《圆》章节知识点复习专题

《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫
中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；
2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；
3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；
2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；
3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；
r d
d C
B
A
O
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即
r
d
d=r
d
r
图3
r
R d
图1
r
R
d
图2
r R
d 图4
r
R
d
图5
r R
d
可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
O E
D
C
B
A
O
C
D
A
B
F
E D
C
B
A
O
C
B
A
O
D
C
B
A
O
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠ 九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端
C
B
A
O
C
B
A
O
E
D
C
B
A
O
∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ 十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，
∴2
CE AE BE =⋅ 十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB
P
B
A
O
P
O D
C
B
A
O E
D
C
B
A
B
A
O1
O2
C
十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =； （2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇
形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=2
22rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2
V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2
Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2
1
3
V r h π=
E
C
B
A
D
O
B
A
O
S l
B
A
O
母线长
底面圆周长
C 1
D 1D
C
B
A
B1
R
r
C
B
A
O
圆（一）
一、知识点：㈠、车轮为什么是圆的
1．确定一个圆的条件是和．2.圆是平面上到的距离等于的所有点组成的图形．3．点和圆的位置关系有三种：（1）_____________；（2）____________；（3）____________．4．点在圆外，即这个点到圆心的距离半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离半径．
5. 证明n点（n≥4）共圆的方法：找一个点O使得这n点到点O的距离相等，则这n点在以点O为圆心的圆上㈡圆的对称性
知识点1：圆的对称性（1）圆的旋转不变性
圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转__________后，仍与原来的圆重合。

由于圆绕圆心旋转180°后与自身重合，圆是中心对称图形，对称中心是________。

（2）圆的轴对称性
圆是轴对称图形，它的对称轴是________________________________________________。

知识点2：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
逆定理及其运用知识点3：圆心角、弧、弦之间的关系
（1）在______________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

（2）在______________中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

㈢圆周角与圆心角的关系
知识点1：圆周角的概念
顶角在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
判断一个角是否是圆周角的条件是①角的顶点在圆上，②角的两边都与圆相交
知识点2：圆周角定理:一条弧所对的___________角等于它所对的__________角的一半。

推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论二：直径所对的圆周角是_________；______°的圆周角所对的弦是直径．
推论三：圆内接四边形对角_________
二、多解题：
1.一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm．
2.一条弦把圆分成2:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是；弦所对的圆周角的度数是_________________
3.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离为____________
4.已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为___________
5.若弦长等于半径，则弦所对的圆心角的度数是________，弦所对弧的度数是
____________
6．若⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥BC 于D ，且∠BOD ＝48°．则∠BAC ＝_____ 7．△ABC 是半径为2 cm 的圆内接三角形，若BC ＝23cm ，则∠A 的度数为 . 三、易错题：
8．若AB 所对圆心角度数是100°，AB 所对的圆周角的度数为 。

9. 点A 在以O 为圆心，3cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是 ． 10．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的最小值为 。

11. 已知⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 为弦AB 上的一个动点，那么OP 的长的取值范围是 。

12．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ．若以A 为圆心作圆，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是__________________．
13.在⊙O 中，2AB CD ，那么( )
A.AB ＝2CD
B.AB ＝CD
C.AB ＜2DC
D.AB ＞2DC
14.若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是___________梯形，若一个圆经□ABCD 四个顶点，则□ABCD 是_________________形
15.下列命题中正确的命题是___________________
⑴圆周角等于圆心角的一半；⑵相等的圆周角所对的弧相等；⑶在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑷等弧所对的圆周角相等；⑸顶点在圆周上的角就是圆周角；⑹平分弦的直径垂直于弦；⑺弦的垂直平分线经过圆心；⑻圆的对称轴是直径
16．已知如图，⊙O 中直径AB 交CD 于E ，点B 是弧CD 的中点，CD ＝8cm ，AE
＝8cm ，则⊙O 的半径为__________ 四、探究动手题：
17． 如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．
作图说明：已知点AB ＝4cm ，到点A 的距离小于2cm ，到点B 的距离小于3cm 的所有点组成的图形．
18．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径． 19. 把如图的弧四等分。

