转120°至处，则（）A．在旋转过程中，点运动的轨迹长度为B．点到平面的距离为C．异面直线与所成的角为90°D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望___________；第二次取到个白球个红球的概率为___________.第(2)题如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.第(3)题的展开式中，常数项为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)求的解集；(2)若最小值为，正实数满足，证明：．第(2)题在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响.(1)求考生甲得分的分布列和数学期望；(2)求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率.第(3)题已知函数.(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.第(4)题设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，数列前项和，证明：.第(5)题在如图所示的多面体中，ABCD是正方形，A，D，E，F四点共面，AF∥面CDE．（1）求证：BF∥面CDE；（2）若AD=DE=3，AF=1，，求证：AD⊥平面CDE．。
安徽省亳州市高三一模(期末)数学试卷
安徽省亳州市高三一模（期末)数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）定义：.若复数z满足，则z等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·惠来期中) 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A . 向右平移单位B . 向左平移单位C . 向左平移单位D . 向右平移单位3. （2分） (2017高一上·天津期中) 设函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）是（）A . 奇函数，且在（0，1）上是增函数B . 奇函数，且在（0，1）上是减函数C . 偶函数，且在（0，1）上是增函数D . 偶函数，且在（0，1）上是减函数4. （2分）(2019·赣州模拟) 已知、是椭圆：上的两点，且、关于坐标原点对称，是椭圆的一个焦点，若面积的最大值恰为2，则椭圆的长轴长的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高一上·西宁月考) 设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于________6. （1分） (2017高二下·汪清期末) 复数的实部是________．7. （1分） (2018高二下·溧水期末) 若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为________．8. （1分）(2017·莆田模拟) （x+3）（x+1）4展开式中不含x2项的系数之和为________．9. （1分） (2017高一上·无锡期末) 已知cosα= ，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=________．10. （1分） (2017高一上·孝感期末) 弧长为3π，圆心角为π的扇形的面积为________．11. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知数列{an}是无穷等比数列，它的前n项的和为Sn ，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则 =________．12. （1分）学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有________种．（用数字作答）13. （1分） (2020高三上·海淀期末) 已知点，点、分别为双曲线的左、右顶点.若为正三角形，则该双曲线的离心率为________.14. （1分） (2016高一上·泗阳期中) 方程log3（x2﹣10）=1+log3x的解是________15. （1分）(2016·上海模拟) 若2＜a＜3，5＜b＜6，f（x）=logax+ 有整数零点x0 ，则x0=________．16. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为________．三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分）(2013·上海理) 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．18. （10分） (2018高一下·汕头期末) 已知△ 内角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若，，求△ 的面积．19. （10分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0 ，有f（x0）=x0 ，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围.20. （15分） (2017高二上·如东月考) 已知椭圆：的左焦点为，离心率 .（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点.（i）若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足， .求证：为定值；（ii）若（为原点），求面积的取值范围.21. （15分）(2018高三上·静安期末) 设数列满足：① ；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
安徽省亳州市2023-2024学年高三上学期1月期末质量检测数学试题含答案
绝密★启用前毫州市普通高中2023—2024学年度第一学期高三期末质量检测数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码格贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24,{12}A x xB x x =≤=-<∣∣，则A B = （）A.{23}xx ≤<∣ B.{}22xx -≤≤∣C.{12}xx -<≤∣ D.{23}xx -≤<∣【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 和集合B 即可求解.【详解】因为{}22,{13}A x x B x x =-≤≤=-<<∣∣，所以{12}A B xx ⋂=-<≤∣.故选：C.2.已知复数()()()1i i z a a =-+∈R ，则“a<0”是“z 的实部小于0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】考查z 的实部小于0的充要条件，结合集合关系进行判断.【详解】因为()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-若其实部小于0，则10a +<，即1a <-，显然a<0是10a +<的必要不充分条件，则“a<0”是“z 的实部小于0”的必要不充分条件，故选：B .3.如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组､第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（）A.140B.240C.280D.320【答案】C 【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，求得a 的值，进一步计算即可.【详解】由已知得()50.060.040.020.011a ++++=，所以0.07a =，因为第五组的员工人数为80，所以第二组的员工人数为0.07802800.02⨯=.故选：C .4.在等差数列{}n a 中，已知()6242a a a =+，则2a =（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式进行计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d .由已知可得11548a d a d +=+，所以1d a =-，则210a a d =+=.故选：B .5.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为3，已知F 为棱1AA 的中点，,D E 分别在棱11,B B C C 上，2,1BD CE ==，记四棱锥111A B C ED -，三棱锥1F A DE -与三棱锥A DEF -的体积分别为123,,V V V ，则（）A.12V V <B.23V V <C.1223V V =D.123V V V =+【答案】D 【解析】【分析】根据条件分别计算出123,,V V V 的值，即可判定.【详解】因为()111111121323224B C ED V S ⎡⎤=⋅=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦12113132228E A FD V V -⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭1328E AFD E A FD V V V V --====，所以123V V V =+.故选：D .6.已知直线:660l kx y k -+-=和曲线:C y =，当223k <<时，直线l 与曲线C 的交点个数为（）A.0B.1C.2D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】根据直线所过定点，结合图象即可判定.【详解】直线l 的方程可化为()()660k x y +-+=，所以直线l 恒过点()6,6A --，曲线:C y =即()2290x y y +=≥，表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图），由图可知，当223k <<时，直线l 与曲线C 的交点个数为1.故选：B .7.在三棱锥-P ABC 中，已知4,AB BC AC PA PC ====，平面PAC ⊥平面ABC ，二面角P AB C --的大小为π4，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A.18πB.C.D.9π【答案】A 【解析】【分析】分别取,AC AB 的中点为,Q R ，连接,,PQ PR QR .根据题中条件可求得π4PRQ ∠=，PQ QR ==PQ 上，列出方程，解出即可.【详解】分别取,AC AB 的中点为,Q R ，连接,,PQ PR QR .因为22,4AB BC AC ===，所以222AC AB BC =+,则π2ABC ∠=,又//QR BC 则AB QR ⊥,又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PA PC =，则PG AC ⊥,PQ ⊂平面PAC ，所以PQ ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ,所以PQ AB ⊥,又PQ QR Q = ,PQ ⊂平面PQR ,QR ⊂平面PQR ,所以AB ⊥平面PQR ,又PR ⊂平面PQR ,所以AB PR ⊥,故PRQ ∠为二面角P AB C --的平面角，所以π4PRQ ∠=，所以122PQ QR BC ===三棱锥-P ABC 外接球的球心O 在直线PQ 上.设0OQ d =>，则22PQ d d CQ ±=+2222d d ±=+，解得22d =（负值舍），所以三棱锥-P ABC 外接球的半径为322，表面积为2324π18π2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A .8.当e a ≥时，函数()e lnxx f x x x a a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在[)1,+∞上的零点的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】先由()0f x =得出lne elna xxa x x+=+；再构造函数()e xF x x =+，根据函数的单调性得出题目问题等价于ln ln x x a +=根的问题，即等价于当e a ≥时，函数()ln h x x x =+与直线ln y a =在[)1,+∞上交点个数；最后根据函数()ln h x x x =+在[)1,+∞上的单调性、值域及ln 1a ≥即可求解.【详解】令()e ln 0x x f x x x a a ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，则e ln x a a x x x +=+，即ln e e ln a xx a x x+=+.构造函数()e xF x x =+，则问题等价于讨论方程()lna F x F x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的根的个数.因为函数e x y =在[)1,+∞上单调递增；函数y x =在[)1,+∞上单调递增；所以()F x 在[)1,+∞上单调递增，故问题进一步等价于讨论方程lnax x=的根的问题，即可转化为ln ln x x a +=根的问题，即等价于当e a ≥时，函数()ln h x x x =+与直线ln y a =在[)1,+∞上交点个数.因为函数ln y x =在[)1,+∞上单调递增；函数y x =在[)1,+∞上单调递增；所以函数()ln h x x x =+单调递增，故()[)1,h x ∞∈+.又因为当e a ≥时ln 1a ≥，所以当e a ≥时，方程ln ln x x a +=只有一根，所以函数()f x 在[)1,+∞上的零点的个数为1.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查同构法的应用、函数图像交点个数与函数零点个数之间的关系.解题关键在于由()0f x =得出lne elna xxa x x+=+；构造函数()e xF x x =+，根据函数的单调性得出题目问题等价于当e a ≥时，函数()ln h x x x =+与直线ln y a =在[)1,+∞上交点个数.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量,,a b c 满足()1(01)c a b λλλ=+-<< ，且()1,2c = ，则,a b 的坐标可以为（）A.()()1,0,0,2a b ==B.()()2,0,0,4a b ==C.()()3,1,1,3a b ==-D.()()2,1,4,1a b ==-【答案】BC 【解析】【分析】利用三点共线的性质进行求解问题.