大学高等数学_05隐函数_微分与习题课
合集下载
高等数学课件上第24隐函数
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：
隐函数的极值与最
05
值
极值的定义与判定
极值的定义：函数 在某点处的值大于 或等于其附近所有 点的值，称为极值
极值的分类：极大 值和极小值
极值的判定：通过 求导数，判断函数 在某点处的导数是 否为零，以及导数 的符号是否改变
极值的应用：在解 决实际问题时，如 优化问题、物理问 题等，需要找到函 数的极值，以获得 最优解或最值
添加 标题
隐函数存在定理的条件：F(x,y)在点(x0,y0)处连续可微，且F(x0,y0)=0。
添加 标题
隐函数存在定理的应用：求解隐函数、证明隐函数存在性等。
定理的证明
单击添加标题
隐函数存在定理：如果方 程F(x,y)=0在点(x0,y0)处 有定义，且F(x0,y0)=0， 那么存在一个开区间(a,b)，
法线等
在物理中的应用
力学：求解力、加速度、速度等物理量 热力学：求解温度、压力、体积等物理量 电磁学：求解电场、磁场、电流等物理量 光学：求解光强、光速、折射率等物理量
在经济中的应用
价格决策：隐函数模型可以帮助企业进行价格决策，以实现利润最大化 投资决策：隐函数模型可以帮助投资者进行投资决策，以实现风险最小化 生产决策：隐函数模型可以帮助企业进行生产决策，以实现成本最小化 市场预测：隐函数模型可以帮助企业进行市场预测，以实现销售最大化
使得在(a,b)内，方程 F(x,y)=0有唯一解。
单击添加标题
证明思路：首先，假设存 在一个开区间(a,b)，使得 在(a,b)内，方程F(x,y)=0 有唯一解。然后，通过证 明F(x,y)在(a,b)内连续， 以及F(x0,y0)=0，从而得
《隐函数的微分》课件
利用隐函数表示的热传导方程，通过微分可以求解温度分布和热流密度等问题。
隐函数的微分性质
隐函数在其定义域内可能呈现出单调递增或单调递减的性质。通过求导数并判断其符号，可以确定隐函数的单调性。如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减。
隐函数的单调性可以通过求导数并判断其符号来确定。
通过求一阶导数可以判断函数的单调性，而通过求二阶导数可以判断函数的凹凸性。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
用d/dx表示一阶导数，d²/dx²表示二阶导数，以此类推。
意义
高阶导数可以揭示函数在某点的局部性质，如曲线的弯曲程度、拐点等。
对于复合函数，高阶导数的计算需要使用链式法则。例如，若y=f(u)，u=g(x)，则y的n阶导数为f(u)的n阶导数乘以g(x)的n阶导数的n次方。
链式法则
对于多项式函数，可以使用乘法法则和加法法则来计算高阶导数。
详细描述
在数学中，极值点是指函数取得局部最大值或最小值的点，而最值点是指函数在整个定义域内的最大值或最小值点。对于隐函数，我们可以通过求二阶导数来判断其在极值点和最值点的性质。如果二阶导数大于零，说明函数在极值点处取得局部最小值；如果二阶导数小于零，说明函数在极值点处取得局部最大值。同时，我们还需要考虑一阶导数的符号变化，以确定最值点是最大值还是最小值。
在科学、工程和经济学等领域中，隐函数的微分也有广泛的应用。
在解决微分问题时，我们经常需要用到隐函数的微分。
隐函数的求导法则
总结词
链式法则是隐函数求导的核心法则，用于处理复合函数的情况。
详细描述
链式法则是隐函数求导的重要法则之一，它指出如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
隐函数的微分性质
隐函数在其定义域内可能呈现出单调递增或单调递减的性质。通过求导数并判断其符号，可以确定隐函数的单调性。如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减。
隐函数的单调性可以通过求导数并判断其符号来确定。
通过求一阶导数可以判断函数的单调性，而通过求二阶导数可以判断函数的凹凸性。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
用d/dx表示一阶导数，d²/dx²表示二阶导数，以此类推。
意义
高阶导数可以揭示函数在某点的局部性质，如曲线的弯曲程度、拐点等。
对于复合函数，高阶导数的计算需要使用链式法则。例如，若y=f(u)，u=g(x)，则y的n阶导数为f(u)的n阶导数乘以g(x)的n阶导数的n次方。
链式法则
对于多项式函数，可以使用乘法法则和加法法则来计算高阶导数。
详细描述
在数学中，极值点是指函数取得局部最大值或最小值的点，而最值点是指函数在整个定义域内的最大值或最小值点。对于隐函数，我们可以通过求二阶导数来判断其在极值点和最值点的性质。如果二阶导数大于零，说明函数在极值点处取得局部最小值；如果二阶导数小于零，说明函数在极值点处取得局部最大值。同时，我们还需要考虑一阶导数的符号变化，以确定最值点是最大值还是最小值。
在科学、工程和经济学等领域中，隐函数的微分也有广泛的应用。
在解决微分问题时，我们经常需要用到隐函数的微分。
隐函数的求导法则
总结词
链式法则是隐函数求导的核心法则，用于处理复合函数的情况。
