【原创】初高中数学衔接知识(因式分解)
2025年初升高衔接数学强化训练-衔接点01-十字相乘法因式分解(含解析)
衔接点01十字相乘法因式分解的强化训练（原卷版）【基础内容与方法】二次三项式的概念（1）多项式c bx ax ++2，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．类型一：对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：652++x x .例2：分解因式：672+-x x .考点练习：分解因式1.24142++x x2.36152+-a a3.542-+x x 4.2524x x +- 5.22-+x x 6.1522--y y 7.24102--x x 8.2422-+x x类型二：对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=如：二次项系数不为1的二次三项式cbx ax ++2条件：（1）21a a a =1a 1c （2）21c cc =2a2c（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例3：分解因式101132+-x x 考点练习：分解因式1.6752-+x x2.2732+-x x 3.317102+-x x 4.101162++-y y 5.yxy x 121752-- 6.224715y xy x -+7.22254341y xy x --8.ax a x ++-)12(229.5)6(11)6(222++-+x x x x类型三：十字相乘法的进阶（一）换元法与十字相乘法综合例4：分解因式262234+---x x x x 考点练习：选用适当的方法分解因式1.673676234+--+x x x x2.)(2122234x x x x x +++++3.144234+++-x x x x （二）待定系数法例5：如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.例6：分解因式613622-++-+y x y xy x .考点练习：1.选用适当的方法分解因式（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .2.当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.3．已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.衔接点01十字相乘法因式分解的强化训练（解析版）【基础内容与方法】二次三项式的概念（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2-7(ab)+3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x+y 看作一个整体，就是关于x+y 的二次三项式．类型一：对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：652++x x 【答案】)3)(2(++x x 【解析】将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.解：652++x x =32)32(2⨯+++x x =)3)(2(++x x 例2：分解因式：672+-x x 【答案】)6)(1(--x x【解析】解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x =)6)(1(--x x 考点练习：分解因式1.24142++x x2.36152+-a a3.542-+x x 解：原式=)2)(12(++x x 原式=)3)(12(--a a 原式=)1)(5(-+x x 4.2524x x +- 5.22-+x x 6.1522--y y 原式=)3)(8(-+x x 原式=)1)(2(-+x x 原式=)3)(5(+-x y7.24102--x x 8.2422-+x x 原式=)2)(12(+-x x 原式=)4)(6(-+x x 类型二：对于二次项系数不是1的二次三项式如：二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2.条件：（1）21a a a =1a 1c ，（2）21c c c =2a 2c ，（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=.分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++.例3：分解因式101132+-x x .分析：解：101132+-x x =)53)(2(--x x .考点练习：分解因式1.6752-+x x 2.2732+-x x 3.317102+-x x 解：原式=)2)(35(+-x x 原式=)2)(13(--x x 原式=)32)(15(--x x 4.101162++-y y 5.2212175y xy x -- 6.224715y xy x -+原式=)52)(23(+-+x x 原式=)4)(35(y x y x -+原式=)45)(3(y x y x +-7.22254341y xy x --8.a x a x ++-)12(22原式=)2)(5(41y x y x +-原式=))(12(a x x --9.5)6(11)6(222++-+x x x x 原式=)1)(56)(1212(2+--+x x x x 类型三：十字相乘法的进阶（一）换元法与十字相乘法综合例4：分解因式262234+---x x x x 解：原式=)2162(222x x x x x +---=[]61(1(2222-+-+x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t xx∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x 考点练习：选用适当的方法分解因式1.673676234+--+x x x x 解：原式=)673676(222xx x x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+3617)1(6222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y x x ∴原式=)2476(22--y y x =)32)(83(2+-y y x =)322)(833(2+---x x x x x =()()23238322-+--x x x x =()()3)(212)(13-+-+x x x x 2.)