【详解】设,,,OA a OB b OC c O ===为坐标原点，则由()1(01)c a b λλλ=+-<<可知,,A B C 三点共线，且C 在,A B 之间，选项A ：()1,2AB =- ，()0,2AC = ，AB 与AC不平行，选项A 错误；选项B ：()2,4AB =- ，()1,2AC =- ，AB 与AC平行，且C 在,A B 之间，选项B 正确；选项C ：()4,2AB =- ，()2,1AC =- ，AB 与AC平行，且C 在,A B 之间，选项C 正确；选项D ：()2,2AB =- ，()1,1AC =- ，AB 与AC平行，但C 不在,A B 之间，选项D 错误.故选：BC .10.已知函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则（）A.3ω=B.π4ϕ=C.()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在7ππ,124⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断即可.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由图象可得到1πππ21243T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故2π3T =，因为0ω>，所以2π2π3ω=，解得3ω=，故A 正确；将π,34⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()()3sin 3f x x ϕ=+，得π3sin 334ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()3ππ2π42k k ϕ-+=+∈Z ，解得()5π2π4k k ϕ=+∈Z ，因为π<ϕ，所以当1k =-时，3π4ϕ=-，所以()3π3sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 错误；因为7π7π3π3sin 33sinπ012124f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；当7ππ,124x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3π5π3π3,422x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为3sin y x =在5π3π,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()f x 在7ππ,124⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确.故选：ACD11.将正数x 用科学记数法表示为[)10,1,10,m x a a m =⨯∈∈Z ，则lg lg x m a =+，我们把m ，lg a 分别叫做lg x 的首数和尾数，若将lg x 的首数记为()S x ，尾数记为()W x ，则下列说法正确的是（）A.()[)0,1W x ∈B.()(0)W x x >是周期函数C.若,0x y >，则()()()S xy S x S y ≥+D.若0x y >>，则()()x W W x W y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】根据新定义可判断A ，由()()W y W x =得出()10ky x k =⋅∈Z 不存在非零常数使()()W x T W x +=成立，判断B ，根据首数尾数的定义，利用对数运算判断CD.【详解】对于A ，因为[)1,10a ∈，所以()[)lg 0,1W x a =∈，故A 正确；对于B ，若()()W y W x =，必有()10ky x k =⋅∈Z ，不可能存在非零常数T ，使得10k x T x +=⋅恒成立，不符合周期函数的定义，故B 错误；对于C ，设[)()10,10,1,10,,mnx a y b a b m n =⨯=⨯∈∈Z ，则()(),,10m nS x m S y n xy ab +===⨯，若1ab ≤<10，则()S xy m n =+，若10100ab ≤<，则()110,110m n abxy S xy m n ++=⨯=++，所以()()()S xy S x S y ≥+，故C 正确；对于D ，设,x y 同选项()()C,lg ,lg ,10m n x a W x a W y b y b -===⨯，若110ab≤<，则lg lg lg x a W a b y b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若1110a b <<，则1101010,lg lg lg 1m n x a x a W a b y b y b --⎛⎫=⨯==-+ ⎪⎝⎭，所以()()x W W x W y y ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到点()0,G p l 经过点F ，且与C 交于点,P Q （P 位于第一象限），R 为抛物线上,P Q 之间的一点，S 为点P 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.2p =B.若l 的斜率为1，则当R 到l 的距离最大时，ORF （O 为坐标原点）为直角三角形C.若2PF QF =，则l 的斜率为3D.若,Q S 不重合，则直线QS 经过定点【答案】ABD【解析】【分析】利用两点距离公式求得p ，从而判断A ；利用导数的几何意义求得R 的坐标，从而判断B ；利用抛物线的定义求得tan QPT ∠，从而判断C ，联立直线与抛物线方程，利用12,y y 表示直线QS ，从而判断D.【详解】对于A ，因为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由已知得=2p =，故A 正确；对于B ，当R 到l 的距离最大时，以R 为切点的C 的切线斜率也为1，因为24y x =，所以只需考虑y =，则y '=1y '=，得1x =，则2y =，则此时()1,2R ，又F 的坐标为()1,0，所以RF x ⊥轴，所以ORF 为直角三角形，故B 正确；对于C ，如图，设C 的准线为l '，过点,P Q 分别作11,PP l QQ l ⊥⊥''，过点Q 作1QT PP ⊥，当2PF QF =时，设1122(0),22,,3PF QF t t PP QQ t PT t PQ t ==>====，所以QT =，所以tan tan PFx QPT ∠∠==l的斜率为C错误；对于D ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,S x y -，设l 的方程为()10x ky k =+≠，代入24y x =，得244y ky --=0，易得0∆>，所以12124,4y y k y y +==-，直线QS 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，则()()()2111112121411y y k y x x y x x y ky ky ky ky +=--=--+-+-()()2112111122121444x x y y y x x y y y y y y y ----+-==--()21214441x x y y y y +==+--，所以l 经过定点()1,0-，故D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 的斜率为2，且与曲线2e x y =相切，则l 的方程为__________.【答案】22y x =+【解析】【分析】由题意令()2e 2xf x '==，解方程可得切点坐标，由此即可得解.【详解】设()2e x f x =，令()2e 2xf x '==，得0x =，则切点为()0,2，故所求l 的方程为22y x =+.故答案为：22y x =+.14.已知随机变量()2,X Nμσ ，若()()23P X P X ≤-≥≥，则μ的取值范围是__________.【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】利用正态分布的性质，列出不等式，解出即可.【详解】因为()()23P X P X ≤-≥≥，所以223μ+≤，所以12μ≤.故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.15.已知π,0,,3sin cos 3cos 22αββααβ⎛⎫∈-=+= ⎪⎝⎭，则αβ-=__________.【答案】π6-##30- 【解析】【分析】平方相加可得()1sin 2αβ-=-，即可根据角的范围求解.【详解】将两式平方229sin cos 6sin cos 3,βαβα+-=22sin 9cos 6sin cos 4αβαβ++=,相加得()106sin 7αβ+-=，即()1sin 2αβ-=-，因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ22αβ-<-<，所以π6αβ-=-.故答案为：π6-16.已知椭圆22:15x C y +=的左､右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点P 在C 上，且122π3F PF ∠=，则=PO __________.【答案】##122【解析】【分析】设12,PF m PF n ==，由椭圆定义结合余弦定理可推出4mn =，继而根据122PF PF PO += ，平方后，结合数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由题意知椭圆方程为2215x y +=，则12a ,c ===，设12,PF m PF n ==，则2m n a +==，而122π3F PF ∠=，由余弦定理得2222122π2cos 43m n mn F F c +-==，即22216,()16m n mn m n mn ++=+-=，所以4mn =.因为O 为12F F 的中点，故122PF PF PO += ，所以()()22222121211||244PO PF PF PF PF m n mn =++⋅=+- ，2211()3(25)12244m n mn ⎡⎤⎡⎤=+-=-=⎣⎦⎣⎦，所以2PO = 2PO =故答案为2【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用数量积的运算法则转化PO 为12,PF PF 的关系式，从而得解.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 20a b A c +-=.（1）求B ；（2）若72b =，点D 在边BC 上，AD BC ⊥，且3AD =a .【答案】（1）π3B =（2）52a =【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到222a c b ac +-=，再由余弦定理计算可得；（2）首先由等面积法求出c ，再由222b a c ac =+-，代入b 、c 的值，即可求出a ，再检验即可.【小问1详解】因为2cos 20a b A c +-=，由余弦定理得2222202b c a a b c bc+-+⋅-=，整理得222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由题意知11sin 22a AD ac B ⨯=，所以4sin 2AD c B ===，由（1）的过程可得222b a c ac =+-，代入,b c 的值整理得2416150a a -+=，解得52a =或32a =.当32a =时，222c ab >+，此时C 为钝角，不符合条件，当52a =时，222c a b <+，符合条件，所以52a =.18.记正项等比数列{}n a ､等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，已知1431,13a b S ===，327T =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设集合{}{}856,,n i j A n T B a a i j A =<<=+∈∣∣，求B 中元素的个数.【答案】（1）13n na -=，25nb n =+（2）10个【解析】【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式及前n 项和公式进行计算即可；（2）解出集合A 后，根据组合数公式进行计算即可.【小问1详解】设{}n a 的公比为{},n q b 的公差为d ，因为131,13a S ==，所以2113q q ++=，解得3q =或4-（舍去），所以1113n n n a a q --==.因为327T =，所以2327b =，即29b =，因为413b =，所以4222b b d -==，所以()()2292225n b b n d n n =+-⨯=+⨯-=+.【小问2详解】因为()()12725622n n n b b n n T n n +++===+，所以{}{}{}285686562,3,4,5n A n T n n n =<<=<+<=∣∣，因为23453,9,27,81a a a a ====，从3,9,27,81四个数中任取两个数（可重复）有1244C C 10+=种取法，易知不同取法中的两个数之和都互不相等，故集合B 中的元素有10个.19.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2,E 为棱1CC 的中点.（1）求证：平面1ACB ⊥平面11BDD B ；（2）若π3BAD ∠=，求二面角1C AB E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据直棱柱可得1BB AC ⊥，根据菱形ABCD 可得AC BD ⊥，故可得AC ⊥平面11BDD B ，故可证面面垂直.（2）利用向量法可求平面1AB C 的法向量与平面1AB E 的法向量的夹角的余弦值，故可求它的正弦值.【小问1详解】在直四棱柱中，1BB ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，因为四棱柱的各棱长均相等，故四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为1BB BD B ⋂=，1,BB BD ⊂11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B .因为AC ⊂平面1ACB ，所以平面1ACB ⊥平面11BDD B .【小问2详解】设AC 与BD 的交点为O ，则AC BD ⊥，根据直四棱柱可以O 为坐标原点，,OB OC 所在直线为x 轴､y 轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知()()()()10,,0,,1,0,2,0,A C B E ，则()()()10,,2,0,AC AB AE === .设平面1AB C 的法向量为(),,m x y z =，则100m AC m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，取()2,0,1m =- .