材料力学第六版答案第10章

第十章 组合变形的强度计算
10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。

（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲
弯心
（）
（）弯心
弯心
（）（）
斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲
“×”为危险点位置。

10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14
⨯=E 。

试确定①截面上中性轴的
位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。

解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN
59.215sin 10sin =⨯==ο
ϕP P z KN
43
1012
2015=⨯=
z J 4cm 3
310cm W z =
33
562512
1520cm J y =⨯=
3
750cm W y =
25.74
3
66.94
max =⨯=
=
l P M y z KN-M 94.14
3
59.24m ax =⨯==
l P M z y KN-M
MPa
W M W M y
y z z 84.9107501094.110101025.76
3
633max
max max
=⨯⨯+⨯⨯=+
=--σ 中性轴：
ο
ο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=--ϕαy z J J 2
849333
105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m
28
93
3310259.010
562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm
方向⊥中性轴：ο
47.25=α
10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。

材料许用应力[σ]=10MPa ，弹性模量E ＝10GPa ，设梁截面的宽度b 与高度h 之比为1：2。

①试选择梁的截面尺寸；②求自由端总挠度的大小和方向。

解：（I ）6.112m ax =⨯=P M z KN 6.120max =⨯=P M y KN
3
22326)2(6b b b bh W z === 3
323
1626b b bh W y === []6
33
133323m ax m ax m ax
1010106.1106.1⨯=≤⨯+⨯=+=σσb b W M W M Y y z z b = 9 cm ， h = 18 cm
（II ）cm m EJ P EJ P EJ P f z
z y 97.11097.1121313222
3232231=⨯⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-
h
b
P 2
20c m
15cm
ο1.81,305
.095.1tan ==
=ααy
z f f
10-4简支梁的受力及横截面尺寸如图示。

钢材的许用应力[σ]＝160 MPa ，试确定梁危险截面中性轴的方向与校核此梁的强度。

解：434
34
748.90912
6410321232cm bh d J z =⨯-⨯=-=ππ
434
34
748.94912
4610321232cm bh d J y =⨯-⨯=-=ππ
中性轴：
οο77.4345tan 748.949748.909tan tan tan
11-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--ϕαy z J J 危险点： cm z 918.677.43sin 10=⋅=*ο
cm y 221
.777.43cos 10=⋅=*ο
14114max =⨯=M KN m ⋅ 9
.945sin 9.945cos max max =⋅==⋅=ο
οM M M M z y
[]σσ≤=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=----MPa 69.15010
748.90910221.7109.910748.94910918.6109.98
23823max
10-5 图示简支梁的截面为⨯⨯（mm ）的等边角钢，若 P =25kN ，试求最大弯矩截面上A 、B 和C 点的弯曲正应力。

401180.04y J cm = ， 404554.55z J cm =
30322.06z W cm = ， 30146.55y W cm =
解：
MPa
z J M y J M m
KN
M M M m KN pl
M A y y
A z z A z y o O 2
.1461004.118010
95.601068.171055.455410
42.1411068.1768.1745cos 254
4
3
38
3
3
max -=⨯⨯⨯⨯-
⨯⨯⨯⨯-=⋅-⋅-
=⋅=⋅==⋅==
----σο
42.36-=⋅-⋅=
A y y A z z
C z J M y J M o
O σ MPa MPa z J M B y y B O
56.1201047.8010
04.11801068.173
8
3=⨯⨯⨯⨯=⋅=
--σ
10-6 旋臂式吊车梁为16号工字钢，尺寸如图所示，允许吊重 P =10kN ，材料的[σ]=160MPa 。

试校核吊车梁的强度。

解： B 点：
()KN
H H N KN
P H 76.3757.158.094.18
.094.157.1594
.194.108.1=⨯===+⨯=
No16 工字钢：21.26cm A = ，41130cm J z = ，3
141cm W z
()[]σσ
<=⨯⨯⨯+⨯⨯=+=--压MPa W M A N 1.9110
1411008.110101.261076.376
343max
10-7图示等截面构件的许用应力[σ]＝120 MPa ，矩形截面尺寸 ⨯，试确定许用载荷[P ]，并作危险截面上的应力分布图，指出最大应力发生在哪一点？
解：N = P
2
m ax
1060-⨯=P M , 32
667.416
105.2cm W =⨯=
225105.2cm A =⨯=
[]σ≤+W
M A N 60cm
KN N P 108.8810810667.4110601025110
1206246
==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯=---
最大应力点：
10-8悬重构架如图所示，立柱AB 系用No25a 的工字钢制成。

