【原创】初高中数学衔接知识(因式分解)

二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的 多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上 的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也 没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组 处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法．分组分解法的关键在于如何分组．
【例3】因式分解：2ax 10ay 5by bx 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续 完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试．
( x 3)( x 5) a( x 5)
( x 5)( x 3 a).
四、配方法
【例10】因式分解：(1)x2 6x 16 (2)x2 4xy 4 y2
解 : (1)x2 6x 16 ( x 3)2 52 ( x 8)( x 2). (2)x2 4xy 4 y2 ( x2 4xy 4 y2 ) 8 y2 ( x 2 y)2 8 y2 ( x 2 y 2 2 y)( x 2 y 2 2 y).
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解．
五、拆(添)项法
【例11】因式分解： x3 3x2 4
解 : x3 3x2 4 ( x3 1) (3x2 3)
( x 1)( x2 x 1) 3( x 1)( x 1) ( x 1)[( x2 x 1) 3( x 1)]
三、十字相乘法
1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q)
x2 ( p q)x pq ( x p)( x q)
【例6】因式分解：(1)x2 7x 6 (2)x2 13x 36
【例5】因式分解 ab(c2-d2)-(a2-b2)cd
解 : ab(c2 d 2 ) (a2 b2 )cd abc2 abd 2 a2cd b2cd (abc2 a2cd ) (b2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd(bc ad ) (bc ad )(ac bd ).
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要 的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公 式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相 乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．
我们发现，二次项系数
a
分解成
a1a2
，常数项
c
分解成
c1c2
，把
a1
,
a2
,
c1
,Leabharlann Baidu
c2
写成
a1 a2
c1 ，这里按 c2
斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2c1 ，那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
( x 1)( x2 4x 4) ( x 1)( x 2)2 .
说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组 分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分 解为止．
(2)x2 2x 15 ax 5a
分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有 时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的 多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项 可以三、二组合.
解 : (1)原式 ( x2 2x 1)( x2 2x 8).
(2)原式 ( x2 2 x 15) (ax 5a)
【例8】因式分解：(1)12x2 5x 2
解 : (1)12x2 5x 2 (3x 2)(4x 1).
(2)5x2 6xy 8 y2
3 2
41
(2)5x2 6xy 8 y2 ( x 2 y)(5x 4 y).
1 2
5 4
三、十字相乘法
【例9】因式分解：
(1)( x2 2x) 7( x2 2x) 8
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x2 (a1c2 a2c1 )x c1c2 ．
反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 )
解 : 2ax 10ay 5by bx 2a( x 5 y) b( x 5y) ( x 5y)(2a b).
二、分组分解法
【例4】因式分解 2x2 + 4xy +2y2 -8z2
解 : 2x2 4xy 2 y2 8z2 2( x2 2xy y2 4z2 ) 2[( x y)2 (2z)2 ] 2( x y 2z)( x y 2z).
解 : (1)x2 7 x 6 [x (1)][ x (6)] ( x 1)( x 6). (2)x2 13x 36 ( x 4)( x 9).
【例7】因式分解：(1)x2 xy 6 y2 (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12
解 : (1)x2 xy 6 y2 x2 yx 62 ( x 3 y)( x 2 y). (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12 ( x2 x 6)( x2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).
一、公式法(立方和、立方差公式)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x3
(2) 0.125 27b3
解 : (1) 8 x3 23 x3 (2 x)(4 2x x2 ).
(2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b2 ).
一、公式法(立方和、立方差公式)
【例2】因式分解：
(1) 3a3b 81b4
(2) a7 ab6
解 : (1) 3a3b 81b4 3b(a3 27b3 ) 3b(a 3b)(a2 3ab 9b2 ).
(2) a7 ab6 a(a6 b6 ) a(a3 b3 )(a3 b3 ) a(a b)(a2 ab b2 )(a b)(a2 ab b2 ) a(a b)(a b)(a2 ab b2 )(a2 ab b2 ).
或a7 ab6 a(a6 b6 ) a(a2 b2 )(a4 a2b2 b4 ) a(a2 b2 )[(a2 b2 )2 a2b2 ] a(a b)(a b)(a2 ab b2 )(a2 ab b2 ).