信号与系统第四章§4.11 双边拉氏变换
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
信号与系统_哈尔滨工业大学_4 第四章拉氏变换与S域分析_16 416双边拉氏变换
第4章拉氏变换与s域分析双边拉氏变换十一、双边拉氏变换1．双边拉氏变换定义单边拉氏变换：①实际信号常从t =0开始；⎰∞-0)(dt e t f st ②通常在t >0时为衰减指数函数，在t <0时往往增长，可能使积分发散，故引入t e σ-t e σ-()()1()()2st Bj st B j F s f t e dt f t F s e ds j σσπ+∞--∞+∞-∞⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰定义：双边拉氏变换：有些函数当σ在某个范围内取值时，存在()stf t e dt +∞--∞⎰优点：考虑-∞< t <∞；与傅立叶变换关系密切缺点：收敛域方面须考虑一些限制，求解麻烦2. 双边拉氏变换的收敛域)()()()()(21t u t f t u t f t f -+=01201200()()()()()st stB st st F s f t e dt f t e dt f t e dt f t e dt +∞---∞+∞+∞-=+=+-⎰⎰⎰⎰)(1t f ()u t -()u t 2()f t ()f t t 011lim ()0t t f t e σσσ-→∞→⇒>22lim ()0t t f t e σσσ-→-∞→⇒<()B F s 21σσσ<<的收敛域一般形式为：2121σσσσσ<<⇒<若⇒≥21σσ若无公共收敛区必须标出收敛域极点为收敛边界2σ1σ⨯⊗()u t -对应()u t 对应⊗⊗⨯⨯σj ω[例]：求下列信号的双边拉氏变换)()(t u e t f at -=①00()11()at st a s t B F s e e dt e a sa s ---∞-∞=⋅==--⎰()a σ<极点a 位于收敛域右边11() (-33)33B F s s sσ=+<<+-3()tf t e -=②333()()()t t tf t e e u t e u t --==+-3. 双边拉氏变换的逆变换即分情况讨论换求相应收敛区域的逆变划分可能的收敛区域先求出极点分布 (3)(2)(1)⎪⎭⎪⎬⎫步骤：＊已知拉氏变换（未给收敛域）求逆变换根据极点分布，划分可能的收敛区域：右边信号极点在σ1的左边；左边信号极点在σ2的右边21(),(1)B s F s s s -=-[例]：求可能的逆变换111)(-+=s s s F B )()1()(t u e t f t+=1>σ，对应右边0, 1s s ==极点，收敛域可能有三种解：⨯σj ω⨯01ss s s s F B --=-+=111111)(()()()t f t u t e u t =--10<<σ，对应双边: 0－右边；1－左边⨯⨯01σj ωss s F B ----=1101)(()(1)()t f t e u t =-+-0<σ，对应左边⨯⨯01σj ω4. 利用双边拉氏变换求解电路（可求出-∞<t <∞全响应）[例]：求()c v t ()(), () (0)E e t Eu t E s s σ=-=-<111() ()11sC RC H s RC R s sC RC σ==>-++解：12-+E R +_o)(t v c οC ο11()()() (0)110c E E E RC V s E s H s σs s RCs s RC RC =⋅=-⋅=+-<<-++)()()(t u Ee t Eu t v RC t c -+-=总结双边拉氏变换：定义、收敛域、逆变换。
拉氏变换详解ppt课件
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
信号与系统(第四版)第四章课后答案
第5-10页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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1
t
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信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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2