20．如图，以⊙O 的半径OA 为直径作⊙O 1，⊙O 的弦AD 交⊙O 1于C ，则 (1)OC 与AD 的位置关系是_____ ; (2)OC 与BD 的位置关系是_____ ; (3)若OC = 2cm,则BD = __ cm 。

五、解答题：
21．某地有一座圆弧形拱桥圆心为O ，桥下水面宽度为7.2m ，过O 作OC ⊥AB 于D ，交
C D
O 1
A B
O
B
C
O D
E A
圆弧于C，CD＝2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB2m
的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
22．如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD。

求证：∠AMN＝∠CNM
六、课后练习题：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15cm，BC＝10cm，以A为圆心，12cm
为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．
2．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO＝1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．
3. AB是⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA＝2，OC＝1，则AB＝。

4.已知：油面宽AB＝600毫米，弓形APB的高PQ＝450毫米，求油槽的内径及油的最大深度。

5．在△ABC中，∠A＝70º，⊙O截△ABC的三边，所截得的弦都相等则∠BOC等于( ) A.11º B.125º C.130º D.不能确定
6．填空题：
（1）若A、B、C、D将⊙O四等分，则∠AOB＝。

（2）如图，A、D、B、C分别在⊙O上，CD是⊙O的直径，∠BCD＝45°，则∠BAC＝（3）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝40°，则∠AOD＝
（4）如图，A、B、C为⊙O上的三点，若∠C＝40°，则∠OAB＝
（5）如图，若AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，△ABC∽△∽△（6）已知⊙O中弦AB长为22cm ，弦心距为2cm，P为⊙O上异于A、B的任一点，则∠APB＝。

（7）A，B，C 都在⊙O上，∠BOC＝120°，则∠BAC＝°
7．选择题：
（1）如图，A、B、C 为⊙O上的三点，∠ABO＝65°，则∠BCA＝（）
A. 25°
B. 32.5°
C. 30° D 45°
（2）如图，已知圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC的度数为（）
A. 130°
B. 100°
C. 80°
D. 50°
（3）如图，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，则∠ABF＝（）
A. 22.5°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
（4）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝120°，则∠BAC＝（）
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 150°
O
B
A C
D
N
M
（6）如图，等腰△ABC 的顶角∠A ＝45°，以AB 为直径的半圆与BC ，AC 分别交于D ，E 两点，则AE 的度数是（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 90°
D. 100°
（7）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 、D 在⊙O 上，并且在AC 两旁，则图中等于
1
2
∠BOC 的角的个数为（ ） A. 4 B. 3 C.2 D. 1
8．以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？
9．（1）在足球比赛中，甲乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A 点时，乙也跟随冲到B 点，此时甲是自己直接射门好？还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？（不考虑其他因素）
（2）如图，已知AB 是⊙O 的直径，EO ⊥AB ，AE 交⊙O 于点C ，BC 交EO 于点F 求证：①BO ·EF ＝E C ·BF ②2AO 2＝A C ·AE
（3）已知BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于E ，交半圆O 于点F ，弦AC 与BF 交于点H ，且AE ＝BE ，
求证：①弧AB ＝弧AF ②AH ·BC ＝2AF ·BE
（4）AB 是半圆O 的直径，点E 是半圆上一个动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H （点H 与点E 不重合）
①求证：△AHD∽△CBD
②连接HO，若CD＝AB＝2，求HD+HO的值
一、知识点：㈠、温故而知新
1．在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_____组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径_____________这条弦，并且平分弦所对的两条_______。

3. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是__________）的直径__________这条弦，并且平分弦所对的两条___
4. 圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的__________等于这条弧所对的__________的一半。

___________________所对圆周角相等。

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的______相等。

直径所对的圆周角是________，____________的圆周角所对弦是直径。

5．圆的切线
⑴判定：经过直径________，并且与这条直径_____________的直线是圆的切线。

⑵性质：圆的切线垂直于___________的直径。

6．三角形的外心
________________________确定一个圆。

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的_____________________________的交点。

7．三角形的内心：与三角形的三边都_______的圆叫做三角形的________圆，它的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心是三角形的三条________________________的交点。

