迭代学习控制 PPT
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移动机器人迭代学习控制
线速度 p k
p k
yd k
d k
yd k
Pd k
O
式（3-1）可写为
xp k
xd k
x
（3-2）
图1
移动机器人运动示意图
q k 1 q(k ) B(q(k ), k )u p k
2
其中
cos p k 0 B(q(k ), k ) T sin p k 0 0 1
2、
数学基础
Rn 代表 N 维欧式空间，定义向量范数为
|| z || zT z
1/2
（2-1）
式中， z R n 。
C R pm 为 p m 阶实数矩阵，定义矩阵范数为
|| C || max CT C
式中， max 为矩阵的最大特征值。
（2-2）
z d zi ， z q, u, y ，定义 范数为 取 N 1, , n ， z
T
考虑迭代过程，由式（3-6）和式（3-7）可得
qi k 1 qi (k ) B(qi (k ), k )ui k +βi(k )
ψi (k)= qi (k ) γi (k )
（3-8） （3-9）
3
式中， i 为迭代次数， k 为离散时间， k 1, , n 。 qi (k ) ， ui k ， y i (k) ， βi(k )，
q k 1 q(k ) B(q(k ), k )u k +β (k )
y(k)= q(k ) γ (k )
T
（3-6） （3-7）
式中， β(k )为状态干扰， γ (k ) 为测量噪声， y(k) = x k ， y k， k 为系统 输出， u k k , k 为控制输入。
智能控制学习控制迭代学习控制PPT课件
0t T
μ a βm /a 2βm , v a a βm /a 2βm,
ud(t)
xd(t)
第27页/共50页
3. 迭代学习控制策略
• 为防止反馈增益系数d 过大，引入一个前馈控制器，并由迭代学习获得。
28/51
第28页/共50页
迭代学习控制的稳定性
• 定理6-3：记控制输入uj(t)为第j次迭代中反馈控制和前馈控制两项的线性组合，即
6.1 迭代学习控制
迭代学习控制的基本思想 线性时变系统的迭代学习控制 一类非线性动态系统的迭代学习控制 多关节机械手的迭代学习控制
迭代学习控制面临的挑战
1/51
第1页/共50页
基本思想
• 迭代学习(Iterative learning)的基本思想在于总结人类学习的方法，即通过多次的训练，从经验中学会某种 技能。
(t))
32/51
第32页/共50页
实际迭代算法
• 问题：
一般不能获取。
ud (t)
• 利用已知的
去代替未知的
：
ubj (t)
udj
(t
)
u
j f
(t
)
u
j 1 f
(t
)
u
j f
(t
)
ubj
(t
)
33/51
第33页/共50页
学习结构图
34/51
第34页/共50页
实际迭代算法的收敛性
• 定理6-4：假设 和
模又需要高精度轨迹控制的场合是非常有意义的。
3/51
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6.1 迭代学习控制
迭代学习控制的基本思想 线性时变系统的迭代学习控制 一类非线性动态系统的迭代学习控制 多关节机械手的迭代学习控制
μ a βm /a 2βm , v a a βm /a 2βm,
ud(t)
xd(t)
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3. 迭代学习控制策略
• 为防止反馈增益系数d 过大，引入一个前馈控制器，并由迭代学习获得。
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迭代学习控制的稳定性
• 定理6-3：记控制输入uj(t)为第j次迭代中反馈控制和前馈控制两项的线性组合，即
6.1 迭代学习控制
迭代学习控制的基本思想 线性时变系统的迭代学习控制 一类非线性动态系统的迭代学习控制 多关节机械手的迭代学习控制
迭代学习控制面临的挑战
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基本思想