(2122234x x x x x +++++解：原式=1232(222x x x x x ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++3)1(2)1(222x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t x x ∴原式=[]32)222++-t t x （=()1222++t t x =()221+t x =2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x =()221++x x 3.144234+++-x x x x 解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x设y x x =-1，则21222+=+y x x ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----x x x x x =()()13122----x x x x （二）待定系数法例5：如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.【答案】解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++，则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ，∴b a +=21.【解析】823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式.例6：分解因式613622-++-+y x y xy x .【答案】解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【解析】原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++.考点练习：1.选用适当的方法分解因式（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 2.当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.【答案】解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++，∵))((b y x a y x +-++=ab y a b x b a y x +-+++-)()(22，∴6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=123m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a .∴当m =-1时，)2)(3(65652222+--+=-+--=-++-y x y x y x y x y mx y x ；当m =1时，)3)(2(65652222+--+=-++-=-++-y x y x y x y x y mx y x .【解析】原式的前2项22y x -可以分为))((y x y x -+，则原多项式必定可分为))((b y x a y x +-++.3．已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.【答案】解：设p y x y xy x +-+--1463222=)3)((b y x a y x +-++，∵)3)((b y x a y x +-++=ab y a b x b a y xy x +-+++--)3()(3222，∴p y x y xy x +-+--1463222=ab y a b x b a y x +-+++-)3()(22，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+p ab a b b a 1436，解得⎪⎩⎪⎨⎧===515p b a .∴当p =5时，=+-+--p y x y xy x 1463222)13)(5(+-++y x y x .【解析】原式的前3项2232y xy x --可以分为)3)((y x y x -+，则原多项式必定可分为)13)(5(+-++y x y x .。
初高中数学衔接教材：第3课 因式分解(1)及答案
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．一、提取公因式法例13x2－6x＋3.二、公式法例2(1)8＋x3；(2)x2＋2xy＋y2－z2.三、分组分解法例3(1)2ax－10ay＋5by－bx；(2)x3－x2＋x－1.四、配方法例4(1)x2＋6x－16；(2)x2＋2xy－3y2.五、拆项添项法例5(1)x3－3x2＋4；(2)x3－2x＋1.六、求根公式法例6(1)x2－x－1；(2)2x2－3x－1.七、十字相乘法(1)x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解我们来讨论x2＋(p＋q)x＋pq这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，它的特点是(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．对这个式子先去括号，得到x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，于是便会想到继续用分组分解法分解因式，即x2＋px＋qx＋pq＝(x 2＋px )＋(qx ＋pq )＝x (x ＋p )＋q (x ＋p )＝(x ＋p )(x ＋q )．因此，x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )．运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例7 把下列各式分解因式：(1)x 2＋3x ＋2；(2)x 2－x －20；(3)x 2－52x ＋1；(4)x 2＋11x ＋24. 八、ax 2＋bx ＋c 型因式分解我们知道，(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)＝a 1a 2x 2＋a 1c 2x ＋a 2c 1x ＋c 1c 2＝a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2.反过来，就得到a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)．