10.1图上距离与实际距离

初中数学八年级下册

10.1图上距离与实际距离

教学目标：

知识与技能：结合现实情境，了解线段的比和成比例的线段； 理解并掌握比例的性质及运算.

过程与方法：学生在探究的过程中了解线段的比，能判断四条线段是否成比例。 情感态度与价值观：通过对实际问题的研究，学生提高从数学的角度提出问题、分析

问题和解决问题的能力，增强用数学的意识。

教学重点与难点：

重点：比例的性质及运算。

难点：比例的性质、运算及应用。

教学过程：

一、自主探究：

在一幅江苏省的地图上，南京与徐州的距离是3.4cm ，

而实际南京与徐州的距离是272km 。根据上述条件你能回答下列问题吗？

①图上距离与实际距离的比是多少？答： 。 ②地图的比例尺是多少？答： 。 ③你知道比例尺的含义吗？答： 。 ④如果继续测得在这张地图上，徐州与连云港间的距离是1.2cm ，你知道徐州与连云港的实际距离吗？答： 。

⑤如果在另一张地图上测得南京与徐州的距离是1.7cm ，你知道在第二张地图上，徐州与连云港间的距离上测量的结果吗？答： 。

⑥如果在第一张地图上测得的南京与徐州的距离，徐州与连云港间的距离分别记为a ，b ；在第二张地图上测得的南京与徐州的距离，徐州与连云港间的距离分别记为c ，d ，请你分别求出a 与b 的比，即 a b （或a ：b ），以及c 与d 的比，即 c d （或c ：d ）,观察a b 与c

d 的值，

你发现了什么？答： 。

概念引入：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这四条线段成比例。

比例的基本性质①：如果a ：b=c ：d ，那么 = ；

反过来，如果ad=bc （b ≠0，d ≠0），那么 = ，或 = 。 思考：由ad ＝bc 得到 a b ＝c

d

。还可以得到哪些不同的比例式？

推广：根据分式的性质，我们可以推导出下面两个结论 ∵a b =c d ， ∵a b =c d ， ∴a b + 1=c

d

+ 1 ∴a b - 1=c

d

- 1 而a b + 1 =a+b b ，c d + 1=c+d d 而a b - 1 =a-b b ，c d - 1=c-d

d ∴

a+b b = c+d d ∴a-b b = c-d

d

于是，我们得到比例的另外两个性质：

比例的基本性质②：如果a b =c d ，那么a+b b =c+d d 比例的基本性质③：如果a b =c d ，a-b b =c-d d

有时，在a b =c d 中，b=c ，即a b =b

d ,我们则把b 叫做a 与c 的比例中项。即若线段b 为线段a 与

c 的比例中项，则有b 2

=ac 。

二、例题精讲：

例1：在比例尺为1：50 000的地图上，测得A 、B 两地之间的图上距离为16cm ，求A 、B 两地间的实际距离。

例2：（1）填空（其中a 、b 、x 都表示线段的长度）：

①若b ：4=a ：3，则a :b = . ②若3：x =2：6，则x = 。 ③若x 为4和9的比例中线，则x = 。 ④若2：x =3：（2-x ），则x = 。 （2）根据已知条件，求下列比的结果：①已知a-b b =38，求a b 的值；②已知x 2 = y 7 = z 5,则

x+y-z x 的值。

例3：①如果a b ＝c d ＝e

f

,那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝a b 成立吗？为什么？

②如果a b ＝c d =…=m

n （b +d +…+n ≠0）,那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b 成立吗？为什么？

探究：要测量不能到达的两个目标A 、B 间的距离，一种测量方法如下：

（1）选择两个观测点C 、D ，测出它们之间的距离，并按一定的比例将它们画在纸上； （2）在点C 测出∠ACD 和∠BCD 的度数，在点D 测出∠ADC 和∠BDC 的度数，在纸上画出

点A 、B （如图）。

这样，量出A 、B 两点间的距离，就可以根据比例尺求出A 、B 两点间的实际距离。

如果测得CD=300m ，∠ACD=45°，∠BCD=75°，∠ADC=80°，∠BDC=54°，请用1：5000的比例尺在纸上分别画出点C 、D 和点A 、B ，并通过度量A 、B 两点间的图上距离求出A 、B 两点间的实际距离。

三、当堂反馈

1．等边三角形三边之比是 ；直角三角形斜边上的中线和斜边的比是___ ； 线段2cm 、8cm 的比例中项为 cm 。 2．已知

EC

AE

BD AD ，AD=10，AB=30，AC=24，则AE= ． 3．下列各组长度的线段是否成比例（ ）

A ．4cm , 6cm , 8cm , 10cm

B ．4cm , 6cm , 8cm , 12cm

C ．11cm , 22cm , 33cm , 66cm

D ．2cm , 4cm , 4cm , 8cm

4．在比例尺为1：40000的工程示意图上，2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（ ） A ．0.2172km B ．2.172km C ．21.72km D ．217.2km

5．在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ，那么影长为30m 的旗杆的高是

（ ）

A ．20m

B ．16m

C ．18m

D ．15m