最全的圆锥曲线轨迹方程求法(知识借鉴)

圆锥曲线轨迹方程的解法
目录
一题多解 (2)
一．直接法 (4)
二. 相关点法 (7)
三. 几何法 (11)
四. 参数法 (13)
五. 交轨法 (15)
六. 定义法 (17)
一题多解
设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。

一．直接法
设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设
OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41
(x ≠0)，即点P 的
轨迹方程是（x －21）2+y 2=41
(0＜x ≤1)。

二．定义法
∵∠OPC =90°，∴动点P 在以M （0,2
1
）为圆心，OC 为直径的圆（除去原
点O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=4
1
(0＜x ≤1)
三．相关点法
设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0,
∴x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ∴(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0,
∴x ≠0,即（x －21）2+y 2=41
(0＜x ≤1）
四．参数法
①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1，
即（1+k 2）x 2－2x =0,∴.12
2
21k x x +=+ 设点P （x,y ），则2
2211],1,0(112k
k
kx y k x x x +==∈+=+= 消去k 得（x －
21）2+y 2=4
1
(0＜x ≤1）
②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )，
则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+=y x 消去θ得（x －21）2+y 2=4
1(0＜x ≤1）
一．直接法
课本中主要介绍的方法。

若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、
y 的关系式。

从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。

例题1
等腰三角形的定点为)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程。

练习一
1.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅→
→。

求点P 的轨迹方程。

2. 线段AB 的长等于2a,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？
3.动点P （x,y ）到两定点)0,3(-A 和)0,3(B 的距离的比等于2（即：2=PB
PA ）。

求动点P 的轨迹方程？
4.动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到 顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？
﹡5.点P 与一定点)0,2(F 的距离和它到一定直线8=x 的距离的比是2:1。

求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

★7.已知)0,4(P 是圆3622=+y x 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程。

8.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

二. 相关点法
利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。

例题2
已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在X 、Y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点M 的轨迹方程。

练习二
1.已知点)(00，y x P 在圆122=+y x 上运动，求点M ),2(0y x 的轨迹方程。

2.设P 为双曲线14
22
=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中
点。

求点M 的轨迹方程。

y
Q O
x
N
P
3.设)0,1(F ，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且→→=MP MN 2，→PM ⊥→
PF ， 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程。

4.已知△ABC 的顶点)8,3(-B ，)6,1(--C ，顶点A 在曲线x y 42=上运动， 求△ABC 重心G 的轨迹方程。

5.已知A 、B 、D 三点不在同一条直线上，且)0,2(-A 、)0,2(B ，2=→
AD ，
)(21→→
→
+=AD AB AE ，求E 点的轨迹方程。

6.△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长成等比数列，且AC AB >，点B 、C 坐标分别为)0,1(-、)0,1(，求定点A 的轨迹方程。

7.已知点)0,2(-A ，P 是圆O ：422=+y x 上任意一点，P 在x 轴上的射影 为Q ，→
→
=QG QP 2，动点G 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程。

8.已知椭圆19
42
2=+y x 上任意一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，
点M 在PQ 上，且→
→=MQ PM 2，点M 的轨迹为C ，求曲线C 的方程。

9.如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为
N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

10.已知双曲线222=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点。

（I ）若动点M 满足→
→
→
→
++=O F B F A F M F 1111（其中O 为坐标原点），求点M 的 轨迹方程；
（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使→
→
⋅CB CA 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由。

三. 几何法
求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方程的方法称为几何法。

例题3
已知定点)0,2(A ，点P 在曲线)1(122≠=+x y x 上运动，∠AOP 的平分线交于Q 点，其中O 为原点，求点Q 的轨迹方程。

练习三
1.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BC 1内一动点，若P 到直 线BC 与直线C 1D 1的距离相等，求动点P 的轨迹所在的曲线。

2.已知点C 的坐标是)2,2(，过点C 的直线CA 与X 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与Y 轴交于点B 。

设点M 是线段AB 的中点，求 点M 的轨迹方程。

3.已知经过点)0,4(P 的直线1l ，经过)2,1(-Q 的直线为2l ，若1l ⊥2l ，求1l 与2l 交点S 的轨迹方程。

4.求圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切 的圆的方程。

5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1+=x y 与其相交于
M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3
2-，求此双曲线方程。

6.已知动点P 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程。

四. 参数法
有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。

如果借助中间量（参数），使),(y x 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。

例题4
过不在坐标轴上的定点),(b a M 的动直线交两坐标轴于点A 、B ，过A 、B 坐标轴的垂线交于点P ，求交点P 的轨迹方程。

练习四
1.过点P （2，4）作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交 y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

2.一个动圆的解析式为04624222=-+-++b by bx y x ，求圆心的轨迹方程。

3.过圆O ：422=+y x 外一点A （4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的 弦BC 的中点M 的轨迹。

4.点)1,1(A ，B 、C 是圆422=+y x 上的动点，且AB ⊥AC ，求BC 中点P 的轨迹方程。

五. 交轨法
求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标X 、Y 分别表示两条曲线方程，然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交轨法。

例5
已知直线l 过定点)3,0(，且是曲线x y 42=的动弦P 1P 2的中垂线，求直线l 与动弦P 1P 2交点M 的轨迹方程。

练习五
1.求两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程。

2.当参数m 随意变化时，求抛物线()y x m x m =+++-22211的顶点的轨迹方程。

3.设A 1、A 2是椭圆14
92
2=+y x 的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的 弦的端点。

求直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程。

4.已知双曲线22
22n
y m x -=1 (m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双 曲线于点P 、Q 。

求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程。

5.已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：18
12=+y x ，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于R ， 有点Q 在OP 上，且满足2
OR OP OQ =，当P 在L 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

六. 定义法
求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法。

常见已知曲线：
（1）圆：到定点的距离等于定长
（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）
（4）抛物线：到定点与定直线距离相等。

例题6
1.设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E 。

证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程。

2.已知△ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为)0,4(-，)0,4(，C 为动点，且满足C A B sin 4
5sin sin =+。

求点C 的轨迹。

练习六
1.已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(22=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。

求C 的方程。

2.动点P 到直线6=x 的距离与它到点（2，1）的距离之比为5，则点P 的轨迹是什么？
3.点M 到点F （4，0）的距离比它到直线05=+x 的距离小1。

求点M 的轨迹方程。

4.已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次 构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程。

5.一动圆过点)0,3(-F 且与已知圆4)3(22=+-y x 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

6.设向量i ，j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量j y i x a →→→++=)3(，→→→+-=j y i x b )3(，且2=-→
→b a ，求满足上述条件的点),(y x P 的轨迹方程。

7.已知圆422=+y x 上有定点)0,2(A 和两动点B 、C ，且恒有∠BAC=3π，△ABC 的重心的轨迹方程。