误差的种类及其表示方法
误差的种类及相关概念
误差的种类及相关概念误差是指测量值与真实值之间的差异。
在科学研究、工程设计、统计分析等领域中，误差是不可避免的。
了解误差的种类和相关概念对于准确分析数据、评估实验结果以及有效解决问题至关重要。
下面将详细介绍误差的种类及相关概念。
1. 绝对误差（Absolute Error）：绝对误差是指测量值与真实值之间的差异，用符号X−X_0 表示，其中X为测量值，X_0为真实值。
绝对误差可以为正或负，表示测量值相对于真实值的偏差。
但绝对误差不能直接反映测量的准确度。
2. 相对误差（Relative Error）：相对误差是绝对误差与真实值之间的比率，用符号(X−X_0)/X_0 表示。
相对误差可以通过将绝对误差除以真实值得到，用于比较不同尺度的测量结果的精度。
相对误差通常以百分数的形式表示，如0.05表示5%的相对误差。
3. 百分误差（Percentage Error）：百分误差是相对误差乘以100，表示为((X−X_0)/X_0)×100% 。
百分误差常用于比较实验结果与理论值之间的差异。
例如，一个实验结果的百分误差为1%，表示实验结果与理论值之间的差异为真实值的1%。
4. 绝对相对误差（Absolute Relative Error）：绝对相对误差是相对误差的绝对值，用符号((X−X_0)/X_0) 表示。
绝对相对误差通常用于比较测量值与真实值之间的差异，并用于评估测量的准确度。
5. 系统误差（Systematic Error）：系统误差是由于测量仪器、实验设计或操作方式等固有的问题而导致的偏差。
系统误差是一种具有一致性的误差，会使所有测量结果都出现偏差。
例如，仪器的刻度不准确、环境温度变化等都可能引起系统误差。
系统误差与测量值之间的关系可以通过校正或修正来降低。
6. 随机误差（Random Error）：随机误差是由于测量过程中的偶然因素而引起的不确定性。
随机误差是不可避免的，通常表现为测量结果的波动。
10 误差分类与处理方法
2 误差分类与处理
2）相对误差
相对误差：绝对误差与被测量真值的比值，常用百
分数表示，即
x 100%
x0
相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。在上面的例子中10.001 100% 10
0.01%
2
0.01 100% 200
0.005%
显然，后一种长度测量仪表更精确。
2 误差分类与处理
测量条件
引•起误 在实际相同条件下，对同一被测量进行多次等精度测
差的原
因 量时，由于各种随机因素（如温度、湿度、电源电压波
动、磁场等）的影响，各次测量值之间存在一定差异，
这种差异就是随机误差。
误差特点
•
特点：随机误差表示了测量结果偏离其真实值的分
散情况。一般分布形式接近于正态分布。
•
消除方法：可采用在同一条件下，对被测量进行足
误差分类与处理方法
梁长垠 教授
误差分类与处理方法
1
误差基本概念
2 误差分类与处理
3
1 误差基本概念
• 一、误差概念 • 真值（True value） ：任何一个量的绝对准确
值。
• 约定真值：与真值的差可以忽略而可以代替真 值的值。
• 误差（error） ：用测量仪表对被测量进行测 量时，测量的结果与被测量的约定真值之间的 差。
为1.0的仪表，在使用时它的最大引用误差不超过±1.0％，也就
是说，在整个量程内它的绝对误差最大值不会超过其量程的±1％。
在具体测量某个量值时，相对误差可以根据精度等级所确定
的最大绝对误差和仪表指示值进行计算。
2 误差分类与处理
例1 一台测量仪表，其标尺范围为0－400℃。已知其绝对误
生物实验中常见的误差及其处理方法
生物实验中常见的误差及其处理方法2023年了，生物实验已经成为了不可或缺的科学技术领域。
但是，在生物实验中可能会出现各种误差，这些误差可能会对实验结果产生不良影响。
因此，科学家们需要认真面对这些误差，找出它们的成因，并采取相应的处理方法。
接下来，我们将详细讨论生物实验中常见的误差及其处理方法。
一、实验误差的种类1. 系统误差：指在同样的条件下所得到的实验结果有偏差，这种偏差与误差的来源有关。
例如：仪器误差、环境误差等。
