人教版八年级上册数学：第十五章分式小结学案

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八年级数学上册第十五章分式本章小结学案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上册数学学案

第十五章分式本章小结学习目标1.建立起本章知识的框架图,形成这一章的完整知识体系.2.提高归纳和概括能力,形成反思自己学习过程的意识.3.借助例题与巩固练习(包括变式)提高分析问题、解决问题的实践能力,拓展思维.学习过程一、自主学习画出本章的知识“框架图”,形成本章知识体系二、深化探究★【例1】x 为何值时,下列分式(1)3x -4有意义?(2)x x -2无意义?(3)x 2-1x -1的值为零?问题1:(1)分式有意义的条件是什么? (2)分式无意义的条件是什么? (3)分式的值为零的条件是什么? (4)通过做此题,你认为应注意什么? ☆巩固练:当x 为何值时,下列分式的值为零? (1)x -1x +1;(2)(x -2)(x -3)x 2-9.★【例2】约分: (1)-16x 220xx;(2)4-x 2x 2-2x;(3)x 2-1x 2-x -2. 问题2:通过做这几道题,你认为约分应该注意什么?巩固练:按下列程序计算,最后输出的答案是()A.a 3B.a 2+1 C.a 2D.a变式练:请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式.a 2-1 ab-b b+ab★【例3】通分(1)14x 2,x 2xx ;(2)29-3x ,x -1x 2-9.问题3:通过做此题,你认为在通分时,应该注意什么?★【例4】计算 (1)x 2-xx x 2÷(x x -x x );(2)x 2+2x +1x 2-1-1x -1; (3)(-xx 2x )3÷(2x x )-2+12x .问题4:它们涉及哪些运算?它们的运算法则是什么?遵循怎样的运算顺序?☆巩固练:(1)化简:(1+4x 2-4)·x +2x ;(2)化简:2x -2x -3(-3x -1x 2)6x -1·(xx )-2.☆变式练:先化简代数式x -x x +2x ÷x 2-x 2x 2+4xx +4x 2-1,然后选择一个使原式有意义的a ,b 值代入求值.★【例5】解方程5x +2x 2+x=3x +1.问题5:解分式方程一般需要经过哪几个步骤?问题6:解分式方程为什么必须．．要检验?☆巩固练:解方程xx -2-1=1x 2-4.☆变式练:若方程x -3x -2=x2-x 无解,则m=.★【例6】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修,技术工人骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载着所需材料出发,结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的速度的1.5倍,求两种车的速度.三、练习巩固(一)解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如,原问题是“若矩形的两边长分别为3和4,求矩形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”;也可以是“若矩形的周长为14,求矩形面积的最大值”,等等.1.设A=3xx -2-xx +2,B=x 2-4x,求A 与B 的积;2.提出问题1的一个“逆向”问题,并解答. (二)观察下列等式11×2=1-12,12×3=12-13,13×4=13-14, 将以上三个等式两边分别相加得:11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34.1.猜想并写出:1x (x +1)=. 2.直接写出下列各式的计算结果: (1)11×2+12×3+13×4+…+12 014×2 015=; (2)11×2+12×3+13×4+…+1x (x +1)=. 3.探究并计算:12×4+14×6+16×8+…+12 014×2 016. 参考答案一、自主学习二、深化探究★【例1】(1)要使分式3x -4有意义,则x-4≠0,∴当x ≠4时,分式3x -4有意义. (2)要使xx -2无意义,则x-2=0.∴当x=2时,xx -2无意义.(3)要使x 2-1x -1的值为零,则x 2-1=0且x-1≠0,∴当x=-1时,分式的值为零.问题1:(1)分母不为零;(2)分母为零;(3)分子为零且分母不为零;(4)首先要注意审清题意,弄清三者的区别与联系,尤其是分式值为零的题目,常常在此设置陷阱.☆巩固练:(1)x=1;(2)x=2.☆变式练:由于x 2+1>0,因此,只要x+2>0即可,即x>-2. ★【例2】(1)-16x 220xx =-4x5x ; (2)4-x 2x 2-2x=(2+x )(2-x )x (x -2)=-x +2x; (3)x 2-1x 2-x -2=(x +1)(x -1)(x +1)(x -2)=x -1x -2. 问题2:若分子分母都是单项式,直接约去分子、分母中的公因式即可;若分子或分母是多项式要先因式分解,然后再将公因式约去.巩固练:C变式练:本题共有6种答案,选择其中之一解答即可.