设平面1AB E 的法向量为(),,n a b c = ，则100n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020c a c ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，取(n =- .因为cos ,||||5m n m n m n ⋅〈〉== ，所以二面角1C AB E --15=.20.小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A 类题和B 类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A ，另外2个标有字母B ，小张从中任取3个小球，若取出的A 球比B 球多，则答A 类题，否则答B 类题.（1）设小张抽到A 球的个数为X ，求X 的分布列及()E X .（2）已知A 类题里有4道论述题和1道计算题，B 类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答.（i ）求小张回答论述题的概率；（ii ）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A 类题的概率.【答案】（1）分布列见解析，()95E X =（2）（i ）3750；（ii ）2837【解析】【分析】（1）根据条件求得X 的所有可能取值及相应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可；（2）（i ）根据全概率公式进行计算即可；（ii ）根据条件概率公式进行计算即可.【小问1详解】X 的所有可能取值为1,2,3，()()122132323355C C C C 331,2,C 10C 5P X P X ======()3335C 13C 10P X ===,所以X 的分布列为X123P 31035110故()3319123105105E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】记事件A =“小张回答A 类题”，B =“小张回答B 类题”，C =“小张回答论述题”.（i ）由（1）知()()3173,5101010P A P B =+==，由题意知()()43,55P C A P C B ==∣∣，所以()()()()()P C P CA P A P CB P B =+∣∣47333751051050=⨯+⨯=.（ii ）()()()471451025P AC P CA P A ==⨯=∣，所以()()()2837P AC P A C P C ==∣.21.已知函数()e lnx x f x a a =-.（1）若e a =，求()f x 的极小值；（2）若对任意的()0,x ∈+∞和()0,a ∈+∞，不等式()f x ka ≥恒成立，求k 的最大值.【答案】（1）()12ef =（2）2【解析】【分析】（1）利用导数考查函数的单调性，结合极小值的定义求出即可；（2）参变分离后，利用导数考查函数的单调性，求出函数的最小值，即可求得k 的取值范围,继而求解.【小问1详解】当e a =时，()e eln e xf x x =-+，所以()()e e ,0,x f x x x=-∈+∞'，易知()f x '在()0,∞+上单调递增，且()10f '=，所以当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()1,+∞上单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值()12e f =.【小问2详解】因为0a >，所以()f x ka ≥恒成立等价于e ln x x k a a-≥恒成立.设()e ln x x g x a a =-，则()e 1x g x a x=-'，易知()e 1x g x a x=-'在()0,∞+上单调递增，且当0x →时，()g x '→-∞，当x →+∞时，()g x '→+∞，所以()g x '在()0,∞+内存在唯一零点0x ，即()()00000e 1e 10,*x x g x a x a x '=-==，当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>在()0,x +∞上单调递增，所以()min 0()g x g x =.结合()*式，可知：()00000e e 1ln ln ln x x x g x a a a a x =-=++00001e 1ln ln 2x a x x a x =++=+≥，当且仅当01,e x a ==时取等号，即当e a =时，()g x 的最小值为2，要使()g x k ≥恒成立，须2k ≤，即k 的最大值为2.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）()a f x ≥恒成立()max a f x ⇔≥；（2）()a f x ≤恒成立()min a f x ⇔≤.22.已知双曲线()22:40C x y λλ-=≠经过点)A ，直线()2y t t =≠±与C 交于,M N 两点，直线,AM AN 分别与y 轴相交于点,P Q .（1）证明：以线段PQ 为直径的圆恒过点()2,0R ；（2）若MN <，且AM AQ AN AP =，求t .【答案】（1）证明见解析（2）65t =【解析】【分析】（1）根据双曲线经过点A 得到双曲线的方程，然后通过证明0RP RQ ⋅= 来说明以线段PQ 为直径的圆恒过点()2,0R ；（2）根据AM AQAN AP =列方程得到222(2)m t -=-，再结合2214t m =+求t 即可.【小问1详解】将)2代入224x y λ-=，得222λ-=，所以4λ=，所以C 的方程为2214y x -=.要证明以线段PQ 为直径的圆恒过点()2,0R ，即证0RP RQ ⋅= .设()(),,,M m t N m t -，根据题意知直线,AM AN的斜率存在，则m ≠，故直线:2AM y x =-+，令0x =，得P ⎛⎫ ⎝，用m -替换m，得Q ⎛⎫ ⎝.所以,2,RP RQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎝⎝ ，所以2222442t m RP RQ m -⋅=+- .因为2214t m -=，所以2244t m =-，所以224844402m RP RQ m -⋅=+=-=- ，故原命题得证.【小问2详解】因为MN <m <由AM AQAN AP =可得AM AP AN AQ ⋅=⋅，记AM的斜率为k =，则))()21AM AP m m k ⋅=-=-+)2221m ⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦用m -替换m，可得22AN AQ ⋅=2222=化简可得222(2)m t -=-，又2214t m =+，所以2516120t t -+=，解得65t =或2t =（舍去）.所以65t =.。
2023-2024学年安徽省亳州市高三下学期高考数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年安徽省亳州市高考数学模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,3,{ln 1}A B xx =-=<∣，则A B = （）A ．{}1,0,1,2-B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2【正确答案】D【分析】先解对数不等式ln 1x <求出集合B ，再求A B ⋂即可.【详解】由ln 1x <，得ln ln e x <，所以0e x <<，即{0e}B x x =<<，所以A B = {}1,2.故选：D2．若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为3，则该正四棱台的体积为（）A ．5B ．7C ．92D ．152【正确答案】B【分析】根据棱台的体积公式即可求解.【详解】11()(14)3733V S S h =+=⨯+⨯=下上棱台.故选：B3．已知3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若()sin 4cos αββ+=，则()tan αβ+=（）A ．167-B ．78-C ．167D ．23【正确答案】C【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=-=，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.4．如图，小明从街道的A出发，选择一条最短路径到达C处，但B处正在维修不通，则不同的路线有（）种A．66B．86C．106D．126【正确答案】B【分析】求出从A到C不同的路线总数，减去从A到C的过程中途经B处的路线数，即可得出答案.【详解】要使A到C的路径最短，则小明到达每个网格点后只能选择向右或向上走到下一个网格点，且选择向右的次数为5，选择向上的次数为4，总共9次选择，所以从A到C总共有59C126=种不同的路线，同样，从A到B相当于在4次选择中3次向右，1次向上，所以A到B总共有34C4=种不同的路线，从B到C相当于在5次选择中2次向右，3次向上，所以B到C总共有25C10=种不同的路线，故从A到C的过程中途经B处的路线数为4×10＝40种，但B处正在维修不通，则不同的路线有126－40＝86种．故选：B.5．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为p和1p-.假设发送信号0和1是等可能的.已知接收到1的概率为0.525，则p的值为（）A．0.8B．0.85C．0.9D．0.95【正确答案】D【分析】分发送信号0或1两类情况，利用全概率事件的概率求解.【详解】解：由题意得：110.10.525 22p⨯+⨯=，解得0.95p =，故选：D.6．元代数学家朱世杰所创立的“招差术”是我国古代数学领域的一项重要成就，曾被科学家牛顿加以利用，在世界上产生了深远的影响.已知利用“招差术”得到以下公式：11(1)(1)(2)3nk k k n n n =+=++∑，具体原理如下：()()()()()()()()111121121133k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎤+=++--=++--+⎣⎦⎦，11(1)23(234123)(1)(2)(1)(1)]3nk k k n n n n n n =+=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++++--+∑ ()()1123n n n =++，类比上述方法，51(1)(2)k k k k =++∑的值是（）A ．90B ．210C ．420D ．756【正确答案】C【分析】由类比把通项()()12n n n ++化为()()()()()()()()()()()()1112123112311244n n n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎤++=+++--=+++--++⎣⎦⎦，相加即可求和.【详解】()()()()()()()()()()()()1112123112311244n n n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎤++=+++--=+++--++⎣⎦⎦511(1)(2)[(12340123)(23451234)(56784567)]4k k k k =++=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯∑ 156784204=⨯⨯⨯⨯=.故选：C7．已知平面向量a 、b、c 满足2a b a b ==⋅= ，1a c -= ，c xa yb =+ ，则x y +的取值范围是（）A．1⎡+⎢⎣⎦B．1⎡-+⎢⎣⎦C．⎡⎢⎣⎦D．⎡⎢⎣⎦【正确答案】A【分析】由已知可得()1a c x a yb -=--，利用平面向量数量积的运算可得())22221x y +-+=，设22sin cos x y θθ+-=⎧⎪=，可得出πsin 136x y θ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的值域可得出x y +的取值范围.【详解】因为平面向量a 、b 、c满足2a b a b ==⋅= ，1a c -= ，c xa yb =+ ，则()1a c x a yb -=-- ，所以，()()()2222221121a c x a yb x a x ya b y b ⎡⎤-=--=---⋅+⎣⎦ ()()22414141x x y y =-+-+=，即224448430x xy y x y ++--+=，即()()22242431x y x y y +-+++=，即())22221x y +-+=，令22sin cos x y θθ+-=⎧⎪=，则22sin cos 3x y y θθ+-=⎧⎪⎨=⎪⎩，上述两个等式相加可得()2sin 2x y θθ+=++，则π116x y θ⎡⎛⎫+=++∈-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦.故选：A.8．狄利克雷（1805～1859）Dirichlet ，PeterGustavLejeune 德国数学家.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数()D x ，狄利克雷函数是数学分析中典型的病态函数.()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数则关于()D x 有以下结论中不正确的是（）A ．()()R,22x D x D x ∀∈+=--B ．()(),T Q D x T D x ∀∈+=C ．存在()1,2,3i x Q i ∈=使得以点()()(),1,2,3i i x D x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形D ．设函数()()2f x x D x =，则()00f '=【正确答案】C【分析】结合定义，根据选项，讨论x 的情况，即可判断选项.【详解】A.若x 为有理数，则2,2x x +--都是有理数，则()()221D x D x +=--=，若x 是无理数，则2,2x x +--都是无理数，则()()220D x D x +=--=，故A 正确；B.若x 为有理数，T Q ∈，则x T +都是有理数，则()()1D x T D x +==，若x 为无理数，T Q ∈，则x T +都是无理数，则()()0D x T D x +==，故B 正确；C .设()()()()11223344,,,,,,,,AC BC A x y B x y C x yD x y ⊥①当AB 在x 轴上，则12,x x 为无理数，且1AD CD BD ===，则3x 为无理数，矛盾②当AB 不在x 轴上，则1x 和2x 为有理数，则3x 为无理数，矛盾，均不存在，故C 错误；D .2000()(0)()lim lim lim ()00x x x f x f x D x xD x x x→→→-===-，故()00f '=，故D 正确.故选：C二、多选题9．已知12,C z z ∈且11z =，若122i z z -=，则下列说法正确的有（）A ．111z z ⋅=B ．1212z z z z +=+C ．12z z +的最大值是4D ．