这种误差往往是一成不变的，也就是说，它在不同的实验中所表现出来的偏差大小基本相等。
2. 随机误差：指在实验中由于所做的重复次数不同而产生的误差，这种误差往往是无规律可循的。
例如：人为操作时的不稳定性等。
二、实验误差的处理方法1. 减少误差来源：可以通过对使用的仪器设备进行定期的维护保养和校正等工作来减少误差的来源。
同时，在进行实验时，还需保证实验条件稳定、控制环境温度、湿度等因素。
2. 做多次实验并取平均值：多次重复实验会减少随机误差的影响，将多个实验结果取平均值，可以得到相对可靠的数据。
3. 回归分析：在进行实验数据处理的时候，可以采用回归分析的方法，将实验数据进行回归统计，并预测与模型偏差较大的实验结果。
三、实验误差的控制1. 特判处理：针对实验误差的特点，进行特判处理。
例如：去除极端值，对数据进行清洗等。
2. 引入对照组：如果实验时，发现实验组与对照组之间出现了差异，可以通过引入对照组的方式，来观察实验结果的正确性。
3. 重要性采样：可以在实验中采用高效的样本采样方法，从而提高实验数据的准确性。
总之，在生物实验中，误差的存在是不可避免的。
但是，如果我们能够认真分析误差来源、采取有效的处理方法，就能有效地减少误差带来的影响，获得可靠的实验结果。
科学家们应该不断总结实验误差的处理经验，为生物科学的进步和发展做出贡献。
误差的种类[精华]
![误差的种类[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/0d26c7c343323968001c92c7.png)
误差的种类[精华]误差分类及特性(一) 误差分类根据观测误差性质，可将其分为系统误差和偶然误差两类。
(1)系统误差在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果误差的出现在符号和大小相同或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。
系统误差对成果的影响具有规律性，可采取一定措施或采用改正公式消除或削弱其对观测成果的影响。
主要方法有:?在观测方法和程序上采取必要措施削弱其影响，如角度测量中，经纬仪盘左盘右观测，消除视准差、横轴误差和竖盘指标差等系统误差影响;水准测量i中的前后视距相等，消除视准轴和水准管轴不平行引起的角误差、地球曲率和大气折光对观测高差影响;?找出产生系统误差的原因，利用公式对观测值进行改正，如对钢尺量丈量距离，应加尺长改正、温度改正、地球曲率改正，以消除该三项系统误差影响等。
(2)偶然误差在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果误差的出现在符号和大小均不一致，即从表面上看，没有什么规律性，这种误差称为偶然误差，偶然误差又称为随机误差。
偶然误差是由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件中气温、湿度、风力、明亮度、大气等的影响产生的。
例如用刻至1mm的钢尺，只能估读到十分之一毫米，读数时可能偏大，也可能偏小，从而产生读数误差，其对成果的影响符号和大小不具有预见性，对观测结果影响呈现出偶然。
测量工作过程中，除了上述两种误差外，还可能发生错误，即粗差，粗差不是观测误差。
粗差大多是由于是作业员疏忽大意造成的，如大数被读错、记错等。
为有效的发现粗差，采取必要的重复观测、多余观测、严格的检验、验算等措施，一经发现存在粗差，必须舍弃或进行重测，及时更正。
(二)偶然误差特性偶然误差，从单个误差看，其大小和符号没有规律性，即呈现出一种偶然性(随机性)，但随着观测个数的增多，则呈现出一定的明显的统计规律性。
下面通过事例来说明。
在某测区，在相同的条件下，独立地观测358个三角形的全部内角，由于观测值含有误差，各三内角观测值之和不等于其真值180?。
实验数据的误差与结果处理(精)
7
2.2 实验数据处理及结果评价 2.2.1 数理统计的几个基本概念
1. 总体(universe)（或母体）——分析研究的对象 的全体 2. 样本(swatch)（或子样）——从总体中随机抽取 一部分样品进行测定所得到的一组测定值 3. 个体(individual)——样本中的每个测定值xi 4. 样本容量(capacity of sample)（或样本大小）— 样本中所含个体的数目，用n表示