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信号与系统 电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
双边拉氏变换及拉氏变换与傅氏变换的关系
收敛域没有改变，象函数的极点全部 位于收敛域右侧
2019/2/7 信号与系统
2.双边信号的拉氏变换
例：f (t ) u(t ) et u(t ), 试求BLT
t<0,f(t)=0,双边LT→单边LT，收敛域包括虚轴
F ( j ) F ( s) |s j
若收敛边界在虚轴上，F(s)极点在虚轴上，则信号 的频谱函数中会出现奇异函数项
1 1 例如：f (t ) u (t ) F ( s) F ( ) ( ) s j
2019/2/7 信号与系统
作业
4-45
2019/2/7
信号与系统
4.12 双边拉氏变换
双边拉氏变换（广义傅里叶变换）：
FB ( s) f (t )e dt
st
对于衰减因子，t>0时的情况与t<0时的情况正 好相反，因此对于双边拉氏变换积分结果不一定存 在，这个与单边拉氏变换不同。要讨论双边拉氏变 换的存在性问题。
F(s) 收敛域 f(t)
1/s
1/s 1/(s+a)
>0
<0 >-a
u(t)
-u(-t) e-at u(t)
1/(s+a)
<-a
-e-at u(-t)
1 1 F ( s) s s 0 f (t ) u( t ) e t u(t )
0
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）激励，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）激励，为不稳定系统
《信号与系统》课程讲义4-6
j
01
2
(b)
§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换
c) 0
1 2 2 1 FB ( s) s 0 s 2 1 s 1 f (t ) ( 1 e 2 t )u(t ) e t u( t ) 2 d) 1 -2：右边；0：右边； 1：右边 1 1 2 1 2 FB ( s) s s 1 s 2 1 1 2t t f ( t ) ( e e )u ( t ) 2 2
1
+ -
R
E
C
§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换
1 1 sC E E Vc ( s) E ( s) ( σ 0) 1 s s 1 RC R sC RC
vc (t ) Eu(t ) Ee
t RC
u(t )
§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换
j
1 1 1 1 FB ( s ) s s 1 s 1 s
0
1
f (t ) u(t ) et u(t )
(c)
(b) (a)
§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换
c)
0
对应左边
1 1 FB ( s ) 0 s 1 s
t
f (t ) (1 e )u(t )
§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换
2s 1 [例2]：② FB ( s) 求可能的逆变换 s( s 1)( s 2) s ②极点： 2, s 0, s 1 可能的收敛域为 解： a) 2 －2：左边；0：左边； 1：左边
1 1 2 1 2 FB ( s) 0 s 1 s 2 s
第4章 拉氏变换
f (t )
A T
0
T A ( t T )
17
t
拉普拉斯变换的性质
例 10
f (t ) t e
(t 2)
(t 1)
dF ( s ) 1 s 方法一：因为 (t 1) e 用频域微分性质 tf ( t ) ds s 1 s s t (t 1) 2 e 应用频移性质 f ( t )e at F( s a ) s 2 s s 1 e 2 e t t ( t 1 ) e 2 ( s 1) 1 方法二： f (t ) e t e (t 1) (t 1) e t (t ) s 1 1 s ( t 1 ) ( t 1) e 应用时移性质： e 应用频域微分性质： s 1 d 1 s 1 1 s s t e ( t 1 ) ( t 1 ) ( e ) e e 2 ds s 1 ( s 1) s 1
终值 定理
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 ( s).F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s) 2j
12