若10z >，则2z 在复平面内对应的点在第一象限【正确答案】ABC【分析】设复数1i z a b =+，2i z a c =+，,,R a b c ∈，根据复数代数形式的乘法运算判断A ，根据共轭复数的定义判断B ，求出12z z +，再表示出12z z +，即可求出12z z +的最大值，从而判断C ，若10z >则1R z ∈，即可求出2z ，根据复数的几何意义判断D.【详解】设复数1i z a b =+，2i z a c =+，,,R a b c ∈，11z = ，221a b ∴+=①，所以()()2222211i i i 1z z a b a b a b a b ⋅=+-=-=+=，故A 正确；221a b +=，11b ∴-≤≤，又122i z z -=，即()i 2i b c -=，所以2b c -=，所以()122i z z a b c +=++，则()122i z z a b c +=-+，1i z a b =-，2i z a c =-，所以1212z z z z +=+，故B 正确；因为12z z +==∴当1b =-时，12z z +4=，故C 正确；若10z >，则1R z ∈，即1a =，0b =，所以2c =-，则212i z =-，则2z 在复平面内对应的点为()1,2-，位于在第四象限，故D 错误.故选：ABC ．10．已知F 为抛物线24y x =的焦点，K 为其准线与x 轴的交点，O 为坐标原点.直线0y -=与该抛物线交于A 、B 两点.则以下描述正确的是（）A ．线段AF 的长为4B ．AOB 的面积为3C ．3OA OB ⋅=-D ．抛物线在A 、B 两点处的切线交于K 点【正确答案】BC【分析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，根据焦半径公式判断A 、B ，利用数量积的坐标表示判断C ，利用导数求出切线方程，即可判断D.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线为=1x -，所以()1,0K -，由24y x y ⎧=⎪--，消去y 整理得231030x x -+=，解得13x =，213x =，此时1y =2y =12103x x +=，121=x x ，124y y =-，即(3,A ，1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，或(B ，1,3A ⎛ ⎝⎭，所以42A p AF x =+=或423A p AF x =+=，故A 错误；因此1163233AB =++=，因此原点O 到直线AB 的距离等于2d ==，所以11623AOB S =△B 正确；12123OA OB x x y y ⋅=+=-，故C 正确；对于D ：不妨取(3,A ，1,33B ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，由y =12y x-'=，则123|33x y -='==，则过(3,A的切线方程为)3y x-=-，即y =，显然曲线在点A 处的切线不过()1,0K -，故D 错误；故选：BC11．已知ABC 三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且π3A =，4a =.则下列结论正确的是（）A ．ABC面积的最大值为B ．cos cos b C c B +=C ．BA BC ⋅的最大值为8D ．cos cos B C 的取值范围为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】ACD【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得bc的最大值，结合三角形的面积公式可判断A 选项；利用余弦定理可判断B 选项；利用正弦定理、平面向量数量积的定义、三角恒等变换化简πsin 2833BA BC B ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的基本性质可判断C 选项；利用三角恒等变换可得出cos 1tan cos 22B C C =-，结合正切函数的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为π3A =，4a =，由余弦定理和基本不等式可得22222162cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当4b c ==时，等号成立，故11πsin sin 16223ABC S bc A bc ===≤=△所以，ABC的面积的最大值为A 对；对于B 选项，222222cos cos 422a b c a c b b C c B b c a ab ac +-+-+=⋅⋅==，B 错；对于C选项，由正弦定理可得sin sin 3c a C A ==，则c C =，因为π3A =，则2π03B <<，所以，ππ5π2333B <+<，由平面向量数量积的定义可得cos 4cos cos BA BC ca B c B C B⋅===π1cos sin cos 32B B B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2cos 16cos 28cos 21B B B B B =+=++16π28cos 28sin 2883333B B B ⎛⎫=++=++≤+⎪⎝⎭，当且仅当ππ232B +=时，即当π12B =时，等号成立，故BA BC ⋅的最大值为8+，C 对；对于D 选项，因为π3A =，则2π03C <<，由题意可知，cos 0C ≠，所以，ππ2π0,,223C ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π1cos cos cos 1322tan cos cos cos 22C C CB C C C C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭===-，当π02C <<时，tan 0C >，则cos 11tan cos 222B C C =->-；当π2π23C <<时，tan C <cos 131tan 2cos 2222B C C =-<--=-.综上所述，cos cos B C 的取值范围为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，D 对.故选：ACD.12．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4,P 是直线1A B 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A ．DP 的最小值为B ．PA PC +的最小值为C ．若Q 为直线AC 上一动点，则线段PQ 的最小值为3D ．当113A B A P =时，过点P 作三棱锥11C A BD -的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为643π【正确答案】AC【分析】DP 的最小值为等边三角形1DA B △的高，可求解A ；将1AA B 与矩形11A D CB 沿着1A B 翻折到一个平面内，可知PA PC +的最小值为AC ，进而利用余弦定理求解B ；转化问题为求异面直线1A B 和AC 之间的距离，进而建立空间直角坐标系利用向量求解C ；结合113A B A P =可得P 的坐标，进而得到3OP =，根据OP ⊥过点P 的外接球的截面时，所得截面面积最小，进而求解D.【详解】对于A ，在1DA B △中，11DA DB A B ===，所以1DA B △为边长为所以DP 的最小值为1DA B △的高，此时P 为,A B 中点，即min DP ==A 正确；对于B ，将1AA B 与矩形11A D CB 沿着1A B 翻折到一个平面内，如图所示，所以PA PC +的最小值为AC ，此时,,P A C 三点共线，又14AB AA BC ===，145ABA ∠=︒，190A BC ∠=︒，即135ABC ∠=︒，由余弦定理得，2222cos13532AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=+即AC ==即()min PA PC +=，故B 错误；对于C ，根据题意，即求异面直线1A B 和AC 之间的距离，分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()4,4,0C ，()10,0,4A ，则()14,0,4BA =-，()4,4,0AC = ，()10,0,4AA = ，设直线1A B 与AC 的共垂线向量为(),,n x y z =，则100n BA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即440440x z x y -+=⎧⎨+=⎩，即x zx y=⎧⎨=-⎩，可取()1,1,1n =- ，所以异面直线1A B 和AC 之间的距离为1333AA n d n⋅== ，所以线段PQ 的最小值为33，故C 正确；对于D ，设三棱锥11C A BD -的外接球心为O ，当OP ⊥过点P 的外接球的截面时，所得截面面积最小，因为113A B A P =，由选项C 知，()48,0,,2,2,233P O ⎛⎫⎪⎝⎭，则2113OP =，而三棱锥11C A BD -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球，所以三棱锥11C A BD -的外接球直径为正方体1111ABCD A B C D -的体对角线，即222244443R =++=11C A BD -的外接球半径为23所以P 所在圆的直径83r =，所以所得截面面积为264ππ9S r ==，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．()62(1)21x x x +++展开式中3x 的系数为__________.【正确答案】56【分析】根据多项式乘法法则，求得6(1)x +中23,,x x x 的系数，应用乘法法则计算可得．【详解】()62(1)21x x x +++展开式中含3x 的项为：()2423335666C 2C C 156x x x x x x ⋅+⋅+⋅=．故56．14．已知两定点()()4,0,2,0A B -，如果动点M 满足2MA MB =，点N 是圆22(3)9x y +-=上的动点，则MN 的最大值为__________.【正确答案】12【分析】首先求点M 的轨迹方程，再利用数形结合求MN 的最大值.【详解】设点(),M x y ，整理为：()22416x y -+=，设圆()22416x y -+=的圆心为1C ，圆22(3)9x y +-=的圆心为2C ，如图，可知，MN 的最大值是圆心距加两个圆的半径，即53412++=.故1215．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点13,2P ⎫⎪⎭作12F PF ∠的角平分线交椭圆C 的长轴于点M ，则点M 的坐标为__________.【正确答案】334⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】根据角平分线定理可得1122PF F M PF F M=，利用坐标运算即可得答案.【详解】椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为())123,0,3,0F F ，又13,2P ⎫⎪⎭由角平分线知1122PF F M PF F M=()2222123233102M M x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得334M x =，所以点M 坐标为334⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故答案为.33,04⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭四、双空题16．将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，余下的区间段长度为1a ；再将余下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为2a ．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程．记数列{}n a 表示第n 次操作后余下的区间段长度．（1）3a =______；（2）若n *∀∈N ，都有23n n a a λ≤恒成立，则实数λ的取值范围是______．【正确答案】827100,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题目条件，可以分别求出123,,a a a 的取值；（2）结合（1）以及题目条件，先求出23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n *∀∈N ，23n n a a λ≤恒成立，转化为32max 23n n λ-⎡⎤⎛⎫≥⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再利用函数的单调性，即可求得本题答案.【详解】（1）由题意可知，123a =，2212233a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，3322233a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以3827a =；（2）结合（1）以及题目条件，可知数列{}n a 是一个等比数列，且首项123a =，公比23q =，所以1123nn n a a q-⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，因为n *∀∈N ，都有23n n a a λ≤恒成立，且3827a =，所以3223n n λ-⎛⎫≥⋅ ⎪⎝⎭恒成立，只需32max 23n n λ-⎡⎤⎛⎫≥⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，记()3223n g n n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，n *∈N ，显然()0g n >，所以()()()()222322211213323n n n g n n g n nn --⎛⎫+⋅ ⎪++⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，令()()11g n g n +≤，即()221213n n +≤，化简得，2420n n --≥，解得2n ≥+n *∈N ，所以当5n ≥且n *∈N 时，(1)1()g n g n +≤，即()3223n g n n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭单调递减，又229(1)134g -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，122(2)263g -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，022(3)393g ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()4322324433g -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()53221005539g -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，所以()()()()()12345g g g g g <<<<，综上，当5n =时，()g n 取最大值1009，所以1009λ≥，即实数λ的取值范围是100,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故827；100,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭五、解答题17．