(1)x 2-1xx -x=(x +1)(x -1)x (x -1)=x +1x ;(2)x 2-1x +xx =(x +1)(x -1)x (1+x )=x -1x ; (3)xx -x x 2-1=x (x -1)(x +1)(x -1)=x x +1;(4)xx -x x +xx =x (x -1)x (x +1)=x -1x +1; (5)x +xx x 2-1=x (x +1)(x +1)(x -1)=x x -1;(6)x +xx xx -x =x (x +1)x (x -1)=x +1x -1. ★【例3】略问题3:将各分母因式分解(当分母已经是因式分解形态时,这步可以省略);寻找最简公分母;据分式基本性质,把各分式的分子、分母乘同一整式,化异分母为最简公分母. ★【例4】计算: (1)x 2-xx x 2÷(x x -x x )=x (x -x )x 2÷x 2-x 2xx =x (x -x )x 2×xx (x +x )(x -x )=xx +x; (2)x 2+2x +1x 2-1-1x -1=(x +1)2(x +1)(x -1)-1x -1=xx -1;(3)原式=-x 3x 38x 3·4x 2x 2+12x =-xx 32x +12x =-xx 42xx +x 2xx =x -xx 42xx.问题4:①分式的乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.xx ·x x =x ·xx ·x②分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子和分母颠倒位置后,再和被除式相乘.xx÷x x =x x·x x =x ·xx ·x.③同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.x x±x x =x ±xx.④异分母分式的加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,变成同分母分式,再加减.x x ±x x =xx xx ±xx xx=xx ±xx xx . ⑤分式的乘方法则:分式的乘方,把分子、分母分别乘方.用公式表示为(x x )x =x xx x .(n 为正整数)⑥负整数指数幂的运算性质:当n 是正整数时,a -n =1x x (a ≠0).⑦混合运算的顺序是:先乘除,后加减,同级运算按从左到右的顺序进行,有括号,先算括号内的.☆巩固练:(1)原式=x 2-4+4x 2-4×x +2x =x 2(x +2)(x -2)×x +2x =xx -2.(2)原式=2x -2x -3(-3x -1x 2)6x -1·(xx )-2=-2×36a -2+(-1)-(-1)-(-2)·b -3+2-(-2)=-a 0b=-b.☆变式练:x -x x +2x ÷x 2-x 2x 2+4xx +4x 2-1 =x -x x +2x ·(x +2x )2(x +x )(x -x )-1=x +2x x +x -x +xx +x =x +2x -x -xx +x =xx +x .当a=b=1时,原式=11+1=12.★【例5】原方程可化为5x +2x (x +1)=3x +1,去分母,得5x+2=3x ,解得x=-1. 经检验可知,x=-1是原方程的增根,∴原方程无解.问题5:①确定最简公分母;②去分母,即方程两边都乘以最简公分母,约去分母.化分式方程为整式方程;③解这个整式方程;④把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是增根,应舍去,使最简公分母不为零的根才是原方程的根.问题6:因为我们在去分母的变形过程中,需要乘以一个含未知数的整式(最简公分母),这样分式方程将转化为整式方程,如此一来,分式方程中分母不为0的限制被无形地取消了,使得未知数的X 围扩大了,若不进行“质检”,假冒伪劣产品要混入方程解的行列,而导致我们解题的错误.☆巩固练:原方程可化为x x -2-1=1(x +2)(x -2). 去分母,得x (x+2)-(x 2-4)=1. 整理,得2x=-3.解得x=-32. 经检验可知,x=-32是原方程的根.☆变式练:先去分母得x-3=-m ,显然这个关于x 的方程有解,即x=3-m ,这说明此解恰好使得原分式方程的分母为0(即它是原分式方程的增根),则可得x=2,代入x=3-m ,故m=1.★【例6】①摩托车走这30千米所用的时间-抢修车走这30千米所用的时间=1560(时)路程时间速度摩托车 30 30x x抢修车30301.5x 1.5x据此等量关系,可列方程30x -301.5x =1560②抢修车的速度=摩托车的速度×1.5路程时间速度摩托车 30 x 30x抢修车30x-156030x -1560据此等量关系,可列方程30x -15=30x ×1.5③速度×时间=路程路程时间速度摩托车 30 x 30x抢修车30x-156030x×1.5据此等量关系,可列方程 (30x ×1.5)×(x -1560)=30 三、练习巩固(一)解:1.AB=(3xx -2-x x +2)·x 2-4x =3(x+2)-(x-2)=2x+8; 2.“逆向”问题不唯一,仅举几例:(1)已知A 与B 的积为2x+8,且A=3xx -2-xx +2,求B.(解答略) (2)已知A 与B 的积为2x+8,且B=x 2-4x ,求A.(解答略)(3)已知A 与B 的积为2x+8,则A 与B 一定是整式吗?(答:不一定)(4)请构造出两个分式A 与B ,使A 与B 的积为2x+8?(解:x =3x x -2-xx +2,x =x 2-4x ) (5)请构造出一个整式A 与一个分式B ,使A 与B 的积为2x+8( 如:A=x 2-16,B=2x -4.实际上,只要取A 为非零次整式即可,如A=x ,则B=2x +8x等 )(二)解:1.1x (x +1)=1x -1x +1.2.(1)2 0142 015;(2)xx +1. 3.原式=14(11×2+12×3+13×4+…+11 007×1 008)=14×1 0071 008=1 0074 032.。