许用应力[σ]＝160 MPa ，在构架C 点承受载荷P ＝20kN 。

①绘立柱 AB 的内力图；②找出危险截面，校核立柱强度；③列式表示顶点B 的水平位移。

解：（i ）
图
图
（II ）
[]
σσ<=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=--MPa Pa W M A N 42.1531042.15310883.4011060105.48102066343m ax
(III) ()()→=-⨯⨯-⨯=
EJ
P EJ P EJ P f B 11769366392
3
s
10-9图示起重结构，A 及B 处可作铰链支承看待，C 、D 与E 均用销钉连结。

AB 柱的截面为20cm ⨯30cm 的矩形。

试求其危险截面上的最大正应力。

解： KN R A 6667
.166.3/4.225=⨯=
N = 25 KN
m KN M ⋅=⨯⨯-⨯⨯=20
104.2667.164.2102533m ax
206
.03.02.0M A =⨯=
22
003
.06
3.02.0M W =⨯=
Pa M W M A N 083
.7003
.0102006.0102533=⨯+⨯=+=σ
10-10有一等直实心圆杆，其B 端为铰支承，A 端靠在光滑的竖直墙面上（摩擦力可略去）如图示。

杆长L ，杆截面直径d ，已知杆的总重P 及倾角α。

试确定自A 点至由于杆自重产生最大压应力的横截面之距离S 。

解：设杆的自重为q （N/M ） 轴向分量：αsin ⋅q 横向分量：αcos ⋅q
C
B
60c m
0=∑B M
αααcot 2
1
sin 2cos ql l q R A =⋅⋅=
在S 截面：()S q ql S q R N A ⨯⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅=αααααsin cos cot 2
1
sin cos 22cos 2
1
sin cot 21)cos (21)sin ()(S q S ql S q S R s M A ⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅=ααααα
0=+=ds
d W M A N σσ，
()02sin cos sin cos 21sin cot 211sin 1
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯⨯
-⋅⋅⋅+⋅s q l q W q A ααααααα 00tan 8
2cot 82αα⋅+=+=
d
l d l S
10-11某厂房柱子，受到吊车梁的铅垂轮压P ＝220 kN ，屋架传给柱顶的水平力Q =8 kN ，及风载荷q ＝1kN/m 的作用。

P 力作用线离柱的轴线距离 e ＝，柱子底部截面为矩形，尺寸为⨯，试计算柱子底部危险点的应力。

解：
KN P N 220
==
m KN M ⋅=⨯-⨯+⨯=129
.575.984.02202
5.912max
MPa
W M A N 876.141.013.06
10129.573.01102202
33-=⨯⨯⨯±⨯⨯-=±-=σ
10-12简单夹钳如图示。

如夹紧力 P =6kN ，材料的许用应力[σ]=140MPa 。

试校核其强度。

解：
[]σσ<=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=---MPa Pa bh Peb A P 1301013010
321061066103210666
223432
10-13轮船上救生艇的吊杆尺寸及受力情况如图示，图中载荷W 系包括救生艇自重及被救人员重量在内。

试求其固定端A -A 截面上的最大应力。

解：
KN N 18=
m KN M ⋅=⨯=275.118
MPa W M A N 75.1601032
12
102710412101862
3423=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=--ππσ
10-14正方形截面拉杆受拉力 P ＝90kN 作用，a ＝5cm ，如在杆的根部挖去1／4如图示。

试求杆内最大拉应力之值。

形心位置：cm a a a e 179.13222
2=⨯⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⨯=
42242246
.3642212122cm e a a a e a a J z =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=
8
223423
m ax 106.36410)179.1252)(10179.11090(10531090)22(
----⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯=++=
z J e Pe A
P σ MPa Pa 72.251072.256
=⨯=
10-15承受偏心拉伸的矩形截面杆如图示，今用电测法测得该杆上、下两侧面的纵向应变1ε和2ε。

试证明偏心距 e 在与应变1ε，2ε在弹性范围内满足下列关系式
h
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
=
21
161bh Pe bh P E E
σε ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
=
221
261bh Pe bh P E E
σε bh P
E 2121⋅=
+∴εε bh
Pe
E 12121⋅=-εε
故
e h bh
P bh Pe ⨯==+-621222121εεεε 6
2121h
e ⨯+-=
∴εεεε
10-16图示正方形截面折杆：外力 P 通过A 和B 截面的形心。