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90ABC ∠=︒，122BC CD AB ===，PA BD ⊥.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由题意，利用勾股定理逆定理证明AD BD ⊥，由已知PA BD ⊥，证明BD ⊥平面PAD ，从而证明平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）四棱锥P ABCD -中，90ABC ∠=︒，122BC CD AB ===，则BD =AD 4AB =，222BD AD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，又PA BD ⊥，且PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，BD ∴⊥平面PAD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，即平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,B，()C，P，所以()0,DB =uuu r，(PC =-，DP =，设平面PBD 的法向量为(),,n x y z=，则00n DB n DP ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令x =1z=-，所以)1n =-，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin 248n PC n PC θ⋅===⨯⋅ ，所以直线PC 与平面PBD.18．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若方程()()sin cos 20g x k x x +++=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.【正确答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数的图象求得A 和ω，再将π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入求解；（2）由（1）得到()sin2g x x =，再令sin cos ,1,t x x t ⎡=+∈⎣，转化为二次方程求解.【详解】（1）解：由函数的图象知：2πππ1,2362T A ==-=，则πT =，所以2π2Tω==，()sin(2)f x x ϕ=+，因为ππsin()063f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以ππ,Z 3k k ϕ+=∈，则ππ-,Z 3k k ϕ=∈，又因为π2ϕ<，则π-3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）由题意得：()sin2g x x =，令sin cos ,1,t x x t ⎡=+∈⎣，则()()sin cos 20g x k x x +++=化为：2120t kt -++=，即1k t t-=+在t ⎡∈⎣上有解，由对勾函数的性质得：1m t t ⎡=+∈⎢⎣⎦，所以2k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.19．数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明2n T <.【正确答案】(1)222n n n a ++=(2)证明见解析【分析】（1）利用累加法计算可得；（2）由（1）可得222211221n b n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）因为11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+，所以当2n ≥时，213212,3,,n n a a a a a a n --=-=-= ，将以上各式相加，得()()112232n n n a a n -+-=++=，则222nn n a++=，当1n =时也符合上式，故222n n n a ++=.（2）由题意()221222112211n n b a n n n n n n n n ⎛⎫==<==- ⎪+++++⎝⎭.所以121111112121222311n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++<-+-+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭20．某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：理工迷非理工迷总计男243660女122840总计3664100(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？(2)在人工智能中常用()(|)|(|)P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A 表示“选到的学生是非理工迷”，B 表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计()|L B A 的值.(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数X 的概率分布列及数学期望.参考数据与公式：α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【正确答案】(1)认为理工迷与性别无关(2)97(3)分布列见解析，数学期望为2【分析】（1）计算出卡方，即可判断；（2）根据条件概率公式计算可得；（3）首先利用分层抽样求出男生、女生抽取的人数，则X 的所有可能取值为1，2，3，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望.【详解】（1）提出假设0H ：“理工迷”与性别无关.则22100(24281236)25 1.046040366424K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，而1.04 6.635<，根据0.010α=的独立性检验，可以推断0H 成立，所以认为理工迷与性别无关.（2）因为()()(|)()()369()|287(|)()()()()P AB P B A P AB n AB P A L B A P B A P AB P AB n AB P A ======，所以估计()|L B A 的值为97.（3）按照分层抽样，男生抽取246436⨯=人，女生抽取126236⨯=人，随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，所以()124236C C 11C 5P X ===，()214236C C 32C 5P X ===，()304236C C 13C 5P X ===，所以X 的分布列为：X123P153515则()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=.21．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点2F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F .我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为2212221,,x y F F a b -=分别为其左、右焦点，若从右焦点2F 发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后（2F A B ､､在同一直线上），满足3,tan 4AB AD ABC ∠⊥=-.(1)当AB 4=时，求双曲线的标准方程；(2)过2F 且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于,S T 两点，点M 是线段ST 的中点，试探究212MF F F是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.【正确答案】(1)22132y x -=(2)【分析】（1）延长DA 与CB 交于1F ，根据3,tan 4AB AD ABC ∠⊥=-，得到114,3,5AB AF BF ===，再设2AF x =，利用双曲线的定义求解；（2）设1124,3,5,AB k AF k BF k AF x ====，利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方程2232y x =，设直线方程为()2y x c =-，联立求得86,55c c M ⎛⎫⎪⎝⎭即可.【详解】（1）解：如图所示：延长DA 与CB 交于1F ，因为3,tan 4AB AD ABC ∠⊥=-，所以114,3,5AB AF BF ===，设2AF x =，则()354x x -=--，即1x =，2222543110,,2312,12c c a a =+===-==，故方程为22132y x -=；（2）设1124,3,5,AB k AF k BF k AF x ====，则()2222354,,4910k x k k x x k c k k k -=--==+=，225,232,2c k a k k k a k ==-==，两渐近线所在直线方程为：2y x =±，设直线方程为()2y x c =-，将渐近线两侧平方与直线联立，则()22322y x y x c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得12825x x c +=，则86,55c c M ⎛⎫⎪⎝⎭，则25MF c =，故21252MF F F c =.22．已知函数()2ln f x x x mx =-.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)当1m =，方程()f x bx =有两个不同的实根()1221,x x x x <时，且22112e eln x ax x x -⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，求正数a 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)102a <≤【分析】（1）首先求函数的导数，讨论m ，并结合零点存在性定理，判断极值点的个数；（2）首先利用零点，将等式转化为()e 1ln 1t t at t -->+，再构造函数()()e 1ln 10x h x x ax x =---+>，再利用导数，讨论a 的取值，结合端点取值，即可求a 的取值范围.【详解】（1）由题可得()ln 12,f x x mx =+-'设()()ln 12g x f x x mx '==+-，()1122mx g x m x x-'=-=，①当0m ≤时，()()0,g x f x ''>递增，且()()()21212110,e 2112e 21e 0m m m f f m m m --->=-+-=-'≤'，所以()f x '有一个变号零点，②当0m >时，()f x '在10,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，且11ln 22f m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，[1]当1012m<≤时，即12m ≥时，所以()f x '无变号零点；[2]当112m >，即102m <<时，1112ln 0,11022e e m f f m m ''⎛⎫⎛⎫=>=-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ln 12122120x mx mx mx m +-<-<-++=取20212m x m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()00f x '<，所以()f x '有两个变号零点；综上：当0m ≤时，有1个极小值点，无极大值点；当102m <<时，有1个极小值点和1个极大值点；当12m ≥时，无极值点.（2）1m =时，()f x bx =即2ln x x x bx -=即ln x x b -=有两个不同的根()12211122,,ln ln x x x x x x x x <-=-，1212ln ln x x x x -=-，()1122ln0x x x t t x =-=>，1212e t x x x x t ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，12e e 1e 1t t t t x t x ⎧⋅=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩22112e e ln x ax x x -⎛⎫> ⎪⎝⎭即()2211212e ln e ln 1ln ln 1x ax x x x x t ->-=+-=+，即()()221e 1ln 1,1ln 1t x t a t ax t-->+->+，()e 1ln 1t t at t -->+.下证()()e 1ln 10x h x x ax x =---+>对0x ∀>恒成立，()()e 1ln 1,1x x h x a x x ⎡⎤=--++⎢⎥+⎣⎦'()()()e 1ln 1,1x x m x h x a x x ⎡⎤==--++⎣'⎢⎥+⎦()211e ,1(1)x m x a x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎣⎦设()()211e ,1(1)x t x m x a x x ⎡⎤'==-+⎢⎥++⎣⎦()2312e (1)(1)x t x a x x ⎡⎤'=++⎢⎥++⎣⎦，①当102a <≤时，()()()()()2312e 0,0120,00(1)(1)x t x a m x m a h x h x x ⎡⎤'''=++>∴>=-≥∴>=⎢⎥+''+⎣⎦，()()00h x h ∴>=；②当12a >时，221111(0)120,(ln 2)2201(1)1(1)m a m a a a a x x x x ⎡⎤⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭''，使得()00,x x ∈时，()00m '<，所以在()00,x 上，()()00h x h ''<=，在()00,x 上，()()00h x h <=，不存在a 使不等式成立；综上.102a <≤关键点点睛：本题考查利用导数结合函数性质，零点，不等式恒成立的综合应用问题，本题第二问的关键首先利用零点，变形，并构造函数为()()e 1ln 10x h x x ax x =---+>，利用导数，尤其是和端点值比较大小，求参数的取值范围.。
