高中数学 指数函数教学案例 新人教A版必修1

《指数函数》教学案例
一、相关背景介绍
本课选自高中课程标准实验教科书《数学》（必修一）（苏教版）。

指数函数是高中新引进 的第一个基本初等函数，学生在初中里已经对一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质有了一定的了解，在引入指数函数前，又介绍了函数的概念、定义域值域、函数的表示方法，函数的单调性与奇偶性等知识。

因此，本节课先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。

课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。

本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。

二、本节课教学目标
1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.
2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。

3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.
4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质
三、课堂教学实录
一.问题情景
问题1.国王赏麦子的故事：古印度有个叫锡塔的大臣，他发明了一种棋，就是后来的国际象棋。

国王玩了，十分喜欢，决定重赏锡塔，锡塔说：“陛下，请您让人将麦子放在棋盘的六十四个格子内，第一格放2粒，第二格放4粒，第三格放8粒，第四格放16粒，……照这样放下去，每格比前一格多放一倍麦粒，直到把六十四个棋格放满就行了。

”那么第x 个格子放的麦子数y 怎样表示？
二.学生活动
1.思考问题1,2给出y 与x 的关系式
2.这两个关系式能否都构成函数呢?
3.这个函数的形式有什么特点？（变量在什么位置？）
三.数学理论
（一）定义:一般地,函数
x
y a =(0,1a a >≠)
叫做指数函数,它的定义域是R .
概念解析1:
为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）
⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.
⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)2-=
-. ⑶若1a =,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了.
所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.
问题１．已知函数(32)x y a =-为指数函数，求a 的取值范围．
概念解析２:
我们知道形如x y a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．注意它的形式特点。

问题2．判断下列表达式是否为指数函数？
⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶x y e =，⑷1()3x y =
⑸1x y =，⑹23x y =⋅，⑺3x y -=，⑻22x
x y +=
（二）图像 学生在同一直角坐标系中作出2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3x y =，13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图展示学生的作品，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）
x -３ 2- 1- ０ １ ２ ３
2x 18 14 12 １ ２ ４ ８
2x - ８ ４ ２ １ 12 14 18
3x 127 19 13 １ ３ ９ 27
3x - 27 ９ ３ １ 13 19 127
（三）性质
观察指数函数的图像，说出指数函数的性质：
层次一：能得到指数函数的定义域、值域、单调性、定点；
层次二：能观察到对称性，即函数x y a =与x
y a -=的图象关于y 轴对称；
层次三：图象的变化趋势与底数a 的关系；（先让学生观察得到关系，再通过几何画板演示）
层次四：取值情况（见下表）（这一点学生不一定能总结出来，若总结不出来，等讲例1（3）时再讨论） 01a << 1a >
图
象
性 质 定义
域 R R
值域 ()0,+∞ ()0,+∞
定点 ()0,1 ()0,1
单调
性 在(),-∞+∞上是减函数 在(),-∞+∞上是增函数
取值 情况 若0x >，则0()1f x << 若0x <，则1()f x < 若0x >，则()1f x >
若0x <，则0()1f x <<
对称
性 函数x y a =与x y a -=的图象关于y 轴对称
四.数学运用
例1.比较大小
⑴ 2.5 3.21.5,1.5 ⑵ 1.2 1.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8
解: ⑴考虑指数函数() 1.5x f x =.因为
1.51>
所以() 1.5x f x =在R 上是增函数.因为
2.5
3.2<
所以
2.5
3.21.5 1.5<
⑵可让学生模仿（1）完成
考虑指数函数()0.5x
f x =.因为 00.51<<
所以() 1.5x
f x =在R 上是减函数.因为 1.2 1.5->-
所以
1.2 1.50.50.5--<
⑶（通过几何画板先让学生观察0.3 1.21.5,0.8
的大小关系，发现前者大于1，后者小于1。

从而说明为什么与1比较。

）
由指数函数的性质知0.301.5 1.51>=，而
1.200.80.81<=
所以
0.3 1.21.50.8>
例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；
⑵已知0.225x
<，求实数x 的取值范围．
解：⑴因为31>，
所以指数函数()3x f x =在R 上是增函数．
由0.533x ≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞ ⑵因为00.21<<
所以指数函数()0.2x
f x =在R 上是减函数，因为 2
21250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭
所以 20.20.2x -<
由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞．
五.回顾小结
1．x
y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数．
2．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．
3．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．。