f1 (t ). f 2 (t )
拉普拉斯变换的性质
例 1 余弦函数 f (t)=cost· (t)
1 j t 应用线性性质: cos t (e e j t ) 2 1 1 1 s cos t ( t ) 2 2 s j s j s 2
应用频域微分性质
1 (t ) t(t)，因为： s
2 t (t ) 3 s
2
dF ( s ) tf ( t ) ds
1 1 t ( t ) ( ) 2 s s
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
双边拉普拉斯变换公式表
双边拉普拉斯变换公式表引言：双边拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、电路分析、控制系统等领域。
本文将介绍双边拉普拉斯变换的公式表，帮助读者理解和应用该变换。
一、双边拉普拉斯变换的定义：双边拉普拉斯变换是指对一个函数f(t)进行整个实数轴（-∞，+∞）的积分变换。
其变换公式如下所示：F(s) = ∫[f(t) * e^(-st)] dt其中，F(s)表示函数f(t)的双边拉普拉斯变换，s是复变量。
二、双边拉普拉斯变换的性质：1. 线性性质：如果f1(t)和f2(t)的双边拉普拉斯变换分别为F1(s)和F2(s)，那么对于任意实数a和b，有：双边拉普拉斯变换[a*f1(t) + b*f2(t)] = a*F1(s) + b*F2(s)2. 移位性质：如果f(t)的双边拉普拉斯变换为F(s)，那么对于任意实数a，有：双边拉普拉斯变换[f(t-a)] = e^(-as) * F(s)3. 初值定理：如果f(t)是一个连续函数，且在t=0时，f(t)的导数存在有限值，那么其双边拉普拉斯变换为：F(s) = lim(s→∞) [s*F(s)]4. 终值定理：如果f(t)是一个连续函数，且在t=0时，f(t)的导数存在有限值，那么其双边拉普拉斯变换为：lim(t→∞) [f(t)] = lim(s→0) [s*F(s)]5. 梯度性质：如果f(t)的导数f'(t)的双边拉普拉斯变换为F'(s)，那么f(t)的双边拉普拉斯变换为：F(s) = s*F'(s) - f(0)6. 积分性质：如果f(t)的积分∫[f(t)dt]的双边拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)的双边拉普拉斯变换为：F(s) = F'(s)/s三、常见函数的双边拉普拉斯变换：1. 单位阶跃函数u(t)的双边拉普拉斯变换为：U(s) = 1/s2. 单位冲激函数δ(t)的双边拉普拉斯变换为：Δ(s) = 13. 指数函数e^(at)的双边拉普拉斯变换为：E(s) = 1/(s-a)4. 三角函数sin(ωt)的双边拉普拉斯变换为：S(s) = ω/(s^2 + ω^2)5. 三角函数cos(ωt)的双边拉普拉斯变换为：C(s) = s/(s^2 + ω^2)6. 阻尼振动函数e^(-αt)sin(ωt)的双边拉普拉斯变换为：D(s) = ω/[(s+α)^2 + ω^2]四、应用：双边拉普拉斯变换在信号处理、电路分析、控制系统等领域有着广泛的应用。
信号与系统-4章 拉斯分析
时的响应，可以把复杂信号分解为简单信号的卷
积，然后变换到复频域求拉普拉斯变换的积，再 逆变换到时域。这样，可使问题简单化。
例：已知
求
解：由
逆变换到时域有：
9 . 初值定理
设f (t ) L F (s), 且 lim sF (s)存在, 则f (0 ) lim f (t ) lim sF (s)
stst该性质主要用于研究具有初始条件的微分方程可以方便地从复频域求解系统的零输入响应和零状态响应而对于傅里叶变换却没有初态项出现也就无法直接利用傅里叶变换直接求零输入响应这是复频域性质的一个优点在分析连续系统时极其有用
第四章
拉普拉斯变换分析
重点：
拉普拉斯变换及其性质 常见信号的拉氏变换 拉普拉斯逆变换
0
t
0 t0
t
x4 (t )
只有x4 (t )是x1 (t )平移t0后所得
0 t0
t
例 试求x(t)半波正弦函数的拉氏变换 解：先求第一个周期对应的函数如 左图，并分解第 一个周期函数为 x(t)
E
xa(t)、 xb(t) ，如下式：
x1 (t ) xa (t ) xb (t )
E sin(
0 0 0
t
t
1 e st t [ f ( )d f ( t )e st dt ] 0 s 0 s 0 F ( s) s
若积分下限由 开始t源自f ( )d 0
f ( )d f ( )d
0
t
f (0 ) f ( )d
解：先时移性后比例性
由时移性
L[ x(t t0 )u (t t0 )] e st0 X (s)