㈡和圆有关的位置关系
8．点和圆的位置关系：有三种。

设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则⑴点在圆内
⇔_______________；⑵点在圆上⇔_______________；⑶点在圆外⇔_____________________。

9．直线和圆的位置关系：有三种。

设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则
⑴直线和圆没有公共点⇔直线和圆_______________⇔d_____r；
⑵直线和圆有惟一公共点⇔直线和圆_______________⇔d_____r；
⑶直线和圆有两个公共点⇔直线和圆_______________⇔d_____r.
10．圆和圆的位置关系：
☆若两圆半径不等，有五种位置关系。

设两圆的半径分别为R，r（R＞r）,____________为d。

⑴两圆没有公共点且每一圆上的点在另一圆外⇔两圆_______________⇔ d _________________；
⑵两圆有惟一公共点且每一圆上的点在另一圆外⇔两圆_______________⇔d________________；
⑶两圆有两个公共点⇔两圆_______________⇔___________________________；
⑷两圆有惟一公共点且其中一圆上的点除公共点外都在另一圆内⇔两圆____________⇔d__________；
⑸两圆没有公共点且其中一圆上的点都在另一圆内⇔两圆____________⇔__________________.
特例：d＝0时，两圆的圆心重合，此时称两圆____________
注：_________和___________统称为相离，_________和___________统称为相切。

☆若两圆半径相等，有三种位置关系，分别为：_______________、______________、____________。

㈢与圆有关的计算：
11. ⑴弧长公式：l＝______________（已知弧所对的圆心角度数为nº，所在圆的半径为R）
⑵设扇形的圆心角度数为nº，所在圆的半径为R，弧长为l，则扇形的周长为C＝____________；面积S＝_______________＝_______________
⑶设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l。

则l2＝r2＋h2；圆锥侧面积S侧＝_________________;全面积S全＝_________________________
⑷设圆柱的底面半径为r，高为h，母线长为l。

则l＝h；圆柱侧面积S侧＝_________________;
全面积S全＝_________________________
㈣补充知识：12．⑴圆内接四边形____________________________⑵相切两圆的连心线经过_________________⑶相交两圆的连心线___________________________
二、选择题：13. 若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（）
A. 5
B. 1
C. 1或5
D. 1或4
14. ⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4，圆心距O1O2＝5，那么两圆的位置关系是（）
A. 外离
B. 内含
C. 外切
D. 外离或内含
15．如果半径分别为1cm 和2cm 的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm 的圆的个数有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
16．若两圆半径分别为R 和r （R ＞r ），圆心距为d ，且R 2＋d 2－r 2＝2Rd ，则两圆的位置关系是（ ）
A. 内切
B. 外切
C. 内切或外切
D. 相交
17. 如图，⊙O 的直径为10厘米，弦AB 的长为6cm ，M 是弦AB 上的一动点，则线段OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜5
18. 已知：⊙O 1和⊙O 2的半径是方程x 2－5x ＋6＝0 的两个根，且两圆的圆心距等于5则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切
19. 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，⊙A 与BC 相切，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1－
2π B. 1－3π C. 1－4π D. 1－5
π 20. 如图，点B 在圆锥母线VA 上，且VB ＝13
VA ，过点B 作平行于底面的平面截得一个小圆锥，若小圆锥的侧面积为S 1，原圆锥的侧面积为S ，则下列判断中正确的是（ ）
A. S 1＝13S
B. S 1＝14S
C. S 1＝16S
D. S 1＝19
S 三、填空题21. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d 的值
是 _______________ 。

22. ⊙O 1和⊙O 2 的半径分别为20和15，它们相交于A ，B 两点，线段AB ＝24，则两圆的圆心距O 1O 2＝____。

23. ⑴⊙O 1和⊙O 2相切，⊙O 1的半径为4cm ，圆心距为6cm ，则⊙O 2的半径为__________; ⑵⊙O 1和⊙O 2相切，⊙O 1的半径为6cm ，圆心距为4cm ，则⊙O 2的半径为__________
24.⊙O 1、⊙O 2和⊙O 3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若⊙O 2分别与⊙O 1，⊙O 3相交，⊙O 1与⊙O 3不相交，则⊙O 1与⊙O 3圆心距 d 的取值范围是_____。