• 迭代学习(Iterative learning)的基本思想在于总结人类学习的方法，即通过多次的训练，从经验中学会某种 技能。
(t))
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实际迭代算法
• 问题：
一般不能获取。
ud (t)
• 利用已知的
去代替未知的
：
ubj (t)
udj
(t
)
u
j f
(t
)
u
j 1 f
(t
)
u
j f
(t
)
ubj
(t
)
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学习结构图
34/51
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实际迭代算法的收敛性
• 定理6-4：假设 和
模又需要高精度轨迹控制的场合是非常有意义的。
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6.1 迭代学习控制
迭代学习控制的基本思想 线性时变系统的迭代学习控制 一类非线性动态系统的迭代学习控制 多关节机械手的迭代学习控制
迭代学习控制
迭代学习控制 1、前言迭代学习控制（Iterative Learning Control ，简称ILC ）是指不断重复一个同样的轨迹的控制尝试，并以此修正控制律，以得到非常好的控制效果的控制方法[1]。
迭代学习控制是学习控制的一个重要分支，是一种新型学习控制策略。
它通过反复应用先前试验得到的信息来获得能够产生期望输出轨迹的控制输入，以改善控制质量。
与传统的控制方法不同的是，迭代学习控制能以非常简单的方式处理不确定度相当高的动态系统，且仅需较少的先验知识和计算量，同时适应性强，易于实现；更主要的是，它不依赖于动态系统的精确数学模型，是一种以迭代产生优化输入信号，使系统输出尽可能逼近理想值的算法。
它的研究对那些有着非线性、复杂性、难以建模以及高精度轨迹控制问题有着非常重要的意义。
最初的学习控制-迭代学习控制（ILC ），由日本学者首倡于1978年。
不像其他的的控制方法从线性受控对象起步，迭代学习控制开门见山就把非线性系统作为研究对象，且要在有限区间[0,T]上实现输出完全追踪的控制任务。
这里完全追踪（perfect tracking ）指系统的输出自始至终，无论是暂态还是稳态，都和目标轨道保持一致。
显然，迭代学习控制的起点要比其它控制方法高出一截可是，从二十年的发展历程看，起点过高也有不利的一面：发展空间不足以及难以和主流控制方法相融合。
而事实上，只要任务是可重复的，或系统干扰是周期性的，都可用ILC 来解决实际问题。
从迭代学习控制方法的产生至今已有二十多年的历史它已经发展成为智能控制领域的一个新的发展方向，它的研究对那些有着非线性、强耦合、难以建模以及高精度轨迹控制的问题有非常重要的意义。
迭代学习控制适用于具有重复运动性质的被控系统，它的目标是实现有线区间上的完全跟踪任务。
它通过对被控系统进行控制尝试，以输出信号与给定目标的偏差修正不理想的控制信号，使得系统的跟踪性能得以提高。
迭代学习控制的研究对具有较强的非线性耦合、较高的位置重复精度、难以建模和高精度轨迹跟踪控制要求的动力学系统有着非常重要的意义。
智能控制第十一章 迭代学习控制 PPT课件
迭代学习控制本质上是一种前馈控制技术，大部分学习律尽管证 明了学习收敛的充分条件，但收敛速度还是很慢。可利用多次学习过 程中得到的知识来改进后续学习过程的速度，例如，采用高阶迭代控 制算法、带遗忘因子的学习律、利用当前项或反馈配置等方法来构造 学习律，可使收敛速度大大加快。
11.3.4 鲁棒性问题 迭代学习控制理论的提出有浓厚的工程背景，因此仅仅在无干扰
条件下讨论收敛性问题是不够的，还应讨论存在各种干扰的情形下系 统的跟踪性能。一个实际运行的迭代学习控制系统除了存在初始偏移 外，还或多或少存在状态扰动、测量噪声、输入扰动等各种干扰。鲁 棒性问题讨论存在各种干扰时迭代学习控制系统的跟踪性能。具体地 说，一个迭代学习控制系统是鲁棒的，是指系统在各种有界干扰的影 响下，其迭代轨迹能收敛到期望轨迹的邻域内，而当这些干扰消除时 ，迭代轨迹会收敛到期望轨迹。