八年级数学上册第十五章分式小结学案(新版)新人教版

八年级数学上册第十五章分式小结学案（新版）新人教版序号：50学习目标：1、知识和技能：（1）熟记分式的四则运算法则及它们之间的内在联系、（2）灵活解答分式方程的解法及其应用、2、过程和方法：（1）了解本章的知识结构及知识内容、（2）进行分式的四则混合运算，熟悉分式方程的解法及其应用，提高综合运用知识的能力、3、情感、态度、价值观：约分、通分及四则混合运算皆渗透了化繁为简的数学美学习重点：(1)熟练掌握分式的四则混合运算、 (2)熟练掌握分式方程的解法、学习难点：(1)四则混合运算中的去括号及符号问题 (2)分式方程的验根问题、导学方法：课时：1课时导学过程一、课前预习：认真阅读课本内容，完成《问题导学》中教材导读的相关问题并解答自主测评。

二、课堂导学：1、导入2、出示任务，自主学习：（请同学们翻阅教材中的内容，思考下列问题）：1、什么是分式？怎样的分式没有意义？2、分式的基本性质有哪些？3、分式的乘除法则与加减法则分别是什么？4、异分母分式的加减法，一般步骤是什么？3、合作探究：见导学方案第五章分式小结难点探究1,2,3,题三、展示反馈：注意事项：1、因为0不能做除数，所以只有当分式的分母不为0时，分时才有意义；当分子的值等于0而分母的值不为0时，分式的值才等于0。

2、对分式进行约分时，如果分子和分母是多项式，那么要先把分子和分母分解因式。

3、几个分式通分时，一般选取较简单的公分母。

4、分式运算的结果应尽可能简单。

四、学习小结：（1）分式这一章最关键的也是最重要的是要求我们熟练掌握分式的运算，这也是我们以后学习的基础。

我们要不断提高自己的计算能力。

（2）分式的意义、基本性质、分式的符号法则，使分式的值为零即使分式无(有)意义的条件和换元的思想方法是分式一章的重要基础知识，希望同学们要切实掌握、（3）分式的混合运算是整式运算、多项式因式分解和分式运算的综合运用、由于计算步骤多，解题方法灵活，符号变化又易出错，要认真细心进行运算，努力提高自己的运算能力、五、达标检测：导学方案基础反思1、2、3题六、作业布置：教材复习题五板书设计：第五章小结知识结构图例1 例2 例3课后反思：。

新人教版初中数学八年级上册《第十五章分式：小结》优质课导学案_0

一、教学目标（知识、能力、教育）：1.使学生进一步掌握解分式方程的基本思想、方法、步骤，并能熟练运用各种技巧解方程,会检验分式方程的根。

2.能解决一些与分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．二、教学重点：解分式方程的基本思想和方法。

三、教学难点：解决分式方程有关的实际问题。

四、教学媒体： PPT五、教学过程（一）、知识梳理：1．分式方程:分母中含有的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是：（即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根； ⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