25. 在△ABC ，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点O 是△ABC 的外心，现在以O 为圆心，分别以2、2.5、3、为半径作⊙O ，则点C 与⊙O 的位置关系分别是_____________．
26.如图在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD ，垂足为P ，∠BAD ＝30°，则∠AOC 的度数是 A B
M
O
________度．
27.在Rt△ABC，斜边AB＝13cm，BC＝12cm，以AB的中点O为圆心，2.5cm为半径画圆，则直线BC和⊙O的位置关系是________________．
28.把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是___________．
29.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 ________ cm2（结果保留π）。

30. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为。

四、解答题：
31. 已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，过点A的直线分别交两圆于点C，D点M 是CD的中点直线，BM分别交两圆于点E、F。

⑴求证：CE//DF
⑵求证：ME＝MF
32. △ABC的三边长分别为6、8、10，并且以A、B、C三点为圆心作两两相切的圆，求这三个圆的半径
33.如图所示，⊙O1和⊙O2相切于P点，过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B，求证：O1A ∥O2B
34.如图，A为⊙O上一点，以A为圆心的⊙A交⊙O于B、C两点，⊙O的弦AD交公共弦BC于E点。

（1）求证：AD平分∠BDC
（2）求证：AC2＝AE·AD
35. 如图，⊙O 的半径OC 与直径AB 垂直，点P 在OB 上，CP 的延长线交⊙O 于点D ，在OB 的延长线上取点E ，使ED ＝EP ．
（1）求证：ED 是⊙O 的切线；
（2）当OC ＝2，ED ＝2时，求∠E 的正切值tan E 和图中阴影部分的面积．
*36.两圆相交于A 、B ，过点A 的直线交一个圆于点C ，交另一个圆于点D ，过CD 的中点P 和点B 作直线交一个圆于点E ，交另一个圆于点F ，求证：PE =PF ．
一、知识点：
㈠、确定圆的条件
1．过已知两点的圆的圆心组成的图形是_____________________________________， _____________________________________确定一个圆．
2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的_______，它是三角形_______________________的交点；这个三角形叫做圆的__________________-
3．三角形外心的位置：
锐角三角形的外心在_________________________;直角三角形的外心是_________________________;钝角三角形的外心在_________________________．
㈡直线和圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系有三种：（1）_____________；（2）____________；（3）____________
2．当直线和圆 __________公共点时，叫做直线和圆相交，此时圆心到直线的距离_______半径；
A
B
D O
E C
当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相切，此时圆心到直线的距离_______半径；
当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相离，此时圆心到直线的距离_______半径；
3．切线的性质：圆的切线___________________
如图可表述为：_____________________________PA O ⎫⇒⎬⎭是的切线 或：PA 切⊙O 于点A ⇒____________________________
4．判定直线为圆的切线：经过_____________，并且垂直于_______________的直线是圆的切线。

如图可表述为：_____________________________PA O ⎫⇒⎬⎭
是的切线 5．和三角形各边____________的圆叫做三角形的___________，它的圆心叫做三角形的__________，是三角形__________________________________的交点; 这个三角形叫做圆的__________________-
6.过圆外一点可引圆的______条切线，这个点到各个切点的距离________。

二、一些常见关系及辅助线作法：
7.已知⊙O 中，直径CD ⊥AB 于点E ，
⑴若a ＝r ，则∠AOB ＝_______º，d ＝______（用含r 的代数式表示）．
⑵若a ＝2r ，则∠AOB ＝_______º，d ＝______（用含r 的代数式表示）．
⑶若a ＝3r ，则∠AOB ＝_______º，d ＝______（用含r 的代数式表示）．
8. 已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，⊙I 的外切三角形。