干扰项为d 0.3sin t
0.1 1 et
T
机器人系统参数为 d1 d2 1 kg ，l1 l2 0.，5m，lc1 lc2 0.25m ，I1 I2 0.1 kg m2
g 9.81 m/s2
采用三种闭环迭代学习控制律，其中M 1 为D型迭代学习控制，M 2
为PD型迭代学习控制，M 3为变增益指数D型迭代学习控制。
t
0
G t,
t
0
CtΦt, B L
ek d
uk1(t) L(uk (t), ek1(t))
式中，L为线性或非线性算子。
(11.5)
11.2 基本迭代学习控制算法
Arimoto 等首先给出了线性时变连续系统的D型迭代学习控制律[24]
uk1(t) uk (t) Γe&k (t)
(11.6)
11.3.4 鲁棒性问题 迭代学习控制理论的提出有浓厚的工程背景，因此仅仅在无干扰
条件下讨论收敛性问题是不够的，还应讨论存在各种干扰的情形下系 统的跟踪性能。一个实际运行的迭代学习控制系统除了存在初始偏移 外，还或多或少存在状态扰动、测量噪声、输入扰动等各种干扰。鲁 棒性问题讨论存在各种干扰时迭代学习控制系统的跟踪性能。具体地 说，一个迭代学习控制系统是鲁棒的，是指系统在各种有界干扰的影 响下，其迭代轨迹能收敛到期望轨迹的邻域内，而当这些干扰消除时 ，迭代轨迹会收敛到期望轨迹。
干扰项为d 0.3sin t
0.1 1 et
T
机器人系统参数为 d1 d2 1 kg ，l1 l2 0.，5m，lc1 lc2 0.25m ，I1 I2 0.1 kg m2
g 9.81 m/s2
采用三种闭环迭代学习控制律，其中M 1 为D型迭代学习控制，M 2
为PD型迭代学习控制，M 3为变增益指数D型迭代学习控制。
t
0
G t,
t
0
CtΦt, B L
ek d
uk1(t) L(uk (t), ek1(t))
式中，L为线性或非线性算子。
(11.5)
11.2 基本迭代学习控制算法
Arimoto 等首先给出了线性时变连续系统的D型迭代学习控制律[24]
uk1(t) uk (t) Γe&k (t)
(11.6)
15自适应迭代学习控制理论及其
三、研究方法及缺陷
自适应控制研究方法及其缺陷 迭代学习控制理论研究的主要方法及其限制 自适应迭代学习控制的研究方法
自适应控制研究方法及其缺陷
线性自适应控制系统的设计理论和分析方法 1. 基于稳定性理论的设计和分析(Narendra, 1989, MRAC，连续时间系统) 2. 基于确定性等价原理及关键性引理和鞅理 论的设计与分析(Goodwin, 1984,STR/STC，离 散时间系统)
拟人化机器人系统、军用机器人，水
下机器人系统 过程工业稳态优化控制 自适应控制的应用
谢 谢!
控 制 器
放大 环节
执行 环节
被控 对象
反馈环 节
控制科学的发展简史
从基于物理和（或）数学模型的控制理论到基于 信息的智能控制理论，再到基于行为化方法的一 般控制理论。
经典控制理论：SISO, 数学工具：传递函数和复变函数理论。 现代控制理论：MIMO, 数学工具：线性代数, 微分方程, 随 机过程、微分几何, 变分法及泛函分析等。 智能控制理论：3C问题，基础工具：动力系统，人工智能， 知识工程，神经网络，模糊数学，进化算法、行为化理论等。
迭代学习控制理论研究方法及限制
ILC的缺陷：
非线性函数须满足Lipschitz条件 线性系统的第一个 Markov参数CB不为零 需要知道理想的输入 初值误差的鲁棒性问题 跟踪目标是固定的
自适应迭代学习控制理论研究方法
AILC的研究方法: 1. 离散型AILC方法: 在迭代域设计自适应率, 如: Owens, 1993, 2000; Xu, 2000, 2002, 2. 连续型AILC方法: 在每次迭代的时间域设计自适应率, 如French 2000；Li & Yang 2002；Li & Daniel 2003 3. 混合型AILC: 将上述两种方法有机结合设计混合型的 自适应率, 如Choi, 2001, Xu, 2004, Sun,2006. 缺陷: 适合于固定目标的跟踪,无法应用于变化的目标跟踪 问题.
