高中数学《二项式定理》导学案

1．3.1二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝□01C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数□02C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝□031＋C1n x＋C2n x2＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n(n∈N*)．结构特点：(1)各项的次数都□04等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；(3)共有□05n＋1项．2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项□06C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即T k＋1＝□07C k n a n－k b k.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C r n，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C r n与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15，而第二项的系数则是C15·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a ＋b )n 展开式中共有n 项．( )(2)二项式(a ＋b )n 与(b ＋a )n 展开式中第r ＋1项相同．( )(3)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是________． (2)展开⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 4为________．(3)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________． 答案 (1)－560x 10 (2)1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4 (3)10 解析 (1)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·x 16－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r， 所以第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10＝－560x 10. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 4＝1＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. (3)T 4＝C 35x 2y 3含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.探究1 二项式定理的正用与逆用例1 (1)若f (x )＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋4，则f (2019)－f (－2019)的值为________；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4的展开式． [解析] (1)根据f (x )的解析式，逆用二项式定理，得f (x )＝[(x －1)＋1]4＋3＝x 4＋3.显然f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，∴f (2019)－f (－2019)＝0.(2)解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14·(x )3·12x ＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.解法二：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x 2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1)＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[答案] (1)0 (2)见解析 拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a ＋b )n 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a ＋b )n 的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．[跟踪训练1] (1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4；(2)化简1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .解 (1)解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 解法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4 ＝1x 2[1＋C 14(3x )＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4) ＝1x 2＋12x ＋54＋108x ＋81x 2.(2)1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n ＝C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n＝(1＋2)n ＝3n .探究2 利用二项式定理求某些特定项例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项．[解] (1)由题意得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r n x n －2r 3(r ＝0,1,2，…，n )．∴T 6＝T 5＋1＝(－1)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125C 5n ·x n －103， 又第6项为常数项，∴n －103＝0，∴n ＝10.(2)由(1)知T r ＋1＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 10·x 10－2r3，令10－2r3＝2，得r ＝2.∴x 2的系数为(－1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 210＝454. 含x 2这一项的二项式系数为C 210＝45.(3)由题意得，10－2r3为整数，其中0≤r ≤10，r ∈Z . ∵T r ＋1为有理项， ∴10－2r3为有理数，∴10－2r ＝0，或10－2r ＝6，或10－2r ＝－6， 得r ＝5或r ＝2或r ＝8.∴有理项为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＝454x 2， T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝⎛⎭⎪⎫－128·x －2＝45256x －2. 拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． [跟踪训练2] (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是________． 答案 (1)1 (2)7 解析 (1)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x9－r(－a )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 9·(－a )r x 9－2r(0≤r ≤9，r ∈N )．当9－2r ＝3时，解得r ＝3，代入得x 3的系数，根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r8x 8－43r (0≤r ≤8，r ∈N )．令8－43r ＝0，得r ＝6，则T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫128－6C 68＝7.探究3 整除及余数问题例3 (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数． [解] (1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋C 910·10＋1)－1 ＝1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋102 ＝100(108＋C 110·107＋C 210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．[跟踪训练3] (1)求证32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除； (2)求230－3除以7的余数． 解 (1)证明：32n ＋2－8n －9 ＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋C n n ＋1·8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.该式每一项都含因式82，故能被64整除． (2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C 010710＋C 11079＋…＋C 9107＋C 1010－3 ＝7×(C 01079＋C 11078＋…＋C 910)－2.又∵余数不能为负数(需转化为正数)， ∴230－3除以7的余数为5.1．若(2x －3x )n ＋3的展开式中共有15项，则自然数n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 A解析 因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.选A.2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r ，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80.选B.3．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5 答案 C解析 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有C 适合．4．(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于________． 答案 70解析 ∵(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝41＋29＝70.5．求(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数．解 ∵(x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10，本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数．由T r ＋1＝C r 10x 10－r ·2r ，取r ＝2得x 8的系数为C 210×22＝180，又x 10的系数为C 010＝1，因此所求系数为180－1＝179.A 级：基础巩固练一、选择题1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn ＝( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n 答案 C解析 逆用公式，将1看作公式中的a ，－2看作公式中的b ，可得原式＝(1－2)n ＝(－1)n .2．若二项式(x ＋2)n的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x的值为( )A.12B.14C.28D.18 答案 B解析 由二项式(x ＋2)n 的展开式的第4项为23C 3n xn －3，第3项的二项式系数是C 2n ，可知C 2n ＝15,23C 3nx n －3＝52，可得n ＝6，x ＝14，选B.3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354 D ．105 答案 B解析 T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝12r C r 8x 4－r，令4－r ＝0，得r ＝4，展开式的第5项为常数项，∴T 5＝124·C 48＝358，故选B.4．对任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．21 答案 B解析 ∵x 3＝(x －2＋2)3＝C 03(x －2)3＋C 13(x －2)2·2＋C 23(x －2)·22＋C 33·23＝8＋12(x －2)＋6(x －2)2＋(x －2)3，∴a 2＝6.5．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512020＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 答案 D解析 512020＋a ＝(52－1)2020＋a ＝522020＋C 12020×522019×(－1)＋…＋C 20192020×52×(－1)2019＋(－1)2020＋a 能被13整除，只需(－1)2020＋a ＝1＋a 能被13整除即可．∵0≤a ＜13，∴a ＝12，故选D. 二、填空题 6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －x 29的展开式中x 3的系数为94，则常数a 的值为________．答案 4解析 T r ＋1＝C r 9a9－r·(－1)r ·2－r 2x 32r －9， 令32r －9＝3，得r ＝8.依题意，得C 89(－1)8×2－4·a 9－8＝94，解得a ＝4. 7．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.答案 3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．由a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4. 由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.8．(x ＋1)4(x －1)的展开式中x 3的系数是________． 答案 2解析 (x ＋1)4(x －1)的展开式中含x 3的项由以下两部分相加得到：①(x ＋1)4中的二次项乘以(x －1)中的一次项x ，即C 24x 2·x ＝6x 3；②(x ＋1)4中的三次项乘以(x －1)中的常数项－1，即C 14x 3×(－1)＝－4x 3.所以(x ＋1)4·(x －1)的展开式中x 3的系数是6＋(－4)＝2.三、解答题9．求(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数．解 ∵(1＋x )2的展开式的通项为T r ＋1＝C r 2x r ，(1－x )5的展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5x k，其中r ∈{0,1,2}，k ∈{0,1,2,3,4,5}．令k ＋r ＝3，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝2，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，r ＝0，∴x 3的系数为－C 22C 15＋C 12C 25－C 02C 35＝5.B 级：能力提升练10．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 15的展开式中：(1)求常数项； (2)有几个有理项； (3)有几个整式项． 解 展开式的通项为(1)设T r ＋1项为常数项，则30－5r6＝0，得r ＝6， 即常数项为T 7＝26C 615＝320320；(2)设T r ＋1项为有理项，则30－5r 6＝5－56r 为整数 ， ∴r 为6的倍数， 又∵0≤r ≤15，∴r 可取0,6,12三个数．即共有3个有理项． (3)5－56r 为非负整数，得r ＝0或6， ∴有2个整式项．。