我们发现，二次项的系数a 分解成a 1×a 2，常数项c 分解成c 1×c 2，并且把a 1，a 2，c 1，c 2排列如图：，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于ax 2＋bx ＋c 的一次项系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1位于上图上一行，a 2，c 2位于下一行．像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例8 (1)6x 2＋5x ＋1；(2)6x 2＋11x －7；(3)42x 2－33x ＋6；(4)2x 4－5x 2＋3；(5)2t 6－14t 3－16.1．把下列各式分解因式：(1)a 3＋27；(2)8－m 3；(3)－27x 3＋8；(4)－18p 3－164q 3；(5)8x 3y 3－1125；(6)1216x 3y 3＋127c 3.2．把下列各式分解因式：(1)xy3＋x4；(2)x n＋3－x n y3；(3)a2(m＋n)3－a2b3；(4)y2(x2－2x)3＋y2.3．把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋37x＋36；(3)x2＋11x－26；(4)x2－6x－27；(5)m2－4mn－5n2；(6)(a－b)2＋11(a－b)＋28.4．把下列各式分解因式：(1)ax5－10ax4＋16ax3；(2)a n＋2＋a n＋1b－6a n b2；(3)(x2－2x)2－9；(4)x4－7x2－18；(5)6x2－7x－3；(6)t6－9t3＋8；(7)7(a＋b)2－5(a＋b)－2；(8)(6x2－7x)2－25.5．把下列各式分解因式：(1)3ax－3ay＋xy－y2；(2)8x3＋4x2－2x－1；(3)5x2－15x＋2xy－6y；(4)4a2－20ab＋25b2－36；(5)4xy＋1－4x2－y2；(6)a4b＋a3b2－a2b3－ab4；(7)x6－y6－2x3＋1；(8)x2(x＋1)－y(xy＋x)．答案精析例1 解 3(x 2－2x ＋1)＝3(x －1)2例2 解 (1)(x ＋2)(x 2－2x ＋4)．(2)(x ＋y )2－z 2＝(x ＋y ＋z )(x ＋y －z )．例3 解 (1)2a (x －5y )－b (x －5y )＝(x －5y )(2a －b )．(2)x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)．例4 解 (1)(x ＋3)2－25＝(x ＋8)(x －2)．(2)(x ＋y )2－(2y )2＝(x ＋3y )(x －y )．例5 解 (1)x 3－2x 2－(x 2－4)＝x 2(x －2)－(x －2)(x ＋2)＝(x －2)2(x ＋1)．(2)(x 3－x )－(x －1)＝(x －1)(x ＋1＋52)(x －－1＋52)． 例6 解 (1)(x －1＋52)(x －1－52)． (2)(x －3＋174)(x －3－174)． 例7 解 (1)(x ＋1)(x ＋2)；(2)(x ＋4)(x －5)； (3)(x －2)(x －12)；(4)(x ＋8)(x ＋3)． 例8 解 (1)(2x ＋1)(3x ＋1)；(2)(2x －1)(3x ＋7)；(3)(6x －3)(7x －2)；(4)2(x ＋62)(x －62)(x ＋1)·(x －1)；(5)2(t －2)(t 2＋2t ＋4)(t ＋1)(t 2－t ＋1)． 强化训练1．解 (1)(a ＋3)(a 2－3a ＋9)；(2)－(m －2)(m 2＋2m ＋4)；(3)(2－3x )(9x 2＋6x ＋4)；(4)－18(p ＋q 2)·(p 2－12pq ＋q 24)；(5)(2xy －15)(4x 2y 2＋25xy ＋125)；(6)(16xy ＋13c )(136x 2y 2－118xyc ＋c 29)＝127(12xy ＋c )(x 2y 24－12xyc ＋c 2)． 2．解 (1)x (x ＋y )(x 2－xy ＋y 2) (2)x n (x －y )(x 2＋xy ＋y 2) (3)a 2(m ＋n －b )[(m ＋n )2＋b (m ＋n )＋b 2] (4)y 2(x －1)2(x 4－4x 3＋3x 2＋2x ＋1)．3．解 (1)(x －1)(x －2)；(2)(x ＋1)(x ＋36)；(3)(x ＋13)(x －2)；(4)(x ＋3)(x －9)；(5)(m ＋n )(m －5n)；(6)(a－b＋4)(a－b＋7)．4．解(1)ax3(x－2)(x－8)；(2)a n(a＋3b)(a－2b)；(3)(x＋1)(x－3)(x2－2x＋3)；(4)(x＋3)(x－3)·(x2＋2)；(5)(3x＋1)(2x－3)；(6)(t－1)(t－2)(t2＋t＋1)(t2＋2t＋4)；(7)[7(a＋b)＋2][(a＋b)－1]；(8)(2x＋1)(3x－5)(6x2－7x＋5)．5．解(1)(x－y)(3a＋y)；(2)(2x－1)(2x＋1)2；(3)(x－3)(5x＋2y)；(4)(2a－5b＋6)(2a－5b－6)；(5)(1＋2x－y)(1－2x＋y)；(6)ab(a－b)(a＋b)2；(7)(x3＋y3－1)(x3－y3－1)；(8)x(x－y)(x＋y＋1)．。
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
初高中数学衔接知识(因式分解)1
1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q)
x2 ( p q)x pq ( x p)( x q)
【例6】因式分解：(1)x2 7x 6 (2)x2 13x 36
一、公式法(立方和、立方差公式)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x3
(2) 0.125 27b3
解 : (1) 8 x3 23 x3 (2 x)(4 2x x2 ).
如何学好高中数学
全椒慈济中学高一数学 备课组
2020年7月18日星期六
高中数学与初中数学的差异
1、内容多进度快； 2、更为抽象； 3、更加强调数学思想方法的应用；
（化归） 4、更加强调自学；
2020年7月18日星期六
学好高中数学还需注意以下几点：
1、培养良好的学习兴趣
孔子说过： “知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”
解 : (1)x2 7 x 6 [x (1)][ x (6)] ( x 1)( x 6). (2)x2 13x 36 ( x 4)( x 9).