几何画板---迭代与深度迭代_PPT幻灯片
• 例2、正n边形的画法 • 基本思路： • 1、画两个点，标记其中一个点作为正n 边形的中
心。另一个点为最基本的第一顶点；
• 2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形 的圆心角；
• 3、选取圆心角后“标记角度”，让第一顶点绕中 心按“标记的角度”旋转,得第二顶点；
• 4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的“深 度迭代”；
• 6、让B点，绕点A旋转“ 连接BB’。
”，得B’，
• 7、同时选取点B、“n－1＝5”；
• 8、按住Shift键不放，单击菜单“变 换”→“深度迭代”弹出迭代对话框；
• 9、单击工作区中的点B’，使 “初象”下面 框中的问号变成B’，单对话框中的“迭代” 按钮
• 我们用旋转变换不难画出正多边形，但边 数太多，如要画正十七边型，得用旋转变 换16次，那么有没有简单的方法呢，有， 那就是“迭代”
例1、正十七边形的画法
操作步骤：
• 1、画两个点，让B点围绕点A旋转 得B’ ， 连接B’B 。
• 2、选定B点，单击菜单“变换”→“迭 代”，出现下面对话框
迭代的深度（即重复的次数），可 用参数控制，即深度迭代
• 5、选取参数n，按小键盘上的“+、－”键可以 改变参数，得到＋＝”键，调出计算器，输入 “360°÷”（“°”由单位按钮输入）
• 2、 单击计算器的“数值”按钮 • 3、 单击“新建参数”按钮
• 4、 将新建参数的对话框改为下图
• 5、 单击新建参数的对话框的“确定按钮” 后，单击计算器上的“确定按钮”，再调 出计算器，计算n－1。画出点A和点B，如 下图所示
心。另一个点为最基本的第一顶点；
• 2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形 的圆心角；
• 3、选取圆心角后“标记角度”，让第一顶点绕中 心按“标记的角度”旋转,得第二顶点；
• 4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的“深 度迭代”；
• 6、让B点，绕点A旋转“ 连接BB’。
”，得B’，
• 7、同时选取点B、“n－1＝5”；
• 8、按住Shift键不放，单击菜单“变 换”→“深度迭代”弹出迭代对话框；
• 9、单击工作区中的点B’，使 “初象”下面 框中的问号变成B’，单对话框中的“迭代” 按钮
• 我们用旋转变换不难画出正多边形，但边 数太多，如要画正十七边型，得用旋转变 换16次，那么有没有简单的方法呢，有， 那就是“迭代”
例1、正十七边形的画法
操作步骤：
• 1、画两个点，让B点围绕点A旋转 得B’ ， 连接B’B 。
• 2、选定B点，单击菜单“变换”→“迭 代”，出现下面对话框
迭代的深度（即重复的次数），可 用参数控制，即深度迭代
• 5、选取参数n，按小键盘上的“+、－”键可以 改变参数，得到＋＝”键，调出计算器，输入 “360°÷”（“°”由单位按钮输入）
• 2、 单击计算器的“数值”按钮 • 3、 单击“新建参数”按钮
• 4、 将新建参数的对话框改为下图
• 5、 单击新建参数的对话框的“确定按钮” 后，单击计算器上的“确定按钮”，再调 出计算器，计算n－1。画出点A和点B，如 下图所示
智能控制--第11章 迭代学习控制
k (t ) uk 1 (t ) uk (t ) Γe
(11.6)
式中，Γ 为常数增益矩阵。在D 型算法的基础上，相继出现了P 型、
PI 型、PD 型迭代学习控制律。从一般意义来看它们都是PID型迭代
学习控制律的特殊形式，PID迭代学习控制律表示为
k (t ) Φek (t ) Ψ ek ( )d uk 1 (t ) uk (t ) Γe
迭代学习控制（ILC,Iterative Learning Control）的思想最初由
日本学者Uchiyama于1978年提出[23]，于1984年由Arimoto等人
[24]做出了开创性的研究。这些学者借鉴人们在重复过程中追求满意 指标达到期望行为的简单原理，成功地使得具有强耦合非线性多变量
的工业机器人快速高精度地执行轨迹跟踪任务。其基本做法是对于一
输出误差的校正项，即
uk 1 (t ) L(uk (t ), ek (t ))
(11.4)
闭环学习策略是：取第K+1次运行的误差作为学习的修正项，即
uk 1 (t ) L(uk (t ), ek 1 (t ))
(11.5)
式中，L为线性或非线性算子。
11.2 基本迭代学习控制算法
Arimoto 等首先给出了线性时变连续系统的D型迭代学习控制律[24]
（11.10）
（2）闭环PD型：
d t q k 1 t uk 1 t uk t Kp qd t qk 1 t Kd q
（11.11）
（3）指数变增益D型：
d t q k 1 t （11.12） uk 1 t uk t Kp qd t qk 1 t Kd q
(11.6)
式中，Γ 为常数增益矩阵。在D 型算法的基础上，相继出现了P 型、
PI 型、PD 型迭代学习控制律。从一般意义来看它们都是PID型迭代
