(优选)控制工程基础课件第四章频域分析

频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；
()大于零时称为相角超前，小于零时称
为相角滞后。
x(t), y1(t), y2(t)
x(t)
y2(t)
y1(t)
0
t
1() 2()
第四章 频域分析法
频率特性图
➢ 奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频 率特性图）
tk j e pj t (k j 0, 1, 2, , rj 1)
的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大都趋近于零。
第四章 频域分析法
因此，系统的稳态响应为：
xo(t) Ae jt Ae jt
其中：
A
G(s)
X s2 2
(s
j)
s
j
XG( 2j
j)
A
G(s)
X s2 2
(s
➢ 示例 求一阶系统 G(s) K 的频率特性及在
Ts 1
正弦输入xi(t)=Xsint 作用下的频率响应。
解：
G( j) G(s) s j
K
jT 1
第四章 频域分析法
A() G( j) K 1 T 2 2
() G( j) arctgT
对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的
示出来，横坐标上表示的最低频率由所感 兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般
G( j) Re[G( j)] j Im[G( j)] P() jQ() G( j) e jG( j) A()e j()
其中，P()、Q()分别称为系统的实频特
性和虚频特性。显然：
A() P()2 Q()2
() arctg Q() P( )
第四章 频域分析法
在复平面上，随（0 ~ ）的变化，向量 G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统
Y sin[ t ()]
Y X G( j)
上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下 的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出
与输入的幅值比为|G(j)|，相位差为G(j)。
显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随 频率而变化。
第四章 频域分析法
频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入
s
A2 p2
s
An pn
其中 A, A 为一对待定共轭复常数
Ai(i = 1, 2, …, n)为待定常数。
第四章 频域分析法
从而：
xo (t) Ae jt Ae jt A1e p1t A2e p2t Ane pnt (t 0)
如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有 类似：
第四章 频域分析法
应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。
第四章 频域分析法
的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系 统的奈奎斯特图或极坐标图。
易 知 ， 向 量 G(j) 的 长 度 等 于 A(j) （|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向 绕原点转至向量G(j)方向的角度等于() （G(j)）。
第四章 频域分析法
➢ 波德(Bode)图（对数频率特性图）
对数幅频特性图 横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率
时，其稳态输出随频率而变化(
由0变到)的特性。
幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变 化特性，记为A()。
相频特性：当由0到变化时，G(j)的变 化特性称为相频特性，记为()。
幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。
第四章 频域分析法
➢ 频率特性与传递函数的关系
G( j) G(s) s j
j)
s j
XG( j)
2j
由于：
G( j) G( j) e j()
()
G(
j)
arctg
Im[G( Re[G(
j)] j)]
G( j) G( j) e j() G( j) e j()
第四章 频域分析法
因此：
xo (t)
X
G(
j)
e
j[ t ()]
e 2j
j[ t ()]
X G( j) sin[ t ()]
迟环节的系统）； ➢ 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。
第四章 频域分析法
一、频率特性的基本概念
频率响应与频率特性
➢ 频率响应与频率特性的概念
考虑线性定常系统：
G(s)
M(s) N(s)
(s
p1)(s
M(s) p2 )(s
pn )
当正弦输入 xi(t)=Xsint 时，相应的输出为：
Xo (s)
（优选）控制工程基础课件第 四章频域分析
析的目的 频域分析：以输入信号的频率为变量，在频 率域，研究系统的结构参数与性能的关系。 优点： ➢ 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法
间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； ➢ 易于实验分析； ➢ 可推广应用于某些非线性系统（如含有延
定义：
xo (t)
XK sin( t arctg T ) 1 T 2 2
由上式可见，当T<<1时，
A() 1
() 0
当T>>1时，
A() 1/T () -90
第四章 频域分析法
➢ 几点说明 频率特性是传递函数的特例，是定义在复
平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。
单位 — rad/s或Hz
纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20
倍，即：
L()=20logA()
单位 — 分贝（dB）
第四章 频域分析法
对数相频特性图
横坐标：与对数幅频特性图相同。
纵坐标：线性分度，频率特性的相角()
单位 — 度() 几点说明 ✓ 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了
对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表
G(s)Xi (s)
M (s) N (s)
Xi (s)
M (s) N (s)
X s2 2
第四章 频域分析法
对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此 时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改
变，因此，可认为系统处于零初始状态。
假设系统只具有不同的极点，则：
X o (s)
s
A
j
s
A
j
s
A1 p1