2023-2024学年安徽省亳州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2≤x ＜3|B ．{x |﹣2≤x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣2≤x ＜3}2．已知复数z ＝（1﹣i ）（a +i ）（a ∈R ），则“a ＜0”是“z 的实部小于0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组、第二组……第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（ ）A ．140B ．240C ．280D ．3204．在等差数列{a n }中，已知a 6＝2（a 2+a 4），则a 2＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为3，已知F 为棱AA 1的中点，D ，E 分别在棱B 1B ，C 1C 上，BD ＝2，CE ＝1，记四棱锥A 1﹣B 1C 1ED 三棱锥F ﹣A 1DE 与三棱锥A ﹣DEF 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则（ ）A ．V 1＜V 2B ．V 2＜V 3C ．2V 1＝3V 2D ．V 1＝V 2+V 36．已知直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝0和曲线C ：y =√9−x 2，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定7．在三棱锥P ﹣ABC 中，已知AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．18π B ．9√3π C ．9√2π D ．9π8．当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a)−a 在[1，+∞）上的零点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量a →，b →，c →满足c →=λa →+（1﹣λ）b →（0＜λ＜1），且c →=（1，2），则a →，b →的坐标可以为（ ）A ．a →=（1，0），b →=（0，2）B ．a →=（2，0），b →=（0，4）C ．a →=（3，1），b →=（﹣1，3）D ．a →=（2，1），b →=（4，﹣1） 10．已知函数f （x ）＝3sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω＝3B ．φ=π4C ．f （x ）的图象关于点(7π12，0)对称D ．f （x ）在[−7π12，−π4]上单调递增 11．将正数x 用科学记数法表示为x ＝a ×10m ，a ∈[1，10），m ∈Z ，则lg x ＝m +lga ，我们把m ，lga 分别叫做lgx 的首数和尾数，若将lgx 的首数记为S （x ），尾数记为W （x ），则下列说法正确的是（ ）A ．W （x ）∈[0，1）B ．W （x ）（x ＞0）是周期函数C ．若x ，y ＞0，则S （xy ）≥S （x ）+S （y ）D ．若x ＞y ＞0，则W(x y)=W(x)−W(y) 12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到点G （0，p ）的距离为√5，直线l 经过点F ，且与C 交于点P ，Q （P 位于第一象限），R 为抛物线上P ，Q 之间的一点，S 为点P 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）A．p＝2B．若l的斜率为1，则当R到l的距离最大时，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形C．若|PF|＝2|QF|，则l的斜率为3D．若Q，S不重合，则直线QS经过定点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l的斜率为2，且与曲线y＝2e x相切，则l的方程为．14．已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X≤﹣2）≥P（X≥3），则μ的取值范围是．15．已知α，β∈(0，π2)，3sinβ−cosα=√3，sinα+3cosβ＝2，则α﹣β＝．16．已知椭圆C：x 25+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C上，且∠F1PF2=2π3，则|PO|＝．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b cos A﹣2c＝0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=72，点D在边BC上，AD⊥BC，且AD=2√3，求a．18．（12分）记正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，已知a1＝1，b4＝S3＝13，T3＝27．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设集合A＝{n|8＜T n＜56}，B＝{a i+a j|i，j∈A}，求B中元素的个数．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面ACB1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）若∠BAD=π3，求二面角C﹣AB1﹣E的正弦值．20．（12分）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题．（Ⅰ）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及E（X）．（Ⅱ）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．（i）求小张回答论述题的概率；（ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率．21．（12分）已知函数f(x)=e x−aln xa．（Ⅰ）若a＝e，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞）和a∈（0，+∞），不等式f（x）≥ka恒成立，求k的最大值．22．（12分）已知双曲线C：4x2﹣y2＝λ（λ≠0）经过点A(√2，2)，直线y＝t（t≠±2）与C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴相交于点P，Q．（Ⅰ）证明：以线段PQ为直径的圆恒过点R（2，0）；（Ⅱ）若|MN|＜2√2，且|AM||AN|=|AQ||AP|，求t．2023-2024学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2≤x ＜3|B ．{x |﹣2≤x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣2≤x ＜3}解：集合A ＝{x |x 2≤4}＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：C ．2．已知复数z ＝（1﹣i ）（a +i ）（a ∈R ），则“a ＜0”是“z 的实部小于0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：z ＝（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ，若a ＜0，则z 的实部不一定小于0，若z 的实部小于0，则a ＜﹣1，可得a ＜0．∴“a ＜0”是“z 的实部小于0”的必要不充分条件．故选：B ．3．如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组、第二组……第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（ ）A ．140B ．240C ．280D ．320解：由题意，（0.01+a +0.06+0.04+0.02）×5＝1，解得a ＝0.07，则第二组的员工人数为800.02×0.07＝280人．故选：C ．4．在等差数列{a n }中，已知a 6＝2（a 2+a 4），则a 2＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 解：设等差数列{a n }的公差为d ，a 6＝2（a 2+a 4），则a 1+5d ＝2（a 1+d +a 1+3d ），即a 1＝﹣d ，故a 2＝a 1+d ＝﹣d +d ＝0．故选：B ．5．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为3，已知F 为棱AA 1的中点，D ，E 分别在棱B 1B ，C 1C 上，BD ＝2，CE ＝1，记四棱锥A 1﹣B 1C 1ED 三棱锥F ﹣A 1DE 与三棱锥A ﹣DEF 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则（ ）A ．V 1＜V 2B ．V 2＜V 3C ．2V 1＝3V 2D ．V 1＝V 2+V 3解：根据题意易知S △AA 1E =S 直角梯形B 1C 1ED ，又易知D 到底面AA 1E 的距离等于B 1到底面AA 1E 的距离，而B 1到底面AA 1E 的距离等于A 1到平面B 1C 1ED 的距离，∴V A 1−B 1C 1ED =V D−AA 1E =V D−FA 1E +V D−AEF =V F−A 1DE +V A−DEF ，即V 1＝V 2+V 3，又S △FA 1E =S △AEF ，∴V D−FA 1E =V D−AEF ，∴V F−A 1DE =V A−DEF ，∴V 2＝V 3，∴V 1＝V 2+V 3＝2V 2＝2V 3，故只有D 选项正确．故选：D ．6．已知直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝0和曲线C ：y =√9−x 2，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定解：直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝k （x +6）﹣（y +6）＝0，所以直线l 恒过A （﹣6，﹣6），曲线C ：y =√9−x 2表示以原点为圆心，以3为半径的圆的上半部分，当k =23时，直线l ：y =23x −2与圆交于（3，0）， 当k ＝2时，直线l ：y ＝2x +6经过点（﹣3，0），结合图象可知，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为1． 故选：B ．7．在三棱锥P ﹣ABC 中，已知AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．18π B ．9√3π C ．9√2π D ．9π解：取AC 的中点为Q ，连接PQ ，BQ ，∵P A ＝PC ，∵PQ ⊥AC ，又∵平面P AC ⊥平面ABC ，且平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PQ ⊂平面P AC ，∴PQ ⊥平面ABC ，∵AB ＝BC ，∴BQ ⊥AC ，以点Q 为坐标原点，分别以QC →，QB →，QP →为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则A （﹣2，0，0），C （2，0，0），B （0，2，0），设P （0，0，m ）（m ＞0），∴AB →=（2，2，0），PA →=（﹣2，0，﹣m ），设平面P AB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{AB →⋅n →=2x +2y =0PA →⋅n →=−2x −mz =0，取x ＝1，解得{y =−1z =−2m ，∴n →=（1，﹣1，−2m）， 易知平面ABC 的一个法向量为m →=（0，0，1），∴二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4， ∴|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|−2m |√1+1+4m 2=√22，解得m 2＝2， 又∵m ＞0，∴m =√2，即PQ =√2，∵AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，易知三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心在PQ 上，设球心为O ，连接OC ，则OC ＝R ，∴R 2=22+(√2−R)2，解得R =3√22， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为4π(3√22)2=18π． 故选：A ．8．当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a )−a 在[1，+∞）上的零点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解：当a ≥e 时，令f(x)=x(e x +x +ln x a)−a =0，x ∈[1，+∞）， 化为e x +x =e ln a x +ln a x， 令g （x ）＝e x +x ，g ′（x ）＝e x +1＞0在x ∈[1，+∞）上恒成立，∴函数g （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，∴x ＝ln a x， 化为lna ＝x +lnx ，x +lnx ∈[1，+∞），a ≥e ，易知函数y ＝lna 与y ＝x +lnx 的图象在x ∈[1，+∞）上有且只有一个交点，即当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a)−a 在[1，+∞）上的零点的个数为1． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量a →，b →，c →满足c →=λa →+（1﹣λ）b →（0＜λ＜1），且c →=（1，2），则a →，b →的坐标可以为（ ）A ．a →=（1，0），b →=（0，2）B ．a →=（2，0），b →=（0，4）C ．a →=（3，1），b →=（﹣1，3）D ．