学习控制律的特殊形式，PID迭代学习控制律表示为
k (t ) Φek (t ) Ψ ek ( )d uk 1 (t ) uk (t ) Γe
迭代学习控制（ILC,Iterative Learning Control）的思想最初由
日本学者Uchiyama于1978年提出[23]，于1984年由Arimoto等人
[24]做出了开创性的研究。这些学者借鉴人们在重复过程中追求满意 指标达到期望行为的简单原理，成功地使得具有强耦合非线性多变量
的工业机器人快速高精度地执行轨迹跟踪任务。其基本做法是对于一
输出误差的校正项，即
uk 1 (t ) L(uk (t ), ek (t ))
(11.4)
闭环学习策略是：取第K+1次运行的误差作为学习的修正项，即
uk 1 (t ) L(uk (t ), ek 1 (t ))
(11.5)
式中，L为线性或非线性算子。
11.2 基本迭代学习控制算法
Arimoto 等首先给出了线性时变连续系统的D型迭代学习控制律[24]
（11.10）
（2）闭环PD型：
d t q k 1 t uk 1 t uk t Kp qd t qk 1 t Kd q
（11.11）
（3）指数变增益D型：
d t q k 1 t （11.12） uk 1 t uk t Kp qd t qk 1 t Kd q
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
13章迭代学习控制
ek 0 0 k 0,1,2,
k
xk 0 x0 k 1,2,3,
, y 0 0 y d 0
时，有
y k t yd t
其中
Γ， L
， Ψ 为学习增益矩阵。
11.5.2 控制器设计及收敛性分析
定理1 若由式（11.13）和式（11.14）式描述的系统满足如下条
件[24]：
（1） I C t B t Γ t 1 ；
（2）每次迭代初始条件一致，即 则当 证明： 由式（11.13）及条件式（2）得 则
11.3.2 初始值问题
运用迭代学习控制技术设计控制器时，只需要通过重复操作
获得的受控对象的误差或误差导数信号。在这种控制技术中，迭
代学习总要从某初始点开始，初始点指初始状态或初始输出。几
乎所有的收敛性证明都要求初始条件是相同的，解决迭代学习控 制理论中的初始条件问题一直是人们追求的目标之一。目前已提 出的迭代学习控制算法大多数要求被控系统每次运行时的初始状 态在期望轨迹对应的初始状态上，即满足初始条件：
（11.12）
11.4.2 仿真实例 针对二关节机械手，介绍一种机器人PD型反 馈迭代学习控制的仿真设计方法。针对二关节机 器人控制系统式（11.9），各项表示为：
D dij
22
d11 d1lc21 d 2 l12 lc22 2l1lc 2 cos q2 I1 I 2 d12 d 21 d 2 lc22 l1lc 2 cos q2 l2
y k (t ) g (xk (t ), uk (t ), t )
表示为：
xk (t ) f (xk (t ), uk (t ), t )
k
xk 0 x0 k 1,2,3,
, y 0 0 y d 0
时，有
y k t yd t
其中
Γ， L
， Ψ 为学习增益矩阵。
11.5.2 控制器设计及收敛性分析
定理1 若由式（11.13）和式（11.14）式描述的系统满足如下条
件[24]：
（1） I C t B t Γ t 1 ；
（2）每次迭代初始条件一致，即 则当 证明： 由式（11.13）及条件式（2）得 则
11.3.2 初始值问题
运用迭代学习控制技术设计控制器时，只需要通过重复操作
获得的受控对象的误差或误差导数信号。在这种控制技术中，迭
代学习总要从某初始点开始，初始点指初始状态或初始输出。几
乎所有的收敛性证明都要求初始条件是相同的，解决迭代学习控 制理论中的初始条件问题一直是人们追求的目标之一。目前已提 出的迭代学习控制算法大多数要求被控系统每次运行时的初始状 态在期望轨迹对应的初始状态上，即满足初始条件：
（11.12）
11.4.2 仿真实例 针对二关节机械手，介绍一种机器人PD型反 馈迭代学习控制的仿真设计方法。针对二关节机 器人控制系统式（11.9），各项表示为：
D dij
22
d11 d1lc21 d 2 l12 lc22 2l1lc 2 cos q2 I1 I 2 d12 d 21 d 2 lc22 l1lc 2 cos q2 l2
y k (t ) g (xk (t ), uk (t ), t )
表示为：
xk (t ) f (xk (t ), uk (t ), t )
自动化方法专题报告之迭代学习综述
A
3
迭代学习控制概述
迭代学习控制的发展
1978年，日本学者Uchiyama提出一个控制高 速运动机械手的思想，后来Arimoto等人发 展了Uchiyama的思想，于1984年提出了迭代 学习控制（Iterative Learning Control，ILC） 的概念。ILC经历了二十年的发展，不仅在 实际应用中取得了良好效果，而且ILC的理 论与方法不断地完善，取得了丰硕成果， 已经成为智能控制的一个方向。
其中 为控制器参数，f k 为学习律函数，它 会随着批次的变化自动更新。
A
11
典型应用及有前景的研究方向