验根的方法是将所求的根代人或，若的值为零或的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有和。

（二）、基础过关练一练：1、 (2016义乌)解分式方程：2、(2016无锡)分式方程的解是________． 2411x x x +=--431x x =-253520x x =-3. (2016凉山州)关于x 的方程321x x -+＝2＋1m x +无解，则m 的值为 ( ) A. －5 B. －8 C. －2 D. 54.若关于x 的分式方程+1x a x -＝a 无解，则a 的值为________．(三)、满分冲关闯一闯5. (2016江淮名校联考)甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x 吨/小时，依题意列方程正确的是( )A BC D6、(2009安徽4题4分)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是 ( )A. 8B. 7C. 6D. 57、(2013安徽20题10分)某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍,已知一副羽毛球拍比一幅乒乓球拍贵20元,购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多,多出的部分能购买25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元,请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样,求x.（四）、教学小结：（五）、布置作业：精炼版P11—12页六、教学反思： 253520x x=+253520x x =-253520x x =+。

人教版八年级上册数学教案：第十五章分式复习与小结

2．分式的基本性质：
3．分式的运算法则：
（1）乘法法则
（2）除法法则
（3）分式的乘方
（4）加减法则
4．解分式方程的步骤
各小组代表汇报小组合作学习成果，并讨论各小组提出的疑难问题。
班级集体讨论给出各种解决方案．师生共同解决疑难，记录要点。
巩
固
拓
展
练习：
P158 练习 1 ， 2 ， 3
小结：
本节课你有何收获？
课时教案
课题
复习与小结
第 1课时
总第73课时
教学目标
知识与技能：1.理解分式定义，掌握分式有意义的条件。
2.掌握分式的加减乘除运算及混合运算。
过程与方法：掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际问题。
情感态度与价值观：经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.
重点
分式加减乘除混合运算及分式方程
教具
三角尺
难点
列分式方程解决实际问题
学具
三角尺
教师活动
学生活动
前
置
性
学
习
教师抽查学生的前置性作业的完成情况批改，并向老师汇报作业中存在的问题。
小
组
合
作
学
习
1.下列代数式中： , ，是分式的有______________
2．当x满足__________时，分式有意义。当x=__________时，分式的值为零，当x满足____________时，分式值为正
小组内个人展示先学成果，相互交流，明确答案。
对疑难问题，小组内共同讨论完成。
提出质疑，组长解答。
汇
报
交

人教版八年级上册数学学案：第十五章分式单元小结

第十五章分式单元小结教学目标知识与技能目标：1．能说出分式的定义； 2.会进行简单的分式运算.3．会解可化为一元一次方程的分式方程，并能解决相关的应用问题. 过程与方法目标：经历“实际问题—分式方程—整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

情感价值观目标：通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流的意识。

教学重点：1.会进行简单的分式运算；2．会解可化为一元一次方程的分式方程，并能解决相关的应用问题。

教学难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，并能解决相关的应用问题。

知识梳理及对应练习（一）分式定义1．知识要点:一般地，如果A 、B 表示两个整式，且B 中，那么式子叫做分式. 2．对应练习（1）在下列各式中，是分式的有个. （2）若分式无意义，则满足的条件是 . （3）若分式的值为0，则= . （二）分式基本性质1．知识要点:（1） () 2．对应练习：(1)填空：（2）约分32,31,2,3,13,13x x x x a π+21-x x 242--x x x CB C A B A BC AC B A ÷÷==,0≠C )(b a aab a +=+22. （三）分式的运算1．知识要点（1），；（2）， . 2．对应练习：计算（1）（2）（3）（4）（四）分式方程1．知识要点:（1）解分式方程的基本思想是：把转化为 .（2）解分式方程特别注意： .2．对应练习：（1）解下列方程①②（2）应用题：两班植树，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵所用时间与乙班植70棵时间相等，求甲乙两班每天各植树多少棵？三、综合练习1．将0.000000879用科学计数法表示为: . =+++2222b ab a ab a =⋅d c b a =÷d c b a =n ba )(=-n a cdb ac ab 4522223-÷411244222--⋅+-+-a a a a aa 1122++-+x x x x x x x x x x 1112122--+-÷--41243--=+-x x x 481222-=-+-x x x2．如果有意义，则满足 .3.= .4.若，则， .5.把分式通分，先求出它们的最简公分母是 .（选做）6.已知，求代数式的值.（选做）7.解关于x 的方程：（1）（2）（）4)12(--x x 3223)102()102(---⨯⨯⨯3521)(---+=÷b a b a b a n m n =m =n 342,13,11222++--++x x x x x x x 022=-a 11)1(222++--a a a a 1=-a x a1=+-b m x m1≠b。