1 x (79.58 79.45 .... 79.38)% 79.50% 6
s
2018年9月28日7时8分
X
i X
2
n 1
0.09%
SX S / 6 0.04%
14
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.3 置信度与置信区间
偶然误差的正态分布曲线：
对于有限次测定,结果的平均 值与总体平均值 关系为 ： s x t sx x t n
5. 样本平均值
1 x xi n
6. 极差: 表示数据的分散程度
2018年9月28日7时8分
R xmax xmin
8
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.2 少量数据的统计处理 1. 平均偏差
平均偏差又称算术平均偏差，用来表示一组数据的精密度 平均偏差： 相对平均偏差：
1 1 d xi x d i n n
s——有限次测定的标准偏差 n——测定次数
t 值表 ( t——某一置信度下的几率系数)
置信度——真值在置信区间出现的几率 置信区间——以平均值为中心，真值出现的范围 讨论： 1. 置信度不变时: n 增加，t 变小，置信区 间变小 2. n不变时：置信度增加， t变大，置信区 间变大 2. n， t不变时：s增加，置信区间变大，准 确度降低 2018年9月28日7时8分
(完整版)测量误差的分类以及解决方法
测量误差的分类以及解决方法1、系统误差能够保持恒定不变或按照一定规律变化的测量误差，称为系统误差。
系统误差主要是由于测量设备、测量方法的不完善和测量条件的不稳定而引起的。
由于系统误差表示了测量结果偏离其真实值的程度，即反映了测量结果的准确度，所以在误差理论中，经常用准确度来表示系统误差的大小。
系统误差越小，测量结果的准确度就越高。
2、偶然误差偶然误差又称随机误差，是一种大小和符号都不确定的误差，即在同一条件下对同一被测量重复测量时，各次测量结果服从某种统计分布；这种误差的处理依据概率统计方法。
产生偶然误差的原因很多，如温度、磁场、电源频率等的偶然变化等都可能引起这种误差；另一方面观测者本身感官分辨能力的限制，也是偶然误差的一个来源。
偶然误差反映了测量的精密度，偶然误差越小，精密度就越高，反之则精密度越低。
系统误差和偶然误差是两类性质完全不同的误差。
系统误差反映在一定条件下误差出现的必然性；而偶然则反映在一定条件下误差出现的可能性。
3、疏失误差疏失误差是测量过程中操作、读数、记录和计算等方面的错误所引起的误差。
显然，凡是含有疏失误差的测量结果都是应该摈弃的。
解决方法：仪表测量误差是不可能绝对消除的，但要尽可能减小误差对测量结果的影响，使其减小到允许的范围内。
消除测量误差，应根据误差的来源和性质，采取相应的措施和方法。
必须指出，一个测量结果中既存在系统误差，又存在偶然误差，要截然区分两者是不容易的。
所以应根据测量的要求和两者对测量结果的影响程度，选择消除方法。
一般情况下，在对精密度要求不高的工程测量中，主要考虑对系统误差的消除；而在科研、计量等对测量准确度和精密度要求较高的测量中，必须同时考虑消除上述两种误差。
1、系统误差的消除方法(1)对测量仪表进行校正在准确度要求较高的测量结果中，引入校正值进行修正。
(2)消除产生误差的根源即正确选择测量方法和测量仪器，尽量使测量仪表在规定的使用条件下工作，消除各种外界因素造成的影响。
误差的种类及应用范围
误差的种类及应用范围误差是指测量值与真实值之间的差异。
在实际测量中，由于各种不确定因素的影响，我们无法获得完全准确的测量结果，因此误差是不可避免的。
误差可以分为系统误差和随机误差两种，并且在很多领域和应用中都有广泛的应用。
一、系统误差系统误差是由测量仪器、操作方法或环境条件等产生的，它会使得测量结果整体偏离真实值。
1. 仪器误差：指测量仪器固有的不精确性和不确定性造成的误差。
例如，某个仪表量程范围以外的测量，或者仪器故障引起的读数误差等。
2. 操作误差：指于实验过程中由于操作不当引起的误差。
例如，读数不准确、读取时间不恰当、操作不规范等。
