(优选)控制工程基础课件第四章频域分析
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➢ 示例 求一阶系统 G(s) K 的频率特性及在
Ts 1
正弦输入xi(t)=Xsint 作用下的频率响应。
解：
G( j) G(s) s j
K
jT 1
第四章 频域分析法
A() G( j) K 1 T 2 2
() G( j) arctgT
对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的
tk j e pj t (k j 0, 1, 2, , rj 1)
的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大都趋近于零。
第四章 频域分析法
因此，系统的稳态响应为：
xo(t) Ae jt Ae jt
其中：
A
G(s)
X s2 2
(s
j)
s
j
XG( 2j
j)
A
G(s)
X s2 2
(s
单位 — rad/s或Hz
纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20
倍，即：
L()=20logA()
单位 — 分贝（dB）
第四章 频域分析法
对数相频特性图
横坐标：与对数幅频特性图相同。
纵坐标：线性分度，频率特性的相角()
单位 — 度() 几点说明 ✓ 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了
对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表
G(s)Xi (s)
M (s) N (s)
Xi (s)
M (s) N (s)
X s2 2
第四章 频域分析法
对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此 时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改
变，因此，可认为系统处于零初始状态。
假设系统只具有不同的极点，则：
X o (s)
s
A
j
s
A
j
s
A1 p1
Y sin[ t ()]
Y X G( j)
上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下 的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出
与输入的幅值比为|G(j)|，相位差为G(j)。
显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随 频率而变化。
第四章 频域分析法
频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入
示出来，横坐标上表示的最低频率由所感 兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般
G( j) Re[G( j)] j Im[G( j)] P() jQ() G( j) e jG( j) A()e j()
其中，P()、Q()分别称为系统的实频特
性和虚频特性。显然：
A() P()2 Q()2
() arctg Q() P( )
第四章 频域分析法
在复平面上，随（0 ~ ）的变化，向量 G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统
的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系 统的奈奎斯特图或极坐标图。
易 知 ， 向 量 G(j) 的 长 度 等 于 A(j) （|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向 绕原点转至向量G(j)方向的角度等于() （G(j)）。
第四章 频域分析法
➢ 波德(Bode)图（对数频率特性图）
对数幅频特性图 横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率
时，其稳态输出随频率而变化(
由0变到)的特性。
幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变 化特性，记为A()。
相频特性：当由0到变化时，G(j)的变 化特性称为相频特性，记为()。
幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。
第四章 频域分析法
➢ 频率特性与传递函数的关系
G( j) G(s) s j
s
A2 p2
s
An pn
其中 A, A 为一对待定共轭复常数
Ai(i = 1, 2, …, n)为待定常数。
第四章 频域分析法
从而：
xo (t) Ae jt Ae jt A1e p1t A2e p2t Ane pnt (t 0)
如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有 类似：
（优选）控制工程基础课件第 四章频域分析
8/19/2020
1
第四章 频域分析法
频域分析的目的 频域分析：以输入信号的频率为变量，在频 率域，研究系统的结构参数与性能的关系。 优点： ➢ 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法
间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； ➢ 易于实验分析； ➢ 可推广应用于某些非线性系统（如含有延
j)
s j
XG( j)
2j
由于：
G( j) G( j) e j()
()
G(
j)
arctg
Im[G( Re[G(
j)] j)]
G( j) G( j) e j() G( j) e j()
第四章 频域分析法
因此：
xo (t)
X
G(
j)
e
j[ t ()]
e 2j
j[ t ()]
X G( j) sin[ t (Biblioteka Baidu]
定义：
xo (t)
XK sin( t arctg T ) 1 T 2 2
由上式可见，当T<<1时，
A() 1
() 0
当T>>1时，
A() 1/T () -90
第四章 频域分析法
➢ 几点说明 频率特性是传递函数的特例，是定义在复
平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。
第四章 频域分析法
应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。
第四章 频域分析法
迟环节的系统）； ➢ 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。
第四章 频域分析法
一、频率特性的基本概念
频率响应与频率特性
➢ 频率响应与频率特性的概念
考虑线性定常系统：
G(s)
M(s) N(s)
(s
p1)(s
M(s) p2 )(s
pn )
当正弦输入 xi(t)=Xsint 时，相应的输出为：
Xo (s)
频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；
()大于零时称为相角超前，小于零时称
为相角滞后。
x(t), y1(t), y2(t)
x(t)
y2(t)
y1(t)
0
t
1() 2()
第四章 频域分析法
频率特性图
