集合的含义与表示 习题(含答案)

集合的含义与表示 习题（含答案）
一、单选题
1．已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A ． －1∉A
B ． －11∈A
C ． 3k 2
－1∈A D ． －34∉A
2．下列说法正确的有（ ）
①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；
②0∈N ∗；
③集合{y |y =x 2−1}与集合{(x,y )|y =x 2−1}是同一个集合；
④空集是任何集合的真子集.
A ． 0个
B ． 1个
C ． 2个
D ． 3个
3．已知集合A={1，x ，x 2-2x}，且3∈A ，则x 的值为（ ）
A ． -1
B ． 3
C ． -1或3
D ． -1或 -3
4．下列说法：
①集合{x∈N|x 3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；
②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；
③方程组{x +y =3x −y =−1
的解集为{x ＝1，y ＝2}． 其中正确的有( )
A ． 3个
B ． 2个
C ． 1个
D ． 0个
5．集合M ={（1，2），（2，1）}中元素的个数是
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
6．如果A ={x|x >−1}，那么( )
A ． 0⊆A
B ． {0}∈A
C ． φ∈A
D ． {0}⊆A
7．设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S 时，有x 2∈S，给出如下三个命题：①若m=1则S={1}； ②若m=−12，则14≤n≤1； ③若n=12，则−
√22≤m≤0．其中正确的命题的个数为（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
8．若集合A={x|ax 2+ax −1=0}只有一个元素，则a =（ ）
A ． -4
B ． 0
C ． 4
D ． 0或-4
9．已知集合A {x|x =a 0+a 1×2+a 2×22+a 3×23}，其中a k ∈{0,1}(k =0,1,2,3)，且a 3≠0，则A 中所有元素之和是（ ）．
A ． 120
B ． 112
C ． 92
D ． 84
10．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为
A ． 9
B ． 8
C ． 5
D ． 4
二、解答题
11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.
12．用另一种方法表示下列集合：
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x ＝|x|，x<5且x∈Z}；
(4){(x ，y)|x ＋y ＝6，x∈N ＋，y∈N ＋}；
(5){－3，－1,1,3,5}．
三、填空题
13．给出下列集合：
①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠－3}；②{(x，y)|{x ≠1y ≠1 且{x ≠2y ≠−3 }；③{(x，y)|{x ≠1y ≠1
或{x ≠2y ≠−3
}； ④{(x，y)|[(x －1)2＋(y －1)2]·[(x－2)2＋(y ＋3)2
≠0]}．
其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”的序号有________．
14．列举法表示方程x 2−(2a +3)x +a 2+3a +2=0的解集为______．
15．若集合{x ∈R|a <x <2a －4}为空集，则实数a 的取值范围是________．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
判断一个元素是不是集合A的元素，只要看这个元素是否满足条件x=3k−1,k∈Z；判断一个元素是集合A的元素，只需令这个数等于3k−1，解出k，判断k是否满足k∈Z，据此可完成解答.
【详解】
当k=0时，3k−1=−1，故−1∈A，故选项A错误；
∉Z，故选项B错误；
若−11∈A，则−11=3k−1，解得k=−10
3
令3k2−1=3k−1，得k=0或k=1，即3k2−1∈A，故选项C正确；
当k=−11时，3k−1=−34，故−34∈A，故选项D错误；
故选C.
【点睛】
该题是一道关于元素与集合关系的题目，解题的关键是掌握集合的含义.
2．A
【解析】
【分析】
根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题的真假．
【详解】
对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；
对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0∉N*，错误；
对于③，集合{y=x2-1}列举的是一个等式，集合{（x，y）|y=x2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；
对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查集合的确定性，元素与集合的关系，列举法和描述法表示集合以及空集的有关性质，属于基础题．
3．A
【解析】
【分析】
推导出x=3或x2-2x=3，分别代入集合A，能求出x的值．
【详解】
：∵集合A={1，x，x2-2x}，且3∈A，
∴x=3或x2-2x=3，
当x=3时，A={1，3，3}，不满足元素的互异性，故x≠3，
当x2-2x=3时，解得x=-1或x=3（舍），
当x=-1时，A={1，-1，3}，成立．
故x=-1．
故选：A．
【点睛】
本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是基础题．
4．D
【解析】
【分析】
x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误．
【详解】
∵x3=x的解为-1，0，1，
∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确；
实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组{x+y=3
x−y=−1的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D．
【点睛】
本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
根据题意，集合是用列举法表示的，集合M 是点集，只包含两个点。

【详解】
根据题意，集合M ={（1，2），（2，1）}中元素为（1，2）和（2，1），共2个元素，故选
B ．
【点睛】
研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.