3. 环境误差：指环境条件对测量结果产生的影响。
例如，温度、湿度、大气压力等的变化都会对测量结果产生一定的影响。
系统误差的应用范围广泛，主要用于校准和调整测量仪器、设备，以确保准确的测量结果。
在物理学、化学、生物学等科学领域中，准确的测量数据对于研究和实验的可靠性至关重要。
此外，在工程、制造等领域中，系统误差的减小可以提高产品的质量和可靠性。
二、随机误差随机误差是由于各种无法控制的因素引起的，其出现是由于实验或观测不可避免的偶然因素而导致的测量结果的波动。
1. 人为误差：由于个体观察水平的不同、操作失误、疲劳等原因，导致测量结果波动的误差。
2. 示例误差：由于事物本身的随机性导致的误差。
例如，在统计调查中，样本的选择是否代表性会影响结果的波动。
3. 环境条件：在测量过程中，环境因素的改变可能会导致测量结果的波动。
例如，在气象测量中，温度、湿度、风力等的变化会引起测量结果的波动。
随机误差的应用范围广泛，在统计学、概率论、实验设计等领域中具有重要作用。
在统计学中，通过对随机误差的研究和分析，可以确定信度区间和概率分布，从而对测量结果进行合理的估计和判断。
在实验设计中，通过对随机误差的控制，可以获得可靠和可重复的实验结果。
在很多实际应用中，系统误差和随机误差同时存在。
测量及实验误差分析
测量及实验误差分析在科学研究和工程实践中，测量和实验是非常重要的手段。
而在进行测量和实验的过程中，其结果会受到一定的误差影响。
因此，对误差的分析与评定显得尤为重要。
本文将介绍误差的种类，误差来源及其分析与评定方法。
一、误差的种类误差是测量或实验结果与所求量真实值之间的差异。
它是科学研究中无法避免的一种现象，它可能来自于测量仪器的不精确、环境的变化、测量者的技能等方面。
根据误差产生的原因，误差可以分为以下几种：1.系统误差系统误差也叫做固定误差。
它是由于测量仪器本身的不确定性或者测量装置的环境等因素引起的，具有确定的数值和方向，且在一段时间内不会改变。
系统误差会导致实验或测量结果全部或部分偏差，使数据呈现一种规则性的偏差。
2.偶然误差偶然误差也称为随机误差，由于测量仪器精度限制、读数精度、测量者技能不同等因素引起，不具有确定的数值和方向，并且在测量过程中随着不同条件的改变而改变。
偶然误差通常是由多种小误差的随机叠加产生的结果。
它的特点是偏差不规则性，可以采用统计学方法进行处理和修正。
二、误差来源及其分析误差来源众多，可以分为以下几个方面：1.测量仪器不精确测量仪器的精确度是测量误差的重要来源，因为它们在使用时都存在一定的误差，而且不同的测量仪器误差范围不同。
因此，在实验或测量中，应该充分了解所使用仪器的参数，以确定其误差范围。
2.环境影响环境可能会影响测量精度，例如温度、湿度、大气压力等因素。
对于对环境敏感的测量仪器来说，环境变化可能会导致仪器的精度发生变化，从而引起误差。
因此，在实验或测量中，应该尽可能消除和控制环境影响。
3.操作员技能操作员技能是影响实验和测量精度的重要因素。
不同的被试者在测量和操作过程中存在差异，造成测量结果的偏差。
因此，在进行实验和测量时，需要对操作员进行专业的培训和训练，以提高其操作技能。
4.数据的处理与分析数据的处理和分析也是引起误差的因素之一。
在数据处理过程中，可能会存在人为的误差或者程序设计错误等因素导致结果的不准确。
物理实验中的误差分析注意事项
物理实验中的误差分析注意事项在进行物理实验时，误差分析是一个非常重要的环节。
正确认识和处理误差，能够帮助我们更准确地得到实验结果，并且提高实验的可重复性和可靠性。
以下是物理实验中的误差分析注意事项。
一、误差的种类在物理实验中，误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是由于仪器、实验装置以及操作方法等因素引起的，这类误差在一定条件下是固定的，会导致测量结果呈现一定的偏差。
而随机误差是由于实验条件的不稳定因素引起的，这类误差是具有随机性的，会导致实验结果的繁复性。
二、误差的评估方法在误差的评估过程中，常用的方法有直接比较法、间接比较法、经验公式法和统计方法等。
直接比较法是指通过对同一实验进行多次测量，并对结果进行比较，来确定误差的大小。