【例7】因式分解：(1)x2 xy 6 y2 (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12
解 : (1)x2 xy 6 y2 x2 yx 62 ( x 3 y)( x 2 y). (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12 ( x2 x 6)( x2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).
初高中数学衔接知识(因式分解)
#43; 6 x − 16 】因式分解：
(2)x 2 + 4 xy − 4 y 2
解 : (1)x 2 + 6 x − 16 = ( x + 3)2 − 52 = ( x + 8)( x − 2).
(2)x 2 + 4 xy − 4 y 2 = ( x 2 + 4 xy + 4 y 2 ) − 8 y 2
(1) 8 + x 3 (2) 0.125 − 27b 3
解 : (1) 8 + x 3 = 23 + x 3 = ( 2 + x )( 4 − 2 x + x 2 ).
( 2) 0.125 − 27b3 = 0.53 − (3b)3 = (0.5 − 3b)[0.52 + 0.5 × 3b + (3b)2 ] = (0.5 − 3b )(0.25 + 1.5b + 9b 2 ).
或a 7 − ab 6 = a (a 6 − b6 ) = a(a 2 − b 2 )(a 4 + a 2b 2 + b4 ) = a (a 2 − b 2 )[(a 2 + b 2 )2 − a 2b 2 ] = a (a + b )(a − b )( a 2 + ab + b 2 )( a 2 − ab + b 2 ).
2012年 2012年1月6日星期五
立方和、 一、公式法(立方和、立方差公式 公式法 立方和 立方差公式)
【例2】因式分解： 】因式分解：
(1) 3a 3 b − 81b 4 (2) a 7 − ab 6
解 : (1) 3a 3 b − 81b4 = 3b(a 3 − 27b 3 ) = 3b(a − 3b)(a 2 + 3ab + 9b 2 ).
初、高中衔接：因式分解总结
分 解 因 式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 说明：前面有*的供选用1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy ya b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．－1 －2 x x 图1．2－1－1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．*例3 因式分解：（双十字相乘法）22222(1)282143(2)534(3)2x xy y x y x y x y xy y x y +-++--+++++--3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1xx ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11xx ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2xy =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．－1 1x y图1．2－5练 习1．选择题：（1）多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -（2）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（3）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 3．分解因式：（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2()()22222c ab a b c +-+（）·()()()422232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322a a -（）（5）8a 3－b 3； （6）x 2＋6x ＋8；（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）424139x x -+；()()422422292033710510596a ab b x x x x -+-+--（）（）*（11）2235294x xy y x y +-++-．*（12）222456x xy y x y +--+-．4．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．5．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。
2020年初升高数学衔接辅导之分解因式(含答案)
02 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项2 pq c 2式x2bx c ，若存在，则x2bx c x p x q .p q b要点诠释：（1）在对x2bx c 分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c 0，则p、q同号（若c 0，则p、q异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p、q的符号（2）若x2bx c中的b、c 为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为 1 的十字相乘法2在二次三项式ax2bx c（a≠0中），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a a1a2 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c c1c2 ，把a1，a2，c1，c2 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2 a2c1 ，若它正好等于二次三项式ax2bx c 的一次项系数b ，即a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x c1与a2x c2之2积，即ax bx c a 1x c 1 a 2x c 2 .要点诠释：（ 1）分解思路为 “看两端，凑中间 ”（2）二次项系数 a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子 分解因式． 法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形 . 由 ，； 分析：这个式子的常数项 ，一次项系数，所以 . 解： .请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）用两种方法分解因式： ；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如 x 2+（m+n ）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数 的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 x 2+（ m+n ）x+mn ＝（x+m ）（x+n ）．例如： x 2+5x+6＝x 2+（2+3） x+2×3＝（ x+2）（ x+3）． 运用上述方法分解因式： （1）x2+6x+8； （2）x 2﹣x ﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）．实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3＝（x＋2）（x＋3）．（1）尝试分解因式：x2＋6x＋8；（2）应用请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
3.初高中衔接—因式分解
高
中
衔
接
因式分解
因式分解的概念
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式。来自提公因式法换元法
