离散数学课程作业

离散数学课程作业（2）

数理逻辑部分

一、 填空题

1. 将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定、 、 、 和等值。

2、命题公式G=（P ∧Q ）→R ，则G 共有 个不同的解释；把G 在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G 的 ；解释（⌝P ，Q ，⌝R ）或（0，1，0）使G 的真值为 。

3、 已知命题公式R Q P G →∧⌝=)(，则G 的析取范式是 。

4、 求公式)()(R P Q P ∧⌝∨∧的主析取范式 。

5、 设命题公式)(R Q P G →⌝→=，则使公式G 为假的解释是 、 和 。

6、在谓次词逻辑中将下面命题符号化：在北京工作的人未必都是北京人（提示：设F （x ）：x 在北京工作。G （x ）：x 是北京人。） 。

7、将公式化成等价的前束范式，=→∃→⌝∃∃)))()((),((x R z zQ y x yP x 。

8、设谓词的定义域为},,{c b a ，将表达式)()(x xS x xR ∃∧∀中的量词消除，写成与之等价的命题公式是 。

二、 单项选择题

1、下列语句中，（ ）是命题。

A ．下午有会吗？

B ．这朵花多好看呀！

C ．2是常数。

D ．请把门关上。

2、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。

A ．析取范式

B ．合取范式

C ．主析取范式

D ．以上答案都不对

3、设命题公式P Q P G →∧=)(，则G 是（ ）。

A. 恒假的

B. 恒真的

C. 可满足的

D. 析取范式

4、设命题公式)(),

(P Q P H Q P G ⌝→→=→⌝=，则G 与H 的关系是（ ）。 以上都不是

。.;.;.;.D H G C G H B H G A =⇒⇒ 5、已知命题))((R Q P G ∧→⌝=，则所有使G 取真值1的解释是（ ）。

A （0，0，0），（0，0，1），（1，0，0）

B （1，0，0），（1，0，1），（1，1，0）

C （0，1，0），（1，0，1），（0，0，1）

D （0，0，1），（1，0，1），（1，1，1）

6、设I 是如下一个解释，0

101),(),(),()

,(},,{b b P a b P b a P a a P b a D =， 则在解释I 下取真值为1的公式是（ ）。

),(.);,(.);,(.);,(.y x yP x D x x xP C y x yP x B y x yP x A ∃∀∀∀∀∀∃

7、下面给出的一阶逻辑等价式中，（ ）是错的。

)).(()(.));

(()(.);

()())()((.);

()())()((.x B A x x xB A D x A x x xA C x xB x xA x B x A x B x xB x xA x B x A x A →∀=∀→⌝∃=⌝∀∀∨∀=∨∀∃∨∃=∨∃

三、 计算题

1、 求命题公式⌝（P ∨Q ）↔（P ∧Q ）的析取范式与合取范式。

2、通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。

（1）（P ∧Q ）∨（⌝P ∧Q ∧R ）；

（2）（P ∨（Q ∧R ））∧（Q ∨（⌝P ∧R ））；

3、用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？

（1）（P ∧⌝P ）↔Q

（2）⌝（P →Q ）∧Q

（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

4、设解释I 为：

（1）定义域D={-2，3，6}；

（2）F （x ）：x ≤3；

G （x ）：x >5。

在解释I 下求公式∃x （F （x ）∨G （x ））的真值。

5、设I 是如下一个解释：

1

)3,3(1)2,3(1)3,2(1)2,2(1)3(0)2(2)3(3)2(2},3,2{G G G G F F f f a D =，试求下列公式在I 下的真值：

))).

(,())((()2));,()(()1x f x G x f F x a x G x F x ∧∃∧∀ 6、设F （x ，y ）：x 对y 过敏；M （x ）：x 是人；G （y ）：y 是食物。试将命题“某些人对某些

食物过敏”符号化。

四、 证明题

1. 利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。

（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）

2、 证明等价式R R P R Q R Q P =∧∨∧∨∧⌝∧⌝)()())((。

3、 利用形式演绎法证明：{P →Q ， R →S ，P ∨R }蕴涵Q ∨S 。

4、 利用形式演绎法证明：},,,,{T R S T S R P Q P ⌝→⌝→⌝→∨蕴涵Q 。

5、 判断下面推理是否正确，并证明你的结论。

如果小王是理科生，他的数学成绩必好。如果小王不是文科生，他必为理科生。小王没学好数学（即数学成绩不好）。所以，小王是文科生。

（提示：先将命题符号化，再用形式演绎法推出正确与否。）

6、 利用一阶逻辑的基本等价式，证明：

∀x ∀y （F （x ）→G （y ））=∃xF （x ）→∀yG （y ）