间接比较法是指通过一些已知的物理定律或公式，来确定误差的大小。
经验公式法是通过实验经验总结得到的，这种方法要注意与实际情况的适用性。
统计方法则是通过测量一系列数据，并进行统计分析来确定误差的大小。
三、误差的处理方法在实验中，一旦发现了误差，我们需要对其进行处理。
对于系统误差，我们可以通过仪器校准或者选择不同的实验装置和操作方法以减小误差。
对于随机误差，我们可以进行多次测量，并计算平均值，以减小误差。
四、不确定度的计算在误差分析中，不确定度是一个非常重要的概念。
它用来表示测量结果与实际值之间的接近程度。
不确定度的计算通常包括直接不确定度和间接不确定度两部分。
直接不确定度是由于实验过程中的各种误差引起的，可以通过各种方法进行估计。
而间接不确定度是通过对测量结果进行误差传递的计算得出的。
五、误差分析的优化为了减小误差的影响和提高实验的可靠性，我们可以采取一些优化措施。
首先，合理选择仪器和装置，使用精密度高的设备可以减小系统误差。
其次，注意实验环境稳定，避免因外界因素引起的误差。
再次，进行多次测量，通过计算平均值来减小随机误差。
最后，交叉校验实验结果，用不同的方法进行测量，以提高数据的可靠性。
实验误差分析大全
实验误差分析大全测量值跟真实值之间的差异叫做误差。
任何测量结果都不可能绝对准确，误差是客观存在的，但用它可以衡量我们检测结果的准确度，误差越小，则检测结果的准确度越高。
同时，通过实验误差的分析，还能对日常检测工作进行质量控制。
一、误差常见术语及定义1准确度准确度指检测结果与真实值之间相符合的程度。
（检测结果与真实值之间差别越小，则分析检验结果的准确度越高）。
2.精密度精密度指在重复检测中，各次检测结果之间彼此的符合程度（各次检测结果之间越接近，则说明分析检测结果的精密度越高）。
3.有效数字我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。
把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。
有效数字指，保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数字。
有效数字的最后一位数值是可疑值。
举例1：0.2014为四位有效数字，最末一位数值4是可疑值，而不是有效数值。
举例2：1g、1OOOg其所表明的量值虽然都是1,但其准确度是不同的，其分别表示为准确到整数位、准确到小数点后第三位数值。
因此有效数值不但表明了数值的大小，同时反映了测量结果的准确度。
4.重复性重复性指在相同测量条件下，对同一被测量进行连续、多次测量所得结果之间的一致性。
重复性条件包括：相同的测量程序、相同的测量者、相同的条件下，使用相同的测量仪器设备，在短时间内进行的重复性测量。
5.再现性（复现性）在改变测量条件下，同一被测量的测定结果之间的一致性。
改变条件包括：测量原理、测量方法、测量人、参考测量标准、测量地点、测量条件以及测量时间等。
注意：通常再现性好，意味着精密度高。
精密度是保证准确度的先决条件，没有良好的精密度就不可能有高的的准确度，但精密度高准确度不一定高；反之，准确度高，精密度必然好。
二、误差的种类、来源和消除1系统误差定义：在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定或遵循一定规律变化的误差。
误差的分类及误差的避免
误差的分类及避免在分析检验工作中，最终目的是报出准确可靠的分析数据。
不准确的分析结果会导致产品报废，资源浪费，甚至在科学上得出错误结论。
分析过程中，即使技术很熟练的人，用同一方法对同一试样仔细进行多次分析，也不能得到完全一致的分析结果。
这就是说分析过程中误差是客观存在的。
因此，在进行定量测定时，必须对分析结果进行评价，判断其准确性，检查产生误差的原因，采取减小误差的有效措施，使测定结果尽量接近真值。
1、分析误差的分类根据误差产生的性质和原因，可以将误差分为系统误差，（随机）偶然误差，过失误差3类。
系统误差是可以检定和校正的，偶然误差是可以控制的，过失误差是完全可以避免的。
其中系统误差包括：1.1、方法误差：指方法本身造成的误差；如反应不能定量完成，沉淀溶解，络合物解离，副反应干扰，滴定终点不一致等。