详细描述
链式法则是隐函数求导的重要法则之一，它指出如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件
x y
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
(重庆大学高等数学课件)第八章第5节隐函数的微分法
解法2 微分法. 解法2 微分法. 对方程 的两边求微分: 的两边求微分:
F′⋅ d( ) +F2′ ⋅d( ) = 0 1
zdx −xdz zdy − ydz F′⋅ +F2′ ⋅ =0 1 2 2 z z F′⋅ zdx−F′⋅ xdz +F2′⋅ zdy−F2′⋅ ydz = 0 1 1 − xF′dz − yF2′dz = −zF′dx −zF2′dy 1 1
∂z ∂z 其中 F 有连续的 一阶偏导数, 求证 x 有连续的一阶偏导数 一阶偏导数, +y = z − xy ∂y z z ∂x 证明 设 G( x, y, z) = F( x + , y + )
z z 是由方程 F( x + , y + ) y x
所确定
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程 连续偏导数 偏导数, 解法1 解法1 设G( x, y, z) =
1 +y′+z′ +2z ⋅ z′ −1 + 1 + 2y ⋅ y′ z′+3z2 ⋅ z′ −1
13
求导， 解: 方程组两边对 x 求导， 并移项得
∂u ∂u ∂v ∂v 例4. 设 xu − yv = 0, yu + xv = 1, 求 , , . , ∂x ∂ y ∂x ∂ y
∂u ∂v u+ x + −y = −u 0 ∂x ∂x ∂u ∂v − v y + v+ x = 0 ∂x ∂x −u − y ∂u −v x −xu − yv = = x −y ∂x x2 + y2 y x
x x
在点
则方程 F( x, y) = 0
高数课件 11.4隐函数微分法
y),
v
v(
x,
y)
求 u , u , v , v . x y x y
解
：
方程
组两
边对x求
偏导
：
Fx Gx
Fu Gu
u x u x
Fv Gv
v x v x
0 0
即
Fu
u x
Fv
v x
Fx
Gu
u x
Gv
v x
Gx
线性方程组
用消元法或克兰姆法则可解出 u , v . x x
若 J (F ,G) Fu Fv 0, (u,v) Gu Gv
隐函数的求导公式
这里，x, y都是自变量
dy
例1.已知方程 x2 y2 1 确定函数 y y( x)，求 dx x0
解： 令 F ( x, y) x2 y2 1
y1
dy Fx 2x x , dx Fy 2 y y
(x,y都是自变量)
dy 0 dx x0
y1
比较：方程两边对x求导： dy 2x x , dx 2 y y
则 Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
z Fy y , y Fz 2 z
解二：方程两边分别对x和y求导：
设2x 2z z 4 z 0, 2y 2z z 4 z 0
x x
y y
例4.设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
两边对y求导：
这里，x,y都是自变量
Fy ( x,
y,
z)
Fz ( x,
y,
z)
z y
0
z Fy ( x, y, z) y Fz ( x, y, z)
高等数学函数习题课
例4.设 f ( x0 ) 存在,求
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
解:
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) x ( x) 2 原式= lim 2 x 0 x x ( x)
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x d (log a x )
求 导 法 则
1、导数的定义
定义 设函数y f ( x )在点x 0的某个邻域内有定义,
当自变量x在x 0处取得增量x (点x 0 x仍在该邻域 内)时, 相应地函数y取得增量y f ( x 0 x ) f ( x 0 ); 如果y与x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y f ( x ) dy 在点x 0处的导数, 记为y x x 0 , dx df ( x ) x x0 或 dx
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x ), v v ( x ) 可导，则
c 是常数), （1）( u v ) u v , （2）( cu ) cu (
v uv u u （3）( uv ) u v uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
a 2 , b 1,
f (1) 2
2 , x 1 f ( x) 2 x , x 1
7(6)隐函数微分法ppt课件
求 u , u , v , v . x y x y