信号与系统_第二版_郑君里第四章_
t
1 2
f1 (t ) f (t )e t
F1 ()e jt d
F ( s) f (t )e st dt
0
F1 ()e( j )t d
F1 ( )e( j )t d ( j )
f1 (t )e jt dt
f (t ) F (s)
t
1 1 0 f ( )d F (s) f ( )d s s
1 t 例： vC (t ) iC ( )d C
1 1 0 VC ( s ) IC (s) iC ( )d sC sC
1 Ic(s) sC
f1 (t ) f (t )e t
若 f1 (t ) 绝对可积，则存在傅里叶变换
F1 ( ) f1 (t )e
0
jt
dt f (t )e t e jt dt
0
f (t )e
0
( j ) t
dt f (t )e st dt
0
s j
F ( s) f (t )e dt
st 0
单边拉氏变换
FB ( s ) f (t )e st dt
双边拉氏变换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1 (t ) f (t )e
1 f (t ) 2
t 0时刻开始的。
dt
0
dt
下限取 0 是为了把 (t )、 (t ) 等也包含到积分区间中。
信号与系统双边拉普拉斯变换 PPT
若 Fa s 、Fb s 同时存在，且二者有公共收敛域，则 f t 的双边拉氏变换为 右边函数 fa t 的拉氏变换 Fa s 和左边函数 fb t 拉氏变换 Fb s 之和。
Fd (s) Fb s Fa s
如 Fa s与Fb s 没有公共收敛域，则 f t 的双边拉氏变换就不存在。
t
1
Ld
s
2
2
1 s3
2e2t e3t
ut
故系统的响应
r t Ld1 R s ra t rb t 2e2t e3t u t etu t
例 2
R
1
E
C
vc (t)
R
e(t )
C vc (t) e(t) Eu(t)
4、13 拉普拉斯变换与傅里 叶变换的关系
(2)对
fb 求单边拉氏变换得 Fb p ;
(3)对复变量 p 取反,即 p s ,就求得 Fb s 。
例1 求双边指数函数 f t et t et t ， 0 的双边拉普拉斯变换。
解：首先求右边函数的拉氏变换 Fa s
Fa
s
s
1
,
左边函数的拉氏变换 Fb s 求取如下:
（1） fb fb t t e , ；0
可见，Fd s 与 H s 有公共收敛域 ，2 1 故 Rs 存在,则有
Rs
Fd
s
H
s
s
2
1s 2s
3
1 s 1
s
2
2
1 s3
,
2 1
由收敛域可知, s 1 为右侧极点,对应的左边时间函数为
rb
t
1
Ld
1 s 1
信号与系统§4.11 双边拉氏变换
从时域看，只要e pt乘以收敛因子后，在t 时，乘积
函数皆为零即可
lim e t e t 0
t
则: 0
lime t e t 0
t
则: 0
\ 收敛带
j
双边拉氏变换存在
t
vc
t
Eu
t
E
e
1 RC
ut
每一步都应写明变换式的收敛域。
1 0
RC
§4.11 双边拉氏变换
•定义 •双边拉氏变换的收敛域
优点：
一．定义
FB s
f t est d t
• 信 号 不 必 限 在t 0范 围 内, , 在 某 些 情 况 下 ， 把 所 研究
的 问 题 从 时 间 为 到 作 统 一 考 虑 ， 可 使 概 念更 清 楚 。
S
0
系统函数
1
Hs
R
sC 1
sC
vc t 的双边拉式变换为
Vc s EsH s
et
1
E
E s
R
sC
1
1 0
RC
O
t
sC
1
vC t
E s
sC R 1
求得
sC
1 0
RC
E
O
双边拉氏变换不存在
0
FB
s
1
1
s
1 s
0 1
双边拉普拉斯变换及反变换
双边拉普拉斯变换的性质
► 微分特性
若
x(t) L X (s), Re(s) 0
则
dx(t) L sX (s), dt
Re(s) 0
双边拉普拉斯变换的性质
► 积分特性
若
x(t) L X (s), Re(s) 0
则 t x( )d L X (s)
s
Re(s) max(0 , 0)
双边拉普拉斯反变换
解：X (s) 0 etu(t)est dt e2tu(t)estdt
0
1 1 s 1 s 2
收敛域为： 2 Re(s) 1
j
收 敛 域
2 1 0
双边拉普拉斯变换的性质
► 时移特性
若
x(t) L X (s) , Re(s) 0
则 x(t t0) L est0 X (s), Re(s) 0
x(t) 1 j X (s)estds 2πj j
※ 留数法 留数法计算比较复杂，但适用范围较广。
※ 部分分式展开法 部分分式法求解较为简便，但一般只适用于有理分式。