1、ILC的典型应用
由于ILC的控制思想，使得其具有基于记忆的无模 型控制机制、学习收敛速度快、适应能力强、算 法简洁、易于工程化的优点。在诸多领域有着广 泛应用。
图2 1998-2004ILC在不A同应用领域的分布
12
典型应用及有前景的研究方向
2、ILC一些有前景的研究方向 ①学习的本质是函数逼近，将泛函中的函数逼近
理论应用于迭代学习控制将是其发展方向之一。 ②如何有效解决迭代过程中非重复性扰动分析、
识别以及积累问题，将是ILC应用的关键问题。 ③为了提高学习算法的收敛性能，需要进一步研
究在迭代域上的自适应学习机制问题。 ④纯ILC并不是当前ILC的研究主流，研究复合
则称该种形式的学习律为PID型学习律，其 中 p 、 i 和 d 分别称为学习律的比例、积分 和微分增益。
A
9
迭代学习控制常见实用形式
2、二次型最优ILC算法
二次型最优迭代学习控制（Q-ILC）通过使 二次型目标函数满足某种优化条件下的跟 踪误差最小化，来推导得到迭代学习律。
13章迭代学习控制解析
11.3.2 初始值问题
运用迭代学习控制技术设计控制器时，只需要通过重复操作
获得的受控对象的误差或误差导数信号。在这种控制技术中，迭
代学习总要从某初始点开始，初始点指初始状态或初始输出。几
乎所有的收敛性证明都要求初始条件是相同的，解决迭代学习控 制理论中的初始条件问题一直是人们追求的目标之一。目前已提 出的迭代学习控制算法大多数要求被控系统每次运行时的初始状 态在期望轨迹对应的初始状态上，即满足初始条件：
y k (t ) g (xk (t ), uk (t ), t )
表示为：
xk (t ) f (xk (t ), uk (t ), t )
(11.2)
(11.3)
跟踪误差为
ek (t ) y d (t ) y k (t )
迭代学习控制可分为开环学习和闭环学习。 开环学习控制的方法是：第k+1次的控制等于第k 次控制再加上第k次输出误差的校正项，即
测得的误差信息修正控制输入，使得该重复任务在下一次操
作过程中做得更好。如此不断重复，直至在整个时间区间上 输出轨迹跟踪上期望轨迹。
迭代学习控制适合于具有重复运动性质的被控对象，
通过迭代修正达到某种控制目标的改善。迭代学习控制方 法不依赖于系统的精确数学模型，能在给定的时间范围内, 以非常简单的算法实现不确定性高的非线性强耦合动态系 统的控制，并高精度跟踪给定期望轨迹，因而一经推出， 就在运动控制领域得到了广泛的运用。 迭代学习控制方法具有很强的工程背景，这些背景包
迭代学习控制（ILC,Iterative Learning Control）的思 想最初由日本学者Uchiyama于1978年提出[23]，于1984年
由Arimoto等人[24]做出了开创性的研究。这些学者借鉴人们
迭代解法(全章)讲解ppt课件
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
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§3 常用的三种迭代解法
一、 Jacobi迭代法
对于线性方程组 Ax=b
(1)
设 det(A)≠ 0 ，aii ≠ 0,i=0,1,2,…,n ，按照如下方式对A
进行分裂：
A=L+D+U
(2)
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第六章 线性方程组的迭代解法
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则由 Ax=b 得到 (L+D+U) x=b >D x=-(L+U)x+b
或 向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x* ，当且仅当它的每一 个分量序列收敛于x* 的对应分量，即
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第六章 线性方程组的迭代解法
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二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||·||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件：
(1) || A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0
矩阵1-范数：
列和
矩阵2-范数：
矩阵∞-范数：
行和
以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种 矩阵范数统一表示为||A ||p，P＝1 ，2 ，∞。
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第六章 线性方程组的迭代解法
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例6.2 设矩阵
求矩阵A的范数||A ||p，P＝1 ，2 ，∞ 。 解 根据定义
