2.5+ 群在集合上的作用

(1) e(x)=x， x∈X; (2)g1g2(x)=g1(g2(x))， x∈X; 则称G作用于X上，g(x)称为g对x的作用。
注1 由(1)，(2)可知g(x)是X上的可逆变换; 2 由(2)易证对应关系是G到X上的变换群(对称群)的 一个同态。 例1. 设G是一个群，令X=G，对g∈G，x∈X，定义G对 X的作用为: g(x)=g。x (G→G) 易验证满足定义中的 (1) e(x)=ex=x (2) g1g2(x)=g1g2x=g1(g2x)=g1(g2(x)) 这种作用称为G对其本身的左平移或左正则作用。 例2. 设G是一个群，令X=G，定义G在X上的作用为: g(x)=gxg-1 (G→G) 易验证满足定义中的两个条件。这种作用称为G对其本 身的共轭作用。
更一般地，设G是一般群(抽象群)，X是一个集 合，如果G与X上的一个变换群G' 同态，则g可以通 过G' 作用在X上。如果G'是一个置换群，则称它是G 的一个置换表示;如果G'是一个距阵群，则称它是G 的一个线性表示。 下面具体给出群在集合上的作用的定义
定义: 设G是一个群，X是一个非空集合，若 g∈G，对应X上的一个变换g(x)，满足:
x
定义:设群G作用在X上，g∈G，x∈X，若 g(x)=x， 则称x为g的一个不动点(fixpoint)。 以x为不动点的所有群元素的集构成的子群 Gx=StabGx={g|g∈G，g(x)=x} 称为x的稳定子群(Stabilizer)。 关于稳定子群及其轨道的关系有如下性质: 性质1 轨道公式 |Ox|=[G:StabGx] (=[G:Gx]) 性质2 由轨道公式和拉格朗日定理可得: |G|=|Ox||StabGx|， 从而若|G|=n，则 |Ox| |n， |G|= [G : StabG x]
xG
性质3 同一轨道上的元素的稳定子群是互相共轭的: Gg(a)=gGa g-1 性质4 伯恩赛德(Burnside)定理:设有限群G作用于有限集 X上，则X在G作用下的轨道数目为 1 N= G X ( g ) gG 其中X(g)是元素g在X上的不动点数目，和式是对每 一个群元素求和。 特别地，考虑有限群G在G上的共轭作用，则 StabGx={g|g∈G, gxg-1=x}={g|g∈G, gx=xg}=C(x) 为x在G中的中心化子.由性质1, 2可得群方程（类方程） |G|=∑[G:C(x)] 注意到x∈C时,C是G的中心,C(x) = G, [G:C(x)] =1,从而得 |G|= |C|+ ∑[G:CG(x)] 此处∑下的CG(x) 不等于 G.群方程在讨论有限群时很有用.
§2.5 群在集合上的作用
(2.5 Effect of Group on Set)
本节介绍的群在集合上的作用的概念和理论， 是群的某些应用的理论基础，也是分析有限群结构 的有力工具。
2.5.1 群在集上的作用(Effect of Group on Set)
引例: 设X={1,2,…,n}，G是X上的一个置换群。 任取g∈G和x∈X，称g(x)为群G的元素g对x的作用， 并称群G作用在集合X上，X为目标集。这里,记号 g(x)表示群元素g所对应的X上的可逆变换。 置换群对目标集的作用这一概念可以推广到一 般的群上。
例3. 设G是一个群，Ω是G的所有子群的集合: Ω={ H|H≤G }， 定义G在Ω上的作用为: G(H)=gHg-1 (G → Ω ) 则它满足定义中的两个条件。这种作用称为G对其子群 集Ω的共轭作用。
2.5.2 轨道与稳定子群(Orbit and Stable Subgroup)
定义:设Ω为目标集，群G作用Ω上，x∈Ω，则集合 Ox={ g(x) | g∈G } 称为Ω在G作用下的一个轨道(orbit)，x为此轨道的代表 元。 例1. 考虑G在G上的共轭作用，此时 Ox={ g(x) | g∈G }， 常称它为x的共轭类。
由轨道的定义易得如下性质:使g(a)=b 则～是Ω中的等价关系，且每一个等价类 a 就 是一个轨道Ox。 性质2 b∈Ox Ox= Ob，即轨道中任一元素都有资 格作为代表元。 性质3 {Ox|x∈Ω}构成Ω的一个划分，因而有 |Ω|= ox 。