同理,
两边关于y求偏导,得
F y G y
F u G u
u y u y
F v G v
v y v y
0 0
F F F F
u y
y G
v G
u G
v G
1 J
(F ,G) , ( y,v)
y v u v
F F F F
v y
u G
y G
u G
v G
原方程组两边分别对 x求偏导数：
2x
0
v
u
x
u
v x
0
y2 2u u 2v v 0 x x
20
隐函数的求导公式
2 x y2
v u u v x x
2u u 2v v x x
0
, 0
移项得：v2uxuuuxv2v2vx
x x
y2
,
在J 0的条件下, 解方程组得
2x
u x
F ( x, y, z) 0所确定的函数,其中f和F分别具有 一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 dz .
dx 解 分别将 z xf ( x y) 和F(x, y, z) 0 的两端对
x求导,得
dz dx
Fx
f Fy
xf 1
两边关于x求导, 由全导数公式,得
F ( x, f ( x)) 0
Fx
(
x,
y)
Fy
(
x,
y)
dy dx
0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内Fy ( x, y) 0, 于是得
隐函数的微分法.ppt
0;中 0,
,两 边 对x求 导 ， 得
Fx
1
Fy
dy dx
Fz
dz dx
0
Gx
1
Gy
dy dx
Gz
dz dx
0
F
y
dy dx
Fz
dz dx
Fx
Gy
dy dx
Gz
dz dx
Gx
当 Fy Fz 0时 ，
Fx
Gy Gy
dy Gx
Fz
Fy
Gz , dz Gy
Fx Gx ,
dx Fy Fz dx Fy Fz
(2) F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0，
(3) 偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点 P( x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 不等于零，则方程组
F( x, y, u,v) 0 G( x, y,u,v) 0 在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组具有连续偏导数的函数u u( x, y),v v( x, y) ， 它们满足条件u0 u( x0 , y0 ),v0 v ( x0 , y0 ) ，并有
3
x0
y0 y 1
法二：直接求导法
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
sin y ( y)2 cos y y
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库
【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。
【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zxye zxye xy xy +==---1122()()。
（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。
【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得yz x x z xz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z -+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z=-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz x y z ++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。
高数习题课.隐函数微分法
1 z z 1 z z 同理可得F1( 2 ) F2 (1 )0 y y y x y y
代入所证等式左边即可得结论成立.
x z ex 5.设 ln , 求dz. z y
Method1. 原式两边微得: d ( x ) d (ln z ) z y
zdx xdz y ydz zdy 即 2 z z y2
dy dy dy x 2 x ( 2 y e )(cos y 2 xy) ( y e )( sin y 2 y 2 x ) dx dx dx (cos y 2 xy) 2
Method2.
方程两边对x求导得 cos y y e x ( y 2 2 xyy) 0
隐函数存在定理3
F ( F , G ) u J G (u, v) u
F v G v
Fx Gx u 1 ( F , G) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv Fv Gv
Fu Gu v 1 ( F , G) Fu x J (u, x) Gu
(3) 也可求二阶偏导.