由于 则它的特征方程为:
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对于 n 元线性方程组 其一般式为：
从中解出：
得Jacobi迭代格式
通过|| x(k+1)-x(k)||<ε 控制迭代次数。
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第八章ppt-线性方程组迭代法
数值计算方法
数值计算方法
§8.2 向量和矩阵的范数
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭
代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向
量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量——向量和 矩阵的范数。
在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|
表示。而任意两点x1，x2之间距离用
| x1-x2 |表示。
建立Gauss-Seidel迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) ( k 1) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k 1) 6 x ( k 1) ) 3 1 2 11
数值计算方法
(8-1)
数值计算方法
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法(高斯消元法) 比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于 求解系数矩阵为大型稀疏矩阵的方程组。 2. 需要讨论的问题： 怎样建立迭代格式，迭代过程是否收敛，误 差分析，如何加快收敛速度等等。 常用迭代方法： 雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代，松弛迭代等。
5 1 3 x1 1 2 4 1 x 2 2 4 6 11 x 3 3
数值计算方法
数值计算方法
建立Jacobi迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k ) 6 x ( k ) ) 3 1 2 11
数值计算方法
§8.2 向量和矩阵的范数
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭
代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向
量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量——向量和 矩阵的范数。
在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|
表示。而任意两点x1，x2之间距离用
| x1-x2 |表示。
建立Gauss-Seidel迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) ( k 1) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k 1) 6 x ( k 1) ) 3 1 2 11
数值计算方法
(8-1)
数值计算方法
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法(高斯消元法) 比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于 求解系数矩阵为大型稀疏矩阵的方程组。 2. 需要讨论的问题： 怎样建立迭代格式，迭代过程是否收敛，误 差分析，如何加快收敛速度等等。 常用迭代方法： 雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代，松弛迭代等。
5 1 3 x1 1 2 4 1 x 2 2 4 6 11 x 3 3
数值计算方法
数值计算方法
建立Jacobi迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k ) 6 x ( k ) ) 3 1 2 11
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x2
g sin x1
mwl mw mp
sin
x1
cos(x1x
2 2
)
mw
3l 4
mwl mw mp
cos2
x1
1 mp
u cos x1
其中
x1 x2
应用效果
倒立摆控制的任务是施加控制u ，在一时间区间上倒摆杆稳定直立，即 0, 0 ，设初始状态为
数学描述
考虑重复运行的动力系统如下表示：
xk yk
(t) (t)
f(xk (t), uk (t), t) g(xk (t), uk (t), t)