人教版数学第十五章《分式》学案

15.1.1 从分数到分式学习目标1.掌握分式概念，掌握分式有意义的条件和值为零的条件，能用分式表示数量关系.2.经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，体验类比的数学思想. 3.体验数学活动充满着探索和创造，体会分式模型思想.学习过程一、课前导学：（学生自学课本126-127页内容，并完成下列问题）1.单项式和多项式统称 .2.53表示 ÷ 的商，)()2(n m b a +÷+可以表示为 . 3.填空：⑴长方形的面积为210cm ，长为7cm ，宽应为 cm ；长方形的面积为S ，长为a ，宽应为 .⑵把体积为3200cm 的水倒入底面积为233cm 的圆柱形容器中，水面高度为cm ；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 . 思考：式子a S ，sv ，5+x x ，212-+x x 有什么共同点？答：它们与分数有什么相同点和不同点？答：相同点：，不同点【定义】一般地，形如BA的式子叫做分式，其中A 和B 均为，B 中含有 .5、⑴当x 时，分式x32有意义； ⑵当x 时，分式1-x x 有意义； ⑶当x 时，分式523+-x x 有意义；⑷当x ＝时，分式623+-x x 无意义【结论】分式有意义的条件是；分式无意义的条件是 . 6、当x = 时，分式x x 3+值为零；当x = 时，分式54--x x 值为零【结论】分式值为零的条件是__________. 二、合作、交流、展示： 1.问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？2.例题：例1下列各式中，哪些是分式，哪些整式？(1)x 4 (2)4a (3)y x -1 (4)43x (5)221x (6)232-x (7)y x x +2 注意：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别. 例2.当x 为何值时，下列分式有意义. （1）535+-x x （2）432--x x （3）()21-x x （4）232+-x x例3当x 为何值时，下列分式的值为零（1）x x 32+ （2）592--x x（3）33+-x x ⑷()242+-x x x思考：分式112-+x x 的值可能为0，为什么？三、巩固与应用:1.填空；⑴走一段长10千米的路，步行用了x2小时，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少为0.2小时，骑自行车的平均速度为 .⑵甲完成一项工作需t 小时，乙完成同样工作比甲少用1小时，甲乙的工作效率是 ⑶小李要打一份12000字的文件，第一天他打了2 h ，打字速度为字每分钟w 字/min ，第二天他打字的速度比第一天快了10字/ min ，两天打完全部文件，第二天他字用的时间为 2、下列各式中，分式的有，是整式的有； ①x 1，②3x ，③aπ，④)(3b a c -，⑤352-a ，⑥22y x x -，⑦11x +， ⑧n m nm -+，⑨22a b a b --3、下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +15.1.2(1) 分式基本性质学习目标1.理解分式的基本性质和分式的变号法则.2.会用分式的基本性质将分式约分.3.经历探索分式的基本性质的过程，体验分式变形的方法，体验类比的数学思想. 学习过程一、课前导学：（学生自学课本129-131页内容，并完成下列问题）1.因式分解中平方差公式: ，完全平方公式: .2.把下列各式分解因式： (1)2226ab b a +＝ (2)y y x 42-＝ (3)3222b ab b a +-＝ 3.填空： ⑴()1032=,()35624=, ()a 232=(其中a ≠0 ), ()595=c c (其中a ≠0 ). 分数的基本性质： . 4.【思考】类比分数的基本性质，你能猜想分式的有什么性质？分式的基本性质：用式子表示为 (1)B A ＝ ()0≠C(2)BA ＝ ()0≠C5.填空：(1)()ab ac b 2= (2)()2632xyy x =(3)()2-=a b b a (4)()yy x 486=⑸()x x xy x 242222=+(6)()()()()y x y x y x xy -=--26.(1)=÷÷=232232242242b b b ab b ab(2)()()()()()()=-÷--÷-=--2222222222x x x x x x 【定义】与分数的约分类似，利用分式的基本性质，我们可以对分式进行约分.把一个分式的分子和分母中的约去，叫做分式的约分.【定义】把一个分式约分后，分式中的分子和分母没有公因式，这样的分式叫做 .7.把下列分式进行约分：(1)=c b ab 32 (2)=22188mn nm (3)=+x x x 222 (4)()()()=+--4332x x x 二、合作、交流、展示： 1.分式的基本性质：分式的分子、分母乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 可用式子表示为： B A ＝C B C A ∙∙ BA ＝CB CA ÷÷()0≠C （思考：为什么0≠C ） 2．例题例1.填空：(1)c a b ++1=()cnan + (2)()xx x x -=+21 (3)()y xy x =3(4)()yx x xy x +=+22633 例2.