1.2、仪器误差：由于仪器本身的局限而引起的误差；如天平不等臂，容量仪器刻度不准，砝码不准，PH计零点不对，分光光度计波长不准等。
1.3、试剂误差：由于试剂不纯而引起的误差；所用试剂含有被测物或含有干扰杂质，对痕量分析来说，这是一个大问题。
例如我们要在1mol/L KCl 底液中测定头发中的铅（含量5×10-7g/g）,取1g发样消化后溶解至50mL, 取5mL加 2mol/L的 KCl 溶液5mL进行测定。
优级纯（G.R.）的KCl中重金属含量（以铅计）为≤0.00005%, 试剂误差可能是多大？740%,厉害吧? 当然,重金属不一定是铅,我只是想说明一下,使用试剂要小心.1.4、操作误差：由于操作者操作不当而引起的误差；如分解试样总是不完全，读滴定管总是偏高，终点颜色观察总是偏深等。
1.5、环境误差：环境变化造成的误差；如室温升高，湿度加大等。
随机误差：随机误差来源于环境温度、湿度的变化，仪器性能的微小波动，电压的变化，大地振动，气压变化，操作者操作的微小差别等。
2、误差的描述2.1 真值某一物理量本身具有的客观存在的真实数据，即为该量的真值。
定量分析中的误差
二、 误差的表示方法
1.误差（error）
误差（E）是指测定值（x）与真实值（μ ）之间 的差。误差越小，表示测定结果与真实值越接近 ，准确度越高；反之，误差越大，准确度越低。
一般用绝对误差和相对误差来表示。 绝对误差E = xi – μ 相对误差RE = E/μ ×100%
2019/11/21
第一章 定量分析中的误 差与数据处理
第一节 定量分析中的误差
一、 准确度和精密度 二、误差的表示方法 三、误差的表示、种类、 性质、产生的原因及减 免
2019/11/21
§1.1 定量分析的误差
1.1.1 准确度和精密度
典型实例:甲、乙、丙三人同时测定一铁矿石中Fe2O3的含 量（真实含量以质量分数表示为50.36%），各分析四 次，测定结果如下：
10.37%；10.47%；10.43%；10.40% ，计算单次分析结果的 平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和变异系数。
解： 平均偏差d＝ di 0.18% 0.036%
n
5
相对平均偏差Rd d 0.036% 100% 0.35%
x 10.43%
标准偏差s
di2 8.6107 4.7 104 0.047%
特点：简单；
n
缺点：大偏差得不到应有反映。
标准偏差： S = [∑di2/(n -1)]0.5
特点：较大的偏差能够更显著地反映。
相对平均偏差 = d / X ×100% 相对标准偏差 ：（变异系数）CV% = S / X ×100%
2019/11/21
例题
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。 例: 两组数据 (1) X-X： 0.11, -0.73, 0.24, 0.51,
计算方法 第一章 误差
五、误差的传播与估计
1.误差估计的一般公式：（略） 2.误差在算术运算中的传播：大小相近的同号
数相减、乘数的绝对值很大以及除数接近于0 等，在数值计算中应设法避免。 3.前例的误差分析：从相对误差来看，前两种 算法比后两种大许多。
六、算法的数值稳定性
▪ 定义：凡一种算法的计算结果受舍入误差的 影响小者称它为数值稳定的算法。
y=1000的相对误差限分别为
r
(
x)
Байду номын сангаас
1 10
0.1，
r
(
y)
5 1000
0.005
r (x) r (y)
故y的精度比x高得多。
四、有效数字
★定义：若近似值x 的绝对误差限是某一位上 的半个单位，且该位直到 x的第一位非零数 字一共有n位，则称近似值 x有n位有效数字， 或说 精确x到该位。
※用四舍五入法得到的近似数都是准确到末位 的有效数字。
第一章 误差
一、误差的种类及其来源 二、绝对误差和绝对误差限 三、相对误差和相对误差限 四、有效数字 五、误差的传播与估计 六、算法的数值稳定性
一、误差的种类及其来源
1.描述误差：也称环境误差或模型误差 将复杂的物理现象抽象、归结为数学