若已知P ＝10kN ，正方形截面边长 a =60 mm 。

试求杆内横截面上的最大正应力。

解： BC 杆C 截面：
KN P N 611
.01010sin 3
=⨯
⨯=⋅=α m KN P M ⋅=⨯⨯=⨯⋅=8.46.01
8
.0106.0)cos (α
MPa Pa W M A N 1351013510
216108.46103610666
343max
=⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯=+=--σ AC 杆C 截面：
KN P N 8cos =⋅=α m KN P M ⋅=⨯⨯=⨯⋅=8.46.01
8
.0106.0)cos (α MPa Pa a M A N 6.135106.135103.13310
361066664
33max =⨯=⨯+⨯⨯=+=-σ
10-17试确定图示 T 字形截面的核心边界。

图中y 、z 两轴为截面形心主惯轴。

解： z
z
z z
z
y a z
e a z
e i i -
=-
=,
()23333.45840904060129040124060cm y i z
=⨯+⨯⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯+⨯=
()
2
2
32380040904060)9040(20124090)6040(30126040cm z i z
=⨯+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=
(1) 0,.2040800
=∞==--=z z y e a cm e
(2) 0,.33.1360800
=∞=-=-=z z y e a cm e
(3) 0185.104533
.458=-=-=y z e cm e
(4) 0185.104533
.458==-=y z e cm e
(5) 4.7108800
-=-=y e (6) 4.7-=y e 185.1045
33.458-=-=z e 185.10=z e
40
10-18材料为灰铸铁HT15－33的压力机框架如图示。

许用拉应力[+σ]＝30MPa ，许
用压应力[-σ]＝80 MPa 。

试校核框架立柱的强度。

解：
cm y z 05.45
2621029
)52(5
)62(1)102(=⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
2142,
95.5cm A cm
y ==
4
2323239.48795.410122595.062126205.3)102(12210cm J y =⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯=
[]+---<=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=σσMPa T M A N y z 85.26109.4871005.41089.2104210128
23432内
[]---<-=⨯⨯⨯⨯-⨯=-=σσMPa J M A N y z 38.3210
9.4871095.51089.21086.28
2361外
10-19电动机功率N ＝，转速n =800r/m 。

皮带轮直径D ＝250mm ，重量G ＝700N ，皮带拉
力为T 1，T 2（T 1＝2T 2），轴的外伸端长L =120mm ，轴材料的许用应力[σ]＝100MPa 。

试按第
题 10-18 图
四强度理论设计电动机轴的直径d 。

解：
()m KN n N D T D T T M n -
=⨯===⋅
-=1054.0800
83.855.955.922221 KN T 843.025
.01054
.022=⨯=
()()
KN
N T
G T
R 064.33064234337002843345
cos 345cos 32
3
2
2
22
==⎪
⎭⎫ ⎝⎛
⨯++⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯=++=
οο
m KN l R M -=⨯=⨯=368.012.0064.3
[]σσ≤+=
z
n xd W M M 2
275.0
[]
()
356
622
2
210379.010*********.075.0368
.075.0M M M W n z -⨯=⨯⨯+=
+=
σ
cm d 38.332
79.33
=⨯=π
10-20直径为60cm 的两个相同皮带轮，n ＝100 r ／m 时传递功率N ＝，C 轮上皮带是水平的，D 轮上是铅垂方向的。

皮带拉力T 2＝ kN ，T 1＞T 2，设轴材料许用应力[σ]=80MPa ，试根据第三强度理论选择轴的直径，皮带轮的自重略去不计。

解：
m KN n N M n ⋅=⨯==7029.0100
36.755.955
.9
()n M D T T =-2
21
KN D M T T n 843.36
.07029
.025.1221=⨯+=+
=
()m KN T T M B ⋅=⨯=⨯+=336.125.0343.525.021
m KN M D ⋅=+=493.1445.0425.122
[]
()
366
22
2
263.20108010703.0493
.1cm M M W n D z =⨯⨯+=
+=
σ
cm W d z
95.563
.2032323
3
=⨯==π
π
10-21图示钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮C 上作用着铅垂切向力P 1＝5kN ，齿轮D 上作用着水平切向力P 2＝10 kN 。

若［σ］＝100 MPa ，齿轮C 的节圆直径d C =30cm ，齿轮D 的节圆直径 d D ＝15cm 。

试用第四强度理论选择轴的直径。

解：
m KN d P M c
n ⋅=⨯=⨯
=75.015.052
1 ()
()
36
6
222
125.131********.075.01875.0125
.1cm W z =⨯⨯⨯++=
cm W d z
11.5125
.1332323
3
1=⨯==π
π
()()
36
6
222
2375.9101001075.075.0375.05625
.0cm W z =⨯⨯⨯++=
cm W d z
57.4375
.932323
3
2=⨯==π
π
10-22某型水轮机主轴的示意图如图所示。