约分：(1)c ab bc a 2321525- (2)96922++-x x x (3)()a a --1)1(3 (4)y x y xy x 33612622-+-注意：1、约分的关键步骤是确定分子与分母的公因式，当分子或分母是多项式时，应先分解因式，然后再约分. 2、分式约分后的结果是最简分式或整式.例题3.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. (1)23b ac-- (2)235b xy - (3)()22b a b a ++-- (4)2317ba --- 仔细观察，思考：分子、分母、分式本身的三个符号中，同时改变几个符号，分式值不会改变？15.1.2(2)分式的基本性质学习目标1.理解最简公分母的含义.2.灵活运用分式的基本性质进行分式的通分.3.从分数通分到分式的通分，体验类比转化的数学思想. 学习过程一、课前导学：（学生自学课本131-132页内容，并完成下列问题） 1．分式的基本性质：. 2.填空：(1)25x y--＝ (2)()22--x x ＝ (3)3---x y＝ .3.把分数87和123通分：87＝， 123＝ . 4.利用分式的基本性质，把ab21和232ab-化成分母都是b a 26的分式： ab 21＝()()⋅⋅ab 21＝()b a 26， 232a b -＝()()()⋅⋅-232a b =()b a 26 【定义】与分数的通分类似，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的的分式，叫做分式的通分.我们把分母b a 26叫做分式ab21和232a b-的最简公分母，思考：最简公分母b a 26与分母ab 2、23a 之间有什么关系？【定义】一般取各分母的因式的的积作公分母，它叫做最简公分母.【方法】确定最简公分母的步骤： (1)系数取：； (2)字母和因式取：；(3)字母和因式的指数取 . 简称为“小、全、高”5.指出下列分式分母的最简公分母，并把它们通分.⑴223ab 和28bc a 解:最简公分母：223ab ＝()()⋅⋅223ab ＝_________ 28bc a＝()()⋅⋅28bc a ＝__________ （2）11-y 和11+y解:最简公分母：11-y ＝()()()⋅-⋅11y ＝________ 11+y ＝()()⋅+⋅11y ＝________二、合作、交流、展示： 1. 确定最简公分母的步骤： “小、全、高”！ “小”： “全”： “高”： . 2.例题例1、指出下列分式的最简公分，并通分：(1)bc a 362 与d b a a 22152-(2)d b c 382与2127abd -例2、指出下列分式的最简公分母并通分： (1)52-x x 与53+x x (2)x x x 222+-与()221+-x x【方法】当分母是多项式时，先把分母分解因式后，再确定最简公分母.例3、指出下列分式的最简公分，并通分： (1)2121a a a -++与261a - (2)229y x y -与y x x --3215.2.1分式的乘法学习目标1.理解分式的乘除法法则，体会类比的思想．2.会根据分式的乘除法法则进行简单的运算. 学习过程一、课前导学：（自学课本第135-137页，完成下列问题） 1.约分 (1)233123ac c b a = (2)()2xy y y x += (3)()22y x xy x ++= (4)()222y x y x --= 2.分数的乘除：32×54=()()()()⨯⨯ 75×92=()()()()⨯⨯ 32÷54=32×()()=()()⨯⨯32 75÷92=75×()()=()()⨯⨯75 【分数的乘法法则】：分数乘分数，用作为积的分子，作为积的分母．【除法法则】：除以一个的数等于这个数的．分式的乘除，猜一猜 a b ×c d =()()()()⨯⨯， a b ÷c d =a b×()()=()()()()⨯⨯ 【分式的乘法法则】：分式乘分式，用作为积的分子，作为积的分母．【分式的除法法则】：分式除以分式，把除式的分子、分母位置后，与被除数．2.填空(1)=⋅c a a b (2)a b a 22⋅=(3)=÷a b a 22 (4)nxmymx ny -∙= 3.问题1、一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b ，当容器内的水占容积的nm时，水面的高度为多少？(提示：这个长方体容器的高怎么表示？)4.问题2、大拖拉机m 天耕地a 2hm ，小拖拉机n 天耕地b 2hm ，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？分析:大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？二、合作、交流、展示：例1.分子、分母为单项式的分式乘除(1)y x 34·32x y (2)cd b a cab 4522223-÷【收获】：(1)运算结果应约分到最简; (2)分式除法应：“变除为乘，除式颠倒”;(3)运算中，分式的乘除运算跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果.例2：分子、分母为多项式的分式乘除(1)411244222--⋅+-+-a a a a a a(2) m m m 7149122-÷-【收获:(1)遇到分子、分母为多项式时，先将多项式分解因式，以便约分; (2)运算结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘，是不必把它们展开的。