a →=（2，1），b →=（4，﹣1）解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若a →=（1，0），b →=（0，2），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（1，0）+（1﹣λ）（0，2），无解，不符合题意；对于B ，若a →=（2，0），b →=（0，4），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（2，0）+（1﹣λ）（0，4），当λ=12时等号成立，符合题意； 对于C ，若a →=（3，1），b →=（﹣1，3），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（3，1）+（1﹣λ）（﹣1，3），当λ=12时等号成立，符合题意； 对于D ，若a →=（2，1），b →=（4，﹣1），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（2，1）+（1﹣λ）（4，﹣1），当λ=32时等号成立但不符合0＜λ＜1，不符合题意． 故选：BC ．10．已知函数f （x ）＝3sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω＝3B ．φ=π4C ．f （x ）的图象关于点(7π12，0)对称D ．f （x ）在[−7π12，−π4]上单调递增 解：由图象可知，12T =π12−(−π4)=π3，解得T =2π3， ω＞0，则2πω=2π3，解得ω＝3，故A 正确；由图象可知，f(−π4)=3， 则f(−π4)=3sin(−3π4+φ)=3，即−3π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=5π4+2kπ，k ∈Z ， |φ|＜π，则φ=−3π4，故B 错误； f （x ）=3sin(3x −3π4)，则f(7π12)=3sin(3×7π12−3π4)=0，故f（x）的图象关于点(7π12，0)对称，故C正确；x∈[−7π12，−π4]，则t=3x−3π4∈[−5π2，−3π2]，y＝3sin t在[−5π2，−3π2]上单调递增，故D正确．故选：ACD．11．将正数x用科学记数法表示为x＝a×10m，a∈[1，10），m∈Z，则lg x＝m+lga，我们把m，lga分别叫做lgx的首数和尾数，若将lgx的首数记为S（x），尾数记为W（x），则下列说法正确的是（）A．W（x）∈[0，1）B．W（x）（x＞0）是周期函数C．若x，y＞0，则S（xy）≥S（x）+S（y）D．若x＞y＞0，则W(xy)=W(x)−W(y)解：对于A，因为a∈[1，10），所以W（x）＝lga∈[0，1），故A正确；对于B，若W（y）＝W（x），必有y＝x•10k（k∈Z），不符合周期函数的定义，故B错误；对于C，设x＝a×10m，y＝b×10n（a，b∈[1，10），m，n∈Z），则S（x）＝m，S（y）＝n，xy＝ab×10m+n，若1＜ab＜10，则S（xy）＝m+n，若10＜ab＜100，则xy=ab10×10m+n+1，S（xy）＝m+n+1，所以S（xy）≥S（x）+S（y），故C正确；对于D，设x，y同选项C，W（x）＝lga，W（y）＝lgb，xy =ab×10m−n，若1＜ab＜10，则W(xy)=lgab=lga−lgb，若110＜ab＜1则xy=10ab×10m−n−1，所以W(xy)=lg10ab=lga−lgb+1，所以W(xy)≥w（x）﹣W（y），故D错误．故选：AC．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到点G（0，p）的距离为√5，直线l经过点F，且与C交于点P，Q（P位于第一象限），R为抛物线上P，Q之间的一点，S为点P关于x轴的对称点，则下列说法正确的是（）A．p＝2B．若l的斜率为1，则当R到l的距离最大时，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形C．若|PF|＝2|QF|，则l的斜率为3D．若Q，S不重合，则直线QS经过定点解：对于A，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（p2，0），因为焦点F到点G（0，p）的距离为√5，所以p24+p2＝5，解得p＝2，故A正确；对于B，由A知，抛物线方程为y2＝4x，焦点F（1，0），因为l的斜率为1，当R到l的距离最大时，此时过点R与抛物线相切的切线的斜率为1，设切线方程为：y＝x+m，由{y=x+my2=4x，得y2﹣4y﹣4m＝0，Δ＝14+16m＝0，解得m＝﹣1，所以R（1，2），所以RF⊥OF，即，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形，故B正确；对于C，如图：设C的准线为l′，过点P，Q分别作PP′⊥l′，QQ′⊥l′，过点Q作|QT⊥PP′于T，因为|PF|＝2|QF|，所以|PP′|＝2|QQ′|＝2|TP′|，所以|PT||PQ|=13，所以tan∠PFx＝tan∠QPT＝2√2，即直线l的斜率为2√2，故C错误；对于D，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S（x1，﹣y1），设直线l的方程为x＝my+1，由{x=my+1y2=4x，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，直线QS的方程为y+y1=y2+y1x2−x1（x﹣x1）=y1+y2y224−y124（x−y124）=4y2−y1（x−y124），整理得y=4y2−y1（x+1），所以直线QS经过定点（﹣1，0），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l的斜率为2，且与曲线y＝2e x相切，则l的方程为y＝2x+2．解：因为y＝2e x，所以y′＝2e x，令y ′＝2e x ＝2，可得x ＝0，x ＝0时，y ＝2e 0＝2，即切点为（0，2），故直线l 的方程为：y ﹣2＝2×（x ﹣0），即y ＝2x +2．故答案为：y ＝2x +2．14．已知随机变量X ～N （μ，σ2），若P （X ≤﹣2）≥P （X ≥3），则μ的取值范围是 （﹣∞，12] ． 解：根据题意，随机变量X ～N （μ，σ2），若P （X ≤﹣2）≥P （X ≥3），则|μ﹣（﹣2）|≤|μ﹣3|，解可得：μ≤12，即μ的范围为（﹣∞，12]． 故答案为：（﹣∞，12]． 15．已知α，β∈(0，π2)，3sinβ−cosα=√3，sin α+3cos β＝2，则α﹣β＝ −π6． 解：已知3sinβ−cosα=√3，①sin α+3cos β＝2，②由①2+②2可得：10+6（sin αcos β﹣cos αsin β）＝7，则sin(α−β)=−12， 又α，β∈(0，π2)，则α﹣β∈(−π2，π2)，则α﹣β=−π6． 故答案为：−π6． 16．已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在C 上，且∠F 1PF 2=2π3，则|PO |＝ √2 ．解：根据题意可得a =√5，b ＝1，c ＝2，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a =2√5，又∠F 1PF 2=2π3， ∴根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2−4c 22mn ， ∴−12=m 2+n 2−162mn，∴m 2+n 2+mn ＝16， ∴（m +n ）2﹣mn ＝16，∴20﹣mn ＝16，∴mn ＝4，又PF 1→=PO →+OF 1→，PF 2→=PO →+OF 2→=PO →−OF 1→，∴PF 1→⋅PF 2→=PO →2−OF 2→2，∴mncos 2π3=|PO→|2−|OF1→|2，∴4×(−12)=|PO|2−4，∴|PO|2＝2，∴|PO|=√2．故答案为：√2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b cos A﹣2c＝0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=72，点D在边BC上，AD⊥BC，且AD=2√3，求a．解：（Ⅰ）因为a+2b cos A﹣2c＝0，由正弦定理可得sin A+2sin B cos A＝2sin C，在三角形中，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，可得sin A＝2sin A cos B，又sin A≠0，所以cos B=1 2，而B∈（0，π），所以B=π3；（Ⅱ）因为AD⊥BC，且AD=2√3，B=π3，在△ABD中，可得c＝AB=ADsinB=2√332=4，在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2a cos B，即（72）2＝a2+42﹣2a•4•12，整理可得4a2﹣16a+15＝0，解得a=32或52．经验证，符合锐角三角形的只有5 2．18．（12分）记正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，已知a1＝1，b4＝S3＝13，T3＝27．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设集合A＝{n|8＜T n＜56}，B＝{a i+a j|i，j∈A}，求B中元素的个数．解：（Ⅰ）正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，设等比数列{a n}的公比为q，等差数列{b n}的公差为d，则q＞0，又a1＝1，S3＝13，则1+q+q2＝13，即q2+q﹣12＝0，又q＞0，则q＝3，则a n=3n−1，又b4＝13，T3＝27，则{b1+3d=133b1+3d=27，即{b1=7 d=2，即b n＝7+2（n﹣1）＝2n+5．（Ⅱ）由（1）可得T n=n(7+2n+5)2=n(n+6)，又A＝{n|8＜T n＜56}，则A＝{n|8＜n（n+6）＜56}，则A＝{2，3，4，5}，又B＝{a i+a j|i，j∈A}，则B＝{a2+a2，a2+a3，a2+a4，a2+a5，a3+a3，a3+a4，a3+a5，a4+a4，a4+a5，a5+a5}，则B中元素的个数为10．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面ACB1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）若∠BAD=π3，求二面角C﹣AB1﹣E的正弦值．解：（Ⅰ）证明：在直四棱柱中，BB 1⊥平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，因为四棱柱的各棱长均相等，故四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为BB 1∩BD ＝B ，所以AC ⊥平面BDD 1B 1，因为AC ⊂平面ACB 1，所以平面ACB 1⊥平面BDD 1B 1；（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，−√3，0)，C(0，√3，0)，B 1（1，0，2），E(0，√3，1)，则AC →=(0，2√3，0)，AB 1→=(1，√3，2)，AE →=(0，2√3，1)，设平面AB 1C 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=2√3y =0m →⋅AB 1→=x +√3y +2z =0，解得y ＝0，令x ＝2，得z ＝﹣1，所以m →=（2，0，﹣1），设平面AB 1E 的法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅AB 1→=a +√3b +2c =0n →⋅AE →=2√3b +c =0，令b ＝1，得a =3√3，c =−2√3，所以n →=(3√3，1，−2√3)，因为cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=8√3√5×2√10=2√65， 所以二面角C ﹣AB 1﹣E 的正弦值为√1−(265)2=15． 20．（12分）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A 类题和B 类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，3个标有字母A ，另外2个标有字母B ，小张从中任取3个小球，若取出的A 球比B 球多，则答A 类题，否则答B 类题．（Ⅰ）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及E（X）．（Ⅱ）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．（i）求小张回答论述题的概率；（ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率．解：（Ⅰ）根据题意，X可取的值为1、2、3，P（X＝1）=C31C22C53=310，P（X＝2）=C32C21C53=35，P（X＝3）=C33C20C53=110，故X的分布列为：E（X）＝1×310+2×35+3×110=95；（Ⅱ）（i）记事件A＝“小张回答A类题”，B＝“小张回答B类题”，C＝“小张回答论述题”，则P（A）＝P（X＝2）+P（X＝3）=710，P（B）＝1﹣P（A）=310，P（C|A）=45，P（C|B）=35，则P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=45×710+35×310=3750，（ii）P（AC）＝P（A）P（C|A）=45×710=2850，故P（A|C）=P(AC)P(C)=2837．21．（12分）已知函数f(x)=e x−aln xa．（Ⅰ）若a＝e，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞）和a∈（0，+∞），不等式f（x）≥ka恒成立，求k的最大值．解：（I）函数f(x)=e x−aln x a ，若a＝e，则f（x）＝e x﹣elnx+e，x∈（0，+∞），f′（x）＝e x−e x ，可得函数f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，f′（1）＝0，而x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴函数f（x）在x∈（0，1）时单调递减，在x∈（1，+∞）时单调递增．∴x＝1时函数f（x）取得极小值，f（1）＝2e．（Ⅱ）函数f(x)=e x−aln xa，x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），则f′（x）＝e x−ax在x∈（0，+∞）上单调递增，又x →0+时，f ′（x ）→﹣∞；x →+∞时，f ′（x ）→+∞．∴存在唯一x 0，使得f ′（x 0）＝0，即e x 0=a x 0，可得x 0＝lna ﹣lnx 0， ∴x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＜0；x ∈（x 0，+∞）时，f ′（x ）＞0．∴函数f （x ）在x ∈（0，x 0）时单调递减，在x ∈（x 0，+∞）时单调递增．