ex 2.设x cos y y cos z z cos x a确定了隐函数 z z z f ( x , y), 求 , . x y
Method1. 设F ( x , y, z ) x cos y y cos z z cos x a
则Fx cos y z sin x , Fy x sin y cos z ,
Fz y f1 xyf2 1 1 f1 xyf2 . z Fy f1 xzf2 f1 xzf2
z Method2. 求 时, z为函数, x , y为自变量. x z f ( x y z , xyz ), 两边对x求偏导得
大学高等数学上册：11.4隐函数微分法
解： 令 F ( x, y) x2 y2 1
dx x0 y1
dy Fx 2x x , dx Fy 2 y y
（x,y都是自变量）
dy 0
dx x0 y1
比较：方程两边对x求导： 2x 2 y dy 0 dx
dy 2x x , dx 2 y y
（x是自变量 y是x的函数）
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
y (
y)
z
,
x
2
(
y z
)
z Fy y Fz
(
z
y
2
)
,
z
(
y
)
x
z
y( y
)
,
z
z
Hale Waihona Puke 于是 x z y z z. x y
练习题
一、填空题:
1、设ln x 2 y 2 arctan y ,则
x y
x
dy __x____y_____________________. dx
2、设z x y z ,则
整理得 x fu xzfv ,
求
y
:
y 把 y看成
x,
fu yzfv z 的函数，即
z z f ( x y( x, z) z, xy( x, z)z)
对z 求偏导数得: 1
高等数学《隐函数的求导公式及微分学的几何应用》课件
满足:
导数；
(P86)
备用题1 设
解:
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
练习: 求
答案:
由题设
故有
备用题2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
切向量
法平面方程
即
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
解法1: 利用公式
设
则
两边对 x 求偏导
例1. 设
例1. 设
解法2: 利用隐函数求导
再对 x 求导
内容小结
隐函数求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法2. 代公式
第七节
一பைடு நூலகம்空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第九章
一、空间曲线的切线与法平面
研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1.设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个
在点
的某一邻域内满足
②
③
满足条件
导数
两边对 x 求导
在
的某邻域内
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
法向量
用
导数；
(P86)
备用题1 设
解:
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
练习: 求
答案:
由题设
故有
备用题2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
切向量
法平面方程
即
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
解法1: 利用公式
设
则
两边对 x 求偏导
例1. 设
例1. 设
解法2: 利用隐函数求导
再对 x 求导
内容小结
隐函数求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法2. 代公式
第七节
一பைடு நூலகம்空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第九章
一、空间曲线的切线与法平面
研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1.设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个
在点
的某一邻域内满足
②
③
满足条件
导数
两边对 x 求导
在
的某邻域内
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
法向量
用
高数 隐函数的微分法 知识点与例题精讲
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z y
F1
(
F2
1 z
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z dy y
z x F1
y F2 (F1dxzx
F2FFdxzy)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11Fra bibliotek a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
则 两边对 x 求导
在 d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有
二阶导数 :
d2 y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
二、方程组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
高等数学_第八章_多元微分_第五节_隐函数求导
Fx F v Gx Gv
课本P34课本P34-P35 P34
Fy F v GyGv
F Fx u Gu Gx F u Gu
参见二元 线性方程 组的求解 公式
Fy Gy
上页 下页 返回 结束
例4. 设 x = e
u+v
, y =e
u+v
u−v
, z = uv , 求
u−v
解 现在 z = uv , 式中 u = u(x, y), v = v(x, y)由方程 由方程
z
z
F′⋅ 1 1 z
∂z =− y ∂y ′ F′⋅ (− x ) + F2 ⋅ (− 2 ) 1 2
z z
F′ ⋅ 1 2 z