公式法
求根公式法
长除法
余数定理法
十字相乘法
因式分解没有普遍的方法
对称多项式轮换对 称多项式法
拆项和添减项法 待定系数法
分组分解法 双十字相乘法
方法 1 提公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法。
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这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
方法 7 十字相乘法
方法 7 十字相乘法
方法 7 十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
New Semester，new Beginning
新学期展翅翱翔
ax ay ax y
方法 2 公式法 a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
方法 3 分组分解法
方法 4 配方法
方法 5 拆项添项法
初高中衔接材之 因式分解
二、因式分解2-1因式与倍式如同因子与倍数的概念，如果代数式A 可以写成代数式B 与代数式C 的乘积，即A =B ⨯C 。
此时，我们说B 与C 是A 的因式，而A 是B 与C 的倍式。
例如：由232(1)(2)x x x x ++=++，可知1x +与2x +皆为232x x ++的因式，而232x x ++为1x +与2x +的倍式；由22()()x y x y x y -=+-，可知x y +与x y -皆为22x y -的因式，而22x y -为x y +与x y -的倍式。
下面就让我们先从多项式的除法来认识因式与倍式。
【多项式的除法】在小学时，我们会以下列的长除法（直式算法）来求出58除以13的商数为4，余数6：同时，我们也知道：58=13 ⨯ 4+6类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法（长除法）；为了简化计算，也常使用分离系数法。
事实上，这两种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。
【范例1】求2(42)(1)x x x ++÷+的商式及余式。
4 13）58 52 6【解】 方法一：直式算法 方法二：分离系数法答：商式为3x +，余式为1-。
在自然数的除法，我们有下列的规则：其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。
同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则：其中，除式不为零多项式，商式的次数等于被除式的次数减去除式的次数，且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。
在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式 = 除式 ⨯ 商式+余式」的概念来验算。
例如： (1)(3)(1)x x +++- （除式⨯商式+余式）=2431x x ++- =242x x ++（被除式）【范例2】求32(255)(2)x x x x +++÷+的商式及余式。
【解】答：商式为2x 2+x -1，余式为7。
使用分离系数法时，当除式或被除式缺项时，需要补0。
初高中数学衔接因式分解
23 March 2017
二、分组分解法
2ax 10ay 5by bx 【例4】因式分解：
解 : ab(c 2 d 2 ) (a 2 b 2 )cd abc 2 abd 2 a 2cd b 2cd (abc 2 a 2cd ) (b 2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd (bc ad ) (bc ad )(ac bd ).
23 March 2017
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
【例8】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2
解 : (1)12 x 2 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1). ( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
23 March 2017
三、十字相乘法
1． x2 ( p q) x pq 型的因式分解
【例6】因式分解：(1) x 2 7 x 6
(2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
(2)x 2 13 x 36
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6).
(1)x 2 xy 6 y 2 (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 【例7】因式分解： 解 : (1)x 2 xy 6 y 2 x 2 yx 62 ( x 3 y )( x 2 y ). (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 ( x 2 x 6)( x 2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).
初高中知识衔接分解因式讲解与练习
初高中知识衔接分解因式讲解与练习知识要点1.因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．2.因式分解的方法:提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式)、配方法，十字相乘法，分组分解法，拆、添项法，求根法，待定系数法．３．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．４．十字相乘法：2()x p q x pq +++型的因式分解， 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a ca c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．类型一: 十字相乘法、例一: (1) 2524x x +- (2) 2215x x --(3) 21252x x -- (4) 22568x xy y +-（5）18112--x x ； (6) 222()8()12x x x x +-++（7）x 2＋x －(a 2－a ) （8）2(14)4ax a x +--类型二：求根公式法例二：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．类型三: 公式法与拆添项配凑方法例三：（1）4481y x -； （2）34381a b b - ；（3）4(1)(2)x y y y x -++- （4）22222b c ab ac bc ++++；（5）3234x x -+ （6）5-323x x +(7)423--x x （8）6y 7x 5y 2x y 3x 22+++++变式一：ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．当堂练习：1．已知三角形的三边a ，b ，c 满足2223()()b a b c ba a -+=-，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a ac b a c ---的值为（ ）A ．4B ．4-C ．12-D ．3-3．若多项式x 2﹣mx+n （m 、n 是常数）分解因式后，有一个因式是x ﹣2，则2m ﹣n 的值为_______．。
因式分解的拓展(精讲)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。
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二、分组分解法
【例4】因式分解 2x2 + 4xy +2y2 -8z2
解 : 2x2 4xy 2 y2 8z2 2( x2 2xy y2 4z2 ) 2[( x y)2 (2z)2 ] 2( x y 2z)( x y 2z).