模型，往往只得忽略一些次要的因素，从 而造成误差。 2.观测误差：也称初值误差
实际使用的初始数据往往都是通过人 们实际观察测量得来的，这些测得的数据 都只能是近似的，称为参数误差。
3.截断误差：
计算时只能完成有限次运算，需要对一些 无穷计算过程（如微分、积分、无穷级数求 和等）进行截断，即仅保留无穷过程的前段 有限序列而舍弃它的后段。
4.舍入误差：四舍五入所造成的误差。 ※前两种为非过失误差，无法避免；后两种为
测量误差的分类
测量误差的分类在物理实验中，对于待测物理量的测量分为两类：直接测量和间接测量。
直接测量可以用测量仪器和待测量进行比较，直接得到结果。
例如用刻度尺、游标卡尺、停表、天平、直流电流表等进行的测量就是直接测量。
间接测量则是不能直接用测量仪器把待测量的大小测出来，而要依据待测量与某几个直接测量量的函数关系求出待测量。
例如重力加速度，可通过测量单摆的摆长和周期，再由单摆周期公式算出，这种类型的测量就是间接测量。
（1）按照误差的表示方式可分为绝对误差、相对误差和引用误差等三种。
绝对误差被测量的测得值与其真值之差。
即：绝对误差=测得值一真值绝对误差与测得值具有同-量纲。
与绝对误差大小相等、符号相反的量称为修正值，即修正值=-绝对误差=真值-测得值从上式可知，含有误差的测得值加上修正值后就可消除误差的影响。
相对误差绝对误差对被测量真值之比的百分率。
即：相对误差可以比较确切地反映测量的准确程度。
例如，用两台频率计数器分别测量准确频率分别为f1=1000Hz和f2=1 000 000Hz的信号源，其绝对误差分别为△f1=1Hz和△f2=10Hz。
尽管△f2大于△f1，但并不能因此而得出对f1的测量较f2准确的结论。
经计算，测量f1的相对误差为0．1%，而测f2的相对误差为0．001%，后者的测量准确程度高于前者。
相对误差又叫相对真误差。
引用误差引用误差是一种简化的和实用的相对误差，常在多档量程和连续分度的仪器、仪表中应用。
在这类仪器、仪表中，为了计算和划分仪表准确度等级的方便，一律取该仪器的量程或测量范围上限值作为计算相对误差的分母，并将其结果特称为引用误差，即常用的电工仪表分为±0．1、±0．2、±0．5、±1．0、±1．5、±2．5和±5．0七级，就是用引用误差表示的，如±1．0级，表示引用误差不超过1．0%。
（2）按性质和特点可分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。
物理中误差的分类
物理中误差的分类
1. 系统误差呀，就像是导航一直给你指错路！比如说你用一把不准确的尺子去测量东西，每次测出来的结果都会有同样的偏差呢，这就是系统误差啦。
2. 随机误差呢，那可真是像天气一样变幻莫测啊！好比你抛硬币，每次得到正反面的结果都充满不确定性，这就是随机误差在捣鬼呀。
3. 粗大误差，哎呀，就好比你考试时不小心把答案写错地方一样明显的错误！比如你读数时看错了刻度，这就是个很严重的粗大误差呀。
4. 仪器误差，不就像你依赖的好朋友偶尔不靠谱嘛！仪器本身的精度限制导致的误差，就像是一个有点小毛病的朋友呀。
5. 环境误差，这就好像你在吵闹的环境中很难集中注意力一样影响你！比如温度、湿度的变化对测量结果产生的误差就是环境误差呢。
6. 人员误差，这不就是你自己不小心犯的错嘛！人在操作过程中产生的误差，就像你走路有时会不小心崴到脚一样呀。
7. 方法误差，就如同你选择了一条不好走的路去目的地！使用不恰当的测量方法导致的误差，想想都觉得挺无奈的吧。
我觉得呀，在物理中了解这些误差的分类太重要啦！只有清楚它们，才能更好地理解和处理测量中出现的各种问题呀，不然可就要被这些误差弄得晕头转向啦！。
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误差的种类及其表示方法
在土工测试中，由于测试者读数和记录的严重失误，或者由于仪器仪表的突然波动以及实验条件的突然变化，都会造成异常的测试结果。
通常，把是否超过三倍标准差作为剔除数据的依据。
每一剪切试验会得到一组c、φ的测试结果。
在进行数理统计时，如果发现一组测试结果中的c(或φ)值为异常数据，是把该c(或φ)值单拙剔除而保留其φ(或c)，还是应该把整纽c、φ值予以剔除?