′ z F2 = ′ x F′ + y F2 1
故
Fx ∂z ∂z ∂z z dz = dx + dy = =− (F′dx + F′dy) 1 2 ∂x ∂y x F′ + y F′ ∂x Fz 1 2
再对 x 求导
2+
∂z 2 1+ ( ) ∂x
∂2z −4 2 = 0 ∂x
上页
下页
返回
结束
解二 利用隐函数求导公式 设 则
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4z
Fx = 2x,
Fz = 2z − 4
∴
x x Fx ∂z = =− =− z −2 2− z ∂x Fz
两边对 x 求偏导
上页 下页 返回 结束
微分法. 解二 微分法 对方程
两边求微分: 两边求微分
x y F′⋅ d( ) + F′ ⋅ d( ) = 0 2 1 z z zdx − xdz zdy − ydz F′⋅ ( ) + F′ ⋅( ) =0 1 2 z2 z2 ′ xF′+ yF2 F′dx +F′ dy 1 2 整理得 dz = 1 2 z z z dz = (F′dx + F′dy) 解得 1 2 x F′ + y F′ 1 2
高等数学课件24隐函数精品文档
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
arctanv2
o
x
v1
达到最高点的时刻 t
v2 g
, 高度 y
t
v2
g
1 2
v22 g
落地时刻 t
2v2 g
,
抛射最远距离 x
t
2v2 g
2v1v2 g
2019/10/7
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 设由方程 tx2 t2 y 2tsiyn1(01)
2019/10/7
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t) (t)
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]20,则
(t)0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
2019/10/7
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
高等数学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
确定函数 yy(x),求 d y . dx
高等数学多元微分隐函数求导公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
1)有连续偏导数;
2) F (x0 , y0 ) 0; 3) Fy (x0 , y0 ) 0
则 (1)方程 F (x, y) 0 在( x0, y0 ) 某邻域内可唯一拟定
一个单值连续可导函数 y = f (x) , 满足条件 y0 f (x0 );
(2) d y Fx dx Fy
隐函数求导公式
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zd
x z2
xdz)
F2
(
zd
y z2
yd
z)
0
整理得 解得
xF1 yF2 z2
dz
F1dx F2 dy z
dz
x
z F1
y
F2
(F1dx
F2d y)
第14页 上页 下页 返回 结束
三、方程组情形
隐函数存在定理还能够推广到方程组情形.
以两个方程拟定两个隐函数情况为例：
在点(x0 , y0 ) 某一邻域内可唯一拟定一组满足条件
u0 u(x0 , y0 ) , v0 v(x0 , y0 ) 单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
且有偏导数公式:
第16页 上页 下页 返回 结束
u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
1.方程在什么条件下能拟定隐函数?
比如, 方程 x2 y C 0
当 C < 0 时, 能拟定隐函数; 当 C > 0 时, 不能拟定隐函数; 2.在方程能拟定隐函数时, 处理隐函数求导数 问题.
第2页 上页 下页 返回 结束
一、二元方程拟定一元隐函数
定理1. 设函数 F (x, y) 在 P(x0, y0 )某邻域内满足
2) F (x0 , y0 ) 0; 3) Fy (x0 , y0 ) 0
则 (1)方程 F (x, y) 0 在( x0, y0 ) 某邻域内可唯一拟定
一个单值连续可导函数 y = f (x) , 满足条件 y0 f (x0 );
(2) d y Fx dx Fy
隐函数求导公式
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zd
x z2
xdz)
F2
(
zd
y z2
yd
z)
0
整理得 解得
xF1 yF2 z2
dz
F1dx F2 dy z
dz
x
z F1
y
F2
(F1dx
F2d y)
第14页 上页 下页 返回 结束
三、方程组情形
隐函数存在定理还能够推广到方程组情形.
以两个方程拟定两个隐函数情况为例：
在点(x0 , y0 ) 某一邻域内可唯一拟定一组满足条件
u0 u(x0 , y0 ) , v0 v(x0 , y0 ) 单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
且有偏导数公式:
第16页 上页 下页 返回 结束
u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
1.方程在什么条件下能拟定隐函数?
比如, 方程 x2 y C 0
当 C < 0 时, 能拟定隐函数; 当 C > 0 时, 不能拟定隐函数; 2.在方程能拟定隐函数时, 处理隐函数求导数 问题.
第2页 上页 下页 返回 结束
一、二元方程拟定一元隐函数
定理1. 设函数 F (x, y) 在 P(x0, y0 )某邻域内满足
高等数学第四节 隐函数及由参数方程所确函数微分法
即
2xdx + 2ydy = 0.
由此，当 y 0 时解得
dy x ， dx y
或
y x
x y
.
例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)，
求 yx .
解 方程两边求微分，得
d(y + x – exy) = d0，
即
dy + dx - dexy = 0，
dy sint , dy 3. dx 1cots dxtπ
3
点 P 处的切线方程为
y1a 2
3x 3a 23a.