三、十字相乘法
1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q)
x2 ( p q)x pq ( x p)( x q)
【例6】因式分解：(1)x2 7x 6 (2)x2 13x 36
(2)x2 2x 15 ax 5a
分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有 时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的 多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项 可以三、二组合.
解 : (1)原式 ( x2 2x 1)( x2 2x 8).
(2)原式 ( x2 2 x 15) (ax 5a)
【例8】因式分解：(1)12x2 5x 2
解 : (1)12x2 5x 2 (3x 2)(4x 1).
(2)5x2 6xy 8 y2
3 2
41
(2)5x2 6xy 8 y2 ( x 2 y)(5x 4 y).
1 2
5 4
三、十字相乘法
【例9】因式分解：
(1)( x2 2x) 7( x2 2x) 8
(2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b2 ).
一、公式法(立方和、立方差公式)
【例2】因式分解：
(1) 3a3b 81b4
(2) a7 ab6
解 : (1) 3a3b 81b4 3b(a3 27b3 ) 3b(a 3b)(a2 3ab 9b2 ).
二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的 多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上 的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也 没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组 处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法．分组分解法的关键在于如何分组．
【例3】因式分解：2ax 10ay 5by bx 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续 完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试．
我们发现，二次项系数
a
分解成
a1a2
，常数项
c
分解成
c1c2
，把
a1
,
a2
,
c1
,
c2
写成
a1 a2
c1 ，这里按 c2
斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2c1 ，那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
( x 1)( x2 4x 4) ( x 1)( x 2)2 .
说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组 分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分 解为止．
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解．
五、拆(添)项法
【例11】因式分解： x3 3x2 4
解 : x3 3x2 4 ( x3 1) (3x2 3)
( x 1)( x2 x 1) 3( x 1)( x 1) ( x 1)[( x2 x 1) 3( x 1)]
(2) a7 ab6 a(a6 b6 ) a(a3 b3 )(a3 b3 ) a(a b)(a2 ab b2 )(a b)(a2 ab b2 ) a(a b)(a b)(a2 ab b2 )(a2 ab b2 ).
或a7 ab6 a(a6 b6 ) a(a2 b2 )(a4 a2b2 b4 ) a(a2 b2 )[(a2 b2 )2 a2b2 ] a(a b)(a b)(a2 ab b2 )(a2 ab b2 ).
( x 3)( x 5) a( x 5)
( x 5)( x 3 a).
四、配方法
【例10】因式分解：(1)x2 6x 16 (2)x2 4xy 4 y2
解 : (1)x2 6x 16 ( x 3)2 52 ( x 8)( x 2). (2)x2 4xy 4 y2 ( x2 4xy 4 y2 ) 8 y2 ( x 2 y)2 8 y2 ( x 2 y 2 2 y)( x 2 y 2 2 y).
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要 的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公 式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相 乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x2 (a1c2 a2c1 )x c1c2 ．
反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 )
一、公式法(立方和、立方差公式)
a3 b3 (a b)(a2 方和(差)，等于这两个数的和(差)乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x3
(2) 0.125 27b3
解 : (1) 8 x3 23 x3 (2 x)(4 2x x2 ).
【例5】因式分解 ab(c2-d2)-(a2-b2)cd
解 : ab(c2 d 2 ) (a2 b2 )cd abc2 abd 2 a2cd b2cd (abc2 a2cd ) (b2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd(bc ad ) (bc ad )(ac bd ).
解 : (1)x2 7 x 6 [x (1)][ x (6)] ( x 1)( x 6). (2)x2 13x 36 ( x 4)( x 9).
【例7】因式分解：(1)x2 xy 6 y2 (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12
解 : (1)x2 xy 6 y2 x2 yx 62 ( x 3 y)( x 2 y). (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12 ( x2 x 6)( x2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).