设⊙O 的半径为R ，⊙I 的半径为r 。

⑴若△ABC 的周长为s ，则△ABC 的面积与s ，r 的关系为_______________________． ⑵若△ABC 是边长为a 的等边三角形，则R ＝_______，r ＝______（用含a 的代数式表示）．
⑶若△ABC 是直角边长为a, b ，斜边长为c 的直角三角形，则R ＝_______，r ＝______________（用含a, b, c 的代数式表示）．
⑷若△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，则R ＝_______，r ＝_______（用含a 的代数式表示）．
⑸若△ABC 是腰长为a ，顶角为120º的等腰三角形，则R ＝_______（用含a 的代数式表示）．
9.已知直线是圆的切线，常作的辅助线是连接_____________得________________ P A O
10.证明一条直线是圆的切线方法：
⑴证明直线和圆只有一个公共点（不常用）
⑵已知直线和圆有一个公共点时所作的辅助线为_____________，证明______________
⑶已知中没有说明直线和圆的公共点时所作的辅助线为_____________，证明______________
11.作△ABC的外接圆的方法：分别作两边的________________，使这两条直线交于点O，以Ｏ为圆心，OA为半径作圆。

所作的圆就是△ABC的外接圆。

12．作△ABC的内切圆的方法：⑴分别作两内角的________________，使这两条线段交于点I；⑵过I作IE⊥BC于E；⑶以I为圆心，IE为半径作圆。

所作的圆就是△ABC的内切圆。

三、课堂练习题：13．下列命题中，真命题的个数是（）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形。

③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在的圆的圆心的坐标。

第14题第15题第16题
15. 图中△ABC外接圆的圆心坐标是
16. 如图，方格纸上一圆经过（2，5），（2，－3）两点，则该圆圆心的坐标为
17. 一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在
___________地方，才能最省力地顾及到三个洞口。

18.圆外切平行四边形是_____________形，圆内接平行四边形是_______形。

19．已知直线a：y＝x－3和点A（0，－3），B（3，0）.设P为a上一点，试判断P、
A、B是否在同一个圆上。

20.如图，已知圆的内接三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD
的延长线与△ABC外接圆的交点。

（1）求证：AB2＝AD·AE
（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）问的结论成立吗？如果成
立，请证明，如果不成立，请说明理由。

21.直线AB经过⊙O上一点C，且OA＝OB，CA＝CB，求证直线AB是⊙O的切线。

A D
E
B C
22.直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
四、课后练习题：
1. Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 ，AC＝12 则其外接圆半径为
2. 若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是
3. 等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积是
4. 在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt△ABC的外接圆的面积为
5. 等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为
6．边长为6的正三角形的内切圆的半径是（）
A.3
B. 23
C. 3
2
D. 2
7．△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于Ｄ，若BC＝12CM，则⊙A的半径d为cm
8. 如图，AB是⊙Ｏ的直径，∠CAB＝30°，过C作⊙Ｏ的切线交AB的延长线于D，OD＝15cm，则AB＝cm
第8题第13题第15题
9. 已知等边三角形ABC的边长为2，那么这个三角形的内切圆的半径为。

10. Rt △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以C为圆心作⊙C与AB相切，则⊙C的半径为。

11. 已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP＝3，那么直线l与⊙O的位置关系是
12. 若一个直角三角形的斜边长为10，其内切圆半径为2，则这个三角形的周长是。

13. 如图，PA切⊙Ｏ于点A，PO交⊙Ｏ于点Ｂ，若PA＝６，BP＝4，则⊙Ｏ的半径为（）
A. 5
4
B.
5
2
C.2
D.5
14. 以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
15如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点
⑴作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）
⑵如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，
求该残破圆轮片的半径。

16．已知圆的直经为13cm，如果直线和圆心的距离为4.5cm，那么直线和圆有公共点。

17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD
（1）求证：CD是⊙O的切线
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长。

19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC 的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝D C，以D为圆心，DB的长的半径作圆，求证：
（1）AC是⊙D的切线
（2）AB+EB＝AC
20．一个圆球放置在V形架中，如图是它的平面示意图，CA和CB是⊙O的切线，切点分别为A，B，如果⊙O的半径为23cm且AB＝6m，求∠ACB的度数。

21. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP＝∠B
（1）求证：PA是⊙O的切线
（2）求证：PC·PB＝PD·PF。