双边拉普拉斯反变换
※ 部分分式展开法
etu(t) L 1 , Re(s) s
tetu(t) L 1 , Re(s) (s )2
简称为ROC(Region Of Convergence)。
双边拉普拉斯变换的定义
（1）有限长信号
例：试求连续信号 u(t 2) u(t 2)的双边拉氏变换及其收敛域。
解：X (s) [u(t 2) u(t 2)]estdt 2 estdt 1 est |2 Nhomakorabea2
s
2
1 (e2s e 2s )
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
信号与系统第四章习题
1 3
s +1 ) ，复频移性质、尺度变换、S 域微分 3
b
b ⎤ 1 s - s ⎡ (4) f (at − b) = f ⎢a(t − )⎥ ↔ F( )e a ，时移性质、尺度变换 a ⎦ a a ⎣
4．7 题图 4．2 所示为从 t=0 起始的周期信号。求 f(t)的单边拉氏变换。
解： (a) f (t ) = f a (t ) *
∑ δ (t − nT )
n =0
∞
- s 1 f a (t ) = ε (t ) − ε (t − T / 2) ↔ (1 - e 2 ) s - s 1 1 1- e 2 1 = = ∴ F(s) = (1 - e 2 ) T -s ⎞ s 1 - e -sT s 1 - e -sT ⎛ ⎜ s ⎜1 + e 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ T T - s
2
K1 =
2 jπ / 6 2 − jπ / 6 e , K2 = e 3 3
∴ h(t ) =
π 4 −t 2 −t e cos( 3t + )ε (t ) = e 6 3 3
2
(
3cos 3t - sin 3t ε (t )
)
当 u s (t ) = ε (t ) 时， U( s ) = H ( s) =
−2 t 解：(1) e f (2t ) ↔
1 s+2 F( ) ，复频移性质、尺度变换 2 2 ⎡1 ⎤
2 2 -2s (2) (t − 2) f ( t − 1) = (t − 2) f ⎢ (t − 2)⎥ ↔ 2F′′(2s)e ，时移性质、尺度变换、S 域微分 2 ⎣2 ⎦
1
−t (3) te f (3t ) ↔ − F′(
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R
S位于 "1"端，t当 0时S，从“ “ 1 1
C
转至“ 2“端，vc求 t波形。
E
etE u t
解：
取双边拉式变换，注明收敛域
EsE
S
0
系统函数
1
H s
R
sC
1
sC
第 5 页
vC t
X
vct的双边拉式变换为 Vcs EsHs
1
E sC s R 1 sC 1
1 0
RC
Es RsC1
1 0
在 给 出 某 函 式数 变F 的 B 换 s时 双 式 ， 边必 拉须
收敛域。
X
二．双边拉氏变换的收敛域
第 3
页
全时域信号
ept
et et
t 0 t 0
(,为实数）
从 时 域 看 ep乘 t ，以 只收 要敛 因 t子 时 后， ，乘
函数皆为零即可
limet et 0 则 :0
t
lim et et 0 则 :0
t
j
\ 收敛带
双边拉氏变换存在 双边拉氏变换不存 在0
X
FBs
1 1s
1 s
01
f1t
1
O
t
f1tutetut
1
f2t1etut
f2t
1
ut
O
t
0
f3tet 1ut
f3t
1
et
O
t
不同的函数在各不相同的收敛
条件下可能得到同样的拉式变换。
第 4 页
j
O 1
j
O
j O 1
X
例：
右图电路，t 0时，开关 2 S
§4.11 双边拉氏变换
•定义 •双边拉氏变换的收敛域
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
一．定义
第 2
页
优点：
FBs ftestdt
•信 号 不 必 t 0范 限围 在 ,,在 内某 些 情 况 下 究 ，
的 问 题 从 时 到间 作 为统 一 考 虑 ， 更 可 清 使 楚
•双边拉式变换与 变傅 换里 的叶 联系更密 于切， 全面理解傅,式 拉变 式换 变换 z变和 换的关系。 收敛域：
RC
求得
sC
v ct E tu E e R 1u C t
每一步都应写明变换式的收敛域。
第 6
页
e t
E
O
t
vC t
E
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
1 0
RC
X