例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出，
如果不计空气阻力，以发射点为原点，地平线为 x
轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴(如图). 由物理学知道它的运动方程为
所以，在 t 时炮弹速度的大小为
中弹点 x
a |v|vx 2v2 yv0 22v0gstin g2t2，
它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮 弹的前进方向，其斜率为
dy v0sinagt. dx v0coas
(2)令
y
=
0，得中弹点所对应的时刻
t0
2v0
sina
g
，
所以射 x 程 v02sin2a.
所以
yd y1y 211 . d x 3x1 x1 x2
13 1 x2
例 8 设 y = (tan x)x，求 y .
解 lny = xln(tan x) = x(lnsin x - lncos x)
1 d y x d (lsn ix n lc nx o ) ( slsn ix n lc nx o )d x s y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 R 3 3 1 R 2 h 1 r 2 (h x) [ h ( h x ) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r hx dV R 2 d V h 2 ( h x ) 2 dx , 而 25 (cm 3 s)R hx dt dt h dt r R 2 h dx 100 25h (cm s) , 故 2 2 2 dt R R (h x)
4
因x=0时y=0, 故
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
u ( ln u ) u
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 设
由方程
确定u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
机动 目录 上页 下页 返回
结束
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
速度的水平分量为
故抛射体速度大小
垂直分量为
v1 (v2 gt )
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
dy dy d t dx dx dt
机动
2
2
y
o
目录 上页 下页 返回
x
结束
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 达到最高点的时刻 t v2 , 高度 g
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
练习: P111 题8(1)
解:
dy 1 ; dx t
d y 2 dx
机动
2
1 t
2
1 3 t t
上页 下页 返回 结束
目录
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
作业
P110 1(1) , (4) ; 2; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12
第五节 目录
上页
下页
返回
结束
备用题
1. 设 解: 方法1 求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
相关变化率之间的关系式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin dy dy sin cos d dx dx cos sin d
), M ( 0 , 当 时对应点 2 2
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x (t ) 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意 : 已知
d2 y 1 f (t ) d x2
?
例4. 设
x f (t ) d2 y 求 . f ( t ) 0 , , 且 2 y t f (t ) f (t ) dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y y x y 0
再求导, 得
y 2 e y (e x) y 2 y 0 y
①
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y (0) 2 e
机动 目录 上页 下页 返回 结束
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
机动
目录
上页
下页
返回
结束
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题
列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
第四节 隐函数和参数方程求导 相关变化率
一、隐函数的导数
第二章
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 R 3 3 1 R 2 h 1 r 2 (h x) [ h ( h x ) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r hx dV R 2 d V h 2 ( h x ) 2 dx , 而 25 (cm 3 s)R hx dt dt h dt r R 2 h dx 100 25h (cm s) , 故 2 2 2 dt R R (h x)
4
因x=0时y=0, 故
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
u ( ln u ) u
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 设
由方程
确定u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
机动 目录 上页 下页 返回
结束
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
速度的水平分量为
故抛射体速度大小
垂直分量为
v1 (v2 gt )
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
dy dy d t dx dx dt
机动
2
2
y
o
目录 上页 下页 返回
x
结束
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 达到最高点的时刻 t v2 , 高度 g
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
练习: P111 题8(1)
解:
dy 1 ; dx t
d y 2 dx
机动
2
1 t
2
1 3 t t
上页 下页 返回 结束
目录
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
作业
P110 1(1) , (4) ; 2; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12
第五节 目录
上页
下页
返回
结束
备用题
1. 设 解: 方法1 求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
相关变化率之间的关系式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin dy dy sin cos d dx dx cos sin d
), M ( 0 , 当 时对应点 2 2
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x (t ) 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意 : 已知
d2 y 1 f (t ) d x2
?
例4. 设
x f (t ) d2 y 求 . f ( t ) 0 , , 且 2 y t f (t ) f (t ) dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y y x y 0
再求导, 得
y 2 e y (e x) y 2 y 0 y
①
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y (0) 2 e
机动 目录 上页 下页 返回 结束
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
机动
目录
上页
下页
返回
结束
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题
列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
第四节 隐函数和参数方程求导 相关变化率
一、隐函数的导数
第二章
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数