其中： xk 为系统的第 k 次运行的状态； yk 为输出变量；uk 为输入变量（控制量）
输出误差： ek (t) yd (t) yk (t)Ld 100, Nhomakorabeap 50
开闭环PD型迭代学习误差曲线
应用效果
采用开闭环PD型学习律的的输出曲线
采用开闭环P型学习律的输出曲线
运用开闭环 P 型理论，系统在迭代至少 17 次后才逐渐实现跟踪期望输出的目的，因而开闭环 PD 型迭代学习控制在运行速度、有效性等方面更具有一定的优越性和可行性。
针对单自由度机器人这样一类非线性时变系统讨论一种同时利用比例 和微分作用的开闭环PD型迭代学习律。
开闭环PD型迭代学习控制
由于开环迭代学习控制只利用了系统前次运行的信息，而忽略了系统当前的信息，使得系统对被 控制对象无镇定作用，闭环迭代学习控制往往又需要高增益反馈从而影响了系统迭代收敛速度。同时 利用开闭环的 PD 型迭代学习控制律，使其在单自由度机器人系统中取得良好的应用效果。
目标
实现有限区间上的完全跟踪任务，希望实现被控系统的输出零误差地完 全跟踪期望轨迹
使用范围
具有重复运动特征的被控系统，具有较强的非线性耦合、较高的位置重复精 度、难以建模和高精度轨迹跟踪控制要求的动力学系统
勤奋务实
在倒立摆控制 上的应用
在机器人 中的应用
在生产机械 与其他先进控制
中的应用
技术的结合
前馈控制器采用开环学习律 u ff ,k 1 (t) u k (t) h ff 1(ek (t))
反馈控制器为 u fb,k (t)= h fb (ek (t))
开闭环 PD 型迭代学习控制律为 uk 1(t) u ff ,k 1(t) u fb,k (t)
u k (t) Lp (t) ek (t) Lp (t) ek 1(t) Ld (t) ek (t) Ld (t) ek 1(t)
状态空间方程
考虑单关节机器人系统，其动态系统模型为
Jmq(t) sgsin(q(t))= f(t)
其中 f (t) 为作用于节点的力矩，g 为重力加速度，q(t) 为力臂旋转角度，令
q x1, q x2 , u(t) f(t)
则系统可描述为
x1 x2
控制 u (t)
Part 2
在机器人中的应 用
由于机器人是高度的非线性、强耦合的动力学系统，而且在许多情况 下系统的动力学模型是未知的，或者不是完全己知的，因此利用传统 的控制理论很难实现对机器人的高精度跟踪控制。近年来，迭代学习 控制理论由于在不精确已知受控对象动力学特性的情形下具有综合结 构简单、在线计算量小等特点，因此受到了控制界的广泛关注，人们 针对各种机器人系统的跟踪控制提出了相应的有效算法。
Part 3
在生产机械中的 应用
在生产机械中的应用
在机械压力 机滑块位置 控制中的应
用： 强化优势
自我补课 在丝杆运动 误差控制中
的应用：
压力机气动系统具有很强的非线性和时滞性，且很难建立精确 的数学模型，而压力机滑块位置的调整具有反复性，因此适合 采用迭代学习法进行控制，采用适当的迭代算法控制滑块停止 位置，可以减少调整次数，提高定位精度。
迭代学习控制（ILC）的应用
某某某
目录
01
简单介绍
应用
02
03 总结
提出
人们在研究高速运动的工业机械手的控制问题时，提出了这样一个思想：不断重复一个同样轨 迹的控制尝试，并以此修正控制律，可能可以得到非常好的控制效果。Arimoto等人于1984年 正式提出了迭代学习控制（iterative learning control,简称ILC）方法。
x1 x2
(0)=0.5, (0)=5.0,
mw
3kg, mp
2kg, l
0.6m
初始控制为u0 (0)=0, t 0, 20
取 5,8 ，经过 3 次学习后，倒立摆在t 0, 20 s 内保持稳定，其状态角 与控制 u 见图：
角度 (t) 与角速度 (t)
x2 J m1sg sin
x1
0
J
1 m
u
应用效果
选取系统参数 m
10kg, l
2.5m, J m
4 ml 2 , s 3
ml
。取系统输出为
y(t)
1 5
x2 (2 sint)
，设理想输
出 为 yd (t) t t2 ， 取 x1(0) 0, x2 (0) 0, u1(t) 1 ， 选 取 开 闭 环 PD 型 迭 代 学 习 控 制 律
Part 1
在倒立摆控制 上的应用
闭环D型迭代学习控制
01
取闭环 D 型学习控制算法：
闭环D型
迭代学习 03
控制
倒立摆示意图
04
uk 1(t) u k (t) ek 1(t) u k (t) x k 1(t)
状态空间方程
其对应的微分方程为：
x1 x2
迭代学习控制策略结构与算法简单，參数便于确定，容易实现， 不需要对误差进行显式建模，通过学习既能对丝杠运动误差进 行预报，又能获取丝杠运动误差特性缓慢变化的信息，从而始 终保持良好的运动误差补偿性能。
（ yd (t) 为期望轨迹）
学习律： uk 1(t) L(uk (t), ek (t))
基本原理
输入变量（控 制量）
输出变量
期望轨迹
误差
通过对被控系统进行控制尝试，以输出信号与给定目标的偏差修正不理想的控制信号， 使得系统的跟踪性能得以提高。新的控制量存入存储器，刷新旧控制量；在施加控制时，需从 存储器中取出控制量。可以看到迭代学习控制算法可利用的信息要多余常规的反馈控制算法。