人教版八年级数学上册《十五章分式小结构建知识体系》优课导学案_9

人教版八年级数学第十五章分式小结---构建知识体系教学设计一、教学目标：知识与技能：1、复习整理本章的知识结构，形成知识体系．解决生活中的实际问题．2、掌握列分式方程解决实际问题的基本方法，深化数学思想的认识。

过程与方法：经历探索、梳理知识点的过程，体会知识点之间的联系。

情感态度和价值观：在构建知识体系的过程中，培养学生乐于探究、合作学习的习惯。

二、教学重点分式这一章各知识点的梳理三、教学难点分式的混合运算、分式方程的应用。

四、教学方法启发式教学、自主探究式五、教学准备《导学案》、PPT、思维导图---树图六、教学过程本节课采用的是《导学案》教学，以学生为主，老师配合完成教学内容。

后面附《导学案》一份。

（一）、简要概述分式这一章的重要性，核对《导学案》上第一板块---夯实基础（这部分内容是早一天的作业）。

一个同学核对一道题，有共性问题的老师引导解决。

设计意图：这部分内容的安排挑选的是紧扣教材知识点、很基础性的试题。

意在让每个学生都能从做题的过程中感受到本章知识点的分布情况。

掌握每个知识点的具体内容，为下一步构建本章的结构图---树图做好准备，让学生主动参与到归纳、梳理知识的活动中来。

（二）、师生共同完成第十五章分式小结---知识与构建的“树图”，整理归纳本章的所学到的知识点。

设计意图：以“树图”形式完成本章知识点的构建，一是简单明了省去了线条性的构图，二是新颖、视觉感好，让学生在愉悦的欣赏中完成本章知识的梳理和构建。

（三）、完成《导学案》第二板块---巩固训练，分小组解决。

设计意图：这组练习题是对上述知识点的巩固。

学生独立完成。

通过练习加深对分式的理解并要求准确求解，注意解题步骤。

通过循序渐进的练习，培养和提高学生的运算能力。

在小组交流中与同学们分享自己的学习成果，学会合作和交流。

（四）、完成《导学案》上第三板块---思维拓展。

（学生板演）设计意图：这个内容安排一个学生到黑板展示完整的解题步骤，学生做完后，针对板演同学的解答从解题格式到解答过程进行分析评价。

人教版八年级数学上册《十五章分式小结构建知识体系》优课导学案_8

第十五章分式复习与小结一、教材分析分式的主要内容是与分数的有关内容对比着学习的，复习时应加强这种对比。

从比较高的层次上认识分数与分式及其有关内容的内在联系和区别，以提高这一部分内容的学习质量。

1．分式的概念和分式的基本性质是学习本章的基础，对于分式概念，主要是搞清楚分式与分数的区别以及分式及几个与分式有关的条件的问题．对于分式的基本性质，则主要是在分式变形和运算中能够正确灵活地运用．2．分式四则运算法则可以对比分数四则运算法则得出，这一点学生应深切体会．要使学生深刻认识到，具体的分式运算应注意分式基本性质与符号法则的运用。

二、课标要求了解分式和最简分式的概念；能利用分式的基本性质的约分和通分；能进行简单的分式的加、减、乘、除运算。

三、教学目标1.进一步巩固及加深对分式概念及分式的基本性质的理解和运用。

2. 进一步熟练掌握分式的四则运算法则及整数指数幂运算法则。

3. 进一步熟悉和掌握分式方程的解法及应用，体会其中蕴含的数学思想。

4.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的重要数学模型。

四、教学重、难点重点：分式的基本性质和分式的四则混合运算。

难点：分式的四则混合运算法则的运用。

五、教学过程设计（一）本章知识结构师生活动：教师引导学生齐读学习目标，并让学生结合课本目录回忆本章所学内容，然后教师利用思维导图展示本章的知识结构图。

设计意图：通过构建知识体系了解本章所学内容，让学生对知识系统化。

（二）典型例题分析例1 下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？2a 2+b,3y x + ,∏+2b a , 21b a +,8x -,()1212+x ,x x 2,()112+x m （知识点一：分式的概念）师生活动：先让学生思考后，回答问题，并由学生归纳本题所考察的知识点。

