几何概型习题课

解析 用 x 轴、y 轴分别表示两车到达某站的时间，则相遇 的条件是|x－y|≤2，在如图所示的坐标系中，(x，y)的所有可能 结果是边长为 10 的正方形，而事件 A“两车相遇”的可能结果 2 2 10 － 8 SA 可用图中阴影部分表示．由 P(A)＝ ＝ 2 ＝ 0.36. 10 S 即两车相遇的概率为 0.36.
方 法 路 路 通 1．无论是几何概型，还是古典概型都必须判断基本事件的“等 可能性”，这一点容易被忽略． 2．几何概型概率的计算，实际上教材重点不在于计算，而在于 如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概率问题，为此可参考 如下办法：①适当选择观察角度；②把基本事件转化为与之对应的 区域；③把事件 A 转化为与之对应的区域． 3．一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量(如 x，y)来描 述，则用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标 平面建立与面积有关的几何图形，就可以利用线性规划的有关知识 来解决.
答案 A 解析 建立平面直角坐标系(如图所示 )，则由图可知满足 m＞ n S梯形 OABD 7 的点应在梯形 OABD 内，所以所求事件的概率为 P＝ ＝ . S矩形 OABC 10
6．(2011· 广州测试)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱， 点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________．
9 25
题组一：与长度有关的几何概型
1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间 为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为 45秒，你看到黄灯的概率是多少_______. 1
16
2、在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取 一点Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超 过1的概率是__________. 3
2
题组二：与角度有关的几何概型
y 4 3 2 1
E A B D C
作直线 x - y=1 几何概型
F
P=2/9
-1
1
2
3
4
x
课后总结
你学到了什么？
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下：
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
课外作业：与面积有关的几何概型（重点）
(约会问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之 间在某地约会，先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能 的，且二人互不影响。求二人能约会成功的 概率。
7.（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y ≥1 ”的概率。
在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条 射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概 率. 3 4 变1:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2 变2:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求AM小于AC的概率. 2
2
题组三：与体积有关的几何概型
石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
0.004 与体积成比例
4. 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
0.002
5．(2011· 大连联考)分别在区间[0,5]和[0,3]内任取一个实数，依 次记为 m 和 n，则 m＞n 的概率为( ) 7 3 3 2 A. B. C. D. 10 10 5 5
2
2、(2008~江苏)在平面直角坐标系xOy中， 设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的 点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的 点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E 中的概率为_______. 16
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
3、已知A={( x,y)|x+y≤6,x≥0, y≥0}, B={(x,y)|x ≤4,y ≥0,x-2y ≥0} 若向区域A中随机投一点P，则点P落入区 域B的概率是（ ）
2 答案 3 解析 先求点 P 到点 O 的距离小于 1 或等于 1 的概率，圆柱 的体积 V 圆柱＝ π×12× 2＝2π，以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部 1 4 3 2 的半球的体积 V 半球＝ × π×1 ＝ π.则点 P 到点 O 的距离小于 1 2 3 3 2 π 3 1 或等于 1 的概率为： ＝ ， 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为： 2π 3 1 2 1－ ＝ . 3 3
wk.baidu.com
1 3
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
7、在面积为S的三角形ABC的内部任取一点 P，则三角形PBC的面积大于S/4的概率是 _______. 9
16
8、一只海豚在水池中自由游弋，水池为长 30m、宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离 岸边不超过2m的概率. 23
75
古典概型与几何概型的综合应用 已知关于 x 的一元二次函数 f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)设集合 P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合 P 和 Q 中 随机取一个数作为 a 和 b，求函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函 数的概率； x＋y－8≤0 (2)设点(a，b)是区域x＞0 内的随机点，求函数 y＝f(x) y＞0 在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
正解 射线 CD 在∠ACB 内是均匀分 布的，故∠ACB＝90° 可看成试验的所有 结果构成的区域， 在线段 AB 上取一点 E， 使 AE＝AC，则∠ACE＝67.5° 可看成所求 事件构成的区域，所以满足条件的概率为 67.5° 3 ＝ . 90° 4
知 能 层 层 练 1． (2011· 福州质检)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子， 豆 子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( )
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
6、甲乙两人约定上午7：00到8：00之间到 某站乘公汽，这段时间内有3班公共汽车， 它们开车时刻分别为7：20、7：40、8：00， 如果他们约定，见车就乘，则甲乙同乘一车 的概率为（假设甲乙两人到车站的时刻互相 不牵连，且每人在7点到8点的任意时刻到达 车站都是等可能的）_______.
2
(2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a＞0 时， 函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
a＋b－8≤0 {(a，b)|a＞0 }， b＞0
构成所求事件的区域为三角形区域． a＋b－8＝0 16 8 由 a 得交点坐标为 ( ， )， 3 3 b＝ 2 1 8 × 8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P＝ ＝ . 1 3 ×8×8 2
3 的概率为____ . 5
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
5、 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离 开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问 你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的 概率是多少? 7
8
练习．某市 1 路车与 3 路车在下午 1：10～1：20 任意时刻都 可能到达某站， 在站上停 2 分钟后开走， 则两车相遇的概率为多少？
1、已知棱长为2的正方体，内切球O，若在 正方体内任取一点，则这一点不在球内的概 率为_______.
1
6
2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球， 假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求 这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
26 27
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
1、在半径为1的半圆内，放置一个边长为 1/2的正方形ABCD，向半圆内任投一点， 落在正方形内的概率为______. 1
2b 解析 (1)函数 f(x)＝ax －4bx＋1 的图象的对称轴为 x＝ ， a 2 要使 f(x)＝ax －4bx＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当 2b a＞0 且 ≤1，即 a＞0 且 2b≤a， a 若 a＝1 则 b＝－1，若 a＝2 则 b＝－1,1，若 a＝3 则 b＝－1,1， ∴事件包含的基本事件的个数是 1＋2＋2＝5， 5 1 ∴所求事件的概率为 ＝ . 15 3
正 误 题 题 辨 例在等腰 Rt△ABC 中，过直角顶点 C 在∠ACB 内作一条射线 CD 与线段 AB 交于点 D，求 AD＜AC 的概率．
错解 在线段 AB 上取一点 E，使 AE＝ AC，在线段 AE 上取一 AE AC 2 点 D，过 C、D 作射线 CD，此时 AD＜ AC，求得概率为 ＝ ＝ . AB AB 2 点击 上面是常见的错误解法， 原因是不能准确找出事件的几何 度量．
1 A. 3
2 B. 3
1 C. 9
2 D. 9
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
4、设在区间[0，2]中随机地取两个数，求下 列事件的概率.
15 (1)两个数中较大的大于1/2；16 (2)两数之和大于3/4. 119 128
练习:分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实 数，依次记为m和n，则 m n
1 A. 4
1 B. 8
π C. 4
π D. 8
答案 D 解析 设正方形的边长为 2，则豆子 落在正方形内切圆的上半圆中的概率为 1 2 π× 1 2 π ＝ . 4 8
与长度成比例 2.在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数 a，
则这个实数a>7的概率为
0.3 .
与面积成比例 3. 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着