近世代数试题及答案

内蒙古广播电视大学2008—2009年度第二学期期末

《近世代数》试题

一、（16分）叙述概念或命题

1．正规子群；

2．唯一分解环；

3．代数数；

4．鲁非尼-阿贝尔定理 二、（12分）填空题

1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。

2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。 3．一个有单位元的无零因子 称为整环。

4．如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a 。 三、（10分）设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。 四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元

dk cj bi a x +++=，

定义其共轭

dk cj bi a x ---=。

1．证明：x x x x =是一个非负实数；

2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。

六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。

1．21I I +；

2．21I I ⋂； 3．21I I ⋅

七、（10分）设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；

3．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。

《近世代数》试卷答案

一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。

2．设R 是个整环，若对于R 中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R 为唯一分解环。 3．有理数域上的代数元称为代数数。 4．如果5≥n （特征为0），那么n 次的一般方程没有根式解。 二、1．3

2．25

3．交换环 4．6 三、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。

四、设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=

，)(2

1

A A C '-=，则

B 是对称矩阵，而

C 是反对称矩阵，且C B A +=。若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。

五、1．02222≥+++==d c b a x x x x

2．k j i xy 8424-+--=，k j i yx 2484-+--=，)221(10

1

1k i i x +-+=- 六、1．)3(21=+I I ；

2．)30(21=⋂I I ； 3．)90(21=⋅I I

七、1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；

2．两个都是偶置换。

八、