设计意图：复习巩固知识点一——分式的概念，并强调识别分式的几个注意点。

例2 （1）当x 为_____时，分式6213-+x x 有意义。

八年级数学上册第15章分式小结与复习导学案新版新人教版

分式小结与复习【学习目标】:了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用,并综合应用知识点解决问题。

学习重点:分式的概念、运算及分式方程的应用。

学习难点 :分式方程的应用。

学习过程 :一、知识点复习:1. 分式的概念（1）如果 A 、B 表示两个整式,且 B 中含有字母,那么式子AB 叫做分式。

（2）分式与整式的区别: 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。

2. 分式有意义的条件:分式的分母不能为 0,即AB 中, B ≠ 0 时,分式有意义。

3. 分式的值为0的条件:分子为0,且分母不为0,对于A B ,即00A B =⎧⎨≠⎩时,A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。

A A M B B M ⋅=⋅, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式）5. 分式通分（1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母;（3）通分后的各分式的分母相同;（4）通分后的各分式分别与原来的分式相等.6. 分式通分的步骤（1）确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。

②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。

③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

④当分母中有多项式时,要先将多项式分解因式。

（2）将各分式化成相同分母的分式。

7. 分式的约分（1）约分的依据:分式的基本性质（2）约分后不改变分式的值。

（3）约分的结果:使分子、分母中没有公因式,即化为最简分式。

8. 分子的变号规则分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个,分式的值不变。

用式子表示为:a a a bb b -==--；a a a a b b b b ---=-==--9. 分式的乘除法则乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作积的分子,用分母的积作积的分母。

除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。

人教版八年级数学上册《十五章分式小结构建知识体系》优课导学案_6

教师集体备课教案主备教师小组教师上课教师科目八上数学班级课题分式总复习1 三维目标1．进一步熟练地掌握分式概念、分式运算。

2．使学生能较熟练解一元一次方程的分式方程教学重点在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题．教学难点分式的混合运算，分式方程教学过程二次备课本章结构图分式⎩⎪⎨⎪⎧分式⎩⎪⎨⎪⎧概念、基本性质分式的化简分式的运算⎩⎪⎨⎪⎧分式的乘除分式的加减整数指数幂分式方程⎩⎪⎨⎪⎧分式方程的解法分式方程的应用一、重难点突破重难点1 分式的有关概念及基本性质【例1】 (衡阳中考)若分式x －2x ＋1的值为0，则x 的值为(C ) A ．2或－1 B ．0 C ．2 D ．－1【方法归纳】分式的值为0需要同时具备两个条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可．1．(成都中考)要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是(A ) A ．x ≠1 B ．x ＞1 C ．x ＜1 D ．x ≠－12．下列等式成立的是(C )A .1a ＋2b ＝3a ＋b B .12a ＋b ＝1a ＋b C .ab ab －b 2＝a a －b D .a －a ＋b ＝－a a ＋b3．(赤峰中考)化简a 2b －ab 2b －a结果正确的是(B ) A ．ab B ．－ab C ．a 2－b 2 D ．b 2－a 2重难点2 分式的运算【例2】 (雅安中考)先化简，再求值：(1－1m )÷m 2－1m 2＋2m ＋1，其中m ＝2. 【方法归纳】分式的运算要把握两个关键：一是灵活运用因式分解去通分和约分；二是巧借运算律简化运算．4．化简2a 2－1－1a －1的结果是－1a ＋1．5．化简：(1＋1x )÷(2x－1＋x 2x)． 6．先化简(1x －2－2x )·x 2－2x 2，再从0，1，2中选取一个合适的x 的值代入求值．重难点3 分式方程【例3】分式方程2x －5x －2＝32－x的解是(C )A x ＝－2 B x ＝2 C x ＝1 D x ＝1或x ＝2 【方法归纳】解分式方程应注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．7．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是(A ) A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－38．(成都中考)已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是k ＞12且k≠1． 9．(广州中考)从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度．(2)设普通列车平均速度是x 千米/时，根据题意，得520x －4002.5x＝3解得x ＝120. 经检验，x ＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．答：高铁的平均速度是300千米/时．教学反思。

人教版八年级上册数学：第十五章分式小结 学案

八年级数学上册 第十五章 分式本章小结学案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上册数学学案

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