6．D
【解析】
【分析】
利用元素与集合的关系，集合与集合关系判断选项即可．
【详解】
“∈”表示元素与集合之间的关系，左边是元素，右边是集合，B 、C 均错，“⊆”表示集合与集合之间的关系（子集关系），符号两边都是集合，A 错，
故选：D ．
【点睛】
本题考查元素与集合的关系，集合基本知识的应用，属于基础题．
7．D
【解析】
【分析】
先根据非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S 时，有x 2∈S ，可知：n≥m ，m 2≥m ，n 2≤n ，且m 2≤n ， 然后对三个命题一一验证即可.
【详解】
已知非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S 时，有x 2∈S ，
故当x=n 时，n 2∈S 即n 2≤n ，解得0≤n≤1 ，
当x=m 时，m 2∈S 即m 2≥m ，解得m ≤0，或m ≥1；根据m≤n ，得m≤0；
①若m=1，由1=m ≤n≤1，可得m=n=1，即S={1}，故①正确；
②若m=−12，m 2=14∈S，即−12≤n ，且14≤n ，故14≤n≤1，故②正确；
③若n=12，由m 2∈S，可得{m ≤12m 2≤12 ，结合m≤0， 可得−√22
≤m≤0，故③正确； 故选：D ．
【点睛】
本题考查集合新定义问题，关键是理解新集合定义的含义，列出不等式组，解决问题.
8．A
【解析】
【分析】
根据方程只有一个根，结合函数图象确定a 的值
【详解】
由题意得ax 2+ax −1=0只有一个实根，所以{a ≠0Δ=0 ,{a ≠0a 2+4a =0
,a =−4，选A. 【点睛】
本题考查方程的根与集合元素关系，考查基本分析求解能力.
9．C
【解析】分析：根据集合A 的形式，可以把a 0，a 1，a 2，a 3看做四位二进制数，四位二进制共可以表示0至15，结合a 3的值，利用等差数列求和公式可得结果.
详解：根据集合A 的形式，可以把a 0，a 1，a 2，a 3看做四位二进制数，
四位二进制共可以表示0至15，
∵a 3≠0，
∴可表示8至15的数字，由等差数列求和可得8+9+⋯15=92．
故选C ．
点睛：本题主要考查转化与划归思想，二进制的定义，等差数列求和公式，属于难题. ；二进制、八进制、十进制与十六进制，它们之间区别在于数运算时是逢几进一位，比如二进制是逢2进一位，十进制也就是我们常用的是逢10进一位.
10．A
【解析】
分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
详解： ∵x 2+y 2≤3,∴x 2≤3,∵x ∈Z,∴x =−1,0,1，
当x=−1时，y=−1,0,1；
当x=0时，y=−1,0,1；
当x=−1时，y=−1,0,1；
所以共有9个，选A.
点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
11．M={(x,y)|xy≥0,−2≤x≤5
2,−1≤y≤3
2
}
【解析】
【分析】
阴影部分的点组成两个矩形，分别写出两个矩形内的点的坐标满足的条件构成的集合，再求并集．
【详解】
结合图形可得
M＝{(x，y)|xy≥0，－2≤x≤，－1≤y≤}．
【点睛】
本题考查写出区域的点的坐标满足的条件即用集合表示区域．
12．见解析
【解析】
【分析】
根据集合的概念，列举法及描述法的定义，选择适当的方法表示每个集合即可．
【详解】
(1){－2，－1,0,1,2}．
(2){3,6,9}．
(3)∵x＝|x|，∴x≥0.
又∵x∈Z且x<5，∴x＝0或1或2或3或4.
∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
【点睛】
考查集合的概念，集合的表示方法：列举法，描述法．
【解析】
【分析】
根据所给集合中元素的特征对给出的四个集合分别进行分析、判断可得正确的结果．
【详解】
对于①，由题意可得直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝－3上的所有点都不是所给集合的元素，所以①不符合题意；
对于②，该集合表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”，所以②符合题意；
对于③，由题意该集合表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)之外所有点的集合”或“在直角坐标系xOy平面内，除去点(2，－3)之外所有点的集合”或“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”，所以③不符合题意；
对于④，由题意该集合表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”，所以④符合题意．
综上可得答案为①③.
【点睛】
本题考查集合的表示形式，对于同一集合来说它的表现形式是多样的，但不论用哪种方法、形式表示集合时，一定要把握好集合元素的特征，选择合适的表示方法．
14．{a+1,a+2}
【解析】
【分析】
根据题意，求出方程的解，用集合表示即可得答案．
【详解】
根据题意，方程x2−(2a+3)x+a2+3a+2=0变形可得[x−(a+1)][x−(a+2)]=0，有2个解：x1=a+1，x2=a+2，
则其解集为{a+1,a+2}；
故答案为：{a+1,a+2}．
【点睛】
本题考查集合的表示方法，关键是求出方程的解，属于基础题．
15．{a|a≤4}
由集合{x∈R|a<x<2a−4}为空集，
所以a≥2a−4，解得a≤4，即实数a的取值范围{a|a≤4}.。