几何概型习题课

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7.(1)x和y取值都是区间[1,4]中的整数, 任取一个x的值和一个y的值, 求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
(2)x和y取值都是区间[1,4]中的实数, 任取一个x的值和一个y的值, 求 “ x – y ≥1 ”的概率。
2
(2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数, 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
a+b-8≤0 {(a,b)|a>0 }, b>0
构成所求事件的区域为三角形区域. a+b-8=0 16 8 由 a 得交点坐标为 ( , ), 3 3 b= 2 1 8 × 8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P= = . 1 3 ×8×8 2
1 A. 3
2 B. 3
1 C. 9
2 D. 9
题组四:与面积有关的几何概型(重点)
4、设在区间[0,2]中随机地取两个数,求下 列事件的概率.
15 (1)两个数中较大的大于1/2;16 (2)两数之和大于3/4. 119 128
练习:分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实 数,依次记为m和n,则 m n
正解 射线 CD 在∠ACB 内是均匀分 布的,故∠ACB=90° 可看成试验的所有 结果构成的区域, 在线段 AB 上取一点 E, 使 AE=AC,则∠ACE=67.5° 可看成所求 事件构成的区域,所以满足条件的概率为 67.5° 3 = . 90° 4
知 能 层 层 练 1. (2011· 福州质检)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子, 豆 子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( )
在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条 射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概 率. 3 4 变1:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2 变2:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求AM小于AC的概率. 2
2
题组三:与体积有关的几何概型
2b 解析 (1)函数 f(x)=ax -4bx+1 的图象的对称轴为 x= , a 2 要使 f(x)=ax -4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数,当且仅当 2b a>0 且 ≤1,即 a>0 且 2b≤a, a 若 a=1 则 b=-1,若 a=2 则 b=-1,1,若 a=3 则 b=-1,1, ∴事件包含的基本事件的个数是 1+2+2=5, 5 1 ∴所求事件的概率为 = . 15 3
y 4 3 2 1
E A B D C
作直线 x - y=1 几何概型
F
P=2/9
-1
1
2
3
4
xLeabharlann 课后总结你学到了什么?在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
课外作业:与面积有关的几何概型(重点)
(约会问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之 间在某地约会,先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能 的,且二人互不影响。求二人能约会成功的 概率。
正 误 题 题 辨 例在等腰 Rt△ABC 中,过直角顶点 C 在∠ACB 内作一条射线 CD 与线段 AB 交于点 D,求 AD<AC 的概率.
错解 在线段 AB 上取一点 E,使 AE= AC,在线段 AE 上取一 AE AC 2 点 D,过 C、D 作射线 CD,此时 AD< AC,求得概率为 = = . AB AB 2 点击 上面是常见的错误解法, 原因是不能准确找出事件的几何 度量.
1 3
题组四:与面积有关的几何概型(重点)
7、在面积为S的三角形ABC的内部任取一点 P,则三角形PBC的面积大于S/4的概率是 _______. 9
16
8、一只海豚在水池中自由游弋,水池为长 30m、宽20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离 岸边不超过2m的概率. 23
75
古典概型与几何概型的综合应用 已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中 随机取一个数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函 数的概率; x+y-8≤0 (2)设点(a,b)是区域x>0 内的随机点,求函数 y=f(x) y>0 在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
题组一:与长度有关的几何概型
1、当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间 为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为 45秒,你看到黄灯的概率是多少_______. 1
16
2、在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取 一点Q,过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超 过1的概率是__________. 3
2
题组二:与角度有关的几何概型
2
2、(2008~江苏)在平面直角坐标系xOy中, 设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的 点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的 点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E 中的概率为_______. 16
题组四:与面积有关的几何概型(重点)
3、已知A={( x,y)|x+y≤6,x≥0, y≥0}, B={(x,y)|x ≤4,y ≥0,x-2y ≥0} 若向区域A中随机投一点P,则点P落入区 域B的概率是( )
1 A. 4
1 B. 8
π C. 4
π D. 8
答案 D 解析 设正方形的边长为 2,则豆子 落在正方形内切圆的上半圆中的概率为 1 2 π× 1 2 π = . 4 8
与长度成比例 2.在区间(0,10)内的所有实数中随机取一个实数 a,
则这个实数a>7的概率为
0.3 .
与面积成比例 3. 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着
方 法 路 路 通 1.无论是几何概型,还是古典概型都必须判断基本事件的“等 可能性”,这一点容易被忽略. 2.几何概型概率的计算,实际上教材重点不在于计算,而在于 如何利用几何概型,把问题转化为各种几何概率问题,为此可参考 如下办法:①适当选择观察角度;②把基本事件转化为与之对应的 区域;③把事件 A 转化为与之对应的区域. 3.一般地,若一个随机事件需要用两个连续变量(如 x,y)来描 述,则用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,利用坐标 平面建立与面积有关的几何图形,就可以利用线性规划的有关知识 来解决.
解析 用 x 轴、y 轴分别表示两车到达某站的时间,则相遇 的条件是|x-y|≤2,在如图所示的坐标系中,(x,y)的所有可能 结果是边长为 10 的正方形,而事件 A“两车相遇”的可能结果 2 2 10 - 8 SA 可用图中阴影部分表示.由 P(A)= = 2 = 0.36. 10 S 即两车相遇的概率为 0.36.
石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
0.004 与体积成比例
4. 在1000mL的水中有一个草履虫,现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察,发现草履虫的概率.
0.002
5.(2011· 大连联考)分别在区间[0,5]和[0,3]内任取一个实数,依 次记为 m 和 n,则 m>n 的概率为( ) 7 3 3 2 A. B. C. D. 10 10 5 5
2 答案 3 解析 先求点 P 到点 O 的距离小于 1 或等于 1 的概率,圆柱 的体积 V 圆柱= π×12× 2=2π,以 O 为球心,1 为半径且在圆柱内部 1 4 3 2 的半球的体积 V 半球= × π×1 = π.则点 P 到点 O 的距离小于 1 2 3 3 2 π 3 1 或等于 1 的概率为: = , 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为: 2π 3 1 2 1- = . 3 3
3 的概率为____ . 5
题组四:与面积有关的几何概型(重点)
5、 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离 开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问 你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的 概率是多少? 7
8
练习.某市 1 路车与 3 路车在下午 1:10~1:20 任意时刻都 可能到达某站, 在站上停 2 分钟后开走, 则两车相遇的概率为多少?
答案 A 解析 建立平面直角坐标系(如图所示 ),则由图可知满足 m> n S梯形 OABD 7 的点应在梯形 OABD 内,所以所求事件的概率为 P= = . S矩形 OABC 10
6.(2011· 广州测试)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱, 点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________.
1、已知棱长为2的正方体,内切球O,若在 正方体内任取一点,则这一点不在球内的概 率为_______.
1
6
2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球, 假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾,试求 这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
26 27
题组四:与面积有关的几何概型(重点)
1、在半径为1的半圆内,放置一个边长为 1/2的正方形ABCD,向半圆内任投一点, 落在正方形内的概率为______. 1
9 25
题组四:与面积有关的几何概型(重点)
6、甲乙两人约定上午7:00到8:00之间到 某站乘公汽,这段时间内有3班公共汽车, 它们开车时刻分别为7:20、7:40、8:00, 如果他们约定,见车就乘,则甲乙同乘一车 的概率为(假设甲乙两人到车站的时刻互相 不牵连,且每人在7点到8点的任意时刻到达 车站都是等可能的)_______.
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