在审查时经常发现一些勘察报告的物理力学性指标统计表中c和φ的数量不一致，估计是剔除数据时把c(或φ)异常值单独剔除而保留其φ(或c)。
我个人觉得不妥，因为是用一组数据，如有异常应一起剔除。
不知道这样理解对不对。
答复:
你的审图还是挺仔细的，你可以问问勘察单位为什么出现c和φ的数据量不一样的情况，同时进行正确的指导，虽然这不属于强制性条文的审查，但可以认为是一种指导和帮助吧。
你提出了资料整理的一个基本问题，即如何处理离散性比较大的数据，主要应该处理的是实测数据，而不是统计得到的指标。
试验数据是一种物理量，通常物理量的真值是不知道的，是需要测定的值。
但由于量测仪器、试验方法、试验环境、人的观察力和测量的程序等都不可能完美无缺，故真值是无法测得的。
实验科学中的真值定义为在无系统误差的条件下，用足够多次的观测，可以获得接近于真值的数值，即观测次数无限多时得到的平均值，一般称为最佳值。
观测值与真值之差称为误差。
误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三类。
系统误差是指测定中未被发觉或未被确认的因子所引起的误差。
引起系统误差的原因一般认为是由于仪器不良，如刻度不准、砝码未校正;试验环境的变化，如温度、压力、湿度的变化;操作人员的习惯，如习惯从侧面读数等。
可以用校正仪器，控制环境和改正不良习惯来消除系统误差。
偶然误差是指在已消除系统误差的条件下，但所测的数据仍在末一位或末二位数字上有差别，则称这种误差为偶然误差。
偶然误差的特点是时大时小，时正时负，方向不一定;偶然误差产生的原因不清楚，因此无法控制。
但如用同一精度的仪器，在同一条件下，对同一物理量作多次测量，若测量的次数足够多，则可发现偶然误差完全服从统计规律，偶然误差的算术平均值将逐渐接近于零。
偶然误差可以用误差理论进行处理。
过失误差又称粗差，是完全由人为因素造成，如粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等因素。
消除过失误差的方法是提高工作人员的责任感，健全工作制度，加强对数据的审核。
误差的表示方法通常有下列四种。
(1)范围误差
范围误差是指一组测量中最高值与最低值之差，表示最大的误差有多大，但不能作测定值之间的相互比较。
最大误差系数是范围误差与测定值的平均值之比。
这种表示方法的缺点只与两极端值有关，而与测量次数无关。
(2) 算术平均误差δ
算术平均误差由下式计算:
算术平均误差的缺点是无法表示出各次测量间离散的情况。
(3) 标准误差σ
标准误差也称为均方根误差，其定义为:
标准误差是一组测量中各个观测值的函数，而且对较大误差和较小误差都比较敏感，因此是表示测量精确度的较好的方法。
(4) 或然误差γ
或然误差的意义为:在一组测量中若不计正负号，误差大于或然误差的观测值与误差小于或然误差的观测值各占观测次数的50% 。
从或然积分可以导出:
由于粗差的存在，使实测数据离散性比较大，首先应该从数据的试验、采集上进行检查，剔除存在明显错误的数据。
如果发现不了错误的原因，就按3倍标准差原则剔除，其理论依据是大于或小于3倍标准差的数据出现的概率非常小，由此可以判为小概率的事件，即“不可能事件”由此可以删除。
在抗剪强度试验中，实测的误差反映在画强度包线时，有些点偏离太大，可能是因为试样密度有差异，或剪切面上夹砂，就应剔除这些试验点，一旦给出了c和φ的数值，在分别统计c和φ时发现某些指标的离散性比较大，这时再剔除指标就不应该了。
同时，客观上c 和φ的变异性本来就是不一样的，内聚力的变异性远大于内摩擦角，此时更不能再采用上述的数据处理原则来剔除统计结果的数据。