∴x ＝x 0时函数f （x ）取得极小值即最小值，f （x 0）=e x 0−alnx 0+alna =a x 0−a （lna ﹣x 0）+alna =a x 0+ax 0≥a •2√1x 0⋅x 0=2a ， 当且仅当x 0＝1时取等号，因此函数f （x ）的最小值为2a ，由不等式f （x ）≥ka 恒成立，∴ka ≤2a ，即k ≤2，∴k 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线C ：4x 2﹣y 2＝λ（λ≠0）经过点A(√2，2)，直线y ＝t （t ≠±2）与C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴相交于点P ，Q ．（Ⅰ）证明：以线段PQ 为直径的圆恒过点R （2，0）；（Ⅱ）若|MN|＜2√2，且|AM||AN|=|AQ||AP|，求t ． （Ⅰ）证明：将点A 的坐标代入双曲线的方程可得：4×（√2）2﹣22＝λ，可得λ＝4，所以双曲线的方程为：x 2−y 24=1， 设M （m ，t ），可得N （﹣m ，t ），将y ＝t 代入双曲线的方程m 2−t 24=1，可得t 2＝4m 2﹣4， 直线AM 的方程为y ﹣2=2−t √2−m （x −√2），令x ＝0，可得y P =√2t−2m √2−m ，即P （0，√2t−2m √2−m）， 将m 换成﹣m ，可得Q （0，√2t+2m √2+m）， 所以RP →•RQ →=（﹣2，√2t−2m √2−m ）•（﹣2，√2t+2m √2+m ）＝（﹣2）•（﹣2）+（√2t−2m √2−m ）•（√2t+2m √2+m） ＝4+2t 2−4m 22−m 2， 因为t 2＝4m 2﹣4，所以RP →•RQ →=0，可证得以线段PQ 为直径的圆恒过点R （2，0）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|MN |=√4+t 2＜2√2，M （m ，t ），N （﹣m ，t ），|2m |＜2√2，即|m |＜√2， 因为|AM||AN|=|AQ||AP|，可得|AM |•|AP |＝|AN |•|AC |，记AM 的斜率为k =2−t √2−m， 所以|AM |=√1+k 2√(√2+m)2−4√2m =√1+k 2•（√2−m ）， |AP |=√1+k 2⋅√(√2−0)2−4√2×0=√2•√1+k 2， 所以|AM |•|AP |=√1+k 2•（√2−m ）•√2•√1+k 2=（1+k 2）•√2（√2−m ）＝[1+(2−t)2(√2−m)2]•√2（√2−m ）=√2•√2−m)22√2−m， 将m 换成﹣m ，可得 |AN|⋅|AQ|=√2(√2+m)2+(2−t)2√2+m ， 所以√2−m)22√2−m =√2+m)22√2+m ． 化简可得2﹣m 2＝（2﹣t ）2，又m 2=1+t 24， 所以5t 2﹣16t +12＝0，解得t =65或t ＝2（舍去）． 即t =65．。
安徽省亳州市2024年数学(高考)统编版摸底(综合卷)模拟试卷
安徽省亳州市2024年数学（高考）统编版摸底(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知，求该屋顶的体积（）A．B．C．D．第(2)题已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题已知，则（）A．B．C．D．第(4)题已知则（）A．B．C．D．第(5)题已知复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题的展开式中常数项为（）A．112B．56C．28D．16第(7)题已知向量，.若，则实数的值为（）A．－2B．2C．D．第(8)题函数的反函数是（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（）A．若点为线段上的任意一点，则B．若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为C．异面直线与所成角为D．若点为体对角线上的动点，则的最大值为第(2)题已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则A．B．服从标准正态分布C．D．第(3)题如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为．则（）A．平面B．平面平面C．与平面所成角的余弦值为D．点到平面的距离为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题若关于x的不等式的解集为，则__________．第(2)题已知实数，满足不等式组，若的最大值为3，则实数______．第(3)题已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的而积为，现要切割加工一个底面半径为、高为的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为，然后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为_____________ .四、解答题（本题包含5小题，共77分。
安徽省亳州市(新版)2024高考数学统编版摸底(综合卷)完整试卷
安徽省亳州市（新版）2024高考数学统编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．第(2)题2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂召开，某校全体党员在报告厅集中观看大会盛况．该报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是（）A．800B．820C．840D．880第(3)题在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(4)题“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A．B．C．D．第(6)题将函数的图象向右平移个单位长度后得到如图所示的函数的图象，则（）A．B．C．D．第(7)题右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（）A．0B．2C．4D．14第(8)题记为等比数列的前n项和，若，，则（）．A．120B．85C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列，其前n项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（）A．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列B．若为数列，则也为数列C．若为数列，则也为数列D．若均为数列，则也为数列第(2)题已知，则（）A．的虚部为B．是纯虚数C．在复平面内所对应的点位于第一象限D．第(3)题为椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆交于A，B两点，则的内切圆半径的r值可以为（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．第(2)题已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则的取值范围是__________.第(3)题随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则如图所示的程序框图输出的_______，表示的样本的数字特征是________．（注：框图上（右）中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点.(1)证明：；(2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值.第(2)题已知抛物线：，为坐标原点，过作一条直线，与抛物线相交于，两点，若线段的最小值是2．(1)求抛物线的方程；(2)当直线与轴垂直时，设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：直线恒过定点．第(3)题已知椭圆的离心率为，过点作斜率为直线与椭圆交于，两点交于，（在轴上方），当时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线的垂线，垂足为，连接与轴交于点，若四边形为等腰梯形，求直线的斜率.第(4)题近年来，汽车自动驾驶技术高速发展，日趋成熟.自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注.2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件.每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一.下图是今年发布的《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了10家公司的数据.公司所属国家测试总里程（英里）脱离次数MPD值百度中国108300618050谷歌Waymo美国145413*********通用Cruise美国8310406812221比亚迪中国32054310684小马智行中国174845276475Nuro美国68762342022Zoox美国67015421595小米中国1227281534苹果美国754464117奔驰德国142382054 6.9(1)从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率；(2)从表中的10家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率；(3)有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越谷歌公司.你是否同意此观点？并说明你的理由．第(5)题如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，.(1)求证：，并求三棱锥的体积；(2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.。
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安徽省亳州市高三数学一模（期末)试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）(2017·怀化模拟) 若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）
A . ﹣462
B . 462
C . 792
D . ﹣792
2. （2分） (2020高二下·嘉兴期中) 设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是（）
A . 若 , ,则
B . 若 ,则
C . 若 ,则
D . 若 ,则
3. （2分）(2020·龙岩模拟) 已知抛物线C1：和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（）
A . 4x-3y-22=0
B . 4x-3y-16=0
C . 2x-y-11+5=0
D . 4x-3y-26=0
4. （2分） (2019高二上·新余月考) 以下结论正确的个数是（）
①若数列中的最大项是第项，则.②在中，若，则
为等腰直角三角形.③设、分别为等差数列与的前n项和，若，则.④ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 .
⑤在中，a、b、c分别是、、所对边，，则的取值范围为 .
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
二、填空题 (共12题；共12分)
5. （1分）已知全集，集合，，则 ________。
6. （1分） (2019高三上·和平月考) 已知复数的实部为－1，则 ________
7. （1分） (2020高二下·上海期末) 双曲线的两渐近线的夹角大小为________.
8. （1分）将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________.
9. （1分）(2018·广元模拟) 若角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，其终边经过点
， ________．
10. （1分）棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________．
11. （1分）已知函数，其中e是自然对数的底数若，则实数a的取值范围是________．
12. （1分）已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1，公比为q，前n项和为Sn ，若，则公比为q的取值范围是________ ．
13. （1分） (2019高二下·广东期中) 高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.
14. （1分） (2019高二下·台州期中) 当时，不等式恒成立，则的最大值是________．
15. （1分） (2019高三上·邹城期中) 已知 ,且 ,则当取得最小值时相应的
________.
16. （1分） (2019高一下·安徽期中) 已知，，与的夹角为45°，则使向量
与的夹角是锐角的实数的取值范围为________．
三、解答题 (共5题；共55分)
17. （5分）(2019高二下·富阳月考) 在中，角所对的边分别为 .若
.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求的值.
18. （10分） (2015高三上·太原期末) 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC= b．
（1）其的值；
（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．
19. （10分） (2017高一上·广东月考) 已知函数，对任意实数， .
（1）在上是单调递减的，求实数的取值范围；
（2）若对任意恒成立，求正数的取值范围.
20. （15分） (2020高二下·杭州期末) 如图所示，圆，抛物线，过点
的直线l与抛物线交于点M，N两点，直线OM，ON与圆分别交于点E，D．
（1）若，证明：；
（2）若，记，的面积分别为，，求的最小值（用t表示）．
21. （15分）(2019高一上·上海月考) 设，若其元素满足
，则称集合A为集合M的“n元封闭集”.
（1）写出实数集R的一个“二元封闭集”；
（2）证明：正整数集上不存在“二元封闭集”；
（3）求出正整数集上的所有“三元封闭集”.
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共12题；共12分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、
20-1、
20-2、21-1、
21-2、
21-3、。