➢ 奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频 率特性图）
Ts 1
正弦输入xi(t)=Xsint 作用下的频率响应。
解：
G( j) G(s) s j
K
jT 1
第四章 频域分析法
A() G( j) K 1 T 2 2
() G( j) arctgT
对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的
tk j e pj t (k j 0, 1, 2, , rj 1)
的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大都趋近于零。
第四章 频域分析法
因此，系统的稳态响应为：
xo(t) Ae jt Ae jt
其中：
A
G(s)
X s2 2
(s
j)
s
j
XG( 2j
j)
A
G(s)
X s2 2
(s
单位 — rad/s或Hz
纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20
倍，即：
L()=20logA()
单位 — 分贝（dB）
第四章 频域分析法
对数相频特性图
横坐标：与对数幅频特性图相同。
纵坐标：线性分度，频率特性的相角()
单位 — 度() 几点说明 ✓ 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了
对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表
G(s)Xi (s)
M (s) N (s)
Xi (s)
M (s) N (s)
X s2 2
第四章 频域分析法
对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此 时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改
变，因此，可认为系统处于零初始状态。
假设系统只具有不同的极点，则：
X o (s)
s
A
j
s
A
j
s
A1 p1
Y sin[ t ()]
Y X G( j)
上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下 的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出
与输入的幅值比为|G(j)|，相位差为G(j)。
显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随 频率而变化。
第四章 频域分析法
频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入
示出来，横坐标上表示的最低频率由所感 兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般
G( j) Re[G( j)] j Im[G( j)] P() jQ() G( j) e jG( j) A()e j()
其中，P()、Q()分别称为系统的实频特
性和虚频特性。显然：
A() P()2 Q()2
() arctg Q() P( )
第四章 频域分析法
在复平面上，随（0 ~ ）的变化，向量 G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统
的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系 统的奈奎斯特图或极坐标图。
易 知 ， 向 量 G(j) 的 长 度 等 于 A(j) （|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向 绕原点转至向量G(j)方向的角度等于() （G(j)）。
第四章 频域分析法
➢ 波德(Bode)图（对数频率特性图）
对数幅频特性图 横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率
时，其稳态输出随频率而变化(
由0变到)的特性。
幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变 化特性，记为A()。
相频特性：当由0到变化时，G(j)的变 化特性称为相频特性，记为()。
幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。
第四章 频域分析法
➢ 频率特性与传递函数的关系
G( j) G(s) s j
s
A2 p2
s
An pn
其中 A, A 为一对待定共轭复常数
Ai(i = 1, 2, …, n)为待定常数。
第四章 频域分析法
从而：
xo (t) Ae jt Ae jt A1e p1t A2e p2t Ane pnt (t 0)
如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有 类似：
（优选）控制工程基础课件第 四章频域分析
8/19/2020
1
第四章 频域分析法
频域分析的目的 频域分析：以输入信号的频率为变量，在频 率域，研究系统的结构参数与性能的关系。 优点： ➢ 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法
间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； ➢ 易于实验分析； ➢ 可推广应用于某些非线性系统（如含有延
j)
s j
XG( j)
2j
由于：
G( j) G( j) e j()
()
G(
j)
arctg
Im[G( Re[G(
j)] j)]
G( j) G( j) e j() G( j) e j()
第四章 频域分析法
因此：
xo (t)
X
G(
j)
e
j[ t ()]
e 2j
j[ t ()]
X G( j) sin[ t (Biblioteka Baidu]
定义：
xo (t)
XK sin( t arctg T ) 1 T 2 2
由上式可见，当T<<1时，
A() 1
() 0
当T>>1时，
A() 1/T () -90
第四章 频域分析法
➢ 几点说明 频率特性是传递函数的特例，是定义在复
平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。
第四章 频域分析法
应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。
第四章 频域分析法
迟环节的系统）； ➢ 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。
第四章 频域分析法
一、频率特性的基本概念
频率响应与频率特性
➢ 频率响应与频率特性的概念
考虑线性定常系统：
G(s)
M(s) N(s)
(s
p1)(s
M(s) p2 )(s
pn )
当正弦输入 xi(t)=Xsint 时，相应的输出为：
Xo (s)
频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；
()大于零时称为相角超前，小于零时称
为相角滞后。
x(t), y1(t), y2(t)
x(t)
y2(t)
y1(t)
0
t
1() 2()
第四章 频域分析法
频率特性图
➢ 奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频 率特性图）