水轮机的输出功率为N ＝37500kW ，转速n ＝150r ／m 。

已知轴向推力P y ＝4800kN ，转轮重W 1＝390kN ；主轴的内径d ＝34cm ，外径D ＝75cm ，自重W ＝285kN 。

主轴材料为45钢，其许用应力为[σ]＝80 MPa 。

试按第四强度理论校核主轴的强度。

解：
m KN M n ⋅=⨯
=5.2387150
37500
55.9 KN W W P N c y 54752853904800=++=++=
(
)()
22
2
2
2351.04
34.075
.04
m d D A =-=-=
ππ
()()
343
4
3
0793.0453.0116
75.0116
m a D W p =-⨯⨯=
-=
ππ
6.15351
.01054753=⨯==A N σ
MPa W M p n 1.300793
.0105.23873=⨯==τ
[]στσσ<=⨯+=+=MPa xd 4.541.3036.15322224
10-23图为某精密磨床砂轮轴的示意图。

已知电动机功率 N ＝3 kW ，转子转速 n ＝1400 r/m ，转子重量 Q 1＝101N 。

砂轮直径D ＝250 mm ，砂轮重量 Q 2＝275 kN 。

磨削力1:3:=z y P P ，砂轮轴直径d ＝50m ，材料为轴承钢，[σ]＝60MPa 。

（1）试用单元体表示出危险点的应力状态，并求出主应力和最大剪应力；（2）试用第三强度理论校核轴的强度。

解：
m N m KN n N M n ⋅=⋅=⨯==46.2002046.01400
355.955.9 n z M D
P =⋅
2
N D M P n z 68.16325
.046
.2022=⨯==
N P P z y 04.4913==
显然：21Q Q P P z y 和、、相较均可以忽略不计。

故 m N M ⋅=⨯⨯≈3575013.01000275m ax
[]σππσ>>=⨯⨯===
MPa d W M 291305.032
3575032
3575033m ax
P y
P z
Q 2
Q 2
10-24曲柄臂尺寸如图示，若 P ＝50 kN ，［σ］＝90 MPa ，试按第三强度理论对m -m 及臂矩形截面n -n 截面进行校核。

解：
m-m ：m KN P M n ⋅=⨯=⨯=5.817.05017.0
m KN P M ⋅=⨯+=-5.1210)90160(3
()
[]σππσ<=⨯⨯+⨯
=
+⨯MPa d
M M n xd 1.8912
.0105.125
.832323
6
22
3
2
23
n-n ：m KN P M n ⋅=⨯⨯=-5.410903 m KN P M ⋅=⨯⨯=-710
1403
MPa W M z 667.26106
15
710762
3
=⨯⨯⨯==-σ 14.270
150
==b h 79.0249.0{==ξa
MPa h ab M n
42.1910
715249.0105.479.06
23
2=⨯⨯⨯⨯⨯==-ξτ
[]στσσ<=⨯+=+=MPa xd 11.4742.194667.26422223
n
n
10-25图示传动轴左端伞形齿轮C 上所受的轴向力P 1= kN ，周向力P 2＝，径向力P 3＝。

右端齿轮D 上所受的周向力kN 9.144'2=P ，径向力kN 8.52'3=P ，若d =8cm ，[σ]=300MPa ，试按第四强度理论对轴进行校核。

解：
-
m KN M ⋅=+=95.124352.41716.1222m ax
MPa W M A N z 92.26063.257283.332
08
.01059.12408.0105.163
323m ax m ax
=+=⨯⨯+⨯⨯=+=ππσ D
3
MPa M M p n 92.3808.01610913
.33
3
=⨯⨯==πτ []στσσ<=⨯+=+=MPa xd 48.26992.38392.260322224 10-26正方形截面的半圆形杆，一端固定一端自由，作用力垂直干半圆平面。

其受力和尺寸如图所示。

试按第三强度理论求B 、C 截面上危险点的相当应力。

解：
B 截面：m KN M ⋅=⨯=2.02.01
m KN M n ⋅=⨯=2.02.01
MPa a M W M z 4.4410
3102.066623
3=⨯⨯⨯===-σ MPa W M k n 6.3510616.5102.06
3
=⨯⨯==-τ ()333616.53208.0cm a W k =⨯=⨯=α
MPa xd 90.834223
=+=τσσ C 截面：m KN M n ⋅=⨯=4.04.01
MPa W M k n 2.7110
616.5104.063
=⨯⨯==-τ
MPa xd 4.1422.71223=⨯==τσ。